RESISTENCIA DE MATERIALES - Editorial Club · PDF file5. PRÓLOGO Resistencia de materiales. es el libro de texto que reúne los conceptos teóricos de la asignatura Estructuras y

RESISTENCIA

DE

MATERIALES

EDUARDO MARTÍNEZ DE PISÓN ASCACÍBARJAVIER FERREIRO CABELLOESTEBAN FRAILE GARCÍA

La presente edición ha sido revisada atendiendo a las normas vigentes de nuestra lengua, recogidas por la Real Academia Española en el Diccionario de la lengua española (2014), Ortografía de la lengua española (2010), Nueva gramática de la lengua española (2009) y Diccionario panhispánico de dudas (2005).

Resistencia de materiales

© Eduardo Martínez de Pisón Ascacíbar, Javier Ferreiro Cabello, Esteban Fraile García

ISBN: 978-84-16704-22-4Depósito legal: A 554-2016

Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, n.º 4 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma Telf.: 96 567 19 87C/ Cottolengo, n.º 25 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

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PRÓLOGO

Resistencia de materiales es el libro de texto que reúne los conceptos teóricos de la asignatura Estructuras y Construcción perteneciente a las titulaciones de Grado en Ingeniería Agrícola y que es común a todas sus especialidades en la Universidad de la Rioja. En los planes de estudio de la Ingeniería Agrícola recién extinguidos, se estuvo impartiendo desde el curso 1993-1994 con el nombre de Resistencia de Materiales y Construcción en la especialidad de Industrias Agrarias y Estructuras y Construcción en la de Hortofruticultura. En aquel primer curso, estas asignaturas estaban adscritas al Departamento de Ingeniería Mecánica que me responsabilizó de su docencia. Fruto de esas clases, publiqué los libros de apuntes Resistencia de materiales básica (1999 1.ª edición y 2003 2.ª edición) y Problemas de resistencia de materiales, nivel básico (2001). Entonces las publicaciones eran en papel y el objetivo de esos apuntes era sintetizar los contenidos de la asignatura, dado que los libros existentes superaban el nivel requerido y su precio podía ser excesivo para el uso que se les iba a dar. El presente trabajo se fundamenta en los libros publicados por el ya desaparecido D. Luis Ortiz Berrocal, al que quiero recordar y dedicar este trabajo.

D. Luis Ortiz Berrocal fue catedrático de la Escuela Politécnica de Madrid en el área de Mecánica de los Medios Continuos hasta su jubilación. Fue fundador de la Escuela de Ingenieros Industriales de Gijón, e iniciador de diversas escuelas de arquitectos e ingenieros. Sus libros han sido, son y serán referencia obligada en el estudio de la Elasticidad y Resistencia de Materiales en este país. Su vida profesional estuvo dedicada a la universidad. Para los que tuvimos el honor de conocerle y de estudiar sus obras, siempre estará en nuestro recuerdo.

Durante diez años, esas asignaturas formaron parte del núcleo de mi docencia. También impartí en distintas ocasiones la optativa Construcciones Agroindustriales, que estaba adscrita al Departamento de Ingeniería Mecánica. Hacia 2004, pasé a otras asignaturas con contenidos similares en las carreras de la Ingeniería Industrial, pero con más contenidos y mayor nivel de exigencia. Todavía en alguno de los cursos posteriores tuve que volver a la Ingeniería Agrícola por cuestiones de docencia.

Las necesidades del plan docente del curso 2014-2015 me vuelven a reunir con estas asignaturas y con la Ingeniería Agrícola, por lo que parece oportuno recuperar material, mejorarlo y organizarlo según los nuevos planes. En los estudios de grado y máster, los contenidos y el temario están recogidos en las guías docentes. Como es lógico, corresponden a la asignatura de Resistencia de Materiales con alguna referencia a las estructuras, si bien el título de la materia no se ajusta a sus contenidos; como ocurría ya en los planes del año 1993. En lo referente al temario, los temas se han dividido en lecciones por motivos pedagógicos. Estos apuntes son una primera publicación de teoría que reúne los contenidos de la asignatura.

