Reglas de Kirchhoff

Laboratorio de Física Electromagnética

REGLAS DE KIRCHHOFFKirchhoff’s Rules

M. P. Páez.

Facultad de Ciencias Básicas, Universidad del Atlántico, 10-05-2011, Barranquilla

Recibido ; Aceptado

ResumenUtilizando la ley de Ohm se han determinado mediante medidas los valores aproximados de las resistencias y los diferentes valores de la potencia en cada resistencia. En esta oportunidad se tomaron nueve valores diferentes de voltaje e intensidad de corriente, para cada una de las resistencias usadas. Como era de esperar tanto la suma de las diferencias de potencial en cada malla como la suma de las intensidades de corriente en cada nodo resultaron aproximadamente iguales a cero, comprobando así las reglas de las combinaciones en serie y en paralelo, mediante las reglas de Kirchhoff.Palabras claves: Resistencias en Serie, Resistencias en Paralelo, Reglas de Kirchhoff, Potencia.

AbstractUsing Ohm's law have been calculated using the approximate values of resistance and different values of the power in each resistor. This time it took nine different values of voltage and current, for each of the resistors used. As expected both the sum of potential differences in each grid as the sum of the currents at each node were approximately equal to zero, thus proving the rules of the combinations in series and in parallel, using Kirchhoff's rules.

Keywords: Resistors in Series, Resistors in Parallel, Kirchhoff's Rules, Power.

1. Introducción

Los resistores son los componentes mas utilizados en los circuitos electrónicos de todo tipo. Desde secadoras de cabello y calentadores hasta circuitos que limitan o dividen la corriente o reducen o dividen el voltaje. Los circuitos más comunes suelen contener varios resistores, por lo que puede definir como la combinación de resistores.Existen varias maneras de conectar resistores en un circuito electrico. Cuando se conectan extremo con extremo dos resistores o más, de manera que pase a través de cada uno de ellos la misma corriente, se dice que están conectados en serie (Ilustración 1). Pueden ser focos u otros dispositivos eléctricos. En éste tipo de circuitos, existe el mismo amperaje en todos los elementos consumidores1. Si los resistores o focos (en este caso) se conectan de modo que la corriente de la fuente se divida en las diferentes ramas del circuito, como en la ilustración 2, se dice que los resistores están conectados en paralelo. En éste tipo de circuitos el amperaje se divide en dos y la diferencia de potencial es la misma en los extremos de cada resistor1.

Ilustración 1. Focos conectados en serie

1

M. P. Páez: Reglas de Kirchhoff.

Ilustración 2. Focos conectados en paraleloLos circuitos básicos son los conectados en serie y en paralelo, de ahí que cualquier otro tipo de conexión de resistores son combinaciones de estas dos. Ejemplo de esto es la combinación en serie – paralelo, es decir, en un mis-mo circuito están conectados algunos consumidores en serie y otros en paralelo2. Los resistores que estén en serie tendrán la misma corriente y los que estén en paralelo tendrán el mismo voltaje (ilustración 3). La ilustración 4 muestra otro tipo de circuito serie – paralelo.

Ilustración 3. R1 en serie con combinación en paralelo de R2 y R3

Ilustración 4. R1 en paralelo con combinación en serie de R2 y R3

Con respecto a cualquier combinación de resistores, siempre se puede hallar un solo resistor que podría tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales. La resistencia de este único resistor se conoce como la resistencia equivalente de la combinación.Esta experiencia era para comprobar las reglas de combinación de resistencias en serie y en paralelo. Es decir, que para resistencias en serie la diferencia de potencial total entre los extremos de una combinación es la suma de estas diferencias de potencial individuales, por otro lado para resistencias en paralelo la corriente total es la suma de las intensidades de corriente individuales. A partir de estas reglas se puede obtener la resistencia equivalente para combinaciones en serie (1) y paralelo (2) (Ver demostración en el Apéndice 1). Así:

Requivalente=R1+R2+…+Rn(1)

Requivalente=1R1

+ 1R2

+…+ 1Rn

(2)

Sin embargo, existen circuitos cuyas resistencias pueden estar conectadas mediante combinaciones que no pueden reducirse a una única resistencia equivalente. Para este caso se usan dos sencillas reglas descritas por Gustav Robert Kirchhoff en 1845, denominadas Reglas de Kirchhoff:- En un punto o nodo de ramificación de un circuito en

donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes entrantes en cualquier nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen por dicho punto.

Esta regla se denomina a menudo regla de Kirchhoff para los nodos y es deducida por medio del principio de la conservación de cargas.- La suma algebraica de las diferencias de potencial

entre los extremos de cada elemento a lo largo de cada malla cerrada del circuito debe ser igual a cero.

