Relaciones de proporcionalidad · 2020-05-04 · Relaciones de proporcionalidad nombres: curso: 59 Un granjero, un zorro, una oveja y un manojo de hierba se encuentran a un lado del

Relaciones de proporcionalidad

nombres: curso:59

Un granjero, un zorro, una oveja y un manojo de hierba se encuentran a un lado del rio, se requiere pasarlos a todos al otro lado con las siguientes condiciones:· El granjero puede usar una balsa para movimilizar a los demás· Solo puede pasar uno a la vez· Al otro lado todo debe llegar al otro lado sano, a salvo y completo

JUEGA, PIENSA Y RESUELVE (recorta los dibujos de abajo y usalos para construir tu solución

puntosBuen trabajo, has ganado


60


61

1 53 72 64 8

$

días

3000

6000

9000

12000

15000

18000

21000

24000

Gráfica: Dinero que Juan recibe para onces vs días que asiste a clase

OBSERVA y responde

Describe lo que observas

Por cada día Juan recibe...

¿Qué sucede con la cantidad de dinero si se duplican los días?

¿Para cuántos días alcanza el dinero de Juan si solo recibe la mitad?

¿Para cuántos días le alcanzarián $ 30 000?

por ejemplo:

por ejemplo:

por ejemplo:

días $

Usa la tabla para organizar datos y responde


62

OBSERVA y responde

1 53 72 64 8

x(m)

t(s)

100

200

300

400

500

600

700

800

Gráfica: posición vs tiempo del movimiento de un auto

Describe lrelación entre posición y tiempo

¿Qué sucede con la posición si se duplica el tiempo?

¿En qué posición está cuando han pasado 3 segundos?

¿Qué sucede con la posición a medida que aumenta el tiempo?

por ejemplo:

por ejemplo:

por ejemplo:


t (s) x (m)

Por cada metros pasan segundos

ms

ms

==


63

Escribe al menos dos conclusiones acerca de la relación entre posición y tiempo

Completa a partir de la información de la gráfica

INDUCE la relación entre posición y tiempo

5 10 15

x(m)

t(s)

60

120

180

210

Gráfica: posición vs tiempo del movimiento de un objeto

entonces:

t (s) x (m)


ms

ms

==


ms

ms

==


ms

ms

ms

xt

=

=

=


ms

ms

==60

12

9

30


64

OBSERVA y responde

4 2012 288 2416 32

Dulces por niño

niños

4

8

12

16

20

24

28

32

Gráfica: Dulces por niño vs cantidad de niñosDescribe la relación entre dulces por niño y niños

¿Cuántos dulces hay en total?

¿Qué sucede con los dulces que recibe cada niño si se duplican los niños?

¿Qué pasaría con la cantidad de niños si se les quiere dar el doble de dulces?

Describe la relación entre dulces por niño y cantidad de niños

por ejemplo:

por ejemplo:

dulces por niñoniños



65

Escribe al menos dos conclusiones acerca de la relación entre tiempo y obreros

2 106 144 128 16

t (h)

o(#)

2

4

6

8

10

12

14

16

Gráfica: tiempo empleado (t) vs cantidad de obreros (o)

Describe a relación entre tiempo y obreros

t (h) o · t (h)o

Usa la tabla para organizar datos y realiza los calculos

INDUCE la relación entre obreros y tiempo: completa la tabla y el cuadro a partir de la gráfica

entonces:

=o · t h


66

Está es una relación entre dos variables (x y t) que son directamente proporcionales

Se obtiene la misma relación pero ahora la variable x está despejada

Para que la variable x quede sola: se multiplican ambos lados de la igualdad por la variable t

Cómo t está multiplicando y dividiendo se cancela al lado izquierdo de la igualdad

ms

ms

h

ms

ms

ms

xt

pq

ba

o t

xt

xt

OBSERVA como se despeja una variable en una ecuación y luego despeja a p, b y o

= 2

= 5

= 12

= 10

= 2

= 2

x = 2

t

t

t

t

t


67

COMPARA cada pareja de triángulos y encuentra una relación de proporcionalidad entre ellos

A

A

BB

B’

B’

C’

C’

C

C

BC = BC =

BC BC

BC’ BC’

BC’ = BC’ =

AC’ = AC’ =AC = AC =

AC AC

AC’ AC’

Determina la medida de los lados que se indica usando la cuadricula y completa

El segmento es paralelo a El segmento es paralelo a

= == =

= == =

entonces: entonces:= =


68

A

A

B

BB’ B’

