El método de la “Regula Falsi”

El método de la «Regula Falsi » (regla falsa), es una modificación del método de la bisección con la esperanza de obtener una aproximación de la raíz de forma más rápida. Consiste en utilizar el punto de corte c de la secante que une los extremos de la curva y = f(x) en a y b en vez del punto medio, para dividir el intervalo y después iterar el proceso quedándonos con los subintervalos en los que f cambie de signo.En los siguientes gráficos podemos observar distintas etapas de este método:

Para describir el algoritmo, recordar que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, u) y (b, v) es

y=u+ v−ub−a

(x−a)

Si ahora hacemos y = 0 en esa expresión para determinar la abscisa de corte de la recta con el eje de abscisas se tiene

x=a−u b−av−u

Modificando el algoritmo del método de la bisección en la definición de c tomando el corte de la secante a la curva y = f(x) en los extremos de los intervalos con el eje de abscisas en vez de considerar el centro del intervalo, obtenemos el siguiente algoritmo: (Enmarcada sobre fondo gris, está la modificación efectuada)

Ejemplo: f ( x )=ex−x2−x−1 en [1,2]; y aplicando el método de regula falsi con la misma precisión ¿10−10, tenemos

k= 1 aa= 1.0 bb= 2.0 u=-0.28171817154095447 v=0.3890560989306504k= 2 aa= 1.4199895314155169 bb= 2.0 u=-0.29928267006193354 v=0.3890560989306504k= 3 aa= 1.6721721622963694 bb= 2.0 u=-0.14461267362264119 v=0.3890560989306504k= 4 aa= 1.7610064028149435 bb= 2.0 u=-0.043859961270654724 v=0.3890560989306504k= 5 aa= 1.7852195260508816 bb= 2.0 u=-0.01133990799920781 v=0.3890560989306504k= 11 aa= 1.7932804127143416 bb= 2.0 u=-2.447094586077725E-6 v=0.3890560989306504k= 12 aa= 1.7932817129360898 bb= 2.0 u=-5.974324321922353E-7 v=0.3890560989306504k= 13 aa= 1.793282030371081 bb= 2.0 u=-1.4585651553211676E-7 v=0.3890560989306504k= 14 aa= 1.7932821078692915 bb= 2.0 u=-3.5609233561828546E-8 v=0.3890560989306504k= 15 aa= 1.7932821267896093 bb= 2.0 u=-8.693593622766116E-9 v=0.3890560989306504k= 16 aa= 1.793282131408792 bb= 2.0 u=-2.1224435542421816E-9 v=0.3890560989306504k= 17 aa= 1.7932821325365136 bb= 2.0 u=-5.181701734358057E-10 v=0.3890560989306504k= 18 aa= 1.7932821328118338 bb= 2.0 u=-1.26505694808543E-10 v=0.3890560989306504

k= 19 aa= 1.7932821328790503 bb= 2.0 u=-3.088485023283738E-11 v=0.3890560989306504

Se obtiene la misma solución que con el método de la bisección pero ahora sólo en 19 pasos.

A la vista de este ejemplo podríamos pensar que el algoritmo de la regula falsi es más rápido que el método de la bisección. En general, ese no es el caso

Ejemplo: si consideramos la función g ( x )=x3−x−1 que también cambia de signo en [1,2], y tomamos la precisión =10−10, el método de la bisección nos da la raíz c=1.324717957242683 con g(c) = −8.79785133633959E − 12 en 37 etapas.

Si aplicamos la regula falsi a esta misma función, en el mismo intervalo, y con la misma precisión, obtenemos la misma raíz en 31 etapas, que sólo es unas cuantas iteraciones menos que el de la bisección.

Ejercicio: Trabajando sobre la siguiente gráfica. Dada una estimación del número de etapas que necesitan los métodos de la bisección y de la regula falsi para alcanzar buenas estimaciones de la raíz. Observad que en este caso el método de la bisección parece ser bastante más rápido que el de la regula falsi.

Observando la gráfica del ejercicio podemos conjeturar (sin equivocarnos demasiado) que el ralentizamiento de la regula falsi se debe a la presencia de regiones donde la curva tiene poca pendiente donde la secante aproxima mal a la curva, para pasar al final a una región con mucha pendiente donde las secantes aproximan bien a la curva.

Para evadir esta situación se puede utilizar el siguiente “truco” que consiste en reducir la pendiente de la secante en las etapas en las que se sea consciente de que podemos estar ralentizandonos.

La modificación esencialmente consiste en guardar memoria del signo de f en el punto de corte de la secante con el eje de abscisas y en caso de que el signo se repita en la siguiente iteración, se inclinará más la secante buscando una mejor aproximación del cero de f. En la primera etapa, se utiliza f(a) para comparar con el signo de f(c) en el punto de corte, c, de la secante con el eje de abscisas.

Gráficamente hacemos lo siguiente:

(Enmarcadas sobre fondo gris, están la modificaciones efectuadas sobre el método de la regula falsi)

Ejemplo 2.3.5 Volviendo a retomar los ejemplos anteriores, para f ( x )=ex−x2−x−1 en [1,2], el método de la regula falsi modificado proporciona la raíz c = 1.7932821329006305 f(c) = −1.8562928971732617E − 13 en sólo 8 etapas.

Para la función g ( x )=x3−x−1 que también cambia de signo en [1,2], la modificación de la regula falsi proporciona la raíz c = 1.324717957244746 f(c) = 2.220446049250313E −16 en 7 etapas.

Con el “truco” propuesto, podemos pensar en que vamos a tener mejor convergencia.