También llamada regla de Kirchhoff para las mallas, la cual es una consecuencia directa de que el campo eléctrico se conserva.En esta experiencia se estudio de manera teórica y práctica las leyes de Kirchhoff. En la práctica estas reglas pueden ser comprobadas mediante el uso de instrumentos de medición eléctricos, como lo son el amperímetro y el voltímetro que se pueden encontrar de manera independiente o en un multímetro (Ver descripciones en el Apéndice 2).

R2

R1

R3

R1

2

R2

R3

Laboratorio de física Electromagnética.

Continuando con el desarrollo de este escrito, es necesario destacar la mejor forma de ubicar un fusible en un circuito eléctrico, con el fin de proteger a otros elementos que hacen parte de este. Hay que tener presente que un fusible no es más que un dispositivo eléctrico que consta de un filamento metálico sensible a ciertas magnitudes de corriente. Para valores que sobrepasan su tolerancia, presenta el comportamiento de un interruptor eléctrico, cortando el flujo de carga dañina hacia el componente que se desea proteger.Dado que el fusible actúa como un interruptor, su comportamiento resulta más eficiente si es conectado en serie (ver ilustración 5. a.), dado que corta el flujo de corriente frente a valores excesivos de ésta al desconectar una de las terminales del componente (actúa como un circuito abierto) a proteger. En cambio, en paralelo, a pesar de que el fusible de “dañe” por la excesiva carga, el componente a proteger sigue conectado a las terminales de la fuente generadora de voltaje tal como se muestra en la ilustración 5.b., con lo cual sigue recibiendo corriente, que de ser demasiado intensa, puede terminar dañando el componente.

Ilustración 5. Los Fusibles conectados en serie cumplen mejor su función que estando conectados en paralelo.

2. Detalle Experimental

Se tomaron 9 resistencias de valores diferentes y posteriormente, se armó el circuito que se muestra en la Ilustración 6.

Ilustración 6. Circuito Experimental

Inicialmente, se midió el valor de las diferentes resistencias mediante el código de colores.Luego, se encendió la fuente de voltaje y se gradúo en 8.42V, conectándola al circuito. Con ayuda de un voltímetro se midió el voltaje de entrada y la corriente de entrada y de salida.Finalmente, se midió la caída de potencial y la corriente a través de cada resistencia.Todos los datos fueron registrados en la tabla del pre-informe (Apéndice 3).

3. Resultados y discusión

Los datos obtenidos en esta experiencia están consignados en la tabla 1. El voltaje de entrada es de 8.42V, por otro lado, la corriente de entrada y de salida tiene un valor de 11.1A.

Tabla 1. Valores de las resistencias usadas con sus respectivos voltajes y corrientes.

ResistenciasRte ó rica

(Ω)Voltaje(V )

Corriente(mA )

11 82 0,91 11,212 100.000 4,01 0,0413 200 0,15 0,721 200 0,15 0,722 82 3,23 0,0423 100 1,12 11,231 560 6,24 11,132 100 0,004 0,04

3


33 15 0,15 9,5

Cálculo de las resistencias reales.

El cálculo de las resistencias se desarrolló empleado la Ley de Ohm:

R=VI

(3)

Donde V y I son los valores del voltaje y corriente medi-dos con los instrumentos de laboratorio, respectivamente. Los valores calculados de las resistencias (Rreal) se obtu-vieron de la siguiente forma:

R11=0,91 V

11,2 mA=81,25 Ω

El porcentaje de error asociado a cada cálculo de la resis-tencia con respecto al valor teórico (valor comercial de la resistencia) se desarrolló empleando la siguiente ecuación:

%|ε|=|R real−R teó rica

R teó rica|× 100 %(4)

Empleando la anterior ecuación tenemos:

|% ε11|=|81,25−8282 |×100 %=0,91 %

Ver los cálculos completos en el Apéndice 4.

Cálculo de la potencia.

Calculamos ahora los valores de potencia desarrollados en cada resistencia. Para ello empleamos la siguiente ecua-ción:

P=VI (5)

Con base en la anterior ecuación tenemos:

P11=0,91V ∙ 11,2×10−3 A=0,0101W

Ver los cálculos completos en el Apéndice 5. Todos los valores obtenidos mediante los cálculos del apéndice 4 y 5 están registrados en la siguiente tabla.

Tabla 2. Valores de la Resistencia real, el porcentaje de error al obtener cada resistencia y el valor de la potencia de cada una.