C’ C’C

C

BC = BC =

BC BC

BC’ BC’

BC’ = BC’ =

AC’ = AC’ =AC = AC =

AC AC

AC’ AC’

Determina la medida de los lados que se indica usando la cuadricula y completa

= == =

= == =

entonces: entonces:= =

COMPARA cada pareja de triángulos y encuentra una relación de proporcionalidad entre ellos

El segmento es paralelo a El segmento es paralelo a


69

Escribe una relación de proporcionalidad quepermita hallar el valor de la incognita x

Despeja la x y determina así el valor de lado desconocido

COMPARA cada pareja de triángulos para determinar el valor del lado desconocido

24 cm

x

12 cm

40 cm

18 cm

x

10 cm

6 cm


70

Escribe una relación de proporcionalidad quepermita hallar el valor de la incognita x

Despeja la x y determina así el valor de lado desconocido

COMPARA cada pareja de triángulos para determinar el valor del lado desconocido

x

x

3 m

16 m

8 m

1 m

2 m

12 m


71

COMPARA la sombra de un bastón con la de una piramide para estimar su altura:

Sol

Piramide de Keops

bastón

Tales de Mileto, un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego, logró estimar la altura de la piramide de Keops sólo con ayuda del Sol y su bastón: la altura de su bastón erá de 1,5 metros y cuando este proyectaba una sombra de 2,87 metros, la sombra de la piramide era de 280 metros ¿Cómo lo hizó y cuánto le dió?

¿Qué quiere hacer Tales?

Esquema y calculos

Describe cómo lo hiciste

¿Qué necesita conocer para hacerlo?


72

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Usa el Sol, tu cuerpo y una cinta métrica para estimar la altura de un edificio cercano y compara tu resultado con tus compañeros

Describe cómo lo harás

Esquema y calculos


73

RELACIONA cada expresión verbal con una expresión algebraica que sea equivalente

Se tiene una cierta cantidad de manzanas

Se duplica la cantidad de manzanas

La mitad de las manzanas

alguien se come tres manzanas

Se agregan 5 manzanas

el 40% de las manzanas

Dos terceras partes de las manzanas

Se debe una cierta cantidad de manzanas

Si quitas 3 manzanas te quedan 9

Al duplicar las manzanas y quitar una quedan 11

m


74

RELACIONA cada expresión verbal con una expresión algebraica que sea equivalente

Un número

El doble de un número

La tercera parte de un número

El consecutivo de un número

El anterior a un número

El cuadrado de un número

El logaritmo de un número en base 2

Un número par

Un número impar

El 10% de un número

x


75

RELACIONA cada expresión verbal con la ecuación que la describe

... A lo que la paloma responde: – Seríamos 100 palomas: nosotras más nosotras, más la mitad de nosotras, más la mitad de la mitad de nosotras, más usted señor gavilan.

Bajo condiciones ideales, cada día la cantidad de bacterias se duplica. Se inicia con una cantidad fija de bacterias y se mantienen en condiciones ideales durante siete días.

En tres días un inversionista ganó 350 dolares. Cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior.

Un triatleta recorre 9362 metros. Trotando recorre 4/9 de lo que anda en bicicleta y nada 5/8 de lo que trota.

Dos números consecutivos cuya suma es igual a 85.


76

RELACIONA cada expresión verbal con la ecuación que la describe

Se reparte una herencia de 120 millones entre tres personas con las siguientes condiciones: La primera recibe la mitad de lo que recibe la segunda; la tercera el triple de lo que recibe la primera

El abuelo Miguel tiene el doble de edad de su hijo Andrés y seis veces la de su nieto Tomás, entre los tres completan un siglo.

Un auto recorre 4641 Km en cuatro meses. Cada mes recorrió 11/10 partes de lo que recorrió la semana anterior

Tenía cierta cantidad de dinero. Gaste $30 000 y preste 2/5 de lo que me quedó. Y ahora tengo 20 000.

Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que le quedó, el Tío Miga tiene $ 50 000.


77

Si un objeto se mueve a 30 kilometros por hora, ¿Qué distancia recorre en 5 horas?

Cada semana Samuel ahorra $6000 de lo que sus padres le dan para sus onces, ¿Cuánto tendrá después de tres meses?

3 obreros tardan 4 días en levantar los muros de los apartamentos de un piso ¿Cuánto les tomaria a 5 obreros?

2 pedidos de arroz chino pueden repartirse entre 5 personas, ¿Cuantos pedidos deben hacerse para una familia de 24 personas?

