Repaso de concepto de Función (parte 1)

MATE 3013

Definición de Función

Se define una función f de un conjunto, D, a otro

conjunto, R, como una correspondencia que

asigna a cada elemento x de D (conjunto de valores

de entrada) exactamente un elemento y de R

(conjunto de valores de salida.) :

y2

x1

y1

x3 x2

Definición de Función

x1 x2

y1

y2

x3

x1 x2

y1

y2

x3

Definición de Función Se puede representar una función de X a Y de

múltiples formas :

como un listado de los pares ordenados

{(1,3), (2,5), (3,7), (4,9)}

x y

1 3

2 5

3 7

4 9

como una tabla

como una gráfica

El listado representa una función si los valores de la primera coordenada NO se repiten

La tabla representa una función si los valores de la columna nombrada x NO se repiten

La gráfica representa una función si ninguna línea vertical que se dibuje toca dos puntos.

¿Cuáles representan funciones?

a) {(𝟎, 𝟏), (0.5, -0.7), (1,0), (0.5,0.7), (-1,0)}

x y

-2 0

-1 2

0 1

2 2

b)

d)

c) e)

¿Que es una función?

• En este curso centramos nuestra atención en las funciones que dependen de una sola variable (a la que simbolizamos con la letra x).

• Incluso vamos a restringir el estudio a las funciones donde la correspondencia puede expresarse mediante una fórmula que involucra una ecuación o a lo sumo un número reducido de ecuaciones. Ejemplos:

¿Que es una función?

• En consecuencia, la representación gráfica más apropiada es la que utiliza un par de ejes cartesianos ortogonales: al eje horizontal se le llama eje de las abcisas (eje de x) y al vertical eje de las ordenadas (eje de y, o eje de f(x)).

Terminología El dominio de la función, consiste de todos

los números reales para los cuales la fórmula que representa la función es válida (normalmente, valores de x)

El campo de valores (también llamado alcance, imagen, o co-dominio) consiste de las imágenes de x bajo f, o sea los valores que resultan al evaluar la función para cada valor del dominio (normalmente, valores de y o de f(x)

Dominio de una función

Ejemplo: Sea f:

La fórmula que define la correspondencia es, en este caso, una fracción algebraica, la cual tiene sentido si el denominador no se anula, o sea NO es igual a cero.

En este caso el denominador se anula si x = ± 1. Por tanto, el dominio de la función es:

D(f) = {x: x ∈ R ; x ≠ ± 1}.

Nombre el dominio y el campo de valores

a)

Dominio: {1, 4, 5, 7, 13, 14,15,19,20}

{1, 4, 8, 10, 12} Campo de valores:

b)

Dominio: {x: x ∈ R ; x ≠ -1} −∞, −𝟏 ∪ (−𝟏, ∞)

Campo de valores:

{y: y ∈ R ; y ≠ 0} −∞, 𝟎 ∪ (𝟎, ∞)

Nombre el dominio y el campo de valores

c) d)

Dominio: Todos los números reales, (−∞, ∞)

𝒚 ≥ 𝟓, [𝟓, ∞) Campo de valores:

Dominio: Todos los números reales, (−∞, ∞) Todos los números reales, (−∞, ∞)

Campo de valores:

Nombre el dominio y el campo de valores

e) f)

Dominio: Todos los números reales, (−∞, ∞)

difícil de determinar sin una gráfica

Campo de valores:

parábola que abre hacia abajo,

Campo de valores:

g 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟗

Dominio: Todos los números reales, (−∞, ∞)

f 𝒙 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟑

máximo está en (0,3), alcance: (−∞, 𝟑]

Todos los números reales, (−∞, ∞)

Prueba de la línea vertical

La gráfica de una función f es la gráfica de la

ecuación y = f(x) para cada x en el dominio

de f.

Para saber si una gráfica dada es realmente la

gráfica de alguna función, usamos la prueba de

la línea vertical.

Si cada línea vertical que interseca una gráfica,

toca la gráfica en, a lo más, un punto entonces

la gráfica representa una función.

La gráfica de una función Gráficas de funciones. Pasan la prueba de la línea vertical.

𝒇 𝒙 = 𝟑 g 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟖 h 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 g 𝒙 =𝟏

𝒙+𝟏

Gráficas que NO representan funciones. NO pasan la prueba de la línea vertical.

Práctica

La gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

Observe la gráfica de 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 que se ofrece a continuación: a)¿Es esta la gráfica de una función? b) Determinar el dominio y el rango de la función.

Ejemplo: Sea f(x) = 𝟓 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐, determinar (a)f(-1)

(b) f(2)

(c) x, tal que f(x) = 0

= 𝟓 + 𝟐(−𝟏) − 𝟑(−𝟏)𝟐

= 𝟓 − 𝟐 − 𝟑

= 0

= 𝟓 + 𝟐(𝟐) − 𝟑(𝟐)𝟐

= 𝟓 + 𝟒 − 𝟏𝟐 = −𝟑

𝟓 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎

5+𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎

𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎

(𝟑𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎

𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟎 𝒙 − 𝟏 = 𝟎

𝒙 =𝟓

𝟑 𝒙 = 𝟏

Evaluar y resolver funciones algebraicamente

Evaluar funciones

Ejemplo:

Sea g(x) = 𝟒+𝒙

𝟏−𝒙, determinar

(a) g(5)

(b) g(-2) =

𝟒+𝟓

𝟏−𝟓

= 𝟗

−𝟒

= −𝟑

𝟒

= 𝟒+(−2)

𝟏−(−𝟐)

= 𝟐

𝟑

≈ 𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟒

(c) x, tal que g(x)=0

𝟒+𝒙

𝟏−𝒙= 𝟎

𝟒 + 𝒙 = 𝟎

𝒙 = −𝟒

Evaluar funciones

Ejemplo: Dada la gráfica de g(x) , determinar (a) g(3)

(b)g(0)

(c) g( -4)

= 𝟎

= 𝟕

= - 15

Evaluar funciones gráficamente Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), determinar: (c) el valor de x tal que g(x)= - 18

Cuando x= -6, y = - 18

Cuando x= 1, y = - 18

Evaluar y resolver funciones con tecnología

(b) f(2)

Ejemplo: Sea f(x) = 𝟓 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐, determinar

(a) f(-1)

Una vez haya oprimido “Trace”, escriba el valor y oprima “enter”

= 0 = - 3

Evaluar y resolver funciones con tecnología

(c) x, tal que f(x) = 0

Ejemplo: Sea f(x) = 𝟓 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐, determinar

Elija la opción 2, ya que los ceros de la función son los interceptos en x (si son reales).

Evaluar y resolver funciones con tecnología

(c) x, tal que f(x) = 0

Ejemplo: Sea f(x) = 𝟓 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐, determinar

Elija la opción 2, ya que los ceros de la función son los interceptos en x (si son reales).

Evaluar funciones con tecnología Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), determinar el valor de x tal que g(x)= - 18

Evaluar funciones con tecnología Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), determinar el valor de x tal que g(x)= - 18 Contestemos el ejercicio utilizando la función de tabla.

Cuando x= 1, y = - 18