ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes.

En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté equilibrado

En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior.

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS PLANOS

Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (sq) y uno cortante (txy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo q indica la dirección normal al plano de corte.

Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen sx, sy y txy sobre el elemento:

tan dydyP xyxx dydyP xyyy tan

Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el valor del esfuerzo sq:

Luego, al desarrollar la expresión nos queda:

Si utilizamos la identidades trigonométricas:

0cos

sincos

dyPPF yx

cossin2sincos 22 xyyx

22cos1

cos2

22cos1

sin 2 2cossin2 sen

Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos queda:

2sin2cos22

xy

yxyx

)1802sin()1802cos(22'

xy

yxyx

Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple:

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.

0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

ctteyx '

Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano q. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py sobre la dirección q ’ (perpendicular a q ), tenemos:

Desarrollando la expresión nos queda:

Recordando las identidades trigonométricas:

0cos

cossin ''

dyPPF yx

22

' cossincos)( xyxyyx sen

22cos1

cos2

22cos1

sin 2 2cossin2 sen

Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos queda:

2cos2sin2'

xy

yx

)1802cos()1802sin(2'

xy

yx

Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Si sumamos los esfuerzos cortantes para q y q ‘ veremos que se cumple:

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revés.

0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

0'' ''

A partir de las ecuaciones demostradas anteriormente, se observe que las magnitudes de y , dependen del ángulo de inclinación θ de los planos sobre los que actúan estos esfuerzos.

Esfuerzos principales en el plano: para determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo se debe diferenciar la ecuación 1 con respecto a θ, e igualar 0 (cero) el resultado de este modo obtenemos la siguiente ecuación:

Al resolver esta ecuación se tiene la orientación , de los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo.

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO

= 2+ 2 = 0 

=

 

La solución tiene dos raíces, y en forma específica los valores de 2 y 2 están a 180° entre sí, por lo que y forman 90°. Los valores de y deben de sustituirse en la ecuación 1, para poder obtener los esfuerzos normales que se requieren. Se puede obtener el seno y el coseno de 2 y 2 con los triángulos sombreados en la figura. La construcción de esos triángulos se basa en la ecuación anterior suponiendo que y son cantidades positivas o negativas, las dos para se tiene que:

Y para :

=

=

= =  

Si se sustituye cualquiera de estos dos conjuntos de relaciones trigonométricas en la ecuación 1 y se simplifica se obtiene:

Dependiendo del signo elegido, este resultado proporciona el esfuerzo normal máximo o mínimo que actúa en un punto del plano, cuando ≥ . Este conjunto particular de valores se denomina esfuerzos principales en el plano, y los planos correspondientes sobre los que actúan se llaman planos principales de esfuerzo, figura 2. Por otra parte, si las relaciones trigonométricas para y se sustituyen en la ecuación 9-2, puede verse que ; en otras palabras, ningún esfuerzo cortante actúa sobre los planos principales.

= +-  

Esfuerzo cortante máximo en el plano: la orientación de un elemento que está sometido a un esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la derivada de la ecuación 9.2 con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Así obtenemos:

Las dos raíces de la ecuación anterior, y se puede determinar con los triángulos sombreados en la figura 3. Comparando con la figura 1, cada raíz de está a 90° de . Así, las raíces forman 45° entre ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se puede determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos de esfuerzo principal.

Usando cualquiera de estas raíces , se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando los valores trigonométricos de y en la figura 3. Y sustituyendo en la ecuación 9.2 se obtiene como resultado la siguiente ecuación:

=  

=  

El valor de calculado con la ecuación anterior se llama esfuerzo cortante máximo en el plano, porque actúa sobre el elemento en el plano X-Y. Si se sustituyen los valores de y en la ecuación primera ecuacion, se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzos cortantes máximos en el plano. Obteniendo:

=  

Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo PlanoObservemos las ecuaciones que describen cómo varían los esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen:

Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda:

CÍRCULO DE MOHR

2cos2sin2'

xy

yx

2sin2cos22

xy

yxyx

2

2

2'

2

22 xyyxyx

Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma:

De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma:

Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo.

2

2

2

2 xyyxR

22'

2 Rprom

Método para graficar el círculo de MohrA continuación describiremos un procedimiento para graficar el círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos.

