rentas diferidas

Unidad 7

Anualidades diferidas

Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

Calcularelmontoproducidoporunaanualidaddiferida. Calcularelvalorpresenteoactualdeunaanualidaddiferida. Calcularelvalordelarentadeunaanualidaddiferida. Calculareltiempooplazodeunaanualidaddiferida.

209

Introduccin

En la actualidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas departamentales, donde nos ofrecen mercanca, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses, realizando el primer pago tres meses despus de realizada la compra, o promociones en agencias

de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan viaje ahora y pague despus; pues bien,

situaciones como stas, desde el punto de vista de las matemticas financieras, se conocen como

anualidades diferidas.

Revisaremos a lo largo de esta unidad los elementos de las anualidades diferidas,

asimismo estudiaremos cmo calcular el valor de las rentas, el nmero de pagos y el valor

presente de la anualidad.

7.1. Clculo del monto

En la unidad 5 se definieron las anualidades diferidas como una serie de pagos iguales

realizados en periodos de tiempos iguales, siempre que el primer pago se efecte cierto tiempo

despus de la firma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago

el da de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6

meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la grfica 7.1.

Figura 7.1.

R R R R R

Firma del

contrato

Periodos diferidos otiempo de aplazamiento

210

matemticas Financieras

Si observas con cuidado la figura 7.1, podrs darte cuenta que los pagos se inician cierto

tiempo despus de pactada la operacin. Al tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como

tiempo de aplazamiento, el cual representaremos con la letra m, y para efecto de operaciones,

debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos

son mensuales el tiempo de aplazamiento debe expresarse en meses.

Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos otros de sus

valores, se pueden calcular por medio de las frmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2

nos permite visualizar la relacin entre las anualidades vencidas y las diferidas.

Figura 7.2.

Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de

aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo

previo a los depsitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron

intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida

de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad

es poco usual el clculo del monto de una anualidad diferida, se puede

realizar con la misma frmula que para una anualidad vencida:

Donde:

M es el monto de la anualidad

M Ri

i

n

=( )1+ 1

R es la renta

i es la tasa por periodo de capitalizacin

n es el nmero de pagos

Por qu no afecta el tiempo de aplazamiento

para el clculo del monto?

R R R R R

Firma del

contrato


Anualidad vencida

uniDaD 7

211

Ejemplos

1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas Compre ahora

y pague hasta agosto. El seor Gmez decidi aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que

le entregaron inmediatamente. Si acord pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada

una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, cul es

el precio que se tendra que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha

que se realizar el ltimo pago?

Solucin

Se identifican los datos:

R=$975

i = =0 1812

0 015.

.

n=4 pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo del monto de una anualidad

diferida y se realizan las operaciones,

M Ri

i

n= + ( )1 1M = + 975 1 0 015 1

0 015

4( . )

.

M = = =975 1 015 10 015

751 061363551 1

0 015975

0 061363551

0

4

9( ).

.

.

.

.

..( . )

015975 4 0909034=

M = 3 988.63

Los trajes tendrn un costo de $3 988.63 para cuando termine de pagarlos.

2. Armando Rodrguez adquiri un equipo de cmputo, para lo cual le dieron la

oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2 700 cada uno, realizando el primero

212


de ellos 6 meses despus de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo

pago el da que corresponde al ltimo pago, con cunto pagar su deuda, considerando una

tasa de inters de 18% anual compuesto mensualmente?

Solucin


R=$2 700

i = =0 1812

0 015.

.

n=5 pagos mensuales


diferida y se realizan las operaciones:

M Ri

i

n= + ( )1 1M = + 2 700 1 0 015 1

0 015

5

( . )

.

M = = = 2 700 1 015 10 015

2 7001 077284004 1

0 0152 700

0 07725

( ).

.

.

.

. 884004

0 015.=

= 2 700(5.152266933)

M = 13 911.12

El equipo tendr un costo de $13 911.12 para cuando termine de pagarlos.

