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REPASO BLOQUE II: MATEMÁTICAS 2º ESO PENDIENTE UNIDAD 5: ECUACIONES DE 1 er Y 2º GRADO

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REPASO BLOQUE II: MATEMÁTICAS 2º ESO PENDIENTE

UNIDAD 5: ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO

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Igualdades y ecuacIones

Identidad

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

Ecuación

5x − 12 = x + 4

ecuacIones equIvalentes

Regla de la suma

5x = 2x + 12⇒ 5x −2x = 2x + 12−2x⇒ 3x = 12Regla del producto

3x = 12⇒ 3x3

= 123⇒ x = 4

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Para obtener ecuaciones equivalentes se usan la regla de la suma y la regla del producto.

ecuacIones de prImer grado

Resolver una ecuación es encontrar su solución, es decir, aquel valor de la incógnita que hace se verifique la igualdad.

Para resolver una ecuación:

• Se simplifican términos semejantes.

• Se aplica la regla de la suma.

• Se aplica la regla del producto.

Ecuación: 2x = 10 − (4x − 2)

2x = 10 − 4x + 2

2x + 4x = 12 − 4x + 4x

6x6

= 126

x = 2

resolucIón de problemas con ecuacIones

Pasos a seguir:

1.º Identificar los datos y la incógnita. 3.º Resolver la ecuación.

2.º Traducir las relaciones a expresiones algebraicas. 4.º Expresar la solución en su contexto y comprobarla.

ecuacIones de segundo grado: ax2 + bx + c = 0

Completas

ax2 + bx + c =0⇒ x = −b± b2 −4ac2a

x2 − 2x − 15=0⇒ a = 1, b = −2 y c = −15

x = −(−2)± (−2)2 −4 ⋅1 ⋅(−15)2 ⋅1

= 2± 4+602

= 2± 642

=

= 2±82

⇒ x = 5x = −3{

Incompletas

• ax2 + c =0⇒ x = ± −ca

3x2 − 12=0⇒ 3x2 = 12⇒ x2 = 4⇒ x = 2, x = −2

• ax2 + bx =0⇒ x(ax + b)=0⇒x =0

ax + b =0⇒ x = − ba

⎧⎨⎪

⎩⎪

3x2 −6x =0⇒ x(3x −6) =0⇒ x =03x −6 =0⇒ x = 2{

solucIones de una ecuacIón

Ninguna

2x + 3 = 2x + 53 ≠ 5

Una

2x + 3x = 5 solo si x = 1

Varias

x2 −4 =0 si x = 2 o x = −2

Infinitas

x + y = 2Para cada valor de x hay un valor de y.

UNIDAD 5: ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO

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Actividades

EJERCIC IOS PARA PRACTICAR

Identidades y ecuaciones

53. Indica si las siguientes expresiones algebraicas sonidentidades o ecuaciones.

 Ejemplo 7x − 11−4x = 7+3x − 18Operamos los términos semejantes en ambos miembros: 3x − 11 = −11+ 3x .

Los dos términos son iguales, luego es una identidad.

a) 5x −9x +4x =0

b) 4(3x2) = 12x2

c) (x + 2)2 = x2 +4

d) x − 12

+ x3= 5x − 3

6

e) (a− b)2 = b2 + a2 − 2ab

f) 6x3 − 12x2 + 3x = 3x(2x2 −4x + 1)

54. Escribe en cada caso la ecuación correspondiente.

 Ejemplo La suma de un número más el doble de su cuadrado más el cuadrado de su mitad

vale 11: x + 2x2 +x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 11

a) La suma de dos números distintos es igual a 6.

b) La suma de dos números consecutivos es igual a 7.

c) Si a un número se le suma 3 y se divide el resultadoentre 2, el resultado es 10.

d) Si al cuadrado de un número se le resta la tercera partedel número, el resultado es 34.

