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Problemas de Algebra Pre-universitaria
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CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 1 -
ÁLGEBRA
01. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones donde
A 1;2;3; y donde
U 1;2;3;4;5;6;8;
I. A A
II. P A P A
III. B U/ A B A B P A
( es el conjunto vacío).
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
02. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si U es el
conjunto universal y es el conjunto
vacío.
I. A U: A B B
II. Si A B D y B D entonces,
A D . III. Si A y B tienen n elementos,
entonces , A B tiene 2n elementos.
A) FFF B) FVV C) FFV D) VFF E) VVV
03. La desigualdad 1 1 2
x y x y
se
verifica. A) Si x y .
B) Cuando x 0 y 0
C) Cuando x 0 y 0
D) Si x y 0
E) Solo si xy 0
04. Sean a;b;c y abc 1 . Halle el
mayor valor real de . A) 3 B) 2 C) 1
D) 1
2 E)
1
3
05. Determine la longitud del conjunto S:
2
2 2
1 1S x 1
2x x 1 x x 4
A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 1
06. Dado el conjunto:
2S x x x 2 x 1
Si S a, , halle “a”.
A) 1 B) 2 C) 1
2
D) 2 E) 3
07. Si S a;b es el conjunto solución
de 3 x 1 x
3x 2 x
, entonces el valor
de 42a 42b es: A) 32 B) 35 C) 42 D) 81 E) 92
08. Si al resolver la ecuación
3x x x x 1 x las soluciones
son 1 2 nx ,x , ,x , halle el valor de
1 2 nx x x
A) 1 B) 1 C) 2
D) 7 E) 2 09. Grafique la siguiente relación
y x 2 sgn x 2
2
2
y
x
A)
2
2
y
x
B)
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 2 -
10. Sean f 1;2 , 4;1 , 7;0 ,
x
g x 12
. Determine Ran g f .
A) 2;0;2 B) 2;0
C) 1;0;1 D) 0;1;2
E) 0;1
11. Considere a b 1 para resolver la
siguiente inecuación irracional
31 ax 1
0x x b
A) 1
; b ;0a
B) 1
; a ;0b
C) 1 1
; ;a b
D) ; b a;
E) 1
;0 b;a
12. Dado los polinomios idénticos:
2 2 2P x,y a 2a x 2b 12b xy c 1 y
2Q x,y 5y x 18xy
¿Cuál es el valor de 3a b
c
?
A) 1 B) 2 C) 1
D) 0 E) 2
13. Si el resto de la división
2
P x
x 1 es
x 1 , determine el resto de 2
2
P x
x 1
A) 4 B) 2x C) x 1
D) 2 x 1 E) 2
x 1
14. Si es solución de la ecuación 5 2x 2x 1 0 , determine el valor de
2
3
1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. Respecto al polinomio sobre Q
5 4 3 2P x 4x 10x 6x 3x 3x 2
Indique lo correcto. A) Admite solo dos factores primos. B) Un factor primo es cuadrático. C) Admite tres factores primos
lineales. D) Un factor primo es cúbico. E) Si f(x) es un factor primo,
entonces f 1 2
16. Sean a, b y c cantidades reales de
modo que
2 2 2a b c 14 2 a 2b 3c
Calcule a b c . A) 6 B) 8 C) 0 D) 3 E) 5
2
2
y
x
C)
2
y
x
D)
1 3 2
y
x
E)
1 3
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 3 -
17. Si 1 2 3 4x ; x ; x ; x son raíces de la
ecuación bicuadrada 4 3 2x ax bx cx d 0 , determine
3 3 3 3 7 7 7 72 3 4 2 3 41 1
x x x x x x x x
A) 27 B) 8 C) 1
D) 0 E) 8 18. Indique el término sexto del cociente
notable generado por la siguiente
división 4 4n 8
n3
x 3
x 3
A) 53243 5 B) 281x
C) 381x D) 73243 x
E) 2243 x
19. En la división algebraica
n 1x n 2 x n 1
x 1
el término
independiente del cociente es 10. ¿Cuál es el grado del dividendo? A) 10 B) 8 C) 9 D) 6 E) 12
20. Halle el grado absoluto mínimo del
siguiente polinomio
nn
5 n 7n 6 2n 6 4 32P x,y x y x y z xy
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 26
21. Si las raíces de la ecuación
3 2x 12x nx 48 0 están en progresión aritmética. Determine la mayor raíz.
