REPASO BLOQUE I: MATEMÁTICAS 1º ESO PENDIENTE

UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES . DIVISIBILIDAD

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UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES . DIVISIBILIDAD

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Suma y multiplicación

Suma Multiplicación

Conmutativa 4 + 5 = 5 + 4 4 ⋅ 5 = 5 ⋅ 4

Asociativa (4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6) (4 ⋅ 5) ⋅ 6 = 4 ⋅ (5 ⋅ 6)

Distributiva 4 ⋅ (5 + 6) = 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6

Resta

Si se suma o resta a los dos términos el mismo número, la diferencia no varía.

Jerarquía de las operaciones

Primero se efectúan las operaciones del interior de corchetes y paréntesis y después el resto en este orden estricto:1.° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha

2.° Sumas y restas, de izquierda a derecha

División

Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. LOS NÚMEROS NATURALES

Sistema de numeración romano

• Utiliza siete símbolos: I, V, X, L, C, D y M

• No es posicional.

Sistema de numeración decimal

• Utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9

• Cada diez unidades de un orden forman una unidad delorden inmediatamente superior.

• Es posicional.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES. DIVISIBILIDAD

• Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural.

• Un número es divisor o factor de otro si la división del segundo entre el primero es exacta.

• Un número es primo si solo tiene dos divisores, el mismo número y el 1.

• Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Por Criterio de divisibilidad2 El número termina en cifra par.

5 Acaba en 0 o en 5.

10 o 100 Acaba en 0 o en 00, respectivamente.

4 o 25 Sus dos últimas cifras son 0 o forman un múltiplo de 4 o de 25, respectivamente.

3 o 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9, respectivamente.

11La diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posiciones pares y la de las cifras que ocupan posiciones impares es 0 o múltiplo de 11.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes.

12 = 22 ⋅ 320 = 22 ⋅ 5

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes.

12 = 22 ⋅ 320 = 22 ⋅ 5

⇒ m.c.d. (12, 20) = 22 = 4 ⇒ m.c.m. (12, 20) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

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EJERCIC IOS PARA PRACTICAR

Sistemas de numeración. Los números naturales

69. Escribe las siguientes cantidades utilizando númerosromanos.

a) 35 d) 128 g) 820

b) 76 e) 192 h) 901

c) 87 f) 451 i) 2349

70. Escribe las siguientes cantidades usando el sistema denumeración decimal.

a) XXXIX e) DCCXXXI

b) LIX f) DCCCXCIV

c) LXXIV g) MMDCXXXVII

d) CLXVIII h) MMMCMXCIX

71. Completa la siguiente tabla.

Número DM UM C D U

4008 ● ● ● ● ●

56 061 ● ● ● ● ●

● ● ● 12 3 5 7 4

● ● ● ● 48 1 0 5

99 009 ● ● ● ● ●

72. Escribe las siguientes cantidades usando el sistema denumeración decimal.

a) Quince mil cuatrocientos dos b) Trescientos dos mil dieciséis c) Siete millones cuarenta y dos mil uno d) Veinte millones cuarenta

73. Escribe cómo se leen los siguientes números.

a) 23 577 c) 2 400 035 e) 2 002 100

b) 18 002 d) 79 105 f) 20 021 001

74. Rodea la cifra 9 e indica su valor cada vez que apareceen los siguientes números.

a) 925 c) 297 451 e) 90 001 987

b) 10 091 d) 232 909 f) 90 919 929

Operaciones con números naturales

75. Comprueba si las siguientes divisiones son correctassin realizarlas. Recuerda que D = d ⋅ c + r

D d c r

340 20 15 4

15 004 47 32 1

784 112 7 0

14 223 31 458 23

77. Indica la propiedad que se aplica en cada caso.

(Conmutativa, asociativa o distributiva).