Por una llave salen 1,8 m3 de agua cada 3 minutos, ¿cuánto tiempo se requiere para llenar un tanque de 300 m3 ?

Un jardinero tarda 6 horas en cortar el cesped de un jardín de 200 m2 ¿Cuánto tiempo les tomará a tres jardineros?

Por cada dos tazas de azucar se deben usar 15 libras de harina, ¿Cuántas libras de harina se requieren para tres tazas?

5 robots ensamblan 200 pantallas de celular en 4 horas.¿ Cuántas pantallas ensamblan en 24 horas?

...¿ Cuántas pantallas ensamblarián 8 robots?

...¿ Cuánto tiempo tardarán 3 robots?

RELACIONA cada situación con la proporción correspondiente e indica si es directa o inversa

x24

23

1,8300

30x

4 · x

x · 5

x · 3

6000x

524

200x

2004

15x

3x

15

5 · 3

3 · 4

1 · 6

112

2x

58

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Directa Inversa


78

RELACIONA: encuentra el valor de x para cada ecuación

x24

23

1,8300

30x

4 · x

x · 5

x · 3

6000x

524

200x

2004

15x

3x

15

5 · 3

3 · 4

1 · 6

112

2x

58

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


79

OBSERVA como se clasifican los problemas en los que es necesario multiplicar o dividir

Situaciones de estructura multiplicativa

Factor

Situaciones de composición en las que intervienen grupos de igual cantidad de elementos.

Ejs.:• En una bodega se encuentran 2000 botellas que contienen 1,5 litros

de agua cada una. ¿Cuántos litros hay en total?• Para un juego se requiere que los 24 niños de un salón, se distribuyan

en tres grupos iguales. ¿Cuántos niños deberá tener cada grupo?• ¿Cuántas cajas de 12 colores pueden hacerse con 300 colores?

Situaciones en las que se comparan dos cantidades

Ejs.:• La edad de Jimena es la mitad de la de su Padre Juan Miguel, que tiene

46 años ¿Cuál es la edad de Jimena?• Ana María tiene el triple de fichas que Andrés tiene en su albúm. Si Ana

ya completo 42 ¿Cuántas tiene Andrés?• En 10 minutos Mario camino 1600 metros, mientras que David sólo

alcanzó 1200 metros. ¿Cuantás partes más que David caminó Mario?

Situaciones en las que se combinan elementos de conjuntos

Ejs.:• Camilo tiene tres camisas y dos pantalones ¿De cuántas formas

diferentes puede vestirse con ellos?• Andrés quiere ofrecer 24 combinaciones diferentes de cono de dos

bolas de helado ¿Con cuántos sabores deberá contar?

Razón

Producto cartesiano


80

CLASIFICA cada situación en alguno de los tipos de estructura multiplicativa

Factor

Factor

Factor

Factor

Factor

Razón

Razón

Razón

Razón

Razón

Producto Cartesiano

Producto Cartesiano

Producto Cartesiano

Producto Cartesiano

Producto Cartesiano

Para el cumpleaños de su mamá, Tatiana encargó 72 sandwiches. Ella conoce los gustos de sus tíos y tías por lo que pidió la mitad de queso, un tercio de pollo y el resto de jamón y queso. ¿Cuántos sandwiches de cada tipo deberá recibir?

Don Jorge debe colocar el piso de una patio rectángular, para ello midió sus lados y los comparó con la medida de las baldosas, así obtuvo que el patio tiene 7 filas de 4,5 baldosas cada una. ¿Cuántas baldosas debe comprar?

Durante el cyber-Lunes Benggy logró comprar varios artículos con muy buenos descuentos. El quiere saber el porcentaje ahorrado en su compra, para ello mira que en la factura aparece que el valor sin descuento es de $425 000 y el valor a pagar es $170 000. ¿Cuál fue su porcentaje de ahorro?

Juan está encargado de la decoración de la feria infantil de su colegio, para los banderines tiene disponible cinco colores de tempera, que usará pintar las tres bandas que tiene cada una. Si todas las banderas deben tener tres franjas de diferentes colores ¿cuántas puede asegurar Juan que va a hacer?