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Se han hecho algunas mejoras lógicas de los avances en informática, una mejor selección de los contenidos a causa de la experiencia, etc. Además, se han añadido algunos temas de utilidad para ampliar conocimientos y se han incorporado ejercicios resueltos (a modo de ejemplo) que complementan a los conceptos de la teoría. Está en mi mente la publicación de más material en uno o dos volúmenes que cuenten con ejercicios resueltos y propuestos, cuestiones de evaluación, lecciones de teoría de estructuras para las prácticas de ordenador, guiones de prácticas, tablas y diagramas útiles más completos, etc.

En lo referente a estos estudios, entiendo que es conveniente hacer algunas reflexiones. Es de sobra conocido que la carga docente destinada al diseño de estructuras en las titulaciones de la Ingeniería Agrícola ha sido y es actualmente deficiente, siendo, por contra, las materias que dan carácter de ingeniería a estas titulaciones. No voy a defender ahora las antiguas ingenierías, con muchas más horas de clase y de trabajo que las actuales, ya que a mi modesto entender, en los años 90, hace más de veinte años, la batalla se perdió. Por aquel entonces, las titulaciones de ingeniería sufrieron una reducción real de clases presenciales. En las ingenierías técnicas o peritos de unos cincuenta créditos (quinientas horas, casi un curso), y en las superiores de noventa créditos o más (novecientas horas, curso y medio de diferencia). A su vez, las asignaturas troncales y obligatorias se redujeron a un 75 % del total en favor de las asignaturas optativas, de libre elección, y las prácticas en empresa. Para la reflexión, dejo algunas preguntas para que los compañeros profesores, los estudiantes, los dirigentes, etc., piensen en lo referente a los estudios superiores: ¿quién hace los planes de estudio?, ¿cuáles son los objetivos?, ¿por qué se reducen las horas si cada vez el conocimiento que necesita el estudiante es mayor?, ¿son estos jóvenes la generación más preparada de la historia?, ¿no les están engañando?, ¿realmente el ordenador resuelve los problemas?, ¿creen que el uso del ordenador permite reducir la carga de estudio?, ¿dónde aparecen los estudios de otros idiomas que nos permitan acceder a un nivel mayor de conocimiento?, etc.

Sin mayor análisis, decir que en los planes de grado actuales la presente asignatura y la optativa Construcciones Agroindustriales son las únicas relacionadas con el diseño de estructuras, y con la salvedad de que esta última la lleva otro departamento, el de Agricultura.

Como se ha comentado, estos apuntes se adaptan a las exigencias del paso del tiempo: nuevas titulaciones, mejoras en la técnica y en los materiales, nuevas normativas, etc. Es nuestro deseo el ir mejorando en ediciones sucesivas.

Agradecer a los compañeros su impulso y colaboración en el trabajo. Este libro está realizado sin ánimo de lucro. Las lecciones están pensadas y dedicadas con todo el cariño a nuestros estudiantes, para que se esfuercen y trabajen con el objetivo de ser unos buenos profesionales.

Los autores

Logroño, marzo 2016

ÍNDICE

Lección 1Introducción a Resistencia de Materiales .............................................................................13

1.- Introducción ..............................................................................................................152.- Entorno de la asignatura ...........................................................................................153.- Repaso de algunos conceptos de la mecánica ...........................................................22

3.1.- Recordando algunas definiciones y magnitudes .............................................223.2.- Leyes de Newton .............................................................................................24

3.2.1.- Leyes de Newton del movimiento .........................................................243.2.2.- Leyes de Newton para sólidos rígidos ..................................................26

3.3.- Masa y peso .....................................................................................................273.4.- Relativos a los sistemas mecánicos y sus elementos ......................................28

4.- Unidades de medida ..................................................................................................304.1.- Magnitudes ......................................................................................................304.2.- Sistema internacional de unidades (SI) ...........................................................324.3.- Sistema terrestre europeo o sistema métrico ...................................................344.4.- Unidades fundamentales en el sistema cegesimal C. G. S. .............................344.5.- Normas ortográficas para los símbolos ...........................................................354.6.- Otras unidades de interés ................................................................................36

5.- Niveles de análisis en los sistemas mecánicos..........................................................37

