ING. RANDO PORRAS OLARTE

TOPOGRAFA AUOMATIZADAFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Medicin de ngulos.- En el desarrollo de una triangulacin, es

importante determinar el grado de precisin que se requiere y el

objetivo de la red, en funcin a estos parmetros se puede fijar el

mtodo de medicin de ngulos, pudiendo ser por repeticin

para poca precisin y por reiteracin para mayor precisin.

Compensacin de Base.- Despus de finalizado la medicin de

una base de triangulacin se procede a realizar las correcciones

necesarias para luego compensar la base final.

Compensacin de ngulos.- Es una tcnica que consiste en

distribuir equitativamente los errores de cierre angular de tal

manera que cumpla los principios geomtricos de la suma interna

de los ngulos, existen diferentes redes para compensar ngulos,

los mismos que requieren tratamientos especiales entre ellos

tenemos:

Compensacin para redes de tringulos simples.

Compensacin para redes de cuadrilteros.

Compensacin para redes de polgonos con punto central.

Red de Tringulos simples.- Para compensar una red de tringulos

podemos realizar de dos formas:

Compensacin de estacin, cuando la suma de los ngulosalrededor del punto sea 360.

Se suma los ngulos alrededor del punto, el resultado se resta 360o y

la diferencia se divide entre el nmero de ngulos, luego se suma

algebraicamente con el signo cambiado a cada ngulo, quedando

compensado.

Compensacin del tringulo, comparar que la suma de los ngulosinternos del sea 180.

Se suman los ngulos internos del tringulo, del resultado se resta

180 esta diferencia se divide entre 3 y se suma algebraicamente con

el signo cambiado a cada ngulo.

Compensar las siguientes redes de tringulos, los ngulos son promedios

de una lectura por repeticin.

1) 38o 20 6) 58o 07 11) 255o 29

2) 72o 40 7) 46o 25 12) 238o 43

3) 69o 02 8) 93o 14 13) 321o 39

4) 52o 14 9) 40o 23 14) 124o 29

5) 69o 38 10) 319o 36

Para compensar una cadena de tringulos, tenemos que iniciar

compensando los vrtices y luego por tringulos.

Vrtice A

1 + 13 = 360

38 20 + 321o 39 = 360o

359o 59= 360Er.C = 359o 59-360 = -1

fc C = +1/2 =30

sumando + 30 a los ngulos 1 y 13 38o 20 30 + 321o 39 30 = 360o

360 = 360o

VertAngulos Lect. Campo Compensado

A

1

13

suma

38 20

32139

35959

382030

3213930

3600000

B

2

5

8

14

suma

7240

6938

9314

12429

36001

723945

693745

931345

1242845

3600000

C

9

10

suma

4023

31936

35959

402330

3193630

3600000

D

6

7

11

suma

5807

4625

25529

36001

580640

462440

2552840

3600000

E

3

4

12

suma

6902

5214

23843

35959

690220

521420

2384320

3600000

Con el mismo procedimiento compensar los dems vrtices.

Compensando por i=180, Se suma los ngulos internos, la diferencia que

existe al restar 180 se divide entre 3, el resultado se suma o resta a cada ngulo.

Comp. de Vert. Vert. Compensado

ABE

1

2

3

suma

382030

723945

690220

1800235

381938.333

723853.333

690128.333

1800000

BDE

4

5

6

suma

521420

693745

580640

1795845

521445

693810

580705

1800000

BCD

7

8

9

suma

462440

931345

402330

1800155

462401.666

931306.666

402251.666

180

COMPENSACION DE UNA RED DE CUADRILATEROS. Dentro de la

lectura de ngulos de una red de cuadrilteros se tiene los ngulos internos que

sumado debe ser 360, para ello se tiene en cuenta las siguientes propiedades:

Propiedad geomtrica o de figura.

Propiedad trigonomtrica o de lado.

Condicin Geomtrica.- Un cuadriltero puede descomponerse en varios

tringulos, los mismos que se encuentran superpuestos entre s.

En la figura se tiene los siguientes tringulos:

ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de los

ngulos debe ser 180.

ABC = 3+4+5+6 = 1800 0

ACD = 2+7+8+1 = 1800 0

ABD = 1+2+3+4 = 1800 0

BCD = 5+6+7+8 = 1800 0

Otras de las condiciones geomtricas que debe cumplir, que la suma de sus

ngulos de los cuadrilteros debe ser 360.

ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360 0 0

Adems geomtricamente se dice que los ngulos opuestos por el vrtice

y en la interseccin de las diagonales deben ser iguales.

1+2 = 5+6

3+4 = 7+8

La secuencia para compensar un cuadriltero es:

1. Las lecturas de los ngulos del cuadriltero deben ser el promedio de

mediciones por reiteracin o repeticin.

