ReprEstado_03-04

Circuitos y Sistemas DinmicosEjercicios Tema 5

Representacin de estado desistemas dinmicos

5.1 En el circuito RLC serie de la figura, y considerando uR y uL como variables de salida, obtener larepresentacin de estado en los siguientes casos:

a) Tomando uC e i como variables de estado.

b) Tomando uC y Cu

como variables de estado.c) Partiendo de cualquiera de las anteriores deducir las funciones de transferencia

)s(U/)s(UR y )s(U/)s(UL .

d) Comprobar que resulta imposible con i e i

como variables de estado.

+

-

L

C

R

i

5.2 En el circuito anterior y tomando uC como salida y u como entrada, se pide:

a) Calcular la funcin de transferencia UC(s)/U(s).b) Obtener la forma cannica de controlabilidad.c) Obtener la forma cannica de observabilidad.

5.3 Obtener una representacin de estado del circuito de la figura. Tomar uR1 y uR2 como variables desalida.

R2L

CR1E

I

Escuela Tcnica Superior de Ingeniera (ICAI) Circuitos y Sistemas DinmicosDepartamento de Electrotecnia y Sistemas 3 IIND

R C

L

M

RLui u1

u2i1

i2

5.4 (Examen Febrero 2001) Dado el circuito de la figura, se pide:

Rg

LCe1

iL

uC

+_

R

+_e2

a) Obtener una representacin de estado del circuito, tomando como entradas las tensiones e1 y e2 ycomo salidas la tensin del condensador uC y la corriente por la bobina iL.

b) Considerando e2 como entrada e iL como salida, dar las matrices A, B, C y D y deducir de ellas lafuncin de transferencia correspondiente.

5.5 (Examen Febrero 2002) Dado el circuito de la figura, se pide:

a) De qu orden es el circuito?

b) Obtener una representacin de estado del circuito. Las variables de salida sern u1 y u2.

c) Expresar cmo queda la representacin anterior en el caso M = 0.

d) Cul es el efecto fsico de la condicin citada en el apartado anterior? En qu se refleja en laecuacin de estado?


5.6 (Examen Septiembre 2002) Dado el circuito de la figura, se pide:

C2 R1

e

C1 R2 1

u1 u2

a) Indicar el orden del circuito.

b) Considerando como variables de salida u1 y u2, obtener una representacin de estado del circuito.

c) Considerando e como entrada y u2 como salida, dar las matrices A, B, C, y D y deducir de ellas lafuncin de transferencia.

5.7 (Examen Febrero 2003) Dado el circuito del ejercicio 1.24, se pide:

a) Tomando como vector de estado [ ]=x ti u y considerando la entrada correspondiente a la fuente detensin ( )e t , determinar las matrices A y B de la representacin de estado.

b) Determinar las coordenadas de los autovalores de la matriz A sobre el plano imaginario justificandoadecuadamente cada paso.

c) Si se eligiesen como variables de estado el flujo magntico en la bobina = L i y la carga en elcondensador = q C u , cmo afectara esto a los autovalores de la matriz A de la nuevarepresentacin de estado? Justificar la respuesta.

5.8 (Examen Septiembre 2003)

R

L

C1

C2+ ui(t)

i(t)

a) Dado el circuito de la figura, determinar la funcin de transferencia I(s) / Ui(s).

b) Obtener una representacin de estado del sistema con ui(t) como entrada e i(t) como salida.Especificar claramente las matrices A, B, C y D comprobando sus dimensiones (n de filas ycolumnas) as como las unidades de todos sus elementos.

c) Plantear cmo se obtendra la funcin de transferencia de a) a partir de la representacin de estado.

d) Obtener dicha funcin de transferencia a partir de la representacin de estado, comprobando queambos resultados coinciden.


SOLUCIONES5.1

a) A =

LR

L1

C10

B =

L10

C =

R1R0

D =

10

b) A =

LR

CL1

10B =

CL10

C =

CR1CR0

D =

10

c) 1sCRsCL

sCR)s(U)s(U

2R

++=

1sCRsCLsCL

)s(U)s(U

2

2L

++=

d) Resultara B =

Ls0

, que no es una matriz de coeficientes constantes.

5.2

a) F(s) =

CL1s

LRs

CL1

1sCRsCL1

22

++=++

b) A =

LR

CL1

10B =

10

C =

0CL1 D = 0

c) A =

LR1CL10

B =

0

CL1

C = ( )10 D = 0

5.3 C

L

ui

= x

ei

= uR1

R 2

uu =

y

1

1 2 1 2

1 1 2

1 2 1 2

R1(R R ) C (R R ) C

R R R(R R ) L (R R ) L

+ + = + + A

10C

1 0L

= B

1 1 2

1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2

R R RR R R R

R R RR R R R

+ + = + + C

0 00 0 = D


5.4

a) C C 1g gL 2

L

1 1 1 0u u eR C C R C

i e1 R 1i 0L L L

= +

+

=

2

1

L

C

L

Cee

0000

iu

1001

i

u

b) g

1 1R C C1 RL L

= A

01L

= B ( )0 1=C D 0=

gL2

2 g g g

R C.s 1I (s)E (s) R LC.s (R.R C L)s R R

+= + + + +

5.5a) El circuito es de orden 3.

b)

C C

1 1 i2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

C1

1 i2

2

10 0 0Cu uL RL RM Li i u

L M L M L M L Mi iM RM RL M

L M L M L M L Mu

u 1 R 0 1i u

u 0 0 R 0i

= +

= + c)

C C

1 1 i

2 2

C1

1 i2

2

10 0 0Cu u1 R 10i i u

L L Li iR 00 0

L

uu 1 R 0 1i uu 0 0 R 0i

= +

= + d) Se desacoplan los dos circuitos y la matriz A se hace diagonal por bloques.


5.6a) Orden 2

b)

( )

( )

1

1 1 1 11

22

2 2 2 2 2 2

11

22

1 10

1 1 1

1 0 1

0 1 0

= + = +

C

C

CC

C

C

duR C R Cudt e

uduR C R C R Cdt

uue

uu

c) ( )( )2 1 11 1 2 2( ) ( ) 1 1

= + +U s R C sE s R C s R C s

5.7a)

N

11

22

11

[ ]1 10

= + + = + = +

di Rdie R i L uidt L Ldt eLdu u du ui C

C R Cdt R dt

b) 12

250 3158.71250 3158.71

= + = + = =

d

d

s j js j j

c) No afecta, dado que los autovalores de la matriz A son invariantes.

5.8

a) ( )

( )2

2 1

3 2i 1 2 1 2 1

LC s 1 C sI(s)U (s) LC C R s L C C s RC s 1

+ = + + + +b)

1 1

2 2

1

2

1 1 1C C

C C i2 2 2 2

L L

C

C i

L

1 1 10RC RC RCu u

1 1 1 1u u uRC RC C RC

i i1 00 0Lu

1 1 1i 0 u uR R R

i

= +

= + c) ( ) 1

i

I(s) C s I A B DU (s)

= +

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