ResistenciasRreal

(Ω)|ε|%

Potencia(W)

11 81,25 0,91 0,010112 100.250 0,25 1,604x10-4

13 214,28 7,14 1,05x10-4

21 214,28 7,14 1,05x10-4

22 80,75 1,52 1,292x10-4

23 100 0 0,012531 562,16 0,38 0,069232 100 0 1,6 x10-7

33 15,78 5,2 1,425 x10-3

Comprobación de los voltajes en cada malla

El circuito de la ilustración 6 consta de tres mallas princi-pales, las cuales serán empleadas para demostrar la valides de la regla para las mallas de Kirchhoff. Antes de compro-bar lo anterior es necesario hacer la observación de que las resistencias R13, R21 y R33, al estar conectadas en parale-lo, poseen el mismo voltaje, por lo cual podemos tomar el voltaje de cualquiera de las tres. Teniendo en cuenta esta consideración, demostraremos la regla anterior para cada malla:

Malla 1 (V, R23,R11, R33 y R31)

V−V R23−V R11

−V R33−V R31

=08.42 V−1,12 V−0,91V −0,15−6,24 V=0

Malla 2 (R11,R33, R31,R32,R22 y R12)

V R12+V R22

+V R32−V R11

−V R33−V R31

=04,01 V +3,23 V +0,004 V −0,91 V−0,15 V −6,24 V=−0,056 V

Malla 3 (V, R23,R12, R22 yR32)

V−V R23−V R12

−V R22−V R32

=08.42 V−1,12 V−4,01V −3,23 V−0,004 V=0.056 V

4


Como se observa, el resultado para la malla 1 es igual a cero, en cambio para la malla 2 y 3 son muy cercanos a cero. Esta diferencia en los valores finales, puede atribuir-se a agentes tales como la resistencia interna de la fuente, errores de medición, entre otros factores.

Comprobación de las corrientes en los nodos

Ahora usaremos la regla de Kirchhoff para los nodos. Tenemos entonces que:

Nodo A. Este nodo recibe las corrientes provenien-tes de las resistencias R13, R21 y R33. La suma de estas da como resultado la corriente de la resisten-cia R31. Tenemos entonces que:

I R31=I R13

+ I R21+ I R33

11,1mA ≅ 0,7 mA+0,7 mA+9,5 mA

11,1mA ≅ 10,9 mA

Nodo B. Este recibe la corriente proveniente de la resistencia R23. Esta corriente se ramifica en dos

una de ellas es igual para las resistencias R12, R22 y

R32, y la otra es igual para las resistencias R11,

R13+R21+R33 y R31. Tenemos entonces que:

I R23=I R12

+ I R11

11,2mA ≅ 0,04 mA+11,2mA

11,2mA ≅ 11,24 mA

Queda demostrado que la suma de todas las corrientes que salen de un nodo es igual a todas las corrientes que llegan a de él.

4. Conclusiones

A partir de los valores de voltaje y corriente medidos experimentalmente se encontraron valores aproximados de las resistencias usadas en la práctica y los diferentes valores de la potencia en cada resistencia. Además, se pudo comprobar las reglas de combinación de resistencias en serie y en paralelo, por medio de las leyes de Kirchhoff. Como era de esperar, los valores de las resistencias obtenidas tuvieron porcentajes de errores bajos, coincidiendo así con los valores tabulados. Además, la

sumatoria de los voltajes en cada malla fue aproximadamente iguales a cero y se obtuvieron valores muy precisos de las corrientes de entrada en cada nodo. 5. Referencias

[1] Antonio Arnau Vives, José María Ferrero y De Loma Osorio, Yolanda Jiménez Jiménez, Tomas Sogorb Devesa, Sistemas electrónicos de comunicaciones I, Universidad Politecnica de Valencia.

[2] Sears Zemansky, Young Freedman; Física Universita-ria con Física Moderna, Volumen II; 11ª ed; Pearson Adis-son Wesley.

[3] Raymond A. Serway; Física, tomo II; 4ª ed; Mc Graw Hill; 1997

[4] Paul A. Tipler, Gene Mosca; Física para la ciencia y la tecnología: Electricidad y magnetismo. Luz. Física moder-na, Volumen II, 5ª ed; Reverté; 2007

[5] Raymond A. Serway, John W. Jewett; Física II: texto basado en cálculo; 3ª ed; Thomson; 2004

[6]http://www.mitecnologico.com/Main/InstrumentosElectricosMedicion

[7] http://www.unicrom.com/Tut_fusible.asp

6. Apéndices

6.1. Apéndice 1. Demostración de la resistencia equiva-lente para un circuito con resistencias en serie y en parale-lo.

- Resistencias en serie

V total=V 1+V 2+…+V n(6)V total=I ( R1+R2+…+Rn),

Por lo cual,

V total

I=R1+R2+…+Rn

Por definición la proporciónV total

I=Requivalente

Entonces

5


Requivalente=R1+R2+…+Rn

- Resistencias en paralelo

I total=I 1+ I 2+…+ I n(7)

