Unidad 2.- Relaciones2.1.-Introducción.

2.1. Introducción

Las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos,  Programación,  etc.;   casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple y entendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.

2.1. Introducción

Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos para definir relaciones de varios elementos.

René Descartes

Fue un filósofo, matemático y científico Francés. Es considerado como el Pionero de la Filosofía Moderna.

Creador del Producto Cartesiano.

Primeramente empezaremos por el concepto de producto cartesiano entre conjuntos.

A diferencia de un conjunto en un par ordenado (a,b), ver Par Ordenado, importa el orden de los elementos.

Si se consideran los conjuntos A y B y formamos parejas o pares ordenados con los elementos de A como primeros elementos y los de B como segundos, se obtiene un conjunto llamado producto cartesiano. Esto es:

Definición. A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B }Ejemplo: A= {1,2,5}, B = {2,3}A x B = (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3)Con el producto cartesiano podemos establecer la

definición formal de relación.

2.1. Introducción

Definición. Una relación R de A a B es un subconjunto de A x B. Los elementos de A que aparecen en la relación forman el dominio y los de B forman el rango.

Notación: R ⊆ A X BDOM( R ) = {x : (x,y) ∈ R } 

RAN( R ) = {y : (x,y) ∈ R }O sea que una relación de A a B es un conjunto

de pares ordenado, donde los primeros elementos pertenecen al conjunto A y los segundos a B.

2.1. Introducción

Definición. La relación inversa {$ R^{−1} $} de una relación R de A a B es la que se obtiene si invertimos el orden en las parejas.

{$ R^{−1}$} = { (y,x) : (x,y) ∈ R }Observamos que la relació inversa es una

relación de B a A.

Ejemplos

Si A = {a,b,c,x,y,z}, B = {1,2,3,4,5} {$ R_1 $} = (a,2),(c,2),(x,1),(y,5),(z,5) 

{$ R_2 $} = (a,1),(a,5),(c,3),(x,2),(x,4) {$ R_3 $} = (a,4),(b,2),(c,5),(x,1) {$ R_4 $} = (a,3),b,1),(b,5),(c,3),c,5),(x,1),(y,4)

{$ DOM(R_1)$}   = {a,c,x,y,z} {$ RAN(R_1) $} = {1,2,5} {$ DOM(R_2) $}= {a,c,x} {$ RAN(R_2) $}= {1,2,3,4,5} {$ DOM(R_3) $} = {a,b,c,x} {$ RAN(R_3) $} = {1,2,4,5} {$ DOM(R_4) $}= {a,c,x,y} {$ RAN(R_4) $} = {1,3,4,5}

{$ R^{−1}_1 $} = (2,a),(2,c),(1,x),(5,y),(5,z) {$ R^{−1}_2 $} = (1,a),(5,a),(3,c),(2,x),(4,x) {$ R^{−1}_3 $} = (4,a),(2,b),(5,c),(1,x) {$ R^{−1}_4 $} = (3,a),(1,b),(5,b),(3,c),(5,c),(1,x),(4,y)