A) 8 B) 13
2 C)
11
2
D) 6 E) 4
22. Si 0x 2 i es una raíz de la
ecuación 3 22x 14x ax b 0 ;
a;b . Calcule el valor de b.
A) 15 B) 30 C) 25
D) 30 E) 15 23. Si la ecuación polinomial
3x 3 a 5 x 2 0 tiene
C.S. 2;b , halle el valor de
2 3 41 a a a a
A) 102 B) 1023 C) 123 D) 321 E) 341
24. Determine cuántos factores primos
cuadráticos tiene el polinomio:
2 2 2 2F a,b,c a b ab b c bc
2 2a c ac 3abc A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
25. Calcule el número de factores primos
que tiene el polinomio
3 3 3
P x 2x 1 2 x x 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
26. Calcule el valor de 2 3 41 a a a a si x 0 y al reducir se obtiene
3 5 94
5 6 104
3 5 94 5 6 104
x x x x
x x x x
x x x x
,
tal que 90 ax , calcule el valor de x.
A) 1 B) 2 C) 0
D) 1 E) 5
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 4 -
27. Dada las funciones:
2f x,x x x 3 0
g x, 4 x 5 x 3
Halle f g .
A) A x;4 x x 1
B) B 1;3 , 2;0
C) C x;4 x x 1;2
D) D x; 14 x x 0;1
E) E 1;9 , 2;0
28. Simplifique
M log 6 log2 log3 log 6 log2 log3
A) log2 B) log3 C) log4
D) log6 E) log9
29. Resolver
1 log cot gx 1 log tgx3 3 8 0
A) 2tg5 B) arctg(10) C) artg(25) D) 7 E) 22
30. Determine el número de soluciones
reales de la siguiente ecuación 2
2log x x 4
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
31. Esbozar la gráfica de la siguiente
función 3P x x x 10
32. De la siguiente gráfica de una función
lineal y una función cuadrática
Hale el valor de a b .
A) 6 B) 2 C) 3
D) 1 E) 0
(-2,0) (2,0)
(1,b) (a,3)
(0,4)
y
x
y
x
A)
10
y
x
B)
10
y
x
C)
10
x
D)
y
10
y
x
E)
10
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 5 -
33. Grafique la función
x 2 x 3 x 4
f xx 3
34. Si z y w que cumple que z z ;
w w Im w 1 , determine el
módulo de
32
2
1 w z
1 w z
.
Nota: z a bi
A) 2 B) 3 C) 2
D) 1 E) 1
2
35. Dado el complejo 1 3
w i2 2
,
calcule la suma 9
k
k 1
w
A) w B) 1 C) 1
w
D) i E) 0 36. Halle el módulo del conjunto de z si
se sabe que 4 i z
1 3 i3 2 2 i
A) 17 B) 25 C) 8 D) 4 E) 16
37. Determine el valor de A 1det 2 A si
se sabe que ij 3 3A a
una matriz de
modo que 1det A 2
A) 1 B) 2 C) 256 D) 128 E) 1024
3 4 2 -1
y
x
A)
3 4 2
1
y
x
B)
3 4 2
y
x
C)
3 4 2
1
y
x
D)
3 4 2
y
x
E)
1
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 6 -
38. Resolver la siguiente ecuación: 12
log
4
10x
x
A) 2 610 ;10 B) 2 610 ;10
C) 2 610 ;10 D) 2 610 ;10
E) 210
39. Resolver la inecuación:
x 7 82 1 x
6 3 y calcule la suma de
las soluciones enteras.