7.2. Clculo del valor presente

Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida,

sin embargo es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso

uniDaD 7

213

genera intereses en este periodo, ya que el dinero se traslad en el tiempo hacia el pasado, lo

cual podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.

Figura 7.3.

Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una

anualidad vencida, tendramos despus que trasladar dicho valor al

momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la firma

del convenio, lo cual podemos lograr realizando un traslado de

valores tal como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor),

utilizando la frmula para el clculo del valor presente de una

cantidad dada:

CM

iM i

n

n = + = + ( ) ( )1 1Donde n en realidad corresponde al tiempo diferido, el cual, como ya se mencion,

se identifica con la letra m, y el monto (M) est determinado por el valor presente de una

anualidad vencida ( Ri

i

n1 1 + ( ))

Se sustituyen estos elementos (monto y m) en la frmula para valor presente:

C=M(1+i)n

Cmo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida?

R R R R R

Firma del

contrato


Pagos

Anualidad vencida

214


C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

Donde:

C es el valor presente de la anualidad

R es la rentaC R

i

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )



m es el nmero de periodos diferidos

Para poder definir el valor de m (periodos diferidos), es necesario trazar la grfica

de tiempo.

Ejemplos

1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 aos,

si el primer pago se debe realizar dentro de ao y medio, si consideramos una tasa de 32%

capitalizable semestralmente.

Solucin

Se identifican los datos y se traza la grfica del tiempo (figura 7.4) para determinar

el valor de m:

R=$3 200

i = =0 322

0 16.

.

n=6 (2)=12 pagos semestrales durante 6 aos

m=2 semestres

uniDaD 7

215

Figura 7.4.

Se sustituyen los datos en la frmula para calcular el valor presente de una anualidad


C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

C = + + 3 200 1 1 0 160 16

1 0 1612

2

( . )

.( . )

C = + 3 200 1 1 160 16

1 0 1612

2 ( . )

.( . )

C = 3 200 1 0 1684628440 16

0 743162901 ( )

( ).

..

C = =3 200 0 8315371560 16

0 743162901 3 200 5 197107225 .

.. ( . )( ) (( . ) .0 743162901 =

C = 12 359.35

Significa que el valor actual es $12 359.35.

2. Cul es el precio de contado de una recmara que se compr con pagos mensuales

de $2 150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses despus de entregada, con una

tasa de inters de 19.2% anual capitalizable mensualmente?


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4 R11 R12

m = 2

0 1 2

Valor

actual

n = 12

Semestres

216


Solucin


el valor de m:

R=$2 150

i = =0 19212

0 016.

.

n=24

m=5

Figura 7.5.



C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

C = + + 2 150 1 1 0 0160 016

1 0 01624

5 ( )

.

.( . )

C = 2150 1 1 0160 016

1 01624

5 ( . )

.( . )


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

m = 5

0 1 2

Valor

actual

n = 24

3 4 5 6

R23

R24

Meses

uniDaD 7

217

C = 2 150 1 0 6832049570 016

0 923701098

( )

( ).

..

C = 2 150 0 3167950430 016

0 923701098 .

..( )

C = 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34

El precio de contado de la recmara es $39 321.34.

Ejercicio 1

1. La Seora Gmez pretende realizar 8 depsitos bimestrales de $8 000 en el banco,

realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. Cul ser el saldo en la cuenta despus de

realizar el ltimo depsito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente?

2. Un ganadero estima que su ganado comenzar a producir dentro de seis meses,

con una produccin con valor de $120 000 mensuales y que se mantendr durante 10

aos. Cul es el valor actual de la produccin si se fija una tasa de 16% anual capitalizable

mensualmente?

3. Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste

en realizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses

despus de entregada la camioneta, cul es el precio de contado del automvil si la tasa de

inters es de 18% anual capitalizable mensualmente?

