1 Profesor: Alejandro Duarte

Repartido: Ejercicios resueltos sobre cálculo de derivadas a partir de las propiedades – Matemática

3eros. Ciencias Biológicas – Social Humanístico – Social Económico

Antes de empezar dos cuestiones a aclarar. Primero, promuevo la utilización de este repartido como referencia y

apoyo para ayudar en el cálculo de derivadas del práctico Derivadas II (en él, aparecen los enunciados de las

propiedades, las cuales con el pasar del tiempo y a medida que realices varios ejercicios, naturalmente vas a ir

memorizando) Y segundo lugar, una cuestión de notación. Para ser más económicos con la misma, hagamos un

acuerdo. De aquí en adelante adoptaremos los siguientes convenios para hacer referencia a la propiedad utilizada en

cada caso:

• DSR = derivada de la suma o resta de funciones (están juntas porque que expresan resultados idénticos, salvo

la operación)

• DMC = derivada de la multiplicación de una constante por una función.

• DM = derivada de la multiplicación de dos funciones.

• DD = derivada de la división de funciones.

• DC = derivada de la composición de dos funciones.

• T = son las derivadas de funciones elementales, que tenemos en la tabla pseudoconstruida en clase.

Observación: Me parece de suma importancia que cuando veas el “cartelito” con las iniciales de la propiedad utilizada,

no sólo la identifiques, sino que sería deseable que no continúes (o lo anotes como duda), hasta que no hayas

ubicado la o las expresiones en donde se utilizó la propiedad y como fue su implementación.

1. Sea f de dominio real (todo � ) y fórmula5 3( ) 4 4 5 3f x x x x= − − + . La idea es determinar la función

derivada de f . La clave de todo este asunto (la felicidad o no del camino a recorrer) radica en cómo uno “mira”

la fórmula de la función y a partir de esa mirada decide cuál o cuáles propiedades utilizar para llegar al objetivo.

Hablando muy en serio, no hay que desesperarse si al comienzo no surge de forma natural esa intuición. La idea

es “ir caminando” y verás que en poco tiempo ya habrás logrado ser todo un “derivador”. Volviendo a este

ejercicio, se nota “claramente” que la fórmula de la función es la suma/resta de varias funciones más simples.

Así que empezaremos por ahí.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )DSR DMC T

5 3 5 3 5 3( ) 4 2 5 3 4 2 5 3 4 2 5 3f x x x x x x x x x x′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ = − − + = − − + = − − + =

( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 24 5 2 3 5 1 0 20 6 5x x x x− − + = − − ⇒ 4 2( ) 20 6 5f x x x′ = − −

2. Sea g de dominio { }1,1− −� tal que 2

2 4( )

1

xg x

x

−=

−. A ver ese ojo derivador!! ¿Operación principal? ¿Qué

dice dicha propiedad?

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2

DD DSR

2 2 22 2

2 4 1 2 4 12 4 1 2 4 12 4

( )1 1 1

x x x xx x x xx

g xx x x

′′ ′ ′′ − − − − −′ ′ − − − − −− ′ = = = = − − −

2 Profesor: Alejandro Duarte

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2DMC y T

2 2 22 2 2

2 1 0 1 2 4 2 0 2 1 2 4 2 2 8 2

1 1 1

x x x x x x x x

x x x

− − − − − − − − − + −= = = ⇒

− − −

⇒

( )

2

22

2 8 2( )

1

x xg x

x

− + −′ =

− Llegamos a la función derivada!!!

