Representación y comunicación de los números: los …maestriaedu/docs/asig2/lanumeracion.pdf · sumerio, etrusco-romano, griego-ático, maya, chino, ghobar árabe occidental, indí-árabe

B. Gómez. Did. Mat. 1

RepresentaciRepresentacióón y comunicacin y comunicacióón de los n de los nnúúmeros: los sistemas de numeracimeros: los sistemas de numeracióónn

Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV del IPN. de México.

Bernardo Gómez Alfonso

Maestría en educación. Especialidad Matemáticas

Departamento de Didáctica de las matemáticas. Universidad de Valencia. España


• Etapas distintivas en el proceso evolutivo de los sistemas de signos y reglas.

• El sistema de numeración decimal

• Sistemas de numeración de otras bases

Problemática relacionada con el tema, de acuerdo con el programa de la asignatura


Objetivo: Caracterizar nuestro sistema de numeración poniendo de relieve de un modo significativo los principios que lo estructuran.

Objetivo, método y finalidad

Metodología: Se hace un análisis de los principios y las características de los sistemas de numeración históricos.

Finalidad: Presentar criterios para el análisis de la forma usual de enseñanza de la numeración: identificar principios y características, señalar sus fortalezas y debilidades y hacer propuestas de mejora.


• ¿Qué son las cifras? ¿Las cifras son números?

• ¿El cero es un número?

• ¿Por qué xy = yx, pero 02 ≠20?

• ¿Es lo mismo el diez que la decena?

• ¿Qué diferencia hay entre las notaciones posicional, multiplicativa, polinómica y científica de un número?

• ¿Cómo se escribe el año 2006 en los sistemas egipcio, babilonio, sumerio, etrusco-romano, griego-ático, maya, chino, ghobar árabe occidental, indí-árabe oriental?

• ¿Qué abreviaturas e irregularidades presenta nuestro sistema?

• Usando el sistema de símbolos: I, V=IIIII, N=VVVVV, W=NNNNN, …escribe el año 2006, en forma multiplicativa y en forma posicional.

Algunas de las preguntas que contestaremos en el taller


• Se ha descifrado un código numérico marciano. Parecer ser que en Marte el 17 se escribe 21. ¿Cuántos dedos tienen los marcianos?

• En el sistema de numeración marciano interesa multiplicar 25x25. Comprueba el resultado dividiéndolo por 25.

• Tenemos pesas de 1, 2 , 4, 8, 16, 32 , ... Kilos. ¿Cuántas pesas se necesitan para pesar una tonelada, tomando como máximo una de cada tipo, y poniendo las pesas en un solo platillo de la balanza.

• Un compañero de clase ha pensado un número natural comprendido entre 1 y 1000. ¿Puedes adivinarlo haciéndole preguntas a las cuales sólo responderá "si" o "no"?

• Un maestro dice que en su clase hay 100 alumnos de los cuales 24 son varones y 32 hembras. ¿Qué sistema de numeración ha usado?

• Escribe en el sistema decimal las fracciones equivalentes a los decimales escritos en base 8: 0.5 (8 y 0.23 (8

Algunos de los problemas que resolveremos en el taller


Revisar el contenido de los libros de texto en vigor bajo la lupa de la información presentada en la clase teórica:

• Secuencia de presentación, orden y enlace de los principios que organizan el sistema de numeración.

• Ejemplos que se utilizan para ilustrar dichos principios

• Problemas de enunciado relacionados

• Puntos fuertes, puntos débiles y propuestas de mejora

Otras actividades para el taller: Sábado 20 de mayo del 2006


Módulo:

RepresentaciRepresentacióón y comunicacin y comunicacióón de los n de los nnúúmeros: los sistemas de numeracimeros: los sistemas de numeracióón.n.

Sesión:

MiMiéércoles 17 de mayo del 2006rcoles 17 de mayo del 2006


SISTEMAS ADITIVOS SIMPLESSISTEMAS ADITIVOS SIMPLES

Características:•Un símbolo unitario.

Principios: correspondencia uno a uno

•Las muescas expresan cantidades.

•Cada muesca representa un objeto real.

•Una cantidad se representa por repetición del símbolo tantas veces como unidades hay en la cantidad


SISTEMAS ADITIVOS DE AGRUPAMIENTOSISTEMAS ADITIVOS DE AGRUPAMIENTO

Características:• Una medida o base para el agrupamiento.

• Tantos símbolos diferentes como grupos de tamaños diferentes.