A) 2 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0
40. Dado la matriz 2 1
A1 2
si la suma
de todos los elementos de nA es 4374, calcule el valor de “n”. A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 7
41. Halle D
; si , y son
las raíces de la ecuación cúbica 3x px q 0
A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
42. Sea la matriz 1 1
A ;2 2
tal
que A 4 ; I es la matriz
identidad. Halle 2
1tr A
A) 1
16 B)
1
8 C)
1
4
D) 9
16 E)
25
16
43. Una empresa con sede en Lima fabrica diversos modelos de radiotransmisores, todos los componentes de estas radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que son importados. Se tiene en existencia 1000 transistores del tipo T1 y 1200 del tipo T2. Cada modelo de radio R A requiere un transistor T1 y 4 transistores T2; los modelos R B requieren 2 transistores de T1 y uno de T2. Si se sabe que los beneficios o utilidades de cada radio son 50 y 30 dólares por R A y R B , respectivamente, halle la cantidad de unidades por fabricar de cada modelo para que la utilidad total sean máximas. A) 200 a; 400 B B) 100 A; 500 B C) 500 A; 400 B D) 200 A; 300 B E) 300 A; 400 B
44. Sea Sn una sucesión tal que
n n nSn 2 3 . Determine el valor de
nlim Sn
A) 2 B) 3 C) 1
D) 1
3 E)
2
3
45. ¿A qué valor converge la serie
k 1
k 0
x
k 1 !
?
A) e 1 B) xe 1 C) xe 1
D) 2xe 1
e 1
E)
xe 1
e 1
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 7 -
46. Determine el valor de convergencia de la siguiente serie
2 3 43 41 5 17 65
7 7 7 7
A) 3
7 B)
5
7 C)
9
8
D) 5
14 E)
1
4
47. Halle el valor de S tal que:
n 1 k2
k 1
S log 2 tan k4
A) n 1S 2 1 log4
B) n 1S 2 log4
C) n 3S 2 1
D) nS 4 n
E) n n 1
S2
48. Si el desarrollo del siguiente binomio
3n
4 5a b los términos de lugares
n 6 y n 8 equidistan de los
extremos, entonces el exponente de “a” en el término central es: A) 25 B) 36 C) 48 D) 72 E) 81
49. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. El desarrollo de 2
2 32x 5x x
tiene 6 términos.
II. El desarrollo de 3
1 2x 3y z
tiene 20 términos. III. Si el desarrollo de
n
x 2y w 5z tiene 1771
términos, entonces el valor de n es 20.
A) VFV B) FVV C) VVF D) FFV E) VVV
50. En el desarrollo del binomio
n
22 3x , el coeficiente de 24x es el
cuádruple del coeficiente de 22x , entonces el número de términos de su desarrollo es: A) 17 B) 20 C) 31 D) 43 E) 44
TURNO TARDE 51. Sean los conjuntos:
P 4; 3;4 ;2;5
Q x P / x 4 x 3;4
R x P / x 4 x 3;4
S 4; 3;4 ;2
Halle R S \ Q
A) B) 2 C) 2;5
D) 4 E) 3;4
52. Determine el número de valores
enteros de x que resuelven el sistema 227a
x 3ax 3a
2 3 4
2 2
30a x x
x aa x
a A) 2a 1 B) 2a C) 2a 1 D) 3a E) 5a
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 8 -
53. Indique cuántas de las siguientes proposiciones son correctas:
I. Si 2x 1 ; entonces x 1 .
II. Si x 1 ; entonces 2x 1
III. Si 2x 1 ; entonces x 1
IV. Si x y 0 ; entonces 2 2
1 10
x y
V. Si x y 0 , entonces 2
2
x0
y
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
54. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si a,b a 0 b 1 ;
entonces ab a 1 1 .
II. Si a,b ; entonces
2 2
5ab0 1
a b 3ab
.
III. Si a ; entonces
1a a2 2 4 .
A) VVF B) VFV C) FVV D) FFV E) VVV
55. Resolver la ecuación 3x 5 x 3 e
indique el producto de las soluciones.
A) 1 B)3
2 C) 2
D) 5
2 E) 3
56. Calcule el valor de “r”, sabiendo que
u;v es el conjunto solución de la
ecuación: 2x 3x r 0 y además se
cumple: 3 3u v 6r
A) 9 B) 2 C) 1
D) 2 E) 1
57. Sean a, b, c tres números enteros que forman una progresión aritmética de razón positiva (en ese orden). Si a disminuye en 5; b disminuye en 3 y c aumenta en 11 se convierte en un P.G. (en ese orden). Si a b c 36 . Determine la razón de la P.A. A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 20
58. Si 2y x px q cuya gráfica es
entonces:
A) p
a ba
B) 2a p 2b
C) p
a b2
D) a b
p2
E) p a b
59. Si a, b, c son las raíces de
3 2P x x 5x x 3 , entonces el
valor de:
2 2 21 1 1E a b c
a b c
es:
A) 20
3 B)
23
3 C) 8
D) 10 E) 12
y
x a b
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 9 -
60. Si 3p x x px q p,q de
raíces 1 2 3x , x , x y
2 2 2
1 2 1 3 2 3x x x x x x
podemos afirmar que:
A) 3 24p 27q
B) 2p 4q
C) 3 2p 4q
D) 2 227p 4q
E) 3 24p 27q
61. Señale la gráfica que mejor
representa al conjunto:
2x yA x,y y x 0;0
x x
62. Resolver la inecuación:
5 x 1 2
A) 1;26 B) 2;25 C) 1;25
D) 2;26 E) 2;
63. Si al dividir:
5 2x 29x 2a 8 x ax 1 , se
obtiene una división exacta. Halle: “a”.