4. Adrin compr un equipo de sonido el cual se comprometi a liquidar con 10

pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses despus de

adquirido el equipo, con una tasa de inters de 24% anual convertible mensual. Cul es

el precio de contado del equipo?

5. Cunto ahorrar una persona que realiza 20 depsitos mensuales de $9 000 cada

uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un inters de 30%

anual con capitalizacin mensual?

218


7.3. Clculo de la renta

Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en

las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se

requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede

determinar despejndolo de las frmulas para calcular el monto,

o calcular el valor presente, esto en funcin de los datos con

que se cuente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anualidades diferidas

la mayora de los clculos se realizan en funcin del valor presente, por lo cual en esta

parte nos limitaremos a explicar el clculo del valor de las rentas cuando se conoce el

valor presente de la anualidad.

Ejemplos

1. El seor Ramrez deposita el da de hoy $370 000 en una institucin bancaria

que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de ao y medio pueda

disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 aos. Cul es el valor

de cada retiro mensual?

Solucin

Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.6):

Figura 7.6.

Cmo se puede determinar el valor de la renta de una

anualidad diferida?


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 36

16 17 18

R35 R36

m = 17

Meses

uniDaD 7

219

C=$370 000

i = =0 1812

0 015.

.

n=36

m=17

Se sustituyen los datos en la frmula:

C Ri

ii

n

m= + + 1 1 1( ) ( )370 000

1 1 0 015

0 0151 0 015

3617 = + + R ( . )

.( . )

370 0001 0 585089735

0 0150 77638526

= R ( ) ( )..

.

370 0000 414910265

0 0150 77638526 = R .

..( )

370 000= R(27.6606843)(0.77638526)

370 000= R(21.4753476)

R = =370 00021 4753476

17 229 06

.

.

Lo que significa que se pueden realizar retiros de $17 229.06.

.

2. Ana Patricia Gonzlez contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual

se comprometi a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un ao

despus de adquirida la deuda. Si la tasa de inters pactada es de 13.8% anual convertible

bimestralmente, cunto pagara Ana Patricia cada bimestre?

Solucin


220


Figura 7.7.

C=$742 000

i = =0 1386

0 023.

.

n=24

m=5


C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

742 0001 1 0 023

0 0231 0 023

245 = + + R ( . )

.( . )

742 0001 0 579408405

0 0230 892527962

= R ( ) ( )..

.

742 0000 420591595

0 0230 892527962 = R .

..( )

742 000 = R(18.28659109)(0.892527962)

742 000 = R(16.32129388)

R = =742 00016 32129388

45 462 08

.

.

Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 24

R R

m = 5

Bimestres4 5 6

uniDaD 7

221

Ejercicio 2

1. Ricardo Pereira solicita un crdito para comprar una casa con valor de $1 536 000.

Si acuerda liquidarlo con pagos mensuales durante 15 aos, y el banco le permite iniciar

sus pagos 6 meses despus de otorgado el crdito, con una tasa de inters de 21% anual

convertible mensual, de cunto debe ser cada pago mensual?

2. Lupita decide comprar un equipo de cmputo con valor de $28 750. La tienda ofrece

una promocin que consiste en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses

despus de realizada la compra. Cul es el importe de cada pago si la tienda aplica una tasa

de inters de 18% anual capitalizable mensualmente?

3. Una persona que se va a jubilar dentro de 6 aos actualmente tiene depositados

$250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de inters anual convertible semestralmente.

Cunto podr retirar semestralmente durante los 15 aos siguientes a su jubilacin?

4. Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantacin de caf, se estima que

sta tardar 4 aos en producir, manteniendo dicha produccin durante 20 aos. Si el dueo de

la plantacin considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa

de inters de 7% anual con capitalizacin anual, de cunto ser la produccin anual de dicha

plantacin de caf durante los 20 aos que se mantendr la produccin?