a) 226 + 378 = 378 + 226

b) 45 + 5 + 15 = 15 + 5 + 45

c) 32 + (58 + 49) = (32 + 58) + 49

d) 6 ⋅ (5 ⋅ 23) = (6 ⋅ 5) ⋅ 23

79. Realiza las operaciones aplicando la propiedad distri-butiva.

Ejemplo 15 ⋅ (10 + 8) = 15 ⋅ 18 = 270(15 ⋅ 10) + (15 ⋅ 8) = 150 + 120 = 270

a) 25 ⋅ (16 + 40) c) 30 ⋅ (75 − 17)

b) 16 ⋅ (40 − 12) d) 100 ⋅ (21 + 79)

80. Saca factor común en las siguientes expresiones.

a) 5 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 c) 8 ⋅ 7 − 6 ⋅ 8

b) 3 ⋅ 6 − 3 ⋅ 2 d) 5 ⋅ 9 + 25 = 5 ⋅ 9 + 5 ⋅ 5

19. Calcula

a) 12 + 7 + 10

b) 23 − 11 + 5

c) 160 − 55 − 15

d) 19 − (7 + 5)

e) 45 − (30 − 5)

f) 2 ⋅ (6 + 4)

g) (24 : 6) : 2h) 21 : 7 + 10

i) 16 − 5 ⋅ 3

j) 8 ⋅ 5 − 28

k) (8 + 4) : 3 : 4

l) (19 − 3)

81. Efectúa las siguientes operaciones teniendo en cuentala jerarquía de las operaciones.

a) 32 + 8 ⋅ 40 − 10 ⋅ 7 d) 6 ⋅ 15 − (6 + 3)

b) (43 + 15) ⋅ 5 − 9 e) 21 + 13 ⋅ (6 − 2 ⋅ 2)

c) 36 + 4 − 2 ⋅ (24 : 3) f) (9 + 6 ⋅ 3 − 17) : 5 ⋅ 5

76. Indica la propiedad que se ha utilizado en cada caso.

a) 55 + 23 + 15 = 55 + 15 + 23

b) 7 ⋅ 25 ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4)

c) 5 ⋅ (8 + 18) = 5 ⋅ 8 + 5 ⋅ 18

d) 87 − 23 = 84 − 20 = 64

a) Propiedad conmutativa de la suma

b) Propiedad asociativa de la multiplicación

c) Propiedad distributiva

d) Si se suma o resta a los dos términos el mismo número,en este caso 3, la diferencia no varía.

ACT IV IDAD RESUELTA

Actividades

RECUERDARECUERDARECUERDA

1°.1°.1°. Corchetes Corchetes Corchetes y paréntesisy paréntesisy paréntesis2°.2°.2°. Multiplicaciones y divisiones Multiplicaciones y divisiones Multiplicaciones y divisiones3°.3°.3°. Sumas y res Sumas y res Sumas y restastastas

3

Actividades

Múltiplos y divisores. Divisibilidad

83. Escribe cinco múltiplos de cada número.

a) 12 c) 25 e) 48

b) 16 d) 50 f) 124

84. Comprueba que 217 es múltiplo de 7.

85. Encuentra todos los divisores de cada uno de los si-guientes números.

a) 13 c) 30 e) 48

b) 24 d) 32 f) 96

86. Encuentra cinco múltiplos de 7 mayores que 1000.

20. Rodea en cada caso tres divisores de cada número.

De 6: 0, 16, 2, 4, 3, 12, 1, 23, 8, 5

De 15: 1, 3, 2, 8, 10, 5, 7, 9

De 30: 2, 10, 22, 1, 5, 8, 12, 16

Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos

90. Completa la siguiente tabla, utilizando los criterios dedivisibilidad.

Divisible por 72 253 628 888 901

2 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

5 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

9 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

11 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

91. Indica si los siguientes númerosson primos o compuestos.

a) 57 c) 107

b) 91 d) 117

93. Halla en cada caso los posibles valores de A para quese cumpla la condición pedida.

a) 23A4 es divisible entre 3 y 4.

b) A28 es múltiplo de 11.

c) 140A es divisible entre 6.

d) 34A es divisible por 2 y 3, pero no por 5.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

94. Escribe todos los divisores de los siguientes números ycalcula el máximo común divisor.

(El mayor de los divisores comunes)

a) 27 y 80 c) 18, 28 y 48

b) 36 y 48 d) 40, 56 y 60

95. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes nú-meros sin utilizar la descomposición en factores primos.

