ECUACIÓN Y FUNCIONES

Relación y Función

Relación Dados los conjuntos y El producto cartesiano es:

Definiendo la proposición clara pero abierta se puede expresar “la componente de x es mayor que la componente de y”, se obtiene el subconjunto solución . Para llegar al conjunto solución R, se necesitó dos conjuntos A, B y una proposición abierta. Observemos que el conjunto solución es un subconjunto de y se llama Relación. Por tanto; una relación R de un conjunto A en un conjunto B, es un subconjunto del producto cartesiano . Esta relación se puede representar en un plano cartesiano o en un Diagrama Sagital. Ejemplo: Graficar la relación

Para obtener una relación se necesita tener en cuenta:

a. Un conjunto de partida A b. Un conjunto de Llegada o Imágenes B c. Una proposición abierta

Elementos de una relación

 

 

 

Con los elementos de una relación se pueden formar dos conjuntos, el formado por las primeras componentes y el formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas; el primer elemento se le denomina Dominio y al segundo Recorrido de la relación. Sean una función, se define:

Dominio: Es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas de un Relación.

Rango: Es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas de un Relación.

Ejemplo: En el siguiente diagrama sagital identificar el Dominio, Codominio y el Rango. Dominio: Rango: Dominio: Rango:

Función Dados los conjuntos M y N, una función f definida en M y tomando valores de N, es una relación que asigna a cada elemento de M un y solo un elemento de N. Para definir una función es necesario tener claro que: Toda Función es una relación, pero no toda relación es una Función. Para denotar que f es un a función del conjunto M en el conjunto N, se escribe:

a) se lee “f de M en N”

b) Para denotar que en la función f, corresponden elementos que pertenecen a los conjuntos, es decir, y el elemento , se escribe: o . Se lee “la imagen de x por f es y”

2

1

6 

8 

9 

4

1

7

0 

2 

4 

 

 

Ejemplo: Dados los conjuntos ; ; y las relaciones definidas por los diagramas sagital: Ejemplo:

ES FUNCIÓN FUNCIÓN

NO ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN Para que se cumpla la definición de Función, debemos tener en cuenta:

a) Todos los elementos de M deben tener una imagen en N b) Todos los elementos de M pueden tener una imagen y solamente una en N.

De acuerdo con lo anterior se puede concluir que algunos de los conjuntos cumplen las anteriores condiciones y por tal razón son funciones. En el primer gráfico se puede observar que: , ,

Dominio, codominio y rango Sean una función, se define:

Dominio: Son los elementos del conjunto de partida. En este caso M. Codominio: Son los elementos del conjunto de llegada. En este caso N. Rango: Son los elementos del Conjunto de Llegada que son imágenes

de los elementos del conjunto de partida.

2 

6 

6 

8 

9 

4 

N M 

2 

6 

6 

8 

9 

4 

M  N 

2 

6 

6

8

9

4 

N M 

2 

6 

6

8

9

4 

M  N 

 

 

Ejemplo: En el siguiente diagrama sagital identificar el Dominio, Codominio y el Rango.