5. Una inmobiliaria ofrece unos departamentos con valor de $520 000 en preventa,

mediante un crdito que consiste en mensualidades fijas durante 30 aos, las cuales se

comenzarn a pagar cuando se entregue el departamento, lo cual se espera sea 10 meses

despus de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de inters de 24%

anual compuesto mensualmente, de cunto debe ser cada pago mensual?

7.4. Clculo del tiempo o plazo de una anualidad diferida

Cuando se requiere conocer el nmero de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede

recurrir a las frmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como

ocurre con el valor de la renta, el monto se comporta como una anualidad vencida, por lo

tanto, la mayora de los clculos se enfocar al valor presente; en nuestro caso nos referiremos

nicamente a clculos en los cuales el valor presente es un dato conocido.

222


Para determinar el nmero de rentas, simplemente despejaremos su valor de la frmula

del valor presente C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

Ejemplo

1. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $240 000 con una tasa de inters de

15% anual capitalizable bimestralmente. Cuntos retiros bimestrales de $12 000 podr

realizar, comenzando dentro de 2 aos?

Solucin

Se identifican los datos y se realiza la grfica de tiempo (figura 7.8):

C=$240 000

R=$12 000

i = =0 156

0 025.

.

m=11 bimestres

Figura 7.8.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n

m = 11

Bimestres10 11 12

Rn

uniDaD 7

223

Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo de una anualidad diferida:

C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

240 000 12 0001 1 0 025

0 0251 0 025 11 = + + ( . )

.( . )

n

240 000

12 000

1 1 025

0 0251 025 11

= ( . )

.( . )

n

201 1 025

0 0250 762144782= ( . )

.( . )

n

20

0 762144782

1 1 025

0 025

.

.

.

( )= n26 24173316

1 1 025

0 025.

.

.

( )= n(26.24173316)(0.025)=1(1.025)n

(1.025)n=10.656043329

(1.025)n=0.343956671

Ya que esto es una ecuacin exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la

igualdad y se utilizan sus propiedades:

log(1.025)n=log 0.343956671

(n)log1.025=log 0.343956671

= = = n log .log .

.

..

0 343956671

1 025

0 463496263

0 01072386543 22

multiplicando por 1:

n=43.22

Se requieren aproximadamente 44 pagos.

224


nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del ltimo pago y se

redondea el nmero de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizar el ajuste del

ltimo pago, simplemente se redondear el nmero de pagos al entero inmediato.

Otra opcin es despejar primero el valor de n de la frmula para calcular el valor

presente de la anualidad, obteniendo con esto una frmula que nos permita calcular de

manera directa el nmero de rentas.

De esta forma el despeje quedara:

C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

Ri

i

C

i

n

m

1 1

1

+ = + ( ) ( )1 1

1

+ = + ( ) ( )ii CR in m + = + ( ) ( )1 1 1i CiR in mMultiplicando por 1 y aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos:

+ + = ( ) ( ) ( )1 1 1 1i CiR in m( )

( )1 1

1+ + =i CiR in m

log log( )

( )1 11

+ = + i CiR in m( ) log( ) log

( ) + = + n i CiR i m1 1 1

( )( )

log

log( ) = ++

n

Ci

R i

i

m1

1

1

uniDaD 7

225

Multiplicando por 1 para que n sea positiva se tiene que:

Donde:


C es el valor presente de la anualidad

n

Ci

R i

i

m= ++ log ( )

log ( )

11

1 R es la renta


m es el nmero de periodos diferidos

Ejemplo

Regina Luna compr una videograbadora con valor de $2 700, la cual acord

pagar mediante pagos mensuales de $350 cada uno con un inters de 24% capitalizable

mensualmente. Cuntos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora,

si el primero se realiza 3 meses despus de haberla adquirido?

Solucin

Se identifican los datos y se traza la grfica de tiempo (figura 7.9):

C=$2 700

R=$350

i = =0 2412

0 02.

.

m=2

Figura 7.9.