Su tomarán la siguiente convenciones:

- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada.

- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa.

- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.

- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las ordenadas.

_

Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (sx,txy) y (sy,tyx), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos x e y respectivamente.

Note que en este caso, txy hace girar al elemento en sentido antihorario y tyx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convención establecida.

También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (sx y sy) son de tracción.

2. Trazar una línea que una los puntos (sx,txy) y (sy,tyx) y definir la dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de las abscisas en el valor sprom.

3. Con centro en el punto (sprom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (sx,txy) y (sy,tyx).

Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr

Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los parámetros sx, sy y txy, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa:

- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento diferencial.

- Los esfuerzos principales (s1 y s2).

- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales (qp1 y qp2).

- El esfuerzo cortante máximos (tmax)

- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante máximo.

Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección q, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2q respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos sq y tqq’ en el plano en cuestión.

Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido horario.

Note que para el caso mostrado, el esfuerzo sq es de tracción (+) y el esfuerzo cortante tqq’ trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas.

Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (s). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal.

Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo.

Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2q=180º, es decir, q=90º.

El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas.

Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x.

Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos existe siempre un ángulo 2q=90º, es decir, q=45º.

Círculo de Mohr para Deformación planaObservemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen:

Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:

; ;

2cos

22sin

22'

xyyx

2sin2

2cos22

xyyxyx

yy xx 2xy

xy

De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:

Donde:

Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas se referirá a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente.

22

'2

2Rprom

22

2

22

xyyxR

ESFUERZOS EN EJES ,DEBIDOS HA CARGA AXIAL Y TORSIÓN

Generalmente los ejes redondos se sujetan a los efectos combinados de una carga axial y una torsión al mismo tiempo . siempre que el material permanezca linealmente

elástico y solo se someta a una pequeña deformación se puede usar el ´principio de la superposición para obtener el esfuerzo resultante en el eje debido a dos cargas .

VARIACION DE ESFUERZOS A TRAVES DE UNA VIGA PRISMATICA

Las vigas resisten cargas tanto de cortante interno como de momentos, las cuales son calculados usando las formulas de cortante y de flexión.

Consideremos una viga en voladizo de sección prismática: Esta viga esta sometida a una carga P en su extremo libre,

como se muestra. Realizamos un corte para analizar su comportamiento , en el

cual se desarrollan el cortante interno V y el momento flector M

Tomamos puntos en el corte para un análisis mas profundo, con el cual vamos a calcular la distribución de esfuerzos en el área cortada.

En cada caso se puede transformar el estado de esfuerzos para conocer los esfuerzos principales usando las ecuaciones de transformación de esfuerzos o circulo de Mohr.

De aquí obtenemos resultados y lo graficamos:

En este caso cada elemento del 1 al 5 tiene una orientación contraria a las manecillas del reloj, en forma especifica se considera el elemento 1 una orientación de 0° , el elemento 3 de 45° ,y el elemento 5 de 90°.

 

El esfuerzo mide tensión que actúa sobre las caras verticales del elemento 1 se vuelven mas pequeño que los que actúan en las caras de los siguientes elementos ,hasta llegar a ser 0 en las caras horizontales del elemento 5.

En forma parecida el esfuerzo máximo de compresión sobre las caras verticales del elemento 5 se reduce a 0 sobre las caras horizontales del elemento 1.

Si se amplia este análisis a muchos cortes verticales a lo largo de la viga, los resultados se pueden representar por curvas llamadas trayectorias de esfuerzo. Cada una de estas curvas indica la dirección de un esfuerzo principal de magnitud constante para la viga en voladizo.

Para la viga que estamos usando representamos sus trayectorias de esfuerzo.

Es muy importante conocer la dirección de estas líneas para así saber donde poder reforzar una viga para evitar una fractura o inestabilidad.

IMPORTANCIA

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO ABSOLUTO

ESFUERZO PLANO

TRANSFORMACION DE ESFUERZO

ESFUERZOS PRINCIPALES

2

2

2,1 22 xyyxyx

2

2

max 2 xyyx

CIRCULO DE MOHR

ESFUERZO CORTANTE MAXIMO ABSOLUTO