Principios: evitando un poco la repetición de símbolos• Unas muescas representan objetos, otras representan grupos simples

de objetos. • El tamaño o medida de los grupos simples se toma como base para

extender el agrupamiento a grupos de grupos o grupos múltiples.


¿Por qué haría el hombre primitivo los grupos de tamaño cinco o diez?

Los grupos de 5 unidades simples se pueden agrupar a su vez. Extendiendo el criterio de agrupamiento se obtienen grupos de 5 veces 5, 5 veces 5 veces 5, etc. Son grupos de unidades múltiples que corresponden a las potencias de la base.

Hoy en día, los sistema de representación porpor agrupamiento múltiple son habituales en situaciones de recuento, como por ejemplo al contar votos en unas elecciones internas.

¿Tal vez se miraría a sí mismo, sus mano o ambas manos? De esta manera pudo saber que una mano le servía para representar 5 objetos y dos manos para representar 10. Manos y pies representarían 20 objetos


SISTEMAS ADITIVOS DE AGRUPAMIENTO. EJEMPLOSISTEMAS ADITIVOS DE AGRUPAMIENTO. EJEMPLO

El paloEl arcoLa espiralLa flor de lotoEl dedoEl renacuajoEl hombre asombrado

828

Principio: símbolos jeroglíficos.El sistema de numeración egipcio usaba símbolos jeroglíficos (figuras) para representar las potencias de la base diez.

Características:• Una medida o base para el agrupamiento.

• Tantos símbolos diferentes como grupos de tamaños diferentes.


SISTEMAS ADITIVO SISTEMAS ADITIVO -- SUSTRACTIVOSSUSTRACTIVOS

Principios: El valor sustractivo y el alfabético. El sistema romano-etrusco, utilizó símbolos derivados de la práctica de la muesca, modificados al pasar a símbolos escritos, y sustituidos por letras. Un símbolo colocado a la izquierda de otro de mayor valor significaba que debía ser sustraído del de la derecha

Características:• Base diez.• Símbolos alfabéticos principales para las potencias de la base.• Algunos de ellos actúan como auxiliares para disminuir la repetición de los

símbolos principales.• Posición de un símbolo auxiliar a derecha o izquierda de un símbolo principal

indica adición o sustracción.

I X C M1 10 100 1000

V L D5 50 500

XLIX

49


Principio: El multiplicadorLos Sumerios (s. 3500 a. de C.) representaban una unidad simple por un cono pequeño, 10 unidades por una bola, 60 por un cono grande, 10 veces 60 por un cono perforado, 60 veces 60 por una esfera, 10 veces 60 veces 60 por una esfera perforada.

223

SISTEMAS ADITIVO - MULTIPLICATIVOS

Características:• Bases diez y sesenta.

• Dos símbolos principales: uno para las potencias de 10 y otro para las de 60.

• Un señal auxiliar con carácter multiplicador


S. ADITIVO - MULTIPLICATIVOS

Principio: Emparejamiento multiplicativo.

El sistema ático-griego representaba las potencias de la base con la letra inicial de la palabra que la denominaba.

1 = 10 = ∆ Deka100 = H Hekaton o Hecto1000 = X Xilioi o Kilo10.000 = M Myrioi

XXX ΓH H ∆ ∆ ∆ III 3633

Cuando una letra se repetía cinco veces, la emparejaban con la letra Γ, inicial de pente, que denomina el cinco.

Características:• Bases diez.

• Símbolos diferentes para cada una de las unidades simples y múltiples.

• Un símbolo alfabético auxiliar y multiplicador


SISTEMAS MULTIPLICATIVOS

Principio: El doble valor: absoluto o multiplicador

El sistema chino - japonés generaliza el emparejamiento multiplicador usando dos clases de símbolos: unos representan a las potencias de la base y otros a las cantidades inferiores a la base. Estos últimos tienen un doble valor. Por símismos o como multiplicador de su pareja de más valor.

Características:• Base diez.

• Símbolos diferentes para cada una de las unidades simples o múltiples

• Doble valor de los símbolos de las unidades simples: cardinal o multiplicador.


Un sistema oral chino usa los siguientes nombres:yī , èr , sãn , sì , wū , liù , qī , bã , jiū , shí , bai , qian , wàn, ...

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 100, 1000, 10.000, ..