Esteban compró al cierre de la jornada de ayer 15 opciones de Facebook en el mercado accionario, por un valor de 36 dolares cada una. Hoy en la mañana Facebook abrió con una alza del 1,25%. ¿Cuánto dinero habría ganado si las hubiera vendido tan pronto abrio el mercado? Nota: sin tener en cuenta el descuento por comisiones


81

Factor

Razón

Producto Cartesiano

CLASIFICA Crea dos situaciones problema de estructura multiplicativa por cada tipo


82

CLASIFICA cada problema en algún tipo de proporción

Una piscina tarda cuatro horas en llenarse utilizando tres grifos iguales. ¿Cuántos grifos serán necesarios para llenarla en dos horas?

Un auto gasta 2 galones de gasolina en 120 km. ¿Cuántos galones gasta si hace un recorrido de 1300 km?

En 100 litros de agua de mar hay 2600 gramos de sal común. ¿Cuántos litros de agua de mar se necesitan para completar 10200 gramos de sal?

Por 3 kg de manzanas cobran $20 000. ¿Cuánto cuesta cada kilogramo?

Para pintar 250 metros de cerca se requieren 24 horas de trabajo de 3 obreros ¿Cuánto tiempo les tomará a 5 de ellos?

Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por $4 000 000. ¿Por cuántos días podrán hacerlo 10 personas por el mismo valor?

Dos ruedas están unidas por una correa de transmisión. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la segunda?

Un padre reparte 120 millones en proporción inversa a las edades de sus hijos de 8, 10 y 12 años. Halla lo que le corresponde a cada hijo.

Con 80 kg de harina se pueden hacer 120 kg de pan. ¿Cuántos kilogramos de harina serán necesarios para hacer 99 kg de pan?

Para hacer un plano se usa una escla determinada, a través de ella una calle de 400 metros de longitud mide 5 cm. ¿Cuánto medirá sobre ese plano otra calle de 250 metros?

Milena recibió $220 000 por repartir propaganda durante cinco días ¿Cuántos días deberá trabajar para ganar $1 100 000?

Si 8 litros de aceite valen $120 000. ¿Cuántos litros se pueden comprar con $500 000?

Directa Inversa


83

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS escribe cada proporción anterior y calcula el valor desconocido


84

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: escribe cada proporción anterior y calcula el valor desconocido


85

ORDENA: describe lo que sucede en cada paso usado para resolver las ecuaciones

x − 3 = 5

x − 3 + 3 = 5 + 3

x = 8

Ecuación original

Para despejar x se suma 3 a ambos lados, manteniendo asi la igualdad

Se hacen las operaciones y se obtiene el valor de x

5 + x = 10

5 + x − 5 = 10 − 5

x = 5

7 − x + 4 = 5 − 2

11 − x = 3

11 − x − 11 = 3 − 11

−x = − 8

−(−x) = − (−8)

x = 8

2x − 5 − x = 8

2x − x − 5 = 8

x = 13

x − 5 + 5 = 8 + 5


86

ORDENA Soluciona cada ecuación y describe los pasos que sigues

x − 10 = − 2

4 + x = 8

12 + x − 4 = 10 − 4

−x + 2x = 10

x − 5 + 7 = 8


87

ORDENA: describe lo que sucede en cada paso usado para resolver las ecuaciones

x = 5 − 2xx + 2x = 5 − 2x + 2x

3x = 5

x =53

3x3

=53

5 − 4x = 2 − 5x5 − 4x + 5 = 2 − 5x + 5−4x + 5x = 7 − 5x + 5x

x = 7

x4

+ 8 = 7

x4

+ 8 − 8 = 7 − 8

x4

= − 1

4x4

= (−1)(4)

x = − 4


88

ORDENA Soluciona cada ecuación y describe los pasos que sigues

4x + 1 = 2

9y − 12 = 8 + 4y

5x + 3x − 6 = 2x − 10 + 6x

x3

+ 5 = 12


89

ORDENA: Soluciona cada ecuación

x5

+ 10 = 15 6x + 18 = 24

−3x + 8 = 12 − 2x 2x − 4 + 8x = 17 − 2x − 5

x3

+2x3

− 5 = 20 12 −3x5

= − 2x + 8


90

ORDENA: Soluciona cada ecuación

x − (2x + 1) = 8 − (3x − 3) (5 − 3x) − (−4x + 10) = 8

30x − (−x + 6) + (−x) = 12 − (−x + 1) 8 + (5 − 2x) = 2x + (−x + 6)

x − [−5x + 4 − (2 + x)] = 0 5 + [−x + (−x)] = 15


91

JUEGA: Recorta cada cuadrado y cruz para resolver las ecuaciones que te muestre tu profesor

Las figuras verdes son valores positivos y las rojas negativos

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