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

m = 2

0 1 2

Valor

actual

n Meses

Rn

3

226


Se sustituyen en los datos en la frmula que tiene despejado el nmero de rentas:

n = ++ = log ( . )( . )

log( . )

log12 700 0 02

350 1 0 02

1 0 02

154

2

3350 0 961168781

1 02

( . )

log .

= n = ++ =

961168781 1 0 1605188571 02

) log( . )

log .

= n = = = log( . )

log .

.

.(

0 839481143

1 02

0 075989054

0 00860017176288 84 8 84. ) .=

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 9 pagos.

Ejercicio 3

1. La Seora Flores compra un automvil con valor de $195 620, mediante un crdito

que se liquidar con pagos bimestrales de $11 500 cada uno con una tasa de inters de 18%

compuesto bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un ao despus de

otorgado el prstamo. Con cuntos pagos saldar su deuda la seora Flores?

2. Si solicitas un crdito por $150 000, el cual te comprometes a pagar mediante

abonos trimestrales de $9 750 cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses despus de

otorgado el crdito, con una tasa de inters de 20% anual compuesto trimestralmente, con

cuntos pagos se saldar tu deuda?

3. Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la

cual tiene un precio de $750 000. Si le otorgan un crdito hipotecario, la empresa pagar

con mensualidades de $8 750 cada una con una tasa de inters de 10.8% capitalizable

mensualmente. Cuntos pagos se deben realizar para liquidar el crdito si adems acuerda

realizar el primero 8 meses despus de entregada la bodega?

4. Para pagar una sala que tiene un costo de $18 000 se debe realizar una serie de

pagos mensuales por $6 500 cada uno, iniciando 6 meses despus de la compra. Cuntos

pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de inters es de 15% anual convertible

mensualmente?

uniDaD 7

227

5. La seora Martnez compr una cocina con valor de $35 000 mediante un crdito

que consiste en pagos mensuales de $4 500 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses

despus, con una tasa de inters de 10.2% anual convertible mensualmente. Cuntos pagos

hay que realizar para saldar la deuda?

Problemas resueltos

1. Durante el mes de noviembre una tienda departamental anuncia su promocin anual

compre ahora y pague hasta febrero. La seora Urquiza decidi aprovechar la oferta y

comprar ropa que le entregaron inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante

6 mensualidades de $523 cada una (iniciando en febrero por la promocin), con un cargo de

21% anual convertible mensualmente, cul es el precio que se tendra que haber pagado por la

ropa si se comprara en la misma fecha en que se realizar el ltimo pago?

Solucin


R=$523

i = =0 2112

0 0175.

.

n=6 pagos mensuales

Como se pide determinar el valor de la ropa en el momento del ltimo pago, significa que se

debe calcular el monto de las rentas, por lo tanto el tiempo diferido no afecta para nada.



M Ri

i

n= + ( )1 1M = + 523 1 0 0175 1

0 0175

6( . )

.

228


M = = =523 1 0175 10 0175

5231 109702354 1

0 0175523

0 10970236( ).

.

.

.

. 554

0 0175523 6 268705943

.( . )=

M = 3 278.53

La ropa tendr un costo de $3 278.53 para cuando termine de pagarla.

2. Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10

aos, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 aos y consideramos una tasa de 18%

capitalizable semestralmente.

Solucin


el valor de m:

R=$8 645

i = =0 182

0 09.

.

n=10 (2)=20 pagos semestrales durante 10 aos

m=7

Figura 7.10.



m = 7

6

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 20

7 8 Semestres

R19

R20

uniDaD 7

229

C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

C = + + 8 6451 1 0 090 09

1 0 0920

7 ( )

( ).

..

C = 8 6451 1 090 09

1 0920

7

( )

( ).

..

C = 8 6451 0 1784308890 09

0 547034244

( )

( ).

..

C = =8 645 0 8215691110 09

0 547034244 8 645 9 128545678 0 54.

.. ( . ) .( ) ( 77034244) =

C = 43 169.91

Significa que el valor actual es $43 169.91.

