Rentas geomtricas: deduccin de las frmulasQu es una renta
geomtrica?
Una renta de trminos variables en progresin geomtrica es aquella
cuyos trminos se obtienen multiplicando por una cantidad constante
el trmino anterior.
Grficamente
Vamos a utilizar la siguiente notacin: C es la primera cuanta de
la renta. Es el importe del primer trmino de la renta. q es la razn
de la progresin geomtrica. Es el nmero por el que se ha de
multiplicar una cuanta para obtener la siguiente i es el tipo de
inters constante al que valoramos la renta. Si el periodo de la
renta es el ao, el i ser un efectivo anual, pero si la periodicidad
de la renta es diferente a la anual, el tanto utilizado siempre ha
de ser el tanto EFECTIVO relativo a ese periodoHablemos de la RAZN
q. Si q=1,05 supone que los trminos de la renta se incrementarn un
5% acumulado Si q=1,1 suponesque los trminos de la renta se
incrementarn un 10% acumulado Si q=1,12 suponesque los trminos de
la renta se incrementarn un 12% acumulado Si q=0,97 suponesque los
trminos de la renta se reducen un 3% acumulado
Una renta geomtrica es aquella en la que los trminos se
incrementan (o reducen) en un cierto porcentaje de forma acumulada.
Al hablar de variacin acumulada, o incremento ACUMULADO, estamos
indicando que la renta es geomtrica.
Ejemplo 1
Estudiar una renta variable en progresin geomtrica de trminos
anuales. El primero de ellos es de 100.000 , y experimentan
incrementos acumulados del 10% anual. Se valora al 7% anual.
Grficamente
Para calcular cada uno de los trminos hemos multiplicado el
anterior por la razn que es q=1,1
Para calcular el valor actual de la renta podemos desconstar
cuanta a cuanta hasta llegar al origen de la renta en t=0.
Vo= 601.552,99
Para calcular el valor final podemos capitalizar cuanta a cuanta
hasta llegar el final de la renta en t=6, o bien, podemos
capitalizar 6 aos el valor actual.
V6=Vo(1+0,07)6= 902.768,83
Valor actual
Vamos a deducir una frmula para evitar tener que calcular el
valor actual descontando trmino a trmino.
Comencemos haciendo el desarrollo terico del valor actual
precisamente descontando trmino a trmino.
Sacamos factor comn C, y expresemos los denominadores como
potencias con exponente negativo.
Lo que tenemos dentro del corchete es la suma de los n primeros
trminos de una progresin geomtrica.
La frmula que nos da la suma de los n primeros trminos de una
progresin geomtrica la podemos encontrar en este
apartado:Sucesiones y series geomtricas.
La frmula de la suma de los n primeros trminos de una progresin
geomtrica es:
donde: a = Primer trmino r = Razn de la suma
En nuestro caso, aplicado al sumatoria que se encuentra dentro
del corchete [ ] obtenemos: a = Primer trmino
r = Razn de la suma
Aplicando la frmula de la suma de los n primeros trminos de una
progresin geomtrica, obtenemos lo siguiente.
Hacemos la resta del denominador y finalmente simplificamos
(1+i) que se encuentra arriba y abajo.
As obtenemos la frmula del caso general.
Esta frmula es vlida para casi todos los casos, por eso se dice
que es el CASO GENERAL. Es vlida para cualquier valor que cumpla
que q es distinto de (1+i), ya que en ese caso el denominador se
anula y para resolverlo tendramos que utilizar otro mtodo que
conocemos como caso particular.
El CASO PARTICULAR se da cuando justamente q=(1+i). Vamos a
deducir la frmula para este caso.
Comenzamos descontando cuanta a cuanta tal y como hicimos
anteriormente.
Ahora hacemos que q tome su valor, que para este caso es:
q=(1+i)
Simplificamos un poco los (1+i) de numerador y denominador.
As llegamos al frmula final del CASO PARTICULAR:
Vamos a indicar en una misma expresin el caso general y el caso
particular.
Valor final
El valor final se obtienen capitalizando n periodos el valor
actual. Se conservarn los dos casos descritos, el caso general y el
caso particular.
Ejemplo 2
Calcular el valor actual y final del ejemplo 1 utilizando las
frmulas que hemos deducido.
Los datos son: C=100.000 q=1,1 n=6 i=7%
Estamos en el caso general ya que q=1,1 y (1+i)=1+0,07=1,07, por
tanto q es distinto de (1+i).
Aplicamos las frmulas del caso general.
Para el valor actual tenemos lo siguiente.
Vo= 601.552,99
Para el valor final tenemos lo siguiente.
V6=902.768,83
En Excel
Si disponemos de Excel lo mejor es hacer una tabla con las
cuantas de la renta y aplicar la funcin VNA que calcula el VAN
(Valor Actual Neto).
La celda F4 contiene la siguiente frmula.
=+VNA(7%;C6:C11)
El valor final se obtiene capitalizando el valor actual durante
n periodos.
La celda F5 contiene la siguiente frmula:
=+F4*1,07^6
