6.3 Relaciones de recta y segmento en el círculo

Teorema 1: si se traza una línea a través del centro de un círculo perpendicular a una cuerda, entonces bisecta la cuerda y su arco.

Teorema 2: si una recta que pasa a través del centro de un círculo bisecta una cuerda distinta al diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.

Teorema 3: el bisector perpendicular de una cuerda contiene el centro del círculo.

El círculo O tiene un radio de longitud 5 OE intersecta CD en B y OB = 3.

Encuentre CD

Trace el radio OC. Por el teorema de Pitágoras.

(OC)2 = (OB)2 + (BC)2

52 = 32 + (BC)2

25 = 9 + (BC)2

(BC)2 = 16

BC = 4

De acuerdo con el teorema, se sabe que CD = 2 • BC; entonces se tiene que CD= 2 • 4 = 8

Círculos Tangentes: es cuando dos círculos se tocan en un punto. Son tangentes exteriormente (círculos O y R) o tangentes interiormente (círculos P y Q).

Recta de centros: es la recta que contiene los centros de dos círculos.

Tangente externa común: si la tangente común no intersecta la recta de centros.

Tangente interna común: si la tangente común si intersecta la línea de centros para dos círculos.

Teorema 4: Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto externo son congruentes.

El círculo está inscrito en ∆ABC; AB= 9, BC = 8 y AC = 7. Encuentre las longitudes de AM, MB y NC.

AM = AP = xBM = BN = yNC = CP = z

Ahora: x + y = 9 y + z = 8

x + z = 7

x + y = 9 x - z = 1 y + z = 8 x + z = 7 ̅̅̅888x - z = 1 2x = 8 → x = 4 → AM = 4

Debido a que x = 4 y x + y = 9, y = 5. Entonces BM = 5. Debido a que x= 4 y x + z = 7, z = 3. Resumiendo, AM = 4, BM = 5 y NC = 3.

Teorema 5: si dos cuerdas se intersectan dentro de un círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la otra cuerda.

Teorema 6: si dos segmentos secantes son trazados hasta un círculo desde un punto externo, entonces los productos de las longitudes de cada secante y su segmento externo son iguales.

En la figura, HP = 4, PJ = 5 y LP = 8.

Encuentre PM

Aplicando el teorema HP • PJ = LP • PM. Entonces

4 • 5 = 8 • PM

8 • PM = 20

PM = 2.5

AB = 14, BR = 5 y TC = 5. Encuentre AC y TA.

Sea AC = x. Debido a que AT + TC = AC, se tiene que AT + 5 = x, de manera que TA = x – 5. Si AB = 14 y BR = 5, entonces AR = 9. El enunciado AB • RA = AC • TA se vuele

14 • 9 = x(x – 5) 125 = x2 – 5x

X2 – 5x – 126 = 0 (x – 14)(X+ 9) = 0, por lo que x – 14 = 0 o x + 9 = 0 X = 14 o x = -9 x = -9 se descarta porque no puede

Ser negativa

Por lo tanto AC = 14, de manera que TA = 9