(El menor de los múltiplos comunes)

a) 24 y 80 d) 8, 12 y 28

b) 36 y 48 e) 9, 12 y 24

c) 30 y 42 f) 5, 8 y 40

89. Completa la tabla, utilizando los criterios de divisibi-lidad.

Número Entre ¿Es divisible?

248 2 Sí, acaba en cifra par.

111 6 No, porque no es divisible entre 2.

3555 3 Sí, 3 + 5 + 5 + 5 = 18, múltiplo de 3.

1414 9No, 1 + 4 + 1 + 4 = 10, no es múltiplo de 9.

20 548 11 Sí, (2 + 5 + 8) − (0 + 4) = 11

32 448 4 Sí, acaba en 48, que es múltiplo de 4.

15 650 25Sí, acaba en 50, que es múltiplo de 25.

ACT IV IDAD RESUELTA

96. Calcula el máximo común divisor y el mínimo comúnmúltiplo de los siguientes números.

90, 135, 162

Descomponemos los números en factores primos:

90 245 315 3

5 51

135 345 315 3

5 51

162 281 327 3

9 33 31

90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 135 = 33 ⋅ 5 162 = 2 ⋅ 34

Factores comunes: 3

Menor exponente: 32⇒ m.c.d. (90, 135, 162) =

= 32 = 9

Todos los factores: 2, 3 y 5

Mayor exponente: 2, 34, 5⇒ m.c.m. (90, 135, 162) =

= 2 ⋅ 34 ⋅ 5 = 810

ACT IV IDAD RESUELTA

Un número primo Un número primo Un número primo sólo es divisible en-sólo es divisible en-sólo es divisible en-tre sí mismo y el 1.tre sí mismo y el 1.tre sí mismo y el 1.

4

97. Escribe la descomposición en factores primos de lossiguientes números.

a) 48 d) 96 g) 495

b) 54 e) 128 h) 729

c) 84 f) 154 i) 1024

21. ¿A qué números corresponden estas descomposiciones?

98. Factoriza los números comprendidos entre 200 y 210,e indica cuáles de ellos son primos.

99. A partir de la descomposición en factores primos deestos números, calcula su m.c.d. y su m.c.m.

a) 22 ⋅ 32 ⋅ 5  y  22 ⋅ 52

b) 33 ⋅ 5   y  2 ⋅ 53

c) 23 ⋅ 32  y  24 ⋅ 32

100. Usando la descomposición en factores primos, calculael m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números.

a) 16, 28 y 48 c) 33, 88 y 121

b) 160, 280 y 480 d) 14, 21 y 35

101. Comprueba si los siguientes números son primos en-tre sí. Lo serán si su m.c.d. es 1.

a) 48 y 84 d) 72 y 385

b) 11 y 482 e) 243 y 256

c) 11 y 484 f) 324 y 675

106. ¿Hay algún número capicúa entre 200 y 300 que seaprimo?

Actividades de síntesis

22. Halla los divisores de los siguientes números y des-pués completa la tabla.

Divisores de 2 = Divisores de 10 = Divisores de 6 = Divisores de 13 = Divisores de 7 = Divisores de 15 = Divisores de 8 = Divisores de 17 =Divisores de 9 =

2 6 7 8 9 10 13 15 17

N.° primo ● ● ● ● ● ● ● ● ●

N.° compuesto ● ● ● ● ● ● ● ● ●

a) 22 ⋅ 5 d) 22 ⋅ 53 ⋅ 7 b) 2 ⋅ 33 ⋅ 5 e) 32 ⋅ 5 ⋅ 112

c) 3 ⋅ 52 ⋅ 72 f) 22 ⋅ 3 ⋅ 73 ⋅ 11

m.c.dm.c.dm.c.d === factores primos factores primos factores primos = factores primos === factores primos = factores primos = factores primos === factores primos = comunescomunescomunes elevado al elevado al elevado al menormenormenor exponente. exponente. exponente.

m.c.mm.c.mm.c.m === todostodostodos los factores primos elevados al los factores primos elevados al los factores primos elevados al mayormayormayor exponente. exponente. exponente.mayor exponente.mayormayormayor exponente.mayor exponente.mayor exponente.mayormayormayor exponente.mayor

110. Estudia qué números puedes añadir a la derecha de235 para obtener uno de cuatro cifras que cumpla encada caso la condición pedida.

a) Que sea múltiplo de 4.

b) Que sea divisible entre 6.

c) Que sea múltiplo de 11.