SISTEMA MULTIPLICATIVO ORDENADO ORALSISTEMA MULTIPLICATIVO ORDENADO ORAL

wū-wàn sãn-qian qī-bai jiū-shí yī

Nombramos los números del 11 al 19 así:

11 shí - yī (“diez - uno”) ; 12 shí - èr (“diez - dos”) ; …

Y las decenas, centenas, etc., así.

20 èr - shí (“dos-diez”) ; 30 sãn - shí (“tres-diez”) ; …

53,791

Principio: la lectura ordenada de mayor a menor

El sistema oral chino introduce una lectura de los números basada en el principio de las parejas y en el orden de izquierda a derecha para leer las cantidades de mayor a menor

Características: Ordenado


Nuestro sistema oral, usa los siguientes nombres:

uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, cien, mil, ...

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 102, 103, …

NUESTRO SISTEMA MULTIPLICATIVO ORDENADO ORALNUESTRO SISTEMA MULTIPLICATIVO ORDENADO ORAL

Cuando el número es grande, la forma multiplicativa :Cinco decenas de millar, tres millares, siete centenas, nueve decenas y uno

se abrevia, por ciclos de mil en milCincuenta y tres mil setecientos noventa y uno

Nombramos los números con irregularidades:

once en vez de “diez - uno” ; doce en vez de “diez - dos” ; …

Y con abreviaturas: treinta en vez de “tres-diez” ; …

El veinte es irregular doblemente, debería ser “dos-diez” ; o “duente”

Características:• Irregularidades y abreviaturas

• Ciclos para leer los números de tres en tres cifras


SISTEMAS POSICIONALES

11

19

69

Principio: El valor de posición. Cuando se usa siempre el mismo orden para nombrar o escribir los números se puede prescindir de los símbolos de los grupos de unidades.

El sistema Babilónico usaba el sesenta como base para el agrupamiento, pero no necesitaba ningún símbolo especial para representarla, ni tampoco a sus potencias porque se sobreentendían, de modo que el orden de menor a mayor era el orden de izquierda a derecha. Con la cuña vertical o clavo representaban la unidad y para ahorrar espacio se auxiliaban de la cuña horizontal o espiga, que valía por diez unidades.

El sistema de Babilonia recuerda el sistema de horas, minutos y segundos.

Características:• Un símbolo para las unidades simples con doble valor: cardinal y multiplicador

• Otro símbolo auxiliar para ahorrar espacio


SISTEMAS POSICIONALES

Principio: El valor de posición.

El sistema Maya presenta los mismos principios y características que el sistema Babilónico.

El sistema Maya usaba el veinte como base de agrupamiento, pero no necesitaba ningún símbolo especial para representarla, ni tampoco a sus potencias porque las escribía en cajas de distinto nivel, de modo que el orden de menor a mayor era el orden de arriba a abajo.

Con un punto representaban la unidad y para ahorrar espacio se auxiliaban de una barra horizontal, que valía por cinco puntos.

Este sistema recuerda al ábaco, sin más que hacer un giro de 90º

Características:• Un símbolo para las unidades simples con doble valor: cardinal y multiplicador

• Otro símbolo auxiliar para ahorrar espacio


EL SISTEMA POSICIONAL CIFRADOEL SISTEMA POSICIONAL CIFRADO

Principio: Las cifras, como símbolos desvinculados de lo sensible.

El viejo sistema Gupta, (III a. C. a VII d. C.), era de base diez y usaba nueve símbolos diferentes para las unidades simples.

Estos símbolos se desvinculaban de lo sensible: distintos entre sí, no evocaban visualmente los números correspondientes y prefiguran los símbolos actuales, que en Occidente se llamaron figuras, dígito, letras o caracteres.

Brhami, s. III a. C. Se puede reconocer nuestro 6

Gupta, s. IV-VI d. C.,

Características:• Cifras diferentes para las unidades simples con doble valor: cardinal y multiplicador


EL SISTEMA POSICIONAL CIFRADO COMPLETOEL SISTEMA POSICIONAL CIFRADO COMPLETONagari, s. VIII d. C.,

Ghobar, s. IX, Árabe occidental

Hindí, árabe de Oriente

Principio: Representando la columna vacía.

En la antigua India, el sistema cifrado de posición evolucionó resolviendo el problema de la columna vacía (s. V de C.). El problema era que números distintos tenían la misma forma posicional. Se solucionó representando con un nuevo símbolo la ausencia de un determinado tipo de unidades múltiples.

Características:• Cifras con doble valor: cardinal y multiplicador.