55. Comprueba en cada caso si el valor propuesto es solu-ción de la ecuación.

 Ejemplo (3x − 1)2

5− 4− x

2= 4 , x = 2:

Sustituyendo el valor de la incógnita por el dato se obtiene:

(3 ⋅2− 1)2

5− 4− 2

2= 4⇒ 52

5− 22= 4⇒ 5− 1 = 4 ⇒

⇒ Sí es solución.

a) 3x + 5 = 7x − 3 , x = 2

b) 2x −8+ 3(3x − 1) =0, x = 1

c) x − 23

+ 10= 2x + 1 , x = 5

d) x + 14

+ 2x − 15

= 3x + 1 , x = 2

e) x − 13

− x + 25

=0, x = −2

f) x − 13

− x + 25

=0, x = 2

Ecuaciones de primer grado

56. Indica si las siguientes ecuaciones son equivalentes a2x − 3 = 7.

a) 3x − 3 = 8 b) 7x +9 = 5x + 19c) x2 − 25 =0

d) 23x − 1 = 14

6

57. Escribe tres ecuaciones equivalentes a 5x − 6 = 12 − 4x,utilizando solo la regla de la suma, solo la regla del pro-ducto y una combinación de ambas, respectivamente.

58. Escribe una ecuación de primer grado con una incógni-ta que tenga exactamente cinco términos y cuya solu-ción sea x = 2.

Partiendo de la solución, podemos encontrar ecuacionesequivalentes usando las reglas de la suma y del producto.

x = 2⇒ 3x = 6⇒ 3x −4 = 6−4⇒⇒ 3x −4+ 7x = 6−4+ 7x

Como hay un término de más, es decir, hay 6 términos, podemos agrupar el 6 y el −4 del segundo miembro.

3x −4+ 7x = 6−4+ 7x⇒ 3x −4+ 7x = 2+ 7x

ACT IV IDAD RESUELTA

59. Escribe una ecuación de primer grado en la que haya siete términos y que tenga la solución indicada en cada caso.

a) x = 3 d) x = 12

b) x = −5 e) x = −52

c) x =0 f) x = −56

61. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

 Ejemplo x +7−5x +8+ 10x −5 = 6x +7−4x −5Agrupamos términos semejantes: 6x + 10= 2x + 2Despejamos la incógnita:

6x + 10− 10= 2x + 2− 10⇒6x = 2x −8⇒

⇒6x − 2x = 2x −8− 2x⇒4x = −8⇒ 4x4

= −84

⇒ x = −2

a) 2x − 3 = 8x + 21

b) 3x − 2+ 11x + 19 = 23x −45− 11x −6

c) 23x −93+9x +99− 12x = 99− 12x + x

d) 16x + 24− 32x = 40x − 32

e) 16x −9−41x = 13− 15x + 34

f) 48x − 15+ 17x + 122 = 113− 13x − 5

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Actividades

62. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones conparéntesis.

 Ejemplo 7−3(2x − 1)+5x = 2+2(x + 1)

Eliminamos los paréntesis: 7−6x + 3+ 5x = 2+ 2x + 2Agrupamos los términos semejantes: 10− x = 4+ 2xDespejamos la incógnita:

10− x = 4+ 2x⇒6− x = 2x⇒6 = 3x⇒ x = 2

a) 3(5x − 1)− 7x = 2x +9

b) 10(2x − 3)− 7(4x −6) = 2−6x

c) x − 2(2− 3x) = 9+ 5(3x − 1)

d) 3(3x − 1)− 5(4x − 2)+9(2− x) = 15

e) 3(2x −8)−6(x − 7) = 18

15. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer gradocon un denominador.