I total=V total( 1R1

+1R2

+…+1

Rn)

O bien,

I total

V total

= 1R1

+ 1R2

+…+ 1Rn

Pero por definición I total

V total

=Requivalente, de modo que

Requivalente=1R1

+ 1R2

+…+ 1Rn

6.2. Apéndice 2. Descripción del amperímetro y el voltímetro.El amperímetro mide la corriente que pasa a través de él (ver ilustración 7). Un amperímetro ideal debe tener una resistencia igual a cero, de manera que no altere la corriente que se va a medir. Sin embargo, este instrumento posee siempre una resistencia (cuya magnitud es tan pequeña que puede ser omitida), la cual reduce ligeramente la corriente respecto de su valor cuando el amperímetro no esta presente, por tanto, en la realidad se requiere que la resistencia del amperímetro tan pequeña como sea posible.

Ilustración 7. Montaje para medir corriente con un amperímetro

Ilustración 8. Montaje para medir diferencia de potencial con un voltímetro.Por otro lado, el voltímetro es un dispositivo que mide diferencias de potencial como lo muestra la ilustración 8. Un voltímetro ideal tiene resistencia infinita de manera que no circula corriente a través de él. En la realidad, los voltímetros tienen una resistencia finita, pero esta debe ser lo suficientemente grande para que al conectarlo a un circuito altere las otras corrientes de manera despreciable. Esta resistencia finita puede ser calculada a través de la utilización del siguiente circuito:

Ilustración 9. Circuito para medir la resistencia de una fuente de voltaje.

El circuito que se muestra en la ilustración anterior permite, a través de la utilización de las leyes de Kirchhoff, calcular el valor de la resistencia interna del voltímetro. Para el cálculo de la resistencia interna tenemos que:

ε−i R∫¿ – i R L=0 (1)¿

Si empleamos la ley de Ohm (V L=i RL) en la ecuación

(1), tenemos:

i R∫¿=ε – i RL ¿

6


R∫ ¿= ε

i– RL¿

R∫ ¿=

R LεV l

– RL ¿

R∫ ¿=R L( ε

V L

– 1)(8)¿

Donde R∫ ¿¿es la resistencia interna del voltímetro, RL es

una resistencia de valor conocido, V Les el voltaje de la

resistencia RL y ε es la fuerza electromotriz (f.e.m) o voltaje de la batería.

6.3. Apéndice 3. Pre-informe.

6.4. Apéndice 4. Cálculo de la Resistencia real y el por-centaje de error con respect al valor teórico, a partir de las ecuaciones (3) y (4).

R12=4,01 V

0,04 mA=100.250 Ω

R13=0,15 V0,7 mA

=214,28 Ω

R21=0,15 V0,7 mA

=214,28 Ω

R22=3,23 V

0,04 mA=80,75Ω

R23=1,12V

11,2mA=100 Ω

R31=6,24 V11,1mA

=562,16 Ω

R32=0,004 V0,04 mA

=100 Ω

R33=0,15 V9,5 mA

=15,78 Ω

|% ε12|=|100.250−100.000100.000 |× 100 %=0,25 %

|% ε13|=|214,28−200200 |×100 %=7,14%

|% ε21|=|214,28−200200 |×100 %=7,14%

|% ε22|=|80,75−8282 |× 100 %=1,52 %

|% ε23|=|100−100100 |× 100 %=0 %

|% ε31|=|562,16−560560 |× 100 %=0,38%

|% ε32|=|100−100100 |× 100 %=0 %

7


|% ε33|=|15,78−1515 |× 100 %=5,2 %

6.5. Apéndice 5. Cálculo de la potencia de cada una de las resistencias usadas, a partir de la ecuación (5).

P12=4,01V ∙ 0,04×10−3 A=1,604 ×10−4 W

P13=0,15V ∙ 0,7 ×10−3 A=1,05× 10−4 W

P21=0,15V ∙0,7 × 10−3 A=1,05 × 10−4 W

P22=3,23V ∙0,04 × 10−3 A=1,292 ×10−4 W

P23=1,12V ∙ 11,2×10−3 A=0,0125 W

P31=6,24V ∙ 11,1×10−3 A=0,0692W

P32=0,004 V ∙ 0,04 ×10−3 A=1,6 ×10−7W

P33=0,15V ∙ 9,5× 10−3 A=1,6 × 10−3 W

8

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