3. Alberto deposita el da de hoy $150 000 en una cuenta bancaria que le paga

18% anual convertible trimestralmente, para que dentro de 5 aos pueda disponer de

una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 aos. Cul es el valor de

cada retiro trimestral?

Solucin


Figura 7.11.

m = 19


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 7(4) = 28

R27

R28

18 19 20 Trimestres

230


C=$150 000

i = =0 184

0 045.

.

n=28

m=19


C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

150 0001 1 0 045

0 0451 0 045

2819

= + + R ( ) ( )..

.

150 0001 0 291570691

0 0450 433301788

= R ( ) ( )..

.

150 0000 708429309

0 0450 433301788 = R .

..( )

150 000 = R(15.74287353)(0.433301788)

150 000 = R(6.82141525)

R = =150 0006 82141525

21 989 57

.

.

Lo que significa que se pueden realizar retiros de $21 989.57.

4. Cuntos retiros bimestrales de $10 420 se podrn realizar, comenzando dentro

de ao y medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un inters de 18% anual

capitalizable bimestralmente?

Solucin

Se identifican los datos y se realiza la grfica de tiempo (figura 7.12):

uniDaD 7

231

C=$240 000

R=$10 420

i = =0 186

0 03.

.

m=8

Figura 7.12.

Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo de una anualidad diferida:

C Ri

ii

nm= + + 1 1 1( ) ( )

240 000 10 4201 1 0 03

0 031 0 03 8 = + + ( ) ( ).

..

n

240 000

10 420

1 1 03

0 031 03 8= ( ) ( ).

..

n

23 03262956

1 1 03

0 030 789409234.

.

..

( )( )= n

23 03262956

0 789409234

1 1 03

0 03

.

.

.

.

( ) = n

29 177046031 1 03

0 03.

.

.

( )= n


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n

Rn

m = 8

7 8 9 Bimestres

232


(29.17704603) (0.03) = 1(1.03)n

(1.03)n = 10.87531138

(1.03)n = 0.12468862

Ya que esto es una ecuacin exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la

igualdad y se utilizan sus propiedades,

log(1.03)n = log0.1248862

(n)log 1.03 = log0.12468862

= = = n log .log .

.

..

0 1248862

1 03

0 904173181

0 01283722470 43

Multiplicando por 1:

n=70.43

Se requieren aproximadamente 71 pagos.

nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del ltimo pago y se

redondea el nmero de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizar el ajuste del

ltimo pago, simplemente se redondear el nmero de pagos al entero inmediato.

5. Una empresa compr equipo con valor de $985 620, el cual acord liquidar mediante

pagos semestrales de $250 000 cada uno, con un inters de 32% capitalizable semestralmente.

Cuntos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza

18 meses despus de haberlo adquirido?

Solucin

Se identifican los datos y se traza la grfica de tiempo (figura 7.13):

C=$985 620

R=$250 000

uniDaD 7

233

i = =0 322

0 16.

.

m=2

Figura 7.13.

Recuerda que puedes sustituir los valores en la frmula para determinar el valor presente

de la anualidad, y posteriormente se despeja el nmero de rentas (tal como el ejercicio anterior)

o bien se sustituyen los datos en la frmula que tiene despejado el nmero de rentas, que

es lo que se presenta a continuacin:

n

Ci

R i

i

m= ++ log ( )

log( )

11

1

n = ++ = log ( . )( . )

log( . )

l1985 620 0 16

250 000 1 0 16

1 0 16

2

oog

.

( . )

log .

1157 699 2

250 000 0 743162901

1 16

=

= ++ = ) log( .743162901 1 0 8 =

4488001741 16

)

log .

n = = = log( . )log .

.

.( .

0 151199826

1 16

0 820448708

0 06445798912 773 12 73) .=

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 13 pagos.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1 2

Valor

actual

3

n

Rn

m = 2

Semestres

234


Problemas propuestos

1. Se estima que un pozo petrolero comenzar a producir dentro de 2 aos, con

una produccin con valor de $982 000 anuales y que se mantendr durante 32 aos.