2. La suma de los ngulos debe ser 3600 0, si existe discrepancia, esta se

divide entre 8 y se suma algebraicamente con signo cambiado a cada

ngulo.

3. Se compara los ngulos opuestos por el vrtice en la interseccin de las

diagonales, estas deben ser iguales, la discrepancia se divide entre 4, el

cociente se compensa a cada ngulo, aumentando a los dos cuya suma es

menor, y disminuyendo a cuya suma es mayor.

Condicin Trigonomtrica.- Para el clculo de lados de un

tringulo, los lados estn en funcin al seno opuesto, por lo tanto

la condicin trigonomtrica es, la suma de los Logaritmos Seno de

los ngulos impares debe ser igual a la suma de los Logaritmos

Seno de los ngulos pares.

(Lg Sen ngulos imp). = (Lg Sen ngulos par).

El procedimiento a seguir despus de la compensacin Geomtrica

es como a continuacin se indica:

1.- Anotamos los ngulos pares e impares en su columna

respectiva.

2.- Calculamos el Logaritmo Seno para cada ngulo.

3.- Hallamos la diferencia tabular para un segundo en el sexto

lugar decimal.

Ejempo

La diferencia tabular de 382018 es:

Log Sen 382018 = 9.792604541,

La diferencia tabular para un segundo ser restando del ngulo

inmediato superior el inferior.

Log Sen 382019 = 9.792607204.

9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar

decimal ser 2.66.

4.- Restamos la (Lg Sen ngulo impares) menos (Lg sen

ngulo pares) ()

5.- Se suma las Diferencias Tabulares para 1 en el sexto lugar

decimal ()

6.- Dividimos / que viene a ser el Factor de correccin

expresados en segundos.

7.- El resultado de /, adicionamos a cuya suma de los Log.Senos es menor y disminuimos a cuya suma del Log. Sen. esmayor.

EJEMPLO

Los datos que a continuacin se enuncian son de lectura promedios por mtodo

reiterativo, calcular y compensar los ngulos del cuadriltero.

Para compensar un cuadriltero se toma en cuenta la condicin geomtrica

y trigonomtrica.

A) De acuerdo a la condicin geomtrica se tiene que:

i = 360

i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 3595952

Er.C = 3595952 360= -8

El error es por defecto, por lo tanto la correccin es aditiva.

Fc = 8/8 = 1

Los nuevos valores angulares son:

1 494331 5 592452

2 470125 6 372002

3 390511 7 341635

4 440952 8 485832

i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360

La segunda propiedad geomtrica.

1+2 = 5+6

7+8 = 3+4

Del ltimo resultado tenemos:

1 + 2 = 5 + 6

494331 + 470125 = 592452 + 372002

964456 = 964454

Er.C = 964456 - 964454

Er.C = 2

Fc = 2/4 = 0.5 cantidad que se aumenta a los ngulos 5 y 6 porque la suma

es menor y se disminuye a los ngulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo los

nuevos valores:

1 494330.50

2 470124.50

5 592452.50

6 372002.50

Continuando con:

7+8 = 3+4

341635+485832=390511 + 440952

831507=831503

Er.C = 831507 - 831503 = 4

Fc = 4/4 = 1 con el mismo principio anterior los nuevos valores de los

ngulos sern:

3 390512

4 440953

7 341634

8 485831

En resumen los nuevos valores de los ngulos de la compensacin

geomtrica son:

1 494330.50

2 470124.50

3 390512

4 440953

5 592452.50

6 372002.50

7 341634

8 485831

Compensacin trigonomtrica

Con los resultados de los valores anteriores se tiene:

Log sen impar Log Sen Par D.Tx1

1 494330.50 9.882497238 1.78

2 470124.50 9.864293305 1.96

3 390512.00 9.799681782 2.59

4 440953.00 9.843060496 2.17

5 592452.50 9.934938363 1.24

6 372002.50 9.782802679 2.76

7 341634.00 9.750648432 3.09

8 485831.00 9.877616895 1.83

39.36776582 39.36777338 17.42

1.- Calculamos el Log Sen Para cada ngulo y luego la diferencia tabular

para 1, como muestra la tabla.

2.- Restamos (Log Sen impar) - (Log Sen Par) = 0.00000756 en el

sexto lugar decimal 7.56, ().

3.- (DTx1) = 17.42 ()

4.- La correccin fc = 7.56/17.42 = 0.43 el resultado se aumenta a los

ngulos 1, 3, 5 y 7 porque la (Log Sen) es menor y se disminuye a los

ngulos 2,4,6 y 8 porque la (Log Sen) es mayor, el resultado final de

los ngulos ser:

1 494330.93 5 592452.932 470124.07 6 372002.073 390512.43 7 341634.434 440952.57 8 485830.57

Respuesta 3600000.00

Compensacin de polgono con punto central.

Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad amplia,

con un punto central se puede visar los vrtices del polgono, y

posteriormente se visa desde cada vrtice, el mtodo puede ser

por reiteracin o repeticin, la secuencia es la siguiente:

1.- La suma de ngulos del punto central debe ser 3600 0, si

existe discrepancia se suma algebraicamente a cada ngulo si es

por exceso o defecto.

2.- debe ser 1800 0, la discrepancia o diferencia se

distribuye entre 2 ngulos sin considerar el ngulo central.

3.- (Log sen impar) = (Log Sen par), se procede con el

mismo criterio del cuadriltero.

Ejemplo:

Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vrtices los mismos que son

tomados por mtodo reiterativo siendo sus promedios

SOLUCIN:

Aplicando el principio geomtrico y trigonomtrico.

Compensacin Geomtrica.

11+12+13+14+15= 360

3600015 = 360

Er.C = 3600015 - 360 = 0015, el error es por exceso, la

compensacin ser sustractiva fc = -15/5 =-3 los nuevos valores

de los ngulos del punto central ser:

11 782722

12 595832

13 603053

14 694702

15 911611

360000

Compensando los tringulos independientes.

Tringulo I

1+10+11 = 1795947

Er.C = 1795947 180 = -13

La compensacin ser aditiva, dividiendo entre 2 el Error de Cierre, se

suma a los ngulos 1 y 10, el ngulo 11 no es afecto por que se compens en el

proceso anterior.

fc = 13/2 = 6.5, la compensacin ser aditiva porque el error es por

defecto.

Los nuevos valores sern:

1) 594345 + 6.5= 594351.5

10) 414840 + 6.5= 414846.5

Tringulo II

2+3+12=1795957

Er.C. = 1795957 180 = -3

Fc. = 03/2 = 1.5Compensacin aditiva se suma a los ngulos 2 y 3, los nuevos valores sern:2)425155 +1.5= 425156.53)770930 +1.5= 770931.5

Tringulo III

4+5+13 = 1795958

Er.C = 1795958 180 = -02

Fc = 2/2=1

Compensacin aditiva, sumando a 4 y 5.

Los nuevos valores sern:

4)770045 +1= 770046

5)422820 +1= 422821

Tringulo IV

6+7+14=1795952

Er.C =1795952-180=-8

Fc = 8/2=4

Compensacin es aditiva, sumando a 6 y 7.

Los nuevos valores sern:

6)752225+ 4 = 752229

7)345025+ 4 = 345029

Tringulo V.

8+9+15 = 1795953

Er.C = 1795953-180= -07

Fc=7/2-=3.5

Compensacin aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos valores

sern:

8) 364520+ 3.5=364523.5

9) 515822+ 3.5=515825.5

Resumen de los nuevos valores:

1.- 594351.5

2.- 425156.5

3.- 770931.5 11.- 782722

4.- 770046.0 12.- 595832

5.- 422821.0 13.- 603053

6.- 752229.0 14.- 694702

7.- 345029.0 15.- 911611

8.- 364523.5 3600000

9.- 515825.5

10.- 414846.5

5400000

Compensacin trigonomtrica

Si (Log.sen impar) = (Log sen par)

La discrepancia se procede a compensar como un cuadriltero

Luego: 49.4080485 - 49.408064156 = - 0.000015655 en el sexto lugar decimal 15.65

(se considera el valor absoluto)

(DTx1) = 17.16

Fc = 15.65/17.16 = 0.912

Segn la tcnica de

compensacin por

aproximaciones sucesivas,

0.912 se aumenta a cuya

suma de los Log Seno sea

menor, y se disminuye cuya

suma sea mayor, entonces

sumamos a los ngulos

impares y restamos a los

pares.

Se teniendo como resultado

final.

Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse cualquiera de ellas.

Para encontrar el camino ms favorable, el cuadriltero se descompone en todos los

caminos o cadenas existentes.

Ejemplo

Descomponer el cuadriltero.

CALCULO DE LADOS.

En un trabajo de triangulacin todo se reduce al clculo de lados de un

tringulo aplicando la Ley de Senos.

Ejemplo

En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus lados, si su base

mide 543.25 mts.y sus ngulos compensados son:

Ang. 1= 494331

2= 470124

3= 3905124= 4409535= 5924536= 3720027= 3416348= 485831

CALCULO DE AZIMUTES.

Para el clculo de azimut de un cuadriltero se procede con el

principio mecnico la frmula nemnica a partir de los datos de

la base, el mismo que debe tener una orientacin conocida.

Zf = Zi + D180

Donde:

Zf = Azimut a calcular.

Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido.

D = Angulo a la derecha.

180; (+)180 si la suma de Zi+D es menor de 180 y (-)cuando la suma es mayor de 180, para el clculo es recomendable

seguir en sentido antihorario.

GRACIAS