EXAMEN TRLF, 1er curso, Grado en Fısica(5 de julio de 2013 y 14 de enero de 2014)

1. Escribe una base para el subespacio vectorial de dimension 3 que forman lasmatrices 2 × 2 con entradas en C y traza nula y demuestra que ciertamenteesos elementos de la base son linealmente independientes entre sı.

2. Demuestra que la matriz asociada en una base al operador (abstracto) adjuntode A (denotado como A†) es la matriz que resulta de intercambiar filas concolumnas en la matriz que representa a A en esa base y conjugar las entradas.[Utiliza la definicion de operador adjunto].

3. ¿Cuantas rotaciones existen en R3 que lleven el vector (1, 1, 1) en el (0, 1, 1)?

4. Demuestra que, en dos dimensiones, la transformacion dada por ~e ′1 = ~e2 y~e ′2 = −~e1 es un giro de 90o a izquierdas entorno al origen. ¿Cuanto vale eldeterminante de la matriz que representa la transformacion?

5. Se dice que un endomorfismo lineal A es nihilpotente de grado p (p ∈ N) siAp = 0 y Ap−1 6= 0. Demuestra que todos los autovalores de un endomorfismonihilpotente son nulos.

6. Utilizando ındices, demuestra que la inversa de la matriz P que resulta delproducto de dos matrices R y S (P = RS) es P−1 = S−1R−1.

7. Demuestra que el polinomio caracterıstico (o sea, el que determina los auto-valores) asociado a una aplicacion lineal A no depende de la base elegida pararepresentar la aplicacion por medio de una matriz. [Si la matriz de cambio debase es P , A′ = PAP−1 es la relacion entre la matriz en una base y en laotra].

8. Por definicion, una matriz cuadrada M es idempotente si M2 = M . Si A yB son matrices cuadradas tales que AB = A y BA = B, probar que A y Bson idempotentes. ¿Pueden ser A o B invertibles?

9. La energıa cinetica de rotacion de un solido rıgido que rota con velocidadangular ~ω se puede calcular con respecto al centro de masas del sistema como:Trot = 1

2

∑Nα=1 mα~v

2α . Teniendo en cuenta que ~vα = ~ω × ~rα, demuestra que

Trot = 12

∑3j=1 Iij ωi ωj . [Recuerda que

∑3k=1 εijkεlmk = δilδjm−δimδjl y que

Iij es el tensor momento de inercia ].

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS 9 EJERCICIOSLISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUNTO (MAXI-MA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUNTOS)

Sigue detras −→

1

NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CONVE-NIO DE SUMA DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE REPE-TIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CERO ATRES

10. Calcula la masa con la que queda un atomo de masa inicial m despues deemitir un foton de energıa E = hν.

11. A partir de la transformacion de Lorentza de las componentes de la cuadrive-locidad, deduce como es la velocidad coordenada ~u ′ de una partıcula para unobservador O′ en terminos de la velocidad ~u de esa partıcula para el observa-dor O y de la velocidad relativa ~v entre ambos observadores.[No confundaislas velocidades ~u y ~u ′ con la velocidad relativa ~v entre ambos observadores]

12. El tensor energıa-momento de un fluido perfecto se escribe, usando nuestrosconvenios, como Tµν = (ρ + p/c2)UµUν − p ηµν , donde ρ es la densidad deenergıa, p es la presion del fluido y Uµ las componentes covariantes de la cua-drivelocidad. ¿Cuanto valen las componentes del tensor en el sistema propio,en el que el fluido se ve en reposo?

13. Demuestra con ındices que Lµν = pµxν − pνxµ son las componentes de untensor dos veces contravariante bajo transformaciones de Lorentz. pµ son lascomponentes del cuadrimomento de una partıcula y xµ las componentes desu posicion espacio-temporal. Calcula luego las componentes Lµν para unobservador propio y el valor de Lµµ para cualquier observador.

14. Explica por que, siendo el lımite Newtoniano para la energıa en el movimientode una partıcula libre E ' mc 2 + 1

2m~v2, donde E es la energıa relativista de

la partıcula, resulta que, en el laboratorio, para los procesos con cambio deenergıa mecanica en el lımite Newtoniano (la vida diaria), no observamos laenergıa debida a la masa.

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCICIOSPROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE 1 PUNTO(MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3 PUNTOS)

aConsidera solo el boost: ~r ′ = ~r +(γ−1)

β 2

(~β · ~r

)~β − γ x0~β ; x′0 = γ

(x0 − ~β · ~r

)

2