EXAMEN TRLF, 1er curso. Grado en Fısica(27 de mayo de 2013)

1. Demuestra que las matrices 2 × 2 con entradas en C y traza nula forman unespacio vectorial. Demuestra que ese espacio vectorial es de dimension 3.

2. Demuestra que la matriz asociada en una base al operador (abstracto) tras-puesto de A (denotado como AT ) es la matriz que resulta de intercambiarfilas con columnas en la matriz que representa a A en esa base. [Utiliza ladefinicion de operador traspuesto].

3. Demuestra que, en dos dimensiones, toda matriz de rotacion con determinante−1 es igual al producto de una matriz de rotacion de determinante +1 por la

matriz

(1 00 −1

), que es de rotacion y tiene determinate −1.

4. Demuestra que, en dos dimensiones, la transformacion de paridad dada por~e ′1 = −~e1 y ~e ′2 = −~e2 es un giro de 180o a izquierdas entorno al origen.¿Cuanto vale el determinante de la matriz que representa la transformacion?

5. Demuestra que los autovectores de los operadoresA yA−1 son iguales. ¿Que re-lacion hay entre los autovalores? Demuestra que A no puede tener a cero comouno de sus autovalores si tiene inverso.

6. Utilizando ındices, demuestra que el inverso de la matriz P que resulta delproducto de dos matrices R y S (P = RS) que tienen inversa es P−1 =S−1R−1. Haz la misma demostracion utilizando las matrices P , R y S sinusar ındices.

7. Demuestra que los autovalores de una matriz son iguales que los de su tras-puesta.

8. Un cambio de base viene dado por el conjunto de numeros complejos 〈 j | i’ 〉.Escribe en terminos de estos brakets el cambio de base; es decir, como unket base | i’ 〉 se escribe como combinacion lineal de los kets base {| k 〉}conociendo estos numeros complejos.

9. El momento angular orbital de un solido rıgido que rota con velocidad angular~ω se puede calcular como el de un sistema de partıculas a distancias fijasentre ellas. Calculado con respecto al centro de masas del sistema, tenemos:~L =

∑Nα=1 mα~rα × ~vα. Teniendo en cuenta que ~vα = ~ω × ~rα, demuestra que

Li =∑3j=1 Iij ωj . [Recuerda que

∑3k=1 εijkεlmk = δilδjm − δimδjl ].

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS 9 EJERCICIOSLISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUNTO (MAXI-MA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUNTOS)

Sigue detras −→

1

NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CONVE-NIO DE SUMA DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE REPE-TIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CERO ATRES

10. Escribe las ecuaciones de conservacion de la energıa y el momento lineal en laTRE para la desintegracion e− + e+ → γ + γ en el sistema de referencia enel que el momento total inicial ~Pi es nulo. ¿Se podrıa conservar el momentolineal del sistema positron + electron en este sistema de referencia si hubierasolo un foton (γ ) en el estado final? Explica por que no puede haber un unicofoton a la salida para ningun observador inercial.

11. A partir de la transformacion de Lorentza de las componentes de la cuadri-velocidad, deduce como es la velocidad coordenada ~u ′ de una partıcula paraun observador O′ en terminos de la velocidad ~u para el observador O y de lavelocidad relativa ~v entre ambos observadores.

12. El tensor energıa-momento de un fluido perfecto se escribe comoTµν = (ρ + p/c2)UµUν − p ηµν , donde ρ es la densidad de energıa y p es lapresion del fluido. ¿Cuanto valen las componentes del tensor en el sistemapropio en el que el fluido se ve en reposo?

13. Demuestra con ındices que pµxµ es un escalar invariante de Lorentz dondepµ son las componentes del cuadrimomento de una partıcula y xµ las com-ponentes de su posicion espacio-temporal. ¿Cuanto vale este escalar para unobservador propio? ¿Cuanto vale para un observador que ve la partıcula mo-verse a 0, 8 c?

14. Encuentra la forma de la accion S = −mc 2∫ t2

t1

dt

√1− ~v(t) 2

c 2cuando la

velocidad ~v de la partıcula de masa m es pequena en comparacion con lavelocidad de la luz.

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCICIOSPROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE 1 PUNTO(MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3 PUNTOS)

aConsidera solo el boost: ~r ′ = ~r +(γ−1)

β 2

(~β · ~r′

)~β − γ x0~β ; x′0 = γ

(x0 − ~β · ~r

)

2