Ejemplo 2x +3 = 5− 8− x4

•Quitamos los denominadores multiplicando los dosmiembros por el denominador:

4(2x + 3) = 4 ⋅5− 4(8− x)4

⇒4(2x + 3) = 4 ⋅5− (8− x)

8x + 12 = 20−8+ x ⇒ 8x + 12 = 12+ x

8x − x = 12− 12⇒ 7x =0⇒ x = 07=0

a) 2x3= 8 c) 5+

2x − 13

= x + 3

b) 3x − 15

= 2 d) 4−6− x5

= 3x

63. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado, enlas que aparecen denominadores.

Ejemplo 5x + 16

− 7x +29

= 2x +43

−2

Quitamos los denominadores multiplicando todo por el m.c.m. de los mismos: m.c.m. (6, 9, 3) = 18

18(5x + 1)6

− 18(7x + 2)9

= 18(2x +4)3

− 18⋅2⇒ 3(5x + 1)− 2(7x + 2) = 6(2x +4)− 36

⇒ 3(5x + 1)− 2(7x + 2) = 6(2x +4)− 36⇒⇒ 15x + 3− 14x −4 = 12x + 24− 36⇒ x − 1 = 12x − 12⇒⇒ −1+ 12 = 12x − x⇒−11 = −11x⇒ x = 1

a) x + 15

= 12

d) x3+ x6− x9= 7

b) 3x + 12

= 7x +96

e) x − 32

+ 2x − 52

= 5

c) x + 15

− x − 13

=0 f) 5x − 14

− 3x +86

= 1712

Ecuaciones de segundo grado

66. Escribe las expresiones en forma de ecuación de segun-do grado, e indica si son completas o incompletas.

a) 3x(x − 2)− 5x −4 = −5x + 5

b) 10+ 3x(2x − 5)− 2(4x2 − 3x − 1) = 1

c) 2x2 − 53

− x2 +44

= −1

d) 6x(−3x + 5)+ 14(x2 − 3) = 6(x − 7)

67. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones desegundo grado incompletas.

 Pista Despeja la incógnita utilizando las reglas de la suma y del producto.

a) 5x2 −80=0 d) 5+ 2x2 = 3x2 − 11 b) 16+4x2 =0 e) 3(x2 − 2)+ 18=0c) 1−9x2 =0 f) 10x2 − 23x = −23x +90

68. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo gradosin usar la fórmula.

 Pista Extrae x como factor común.

a) x2 − 7x =0 d) 4x2 −9x =0

b) 8x −4x2 =0 e) 50x2 + 25x =0c) 11x2 +44x =0 f) 6x2 − 3x = 3(7x2 −4x)

69. Resuelve la ecuación (x −2)(x +3) =0.

Para que el producto de dos factores sea 0, uno de ellostiene que ser necesariamente 0.

Por tanto, para que se cumpla:

(x − 2)(x + 3) =0

tiene que ocurrir que x − 2 sea 0 o que x + 3 sea 0.

Para resolver la ecuación, igualamos a 0 cada factor.

x − 2 =0⇒ x = 2 x + 3 =0⇒ x = −3

Las soluciones son x = 2 y x = −3.

ACT IV IDAD RESUELTA

70. Opera y calcula las soluciones de las siguientes ecua-ciones.

a) (x + 5)(2x −4) =0 d) (3x − 2)(5x − 2) =0

b) (3x − 12)(5x + 35) =0 e) (4x − 1)(10x − 1) =0c) (2x +4)(2x − 1) =0 f) (36x −45)(28x +4) =0

RECUERDA: Una ecuación de segundo grado es completa si a, b, c son distintos de cero.

Es incompleta si b o c valen cero.