• El cero para la columna vacía

2 mil 3 cientos 0 dieces 4

2 mil 0 cientos 3 dieces 4

2304

2034

2 mil 3 cientos 4

2 mil 3 dieces 4

234

234

Sin cero con cero

El 0, de nombre Sunya, traducido por los árabes como Sifr, fue pronunciado en Europa cifra, y se latinizó como Zephirum.


Referencias bibliográficas

Principales

Ifrah, G. (1997) Historia universal de las cifras. La inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo. Madrid. Espasa.

Gómez, B. (1988) Numeración y Cálculo. Madrid. Síntesis.

Miller, Ch. D. y Heeren, V. E. (1979) Introducción al pensamiento matemático. México. Trillas.

Auxiliares

Boyer, C (1968) Historia de la matemática. Madrid, Alianza Universidad. 1986

Dantzig, T. (1971) El número lenguaje de la ciencia. Buenos Aires. Hobbs Sudamericana.

Smith, D. E. (1923, reed. 1958). History of Mathematics. New York. Dover P.


• ¿Qué son las cifras? ¿Las cifras son números?

• Son símbolos multiplicadores y símbolos que representan a las cantidades menores que la base

• ¿El cero es un número?• En el sistema de numeración es la columna vacía, luego no es número

• ¿Por qué xy = yx, pero 02 ≠20?• x e y son números en ambos casos, mientras que 2 es diferente en 20 y en 02. En 20 es un

multiplicador, y en 02 no lo es.

• ¿Es lo mismo el diez que la decena?• No. IIIII IIIII representa diez unidades. 10 representa una decena. Es la misma cantidad representada

de forma diferente. En un caso, se representa por extensión de unidades, y en el otro como unidad múltiple que agrupa unidades simples haciendo un todo. No es lo mismo una moneda de diez pesos que diez monedas de a peso. La moneda de diez pesos sería como la decena, y las monedas de a peso serían como el diez.

• ¿Cómo se escribe el año 2006 en los sistemas egipcio, babilonio, sumerio, etrusco-romano, griego-ático, maya, chino, ghobar árabe occidental, indí-árabe oriental?

• ¿Qué abreviaturas e irregularidades presenta nuestro sistema?

• Usando el sistema de símbolos: I, V=IIIII, N=VVVVV, W=NNNNN, …escribe el año 2006, en forma multiplicativa y en forma posicional.

Preguntas y respuestas


Preguntas y respuestasPreguntas y respuestas¿¿QuQuéé diferencia hay diferencia hay entre las notaciones posicional, multiplicativa, polinómica y científica de un número?

5x104+3x103+7x102+9x10+1

5x10,000+3x1,000+7x100+9x10+1

Cincuenta y tres mil setecientos noventa y uno

53,791

50,000+3,000+700+90+1

Cinco decenas de millar, tres millares, siete centenas, nueve decenas y uno

Multiplicativa

Polinómica

Posicional

Oral multiplicativa

Oral ciclos

Por ordenes de unidad

Científica


1 Se ha descifrado un código numérico marciano. Parecer ser que en Marte el 17 se escribe 21. ¿Cuántos dedos tienen los marcianos?

• El número de dedos determina la base de numeración. No se necesita plantear la ecuación, basta con escribir IIIII IIIII IIIII II y reagrupar IIIIIIII IIIIIIII I . Es un problema de cambio de base.

2 En el sistema de numeración marciano interesa multiplicar directamente 25x25. Comprueba el resultado dividiéndolo por 25.

3 Tenemos pesas de 1, 2 , 4, 8, 16, 32 , ... Kilos. ¿Cuántas pesas se necesitan para pesar una tonelada, tomando como máximo una de cada tipo, y poniendo las pesas en un solo platillo de la balanza.

• Es un problema de cambio de base. De diez a dos

4 Un compañero de clase ha pensado un número natural comprendido entre 1 y 1000. ¿Puedes adivinarlo haciéndole preguntas a las cuales sólo responderá "si" o "no"?

• Es un problema de cambio de base. De diez a dos. Pídele a tu compañero que divida sucesivamente por dos el número que ha pensado y que te diga que si el resto que obtiene encada división es 1.

5 Un maestro dice que en su clase hay 100 alumnos de los cuales 24 son varones y 32 hembras. ¿Qué sistema de numeración ha usado?

• Cómo el problema 1.

6 Escribe en el sistema decimal las fracciones equivalentes a los decimales escritos en base 8: 0.5 (8 y 0.23 (8

• 5/8 y 23/64

Respuestas a los problemas

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