111. Estudia qué números puedes añadir a la izquierda de235 para obtener uno de cuatro cifras que cumpla encada caso la condición pedida.

a) Que sea múltiplo de 4.

b) Que sea divisible entre 6.

c) Que sea múltiplo de 11 y de 2.

112. Al dividir 26 entre un número natural n, el resto es 2.¿Cuáles son los posibles valores de n?

Recuerda que D = d ⋅ c + r

23. Construye la tabla de números primos menores de 100.

¿Qué observas al aplicar el tachar los múltiplos de 11?

¿Cuántos números primos hay menores de 100? Escríbelos.

24. Señala diciendo SI/NO en la tabla si los números de laizquierda. Son divisibles por los que aparecen en la filasuperior.

2 3 5 6 10

144 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

225 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

320 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

624 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

235 235 235

235 235 235

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Tacha los múltiplos de 2, de 3, de 5 , de 7 y de 11.Tacha los múltiplos de 2, de 3, de 5 , de 7 y de 11.Tacha los múltiplos de 2, de 3, de 5 , de 7 y de 11.

5

Actividades

25. Un año es bisiesto si es múltiplo de 4 pero, si terminaen 00, además el número que forman las dos primerascifras también tiene que ser divisible entre 4. ¿Fuerono serán bisiestos estos años 2000, 2012, 2014, 2016?

26. María tiene una planta que riega cada 3 días y otra queriega cada 5. Hoy ha regado las dos, ¿qué día volverá aregarlas a la vez?

27. ¿Cómo pueden agruparse los 11 miembros del equipo defútbol para practicar las jugadas? ¿Y si se incluye el en-trenador?

28. Las edades de Pablo y su hermano Pedro son númerosprimos entre 10 y 20. La de Pablo es el número menor yla de Pedro, el mayor. ¿Qué años tiene cada uno?

122. Tres atletas entrenan todas las semanas en la mismapista. Carmen tarda 60 segundos en dar una vueltacompleta, Javier, 75 segundos en completar la vuelta, yRosa, 85 segundos.

Si salen los tres a la vez, ¿cada cuánto tiempo coincidi-rán todos?

29. Ramiro tiene entre 50 y 80 fotos. Las puede pegar en laspáginas de un álbum de 5 en 5, o de 6 en 6 de maneraque nos sobre ninguna. ¿Cuántas fotos tiene?

116. José María tiene una colección de chapas. En total hareunido 30 chapas, y quiere colocarlas sobre la mesaen filas del mismo tamaño. ¿De cuántas formas las po-drá colocar?

Hay que encontrar todos los divisores de 30.

Usando los criterios de divisibilidad obtenemos que 30es divisible entre 2, 3, 5 y 10. Por tanto también lo espor 6 = 2 ⋅ 3 y por 15 = 3 ⋅ 5. Teniendo esto en cuentaconstruimos la siguiente tabla.

Chapas en cada fila N.° de filas Producto

1 30 30

2 15 30

3 10 30

5 6 30

6 5 30

10 3 30

15 2 30

30 1 30

Hay ocho formas distintas.

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PARA RESOLVER

101. Una banda de música está formada por 40 personas.Durante las fiestas del pueblo van a desfilar por las ca-lles, de forma que en todas las filas haya el mismo nú-mero de músicos.

¿De cuántas formas distintas podrán desfilar?

Buscamos los divisores de 40 = 1, 2, 4...

Músicos cada fila (Divisores) N.° filas Producto

1 40 40

2 20 40

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