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16. Indica cuales son los coeficientes a, b y c de las si-guientes ecuaciones.

a) 2x2 + 5x − 7 =0 e) 6x2 = 3x + 3 b) x2 − 3x + 2 =0 f) 23x = 7x2 + 16c) 3x2 +8x = 11 g) 1 = 2x2 − x

d) 8x − 3x2 + 5 =0 h) 5x2

6− x2− 13=0

17. Comprueba que en todas las ecuaciones del ejercicioanterior una solución es x = 1.

72. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 2x2 +6x −8=0 f) 2x2 + 3x +6 =0 b) x2 + 5x +6 =0 g) x2 −8x + 12 =0

c) −x2 +8x − 16 =0 h) x2 + x − 20=0

d) 6x2 − 5x − 1 =0 i) x2 − 3x − 15 =0

e) 6x2 + x − 1 =0 j) 2x2 − 7x + 5 =0

Actividades de síntesis

75. Comprueba si la solución de cada ecuación es correcta.

a) x−32

− 5x− 107

= −12

, x = 2

b) 6x−5+3(2x− 1) =0, x = 16

c) 3x+54

− x+ 23

= 1, x = −1

76. Opera y encuentra las soluciones de cada ecuación.

a) 3x(2x − 5)− 7(x + 3) = −41

b) 2x(x − 3)

3− x(7− x)

4= 2− x

6

c) (3x − 5)2 − (3x + 5)2 = 4+4(3x + 5)(3x − 5)

d) (2x − 1)2

3− x2 − 5

8= 72

77. A partir de la solución x = 5, utiliza las reglas de lasuma y del producto para obtener una ecuación equiva-lente, de forma que en ambos miembros aparezcan tér-minos con x y también términos independientes.

78. Inventa el enunciado que se resuelva utilizando cadauna de estas ecuaciones.

a) 3x + 5 = 26

b) 5x −4 = 21c) 35− 2x = 24

d) 21+ 2x = 27

79. La suma de tres números consecutivos es igual al dobledel mayor más uno. ¿De que números se trata?

19. Un padre reparte entre sus tres hijos 350 €. Al mayor leda el doble que al segundo, y a este ,el doble que altercero. ¿Cuánto les ha dado a cada uno?

20. En un instituto, el número de alumnas de 2.º ESOexcede en 20 al número de alumnos. Si entre todos hay120 alumnos, ¿cuántas chicas y cuántos chicos hay en2.º ESO?

21. En una fiesta infantil hay doble número de niños que deniñas y mitad de adultos que de niñas. Si en total hay21 personas, ¿cuántos niños, niñas y adultos hay?

 Pista Llama x al número de niñas que hay.

80. En una frutería hay el doble de manzanas que de perasy el triple de uvas que de manzanas. En total hay 441frutas. Calcula cuántas hay de cada clase.

82. Raquel, Ramón y Rosa están contando el dinero quetienen para ver si les llega para ir al cine.Raquel tiene 7 € más que Ramón y Rosa tiene 5 € másque el doble de la suma de las cantidades de sus amigos. Si en total tienen 50 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

 Pista llama x al dinero que tiene Ramón.

PROBLEMAS PARA RESOLVER

18. Doblamos un trozo de alambre de 300 cm de longitudpor dos sitios, para formar un triángulo, de tal formaque un lado mida el doble que el otro y el tercero mida90 cm. ¿Qué longitud tiene cada lado?

1.º Identificamos los datos y la incógnita.

Incógnita Medida de un lado del triángulo x

dato Medida de otro lado del triángulo 2x

dato Medida del tercer lado del triángulo 90

dato Medida de los tres lados 300

2.º Traducimos las relaciones entre los datos a una igual-dad algebraica. La suma de los tres lados tiene que serigual a lo que mide el trozo de alambre.

x + 2x + 90 = 300

3.º Resolvemos la ecuación.x + 2x +90= 300⇒ 3x +90= 300⇒ 3x +90−90= 300−90⇒

x + 2x +90= 300⇒ 3x +90= 300⇒ 3x +90−90= 300−90⇒ 3x = 210⇒ 3x3

= 2103

⇒ 3 = 70

4.º Comprobamos la solución en su contexto.

medida del 1.er lado 70 cm

medida del 2.º lado 140 cm

medida del 3.er lado 90 cm

suma de los tres lados 70 + 140 + 90 = 300 cm

ACT IV IDAD RESUELTA

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Actividades

23. Un granjero tenía unas cuantas gallinas en su corral.Por un agujero de la valla se escapó la tercera parte yun lobo se comió dos tercios de las que quedaban.