A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3
64. Simplifique: 4
4
2 7 48M
63 9 48
A) 2 3
3 B) 3 C)
2
3
D) 2 3
3 E)
3
2
y
x
A)
y
x
C)
y
x
E)
y
x
D)
y
x
B)
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 10 -
65. Encuentre la medida de la región rectangular ABCD en términos de “x” descrita mediante la gráfica, donde la abscisa de A es x.
A) 3 24x 6x 28x
B) 3 22x 8x 24x
C) 3 24x 16x 12x
D) 3 22x 20x 30x
E) 3 24x 24x 32x
66. Halle el valor de verdad de las
siguientes proposiciones: I. Si f es una función creciente,
entonces f x también es
creciente. II. Si f y g son funciones impares,
entonces f x g x es también
impar. III. Si f es una función, entonces
f x f x es par.
A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF
67. Sea las funciones f definida por
mx 5
f x3x 2n
, halle los valores de
m y n si se cumplen:
domf 2 y f f
A) 6 ; 3 B) 5 ; 3 C) 4 ; 3
D) 1 ; 3 E) 7 ; 2
68. Si f :R A es suryectiva, tal que
f x x 2 x , halle A.
A) 2; B) 2; C) ; 2
D) ;2 E) ; 2
69. Dada la función cuya regla de
correspondencia es:
4 1 2 f x ; si x 10;
3f x
2x f x x 1 ; si x 1;
Determine el rango de la función.
A) 1
0;4
B) 1 1
0; ;12 2
C) 1
0; 12
D) 1
0;2
E) 1 1 1
0; , 14 4 2
70. Si f es una función definida por:
25 2 x ; x 1
f x 3 ; x 1
x
Entonces indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. f es una función impar. II. f es una función par.
III. f es decreciente en 0;
A) FVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF
71. Si
3 , x 1
H x 2 , x 2
H x 1 H x 2 , x 3
Calcule H(72).
A) 1 B) 2 C) 1
D) 2 E) 3
y
x
A B
C D
2y 2x 8x
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 11 -
72. Sea f : la función definida por
2f x x x x 1 x .
Determine el rango de esta función.
A) 2; B) 1;8 C) 0;
D) E) 1;
73. Sea f : \ 1 la función
definida por x
f xx 1
, indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. x / f x f x
II. f f 2 f f 0 2
III. f f , I: identidad en \ 1
A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) VVF
74. Dada la función f x x x 1 ,
x 2; , determine f x .
A)
2x 1 4x 3f x
2
domf 1;4
B) f x x x
domf 2;
C) f x 2x 1 x
domf 0;
D)
2x 1 4x 3f x
2
domf 3;
E)
2x 1 4x 3f x
2
domf 3;
75. Sea f una función en regla de correspondencia:
f x 3 x 5 x 3
Calcule E a b donde Rf a;b
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
76. Sea la función f /
22f x;y ky x y 2x 2 , para
que valores de k, la función es siempre no negativa, para cualquier valor real de x,y.
A) 1;1 B) ; 1 C) 1;
D) 2; E) ; 2
77. Sea la función f : Z con
f x x x x x , determine
Ran(f).
A) B) 2n 1/ n
C) 2n / n D) 22n 1/ n
E) 3n / n
78. Determine el rango de 2
f x xx
con x 0 .
A) 2;
B) 2 2;
C) 1;
D) 3 2;
E) 0;2
79. Dada la función 2x
f x 2x 62
.
determine la longitud entre los interseptos con el eje "x" y el máximo valor que alcanza la función.
