Repaso de Sistemas Lineales Sistemas lineales invariables en el tiempo, Respuesta al impulse, Función de transferencia, Transmisión de distorción, Distorción

Repaso de Sistemas LinealesSistemas lineales invariables en el tiempo, Respuesta al impulse, Función de transferencia, Transmisión de distorción, Distorción de señales

Repaso de Sistemas Líneales

Sistemas Lineales Invariables con el Tiempo

Un filtro o sistema electrónico es lineal cuando se mantiene la superposición, esto es, cuando

donde y(t) es la salida y x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) es la entrada, como se muestra en la figura 2-14. L [ ] denota el operador de sistema lineal (ecuación diferencial) que actúa sobre [ ]. El ∙ sistema es invariable con el tiempo si, para cualquier entrada retrasada x(t – t0), la salida se retrasa justo por la misma cantidad y(t - t0). Esto es, la forma de la respuesta es la misma sin importar cuándo la entrada se aplica al sistema.


Respuesta al Impulso

Un sistema lineal invariable con el tiempo sin bloques de retraso se describe mediante una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes y puede caracterizarse por su respuesta de impulso h(t). La respuesta de impulso es la solución a la ecuación diferencial cuando la función de fuerza es una función delta de Dirac (es la salida del sistema cuando la entrada es un impulso). Esto es, y(t) = h(t) cuando x(t) = δ(t). En redes físicas la respuesta de impulso debe ser causal. Esto es, que h(t) = 0 para t < 0.

La respuesta de impulso puede utilizarse para obtener la salida del sistema cuando la entrada no es un impulso. En tal caso, una forma de onda general a la entrada puede aproximarse mediante

lo cual indica que las muestras de la entrada se toman a intervalos de ∆t segundos. Entonces, al utilizar las propiedades de invariabilidad con el tiempo y de superposición se encuentra que la salida es aproximadamente


Esta expresión se convierte en el resultado exacto conforme ∆t se aproxima a cero. Dejando que n ∆t = λ se obtiene que

Una integral de este tipo se conoce como operación de convolución, como fue descrita por primera vez en la ecuación (2-62). Esto es, la forma de onda de salida para un sistema (red) invariable con el tiempo puede obtenerse mediante la convolución de la forma de onda de entrada con la respuesta de impulso para el sistema. Por consecuencia, la respuesta de impulso puede utilizare para caracterizar la respuesta del sistema en el dominio del tiempo, como se ilustra en la figura 2-14.

Función de Transferencia

El espectro de la señal de salida se obtiene tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación (2-133). Utilizando el teorema de convolución de la tabla 2-1 se obtiene que

donde H(f) = F {h(t)} es la función de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema o red. Esto es, las respuestas de impulso y de frecuencia son un par de la transformada de Fourier:


Por supuesto que la función de transferencia H(f) es, en general, una cantidad compleja y puede escribirseen forma polar como

donde |H(f)| es la respuesta de amplitud (o magnitud) y

es la respuesta de fase del sistema. Más aún, debido a que h(t) es una función real de tiempo (para redes reales), se sigue de las ecuaciones (2-38) y (2-39) que |H(f)| es una función par de frecuencia y una función impar de frecuencia.

La función de transferencia de un sistema lineal invariable con el tiempo puede medirse con una señal senoidal de prueba que se barre sobre la banda de frecuencias de interés. Por ejemplo, si

entonces la salida de la red será

donde la amplitud y la fase pueden evaluarse en un osciloscopio o con un voltímetro vectorial.


Si la entrada a la red es una señal periódica con un espectro dado por

donde, de la ecuación (2-109), {cn} son los coeficientes complejos de Fourier de la señal de entrada, entonces el espectro de la señal periódica de salida, de la ecuación (2-134) es

Puede también obtenerse la relación entre la densidad espectral de potencia (PSD) a la entrada, P x(f), y aquélla en la salida, P y(f), de un sistema lineal invariable con el tiempo. A partir de la ecuación (2-66) se sabe que

Utilizando la ecuación (2-134) en un sentido formal se obtiene que


Por consecuencia, la función de transferencia de potencia de la red es

Ver tabla 2-1

Ver figura 2-15



Nota: En realidad la ganancia de potencia de ½, es decir 0.5, equivale a -3 dB (valor negativo, lo cual implica por la definición Ganancia en dB = 10 log Ganancia, atenuación).

Ver ecuaciones (2-143) y (2-145)

Tabla 2-2


Transmisión sin Distorsión

En los sistemas de comunicación a menudo se desea un canal sin distorsión. Esto implica que la salida del canal es justamente proporcional a la versión retrasada de la entrada

donde A es la ganancia (que puede ser menor a la unidad) y Td es el retraso.

El requisito correspondiente en la especificación en el dominio de frecuencia se obtiene tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación (2-148)

Por lo tanto, para una transmisión sin distorsión se requiere que la función de transferencia del canal esté dada por

lo cual implica que, para que no exista distorsión a la salida de un sistema lineal invariable con el tiempo, deben satisfacerse dos requerimientos:


1. La respuesta de amplitud es plana (constante). Esto es,

2. La repuesta de fase es una función lineal de frecuencia. Esto es,

Cuando se satisface la primera condición no existe distorsión en amplitud; cuando se satisface la segunda, no existe distorsión en fase. Para una trasmisión sin distorsión, ambas condiciones deben satisfacerse.

El segundo requisito a menudo se especifica de manera equivalente utilizando el retraso de tiempo. El retraso de tiempo del sistema se define como

De la ecuación (2-149) se requiere que

para una transmisión sin distorsión. Si Td(f) no es constante, entonces habrá una distorsión en fase debido a que la respuesta de fase, ϴ(f), no es una función lineal de frecuencia.


Ejemplo 2-14 y ecuación (2-145)

Ecuaciones (2-150 a y b)

Figura 2-16



En aplicaciones de audio el oído humano es relativamente sensible a la distorsión de amplitud pero insensible a la de fase. Esto se debe a que el error de fase de 15° para un filtro de audio a 15 kHz producirá una variación (error) en retraso de tiempo de cerca de 3μs. Comparando este error con la duración de una sílaba hablada que está en el rango de 0.01 a 0.1 segundos, el error de retraso de tiempo es despreciable debido a una pobre respuesta de fase en el filtro. Sin embargo, un error de amplitud a 3 dB sería ciertamente detectable por el oído humano. Por lo tanto, en las especificaciones de distorsión lineal en amplificadores de audio de alta fidelidad, el principal interés está en la presencia de características de respuesta de frecuencia con magnitud no plana y no en la característica de respuesta de fase.

En aplicaciones analógicas de video, lo opuesto es verdadero: la respuesta de fase se convierte en la consideración dominante. Esto es porque el ojo humano es más sensible a errores de retraso de tiempo, los cuales resultan en bordes borrosos de los objetos, en lugar de errores en amplitud (intensidad).

Para señales de datos, un filtro lineal puede causar que un pulso de datos en una ranura de tiempo se propague a ranuras de tiempo adyacentes causando interferencia intersimbólica (ISI, por sus siglas en inglés).

Si el sistema es no lineal o variable con el tiempo, entonces se producirán otros tipos de distorsión. Como resultado de esto, aparecerán nuevos componentes de frecuencia a la salida que no están a la entrada. En algunas aplicaciones de comunicación, las nuevas frecuencias son en realidad un resultado deseado y, en consecuencia, no podrán considerarse como distorsión.


Referencias



Documents

Repaso de Sistemas Lineales Sistemas lineales invariables en el tiempo, Respuesta al impulse, Función de transferencia, Transmisión de distorción, Distorción