Cuando el granjero se dio cuenta, cambió las 18 gallinas que le quedaban a otro corral. ¿Cuántas gallinas había al principio?

84. Un periodista ha escrito la crónica de un partido de ba-loncesto, en el que el equipo local ha sufrido una aplas-tante derrota. Las dos séptimas partes del artículo es-tán dedicadas a elogiar al árbitro, las tres cuartaspartes del resto, a elogiar al entrenador, y las 15 líneasrestantes, a elogiar a los jugadores. ¿Cuántas líneastiene el artículo?

83. Reyes ha pensado un número y ha dividido el númeroresultante de aumentarlo en 42 unidades entre 3. Haobtenido el número inicial disminuido en 20 unidades.¿Cuál es el número que había pensado?

85. En un concesionario han rebajado los precios de trescoches. El coche rojo cuesta 2000 € más que el verde yel coche azul cuesta 9500 €.

La semana pasada se han vendido 7 coches rojos, 4 co-ches azules y 9 coches verdes, y se han recaudado 192 800 €. ¿Qué precio tiene cada coche?

24. En una fábrica se han envasado 3000 L de leche en1200 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellasde cada clase se han utilizado?

25. Tengo monedas de 2 € y de 0,50 €. Si en total tengo9 €, ¿cuántas monedas tengo de cada clase si de las de2 € hay el doble que las de 0,50 €?

26. Las edades actuales de una madre y su hijo son 49 y25 años. ¿Hace cuántos años el producto de sus edadesera 640?

86. En el castillo de un malvado hechicero hay una alta to-rre, con un gran número de escalones. La escalera estáprotegida de forma que solo aquel que adivine cuántosescalones tiene podrá subirla. Por suerte, al pie de laescalera hay una pista:

Un aventurero consiguió encontrar la solución del acertijo y subir a la torre. ¿Cuál era la solución?

27. Se quiere enmarcar una fotografía de forma rectangu-lar cuyo ancho es 7 cm menor que el largo. ¿Cuáles de-ben ser las dimensiones del marco si el perímetro de lafoto es de 66 cm?

28. El área de una parcela rectangular es de 37 500 m2. Sila base de la parcela mide 100 m más que la altura,¿cuáles son sus dimensiones?

Si a mis escalones le sumas la mitad de ellos y le restas la sexta parte

obtendrás 200 más.

22. Elena ha comprado un equipo de música con 34

del di-

nero que llevaba. Después ha gastado los 25

del dinero

que le quedaba en varios CD y le han sobrado 120 €. ¿Cuánto dinero llevaba?

Llamamos x al dinero que tenía Elena al principio y plantea-mos la ecuación:

En el equipo de música se ha gastado 3x4

, luego le queda:

x − 3x4

= x4

En los CD se ha gastado: 25⋅ x4= 2x20

= x10

El total del dinero que tenía tiene que ser igual a lo que se

ha gastado más lo que le sobra: 3x4+ x10

+ 120= x

Ahora resolvemos la ecuación, siguiendo todos los pasos:

20⋅3x4

+ 20⋅ x10

+ 20⋅120= 20⋅ x⇒ 15x + 2x + 2400= 20x⇒ 17x + 2400= 20x⇒ 2400= 3x⇒ x = 800€

x + 2400= 20x⇒ 17x + 2400= 20x⇒ 2400= 3x⇒ x = 800€

PROBLEMA RESUELTO

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88. Dentro de un cuadrado se dibuja otro cuadrado cuyolado mide 7 m menos que el del cuadrado mayor, deforma que la diferencia entre las áreas de ambos cua-drados es igual a 231 m2. Calcula la longitud del ladodel cuadrado mayor.