Cul es el valor actual de la produccin, si se fija una tasa de 19% anual capitalizable

anualmente?

2. Cul es el monto de una deuda que se cubre con 10 pagos semestrales de $16 500,

si el primero de ellos se realiza 2 aos despus de formado el convenio con una tasa de inters

de 15% anual compuesto semestralmente?

3. La seora Martnez pretende realizar 7 depsitos de $68 000 trimestrales en

el banco, realizando el primero de ellos dentro de 12 meses. Cul ser el saldo en la

cuenta despus de realizar el ltimo depsito si el banco le paga 24% anual capitalizable

trimestralmente?

4. Una persona que se jubilar dentro de 8 aos actualmente tiene depositados $1 250 000

en una cuenta bancaria que genera 25% de inters anual convertible semestralmente. Cunto

podr retirar semestralmente durante los 30 aos siguientes a su jubilacin?

5. El seor Fernndez compra un automvil con valor de $216 585, mediante un crdito

que se liquidar con pagos mensuales de $14 500 cada uno con una tasa de inters de 12%

anual compuesto mensualmente, acordando realizar el primer pago 6 meses despus de que le

entregan el automvil. Con cuntos pagos saldar su deuda el seor Fernndez?

uniDaD 7

235

Respuestas a los ejercicios

ejercicio 1

1. $68 663.75

2. $6 704 567.55

3. $170 641.90

4. $10 360.54

5. $229 901.92

ejercicio 2

1. $30 666.18

2. $1 889.86

3. $46 899.59

4. $17 345 308.95

5. $12 438.93

ejercicio 3

1. 31 pagos, aproximadamente.





236


Respuestas a los problemas propuestos

1. $4 326 603.32

2. $233 426.94

3. $570 780.96

4. $915 120.72


Matemticas inancieras Unidad 7. Anualidades diferidasNombre:

Grupo: Nmero de cuenta:

Profesor: Campus:

237

Autoevaluacin

1. El seor Ramrez piensa depositar $500 mensuales en una cuenta de ahorros comenzando

dentro de 8 meses. Si el banco paga 18% de inters anual capitalizable mensualmente, la cantidad que

habr reunido despus de 15 depsitos es:

a ) $6 341.04

b) $7 341.07

c ) $8 341.07

d) $9 341.07

2. Alberto compr un equipo de sonido en una promocin de compre ahora y comience a

pagar dentro de seis meses, con 12 pagos mensuales de $378. Si la tasa de inters es de 21% anual

con capitalizacin mensual, el precio actual del equipo de sonido que compr Alberto es:

a ) $3 722.25

b) $4 222.25

c ) $4 722.25

d) $5 222.25

3. Indica el nmero de pagos semestrales por $3 000 que se requieren para liquidar una deuda

de $50 243.64, si la tasa de inters es de 9.1% convertible semestralmente y si el primer pago se realiza

2 aos despus de autorizado el crdito:

a ) 44 pagos.

b) 45 pagos.

c ) 46 pagos.

d) 47 pagos.

238

4. El seor Martnez desea pagar un crdito con valor actual de $570 000 mediante 20 pagos

trimestrales, realizando el primero dentro de dos aos. Si la tasa de inters es de 28% anual con

capitalizacin trimestral, el valor de los depsitos es:

a ) $86 397.41

b) $863 974.14

c ) $96 397.41

d) $963 974.14

5. Cuntos pagos mensuales por $8 960 se requieren para pagar un automvil con valor

de $258 300, si la agencia concede al comprador realizar el primer pago 7 meses despus de que le

entregan el automvil y una tasa preferencial de 12% anual compuesta mensualmente?

a) 34 pagos.

b) 35 pagos.

c) 36 pagos.

d) 37 pagos.

Documents

rentas diferidas