A) 8; 2;8 B) 6; 1;5
C) 3; 3;6 D) 5; 1;5
E) 6; 6;8
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 12 -
80. Determine el conjunto solución del siguiente sistema e inecuaciones:
x 1
25 5
e ln x 1
4x log x x 3 log x
A) 0;1 B) 0;3 C) 0;3 1
D) 1;3 E) 0;
81. Resolver el sistema y determine el
conjunto solución S del
sistema
x2 3 x
10
log 2x 1
A) S 0;1 B) S 0;1
C) 1
S ;2
D) 1
S ;1 \ 02
E) S 1;
82. Si "a" , ¿cuál es su valor para
que la ecuación x a 3 x tenga
infinitas soluciones? De como
respuesta el valor de a 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
83. Resolver el sistema:
3
x y 1
x y log 6 1
2 3 2
y de como respuesta la solución no racional de x.
A) 3log 2 B) 3log 2 C) 6log 3
D) 3log 6 E) 2log 6
84. Se requiere que el sistema si el
sistema 2
2
y b x
x b y
debe tener 2
soluciones (necesariamente), entonces el máximo valor entero de "b" es:
A) 0 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1 85. Determine el valor de "k" para que el
sistema lineal en x e y; sea incompatible:
k 3 x 2ky 5k 9
k 4 x 3k 2 y 2k 1
A) 1 B) 3 C) 3
D) 2 E) 2 86. Sean las matrices A y B definidas por
1 3 2A
3 2 4
y
1 3
B 1 1
2 4
.
Si ij 2 2A B C a
. Halle el
elemento 21C .
A) 5 B) 13 C) 14 D) 16 E) 23
87. Determine la traza de x, si
AX AB BX ; 1 2
A3 4
;
0 2B
3 3
A) 24 B) 12 C) 6 D) 2 E) 4
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 13 -
88. Sea el conjunto:
7 3iA z 1 z 2
2 5i
la gráfica que mejor representa al conjunto A es:
89. Si se cumple z 2 z 2 , halle
Re(z)
A) 1 B) 1
2 C) 2
D) 3
2 E) 4
90. Si el complejo z 1
z 1
es imaginario
puro, halle z
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
91. Determine la secuencia correcta si la
afirmación es verdadera (V) ó falsa (F): I. z 1 i z 2 i
II. z : z 1 z 10
III. iRe z
z : e 1
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
92. Para un entero r 1 , definimos
rrU z : z 1
Indique los valores de verdad de:
I. Para n 2 fijo, nU tiene infinitos
elementos.
II. Si n mU U , entonces m es
múltiplo de n. III. Si m y n son primos entre sí,
entonces el 1 es el único elemento
común de n mU y U .
A) VFV B) VVV C) FVF D) FVV E) VVF
93. Si nalog bc x , n
blog ac y , n
clog ab z , n N . Calcule el valor
de: nn n n
1 1 1 1E
n x 1 y 1 z 1
A) 2n B) n C) 2n
D) 1
n E)
n
2
94. El número de raíces de la ecuación
xln x 1 0
2 es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Re
Im
A)
Re
Im
B)
Re
Im
C)
Re
Im
D)
Re
Im
E)
CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013
28/01/213 ÁLGEBRA - 14 -
95. Determine el residuo de dividir
2005 2004x 10x 2x 1 x 10
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
96. Si el conjunto solución de la siguiente
inecuación tiene la forma a;b c
1
2
log 2x 3 3 .
Halle a b 2c . A) 0 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12
97. Si 0 0x ,y es la solución de la
ecuación: logx logy 8
logy 7x 10 , y x
Calcule el valor de 7
0
0
x
y.
A) 62 B) 1 C) 610
D) 4810 E) 1310 98. Determine el dominio de la función f
cuya regla de correspondencia es:
x2f x 4 2 log x
A) 3
;22
B)
3;2
2
C) 1;2
D) 3
;24
E) 5
;26
99. En los reales:
Determine el valor de
A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105
100. Se define la operación en los reales:
Determine el valor de:
A) 4
7 B)
4
5 C)
3
5
D) 7
5 E) 1
a
b
a ba b
6
4
P
a b c a 2b c
a c
3 2 1
1 2 0
K