3. Sea j de dominio real tal que ( )3

( ) 4 2 6h x x= − . Como se comentó antes, lo primero es mirar con “cariño” la

fórmula de la función. Primera observación: el 4 es una constante que multiplica a ( )3

2 6x − y “no molesta” ya

que según la DMC ( )( ) ( )( )3 3( ) 4 2 6 4 2 6h x x x

′ ′′ = − = − (el 4 queda multiplicando a la derivada de

( )3

2 6x − ). Así que la cuestión radica en como derivar a ( )3

2 6x − , y en este caso, según la mirada, se pueden

tomar diferentes caminos:

a. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )3 3 22 6 2 6 2 6 2 6 after a long time... 8 72 216 216x x x x x x x

′ ′′− = − − − = = − + + . De

esta forma se debe utilizar la DSR . Tu tarea!!

b. ( )( ) ( ) ( )( )3 22 6 2 6 2 6x x x

′ ′− = − − . Si pienso la fórmula de esta manera, se debe utilizar la DM . (no

olvides que la regla de la derivada de la multiplicación es sólo para el producto de dos funciones, por

eso es que la descomposición de exponente fue (3=2+1)) Calculando quedaría algo así,

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 6 3 6 3 6 3 6x x x x′ ′− − + − − . Ahora tu tarea es seguir derivando las expresiones

restantes. Hazlo!!

c. ( )( ) ( ) ( )( )3 32 6 2 6x x x′ ′

− = −� . Acá la que se impone es la DC .

Comentario: No es mi objetivo ser tendencioso ni nada que se le parezca, pero vamos a trabajar sobre la tercera

forma de interpretar ( )3

2 6x − . Antes de eso les dejo un par de argumentos en contra de las primeras dos opciones,

como para justificar la decisión tomada!!

Palo a la primera interpretación: after a long time… (es ahí donde está el sacrifico!! Ya alcanza con ese argumento. ja

Palito a la segunda mirada: larguííííííííííísimo el planteo!!

Volviendo sobre la tercera opción, que es pensar la fórmula como la composición de 3x con 2 6x − :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )T y DRDC

3 2 23 3 22 6 2 6 2 6 . 2 6 3 2 6 .2 3 2 6 .2 6 2 6x x x x x x x x x x′ ′ ′ ′− = − = − − = − = − = −

� � �

Sin olvidar número 4 de más arriba, la derivada queda ( )2

( ) 24 2 6 h x x′ = −

3 Profesor: Alejandro Duarte

4. Sea i de dominio real y fórmula 37 5( ) x xi x e −= . Acá es bastante claro identificar que la función es una

composición entre xe y

37 5x x− . Así que utilizaremos en primera instancia esa propiedad.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3

T, DR y DMCDC7 5 3 3 3 3 2( ) 7 5 7 5 7 5 7 5 21 5x x x x xi x e e x x e x x x x e x x x− ′ ′ ′ ′

′ = = − = − − = − − =

� � �

( )37 5 221 5 x xe x− − ⇒ ( )

32 7 5( ) 21 5 x xi x x e −′ = −

5. Sea j de fórmula ( ) ln(12 4 )j x x= − y dominio ( ),3−∞ ¿por qué este dominio? Al igual que en el ejemplo

anterior se trata de una función compuesta. En este caso ln x compuesta con 12 4x− .

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )T y DRDC 1

( ) ln(12 4 ) ln 12 4 ln 12 4 12 4 12 4 . 4j x x x x x x x xx

′′ ′ ′′ = − = − = − − = − − =

� � �

1 4.( 4)

12 4 12 4x x

−= − = ⇒

− −

4( )

12 4j x

x

−′ =

−, de dominio ( ),3−∞

Ya de paso agrego algunos ejercicios más (como decía una colega docente, estos ejercicios son de “machaque”)

En cada caso determina la función derivada e indica su dominio.

• 7 3( ) 6 3 25f x x x x= − −

•

2 2 3( )

4

x xg x

x

+ −=

−

• ( )23 4( ) 2 3 x xh x x e −= −

•

2 9( ) ln

1

xi x

x

−=

+

• ( )3

( ) 2 3 6j x x x= +

• ( ) ( )2 2 1

( )1

x xk x

x

− +=

+

•

( )2

2( )

4

xl x

x

−=

−

• ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 3m x x x x= − + −

• ( )2 2( ) 4 ln 3 5ñ x x x= + −

•

2 1

2( )

3

xeo x

x

−

=−