 Pista Si llamas x al lado del cuadrado mayor su área es x2.

89. Una botella de refresco tiene el doble de capacidad queotra. De cada botella se sacan 20 cL y la cantidad quequeda en la mayor es seis veces la que queda en la pe-queña. Calcula la capacidad de ambas botellas.

90. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 28 cm ycada uno de sus lados mayores mide 3,5 cm más que ellado menor. ¿Cuánto miden sus lados?

92. En un torneo de voleibol, cada equipo lleva ocho juga-dores y un entrenador. Si en total hay 108 personas,¿cuántos entrenadores hay y cuántos jugadores partici-pan en el torneo?

29. En una quesería se mezcla leche de vaca de 0,50 € ellitro con leche de oveja de 0,80 € el litro, para preparar300 L de mezcla a un precio de 0,60 €. ¿Cuántos litrosde cada tipo de leche deben mezclar?

94. Un perfumista mezcla dos esencias, A y B, con las queelabora un perfume. La primera cuesta 40 €/L y la se-gunda cuesta 60 €/L.

¿Qué cantidad debe tomar de cada una para producir cin-co litros de la mezcla, de forma que cada litro de perfumevalga exactamente 52 €?

Encuentra el error

106. Belén ha resuelto una ecuación de primer grado, peroal comprobar la solución se da cuenta de que ha come-tido algún error. Estos son sus cálculos:

3(2x + 5)− 5x +6 = 2x +6

“Simplifico un 6 que aparece sumando a la iz-quierda y un 6 que aparece sumando a la derecha”.

3(2x + 5)− 5x + 6 = 2x + 6

“Simplifico un 2x que aparece sumando a la izquier-da y un 2x que aparece sumando a la derecha”.

3( 2x + 5)− 5x = 2x

“Resuelvo”.

15− 5x =0⇒−5x = −15⇒ x = −15−5

= 3

Encuentra el error y halla la solución correcta.

87. El área del círculo se calcula a partir de su radio, usan-do la siguiente fórmula.

A= π ⋅r2

Al aumentar 2 m el radio de un círculo, el área aumenta 37,68 m2. ¿Cuál era el radio inicial?

Si el radio inicial era r, las áreas de ambos círculos son las siguientes:

A1 = 3,14⋅r2   A2 = 3,14 ⋅(r + 2)

2

La diferencia entre ambas es:

3,14(r + 2)2 − 3,14r2 = 37,68Para resolver esta ecuación más fácilmente, dividimos los dos miembros entre 3,14:

(r + 2)2 − r2 = 12

Desarrollamos el cuadrado de la suma:

r2 +4r +4− r2 = 12⇒4r +4 = 12La ecuación que hemos obtenido al operar es de primer grado:

4r = 12−4 = 8⇒ r = 84= 2

El radio del círculo inicial medía 2 m.

PROBLEMA RESUELTO

93. En una cafetería preparan un refresco usando zumo deuva, a 2 €/L, y zumo de manzana, a 1,5 €/L. En total hanpreparado 10 L de zumo, que salen a 1,65 €/L. ¿Quécantidad de zumo de cada clase han utilizado?

Si los litros de zumo de uva son x, los de manzana son losque faltan hasta completar los 10 L, es decir, 10 − x.

En los zumos se gastan 2x + 1,5(10− x) €.

Como los 10 L de mezcla cuestan 10 ⋅ 1,65 = 16,5 €, sepuede plantear la ecuación:

2x + 1,5(10− x) = 16,5

Se resuelve la ecuación.

2x + 1,5(10− x) = 16,5⇒ 2x + 15− 1,5x = 16,5⇒

⇒0,5x = 1,5⇒ x = 1,50,5

= 3

Se emplean 3 L de zumo de uva y 10 − 3 = 7 L de manzana.

PROBLEMA RESUELTO