Resumen del repaso y nivelación de ecuaciones de segundo grado (cuadráticas).

Son ecuaciones cuadráticas o de segundo grado aquellas que en su forma reducida pueden escribirse como:a.x2b.xc=0

Donde a∈R , b∈R y c∈R y además a≠0Incompletas Completas

a≠0 b=0 c=0

Forma general: a.x2=0

Para resolverlas se despeja la incógnita.

a.x2=0x2=0x=0

Solución = {0,0}

a≠0 b=0 c≠0

Forma general: a.x2c=0

Para resolverlas se despeja la incógnita.

a.x2c=0a.x2=−c

x2=−ca

x=± −ca

Dos raíces reales distintas

x1= −ca

y

x2=− −ca

Dependiendo de los signos de c y de a puede ocurrir que no tenga ninguna raíz real; si el radicando es negativo.

a≠0 b≠0 c=0

Forma general:a.x2b.x=0

Para resolverlas se saca x de factor común y luego se usa la propiedad hankeliana.

a.x2b.x=0x. a.xb=0

Por propiedad hankelianax=0 o sinoa.xb=0a.x=−b

x=−ba

Dos raíces reales distintas

x1=0 y x2=−ba

a≠0 b≠0 c≠0

Forma general:a.x2b.xc=0

Para resolverlas se usa la fórmula de Bashkara.

Llamamos discriminantea =b2−4.a.c y según cual sea su signo será la cantidad de raíces.

0 Dos raíces reales distintas.0 No existen raíces

reales.=0 Una raíz real

doble.

Ejercicios

1) Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad hankeliana.a) x−1x2=0 b) 2x−3x4=0 c) 4−2x −x1=0

2) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas, despejando directamente o factorizando.a) x2−1=0 b) −2x2−4x=0 c) x21=0 d) 12x2−3=0 e) −5x− x2=0f) x2=0 g) 3− x2=0 h) −218x2=0 i) −3x2−3x=0

3) Resolver las siguientes ecuaciones completas aplicando la fórmula de resolución.

a) 3x2−2x−1=0 b) −6x2x2=0 c) x−12⋅x2=x22 d) x−1.x3=−1

2⋅x

e) x5x−5=7x−25 f) x22=4x g) 2x1. x−2 x25=0

4) Las medidas en centímetros de la hipotenusa y del cateto mayor de un triángulo rectángulo son números naturales consecutivos. Al cateto menor le faltan 7 cm para igualar al mayor. ¿Cuánto mide cada uno de los tres lados?

5) Determinar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2.

6) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y uno de los catetos mide 4 cm ¿En cuanto hay que aumentar la medida de la longitud de los catetos para que la superficie del triángulo aumente en 200 cm2.