Lección 2Geometría de masas. Secciones planas .................................................................................39

1.- Introducción ..............................................................................................................412.- Momento estático de masas, volúmenes, secciones y líneas ....................................423.- Centroides .................................................................................................................44

3.1.- Centro de masas y centro de gravedad ............................................................453.1.1.- Centro de masas ....................................................................................453.1.2.- Centro de gravedad ...............................................................................46

3.2.- Centroides de volúmenes, superficies y líneas ................................................483.2.1.- Centroides de volúmenes ......................................................................483.2.2.- Centroides de superficies .......................................................................493.2.3.- Centroides de líneas ..............................................................................49

3.3.- Centroides de cuerpos compuestos .................................................................494.- Momentos de inercia .................................................................................................50

4.1.- Momento de inercia de una superficie plana ...................................................514.2.- Teorema de steiner o de los ejes paralelos ......................................................524.3.- Cálculo integral de momentos de inercia de superficie ..................................534.4.- Radio de giro de una superficie .......................................................................554.5.- Momentos de inercia de superficies compuestas ............................................564.6.- Productos de inercia de una superficie ............................................................564.7.- Momentos principales de inercia de una superficie ........................................58

5.- Ejercicios resueltos ...................................................................................................60

Lección 3Aproximación al sólido elástico ............................................................................................85

1.- Introducción ..............................................................................................................871.1.- Acciones y esfuerzos .......................................................................................871.2.- Resistencia mecánica y rigidez .......................................................................881.3.- Mecánica del sólido rígido y del sólido deformable. Concepto de sólido elástico .....................................................................................................................89

2.- Modelo teórico del sólido elástico. Tipos de elementos ..........................................902.1.- Elementos y uniones .......................................................................................91

2.1.1.- Tipos de elementos ................................................................................922.1.2.- Tipos de uniones ....................................................................................95

3.- Cálculo de acciones y esfuerzos .............................................................................1013.1.- Equilibrio estático y equilibrio elástico ........................................................1013.2.- Método de las secciones ................................................................................103

4.- Fuerzas y momentos en un sistema mecánico ........................................................1064.1.- Tipos de esfuerzos en un sistema mecánico ..................................................1064.2.- Tipos de acciones en un sistema mecánico ...................................................108

4.2.1.- Cargas en un sistema mecánico ...........................................................1084.2.2.- Reacciones en un sistema mecánico ................................................... 111

5.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos ....................................................................... 1116.- Ejercicios resueltos ................................................................................................. 112

Lección 4Principios de resistencia de materiales ...............................................................................121

1.- Introducción ............................................................................................................1232.- Definición de algunas propiedades .........................................................................124

2.1.- Tensión y deformación ..................................................................................1242.1.1.- Tensión ................................................................................................1242.1.2.- Deformación ........................................................................................125

3.- Relación experimental entre tensión y deformación ...............................................1263.1.- Ensayo de tracción ........................................................................................127

3.1.1.- Relación de comportamiento ...............................................................1293.1.2.- Realización del ensayo ........................................................................129

4.- Valoración de la resistencia y seguridad en el diseño .............................................1434.1.- Criterios de resistencia. Tensión equivalente (aplicación) ............................1434.2.- Método de los coeficientes de seguridad.......................................................1444.3.- Método de los coeficientes de ponderación ..................................................145

5.- Principios de elasticidad y resistencia de materiales ..............................................1475.1.- Principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos ..................................1475.2.- Principio de superposición de efectos ...........................................................1485.3.- Principio de Saint-Venant .............................................................................150

6.- Teoremas energéticos. El potencial interno ............................................................1506.1.- Teorema de Maxwell-Betti ............................................................................1526.2.- Teoremas de Castigliano ...............................................................................1526.3.- Teorema de Menabrea ...................................................................................153

7.- Ejercicios resueltos .................................................................................................153

Lección 5Tensiones normales: tracción y compresión .......................................................................171

1.- Introducción ............................................................................................................1732.- El sólido elástico y los tipos de esfuerzos ..............................................................173

2.1.- Tracción y compresión monoaxial ................................................................1732.2.- Tensiones y deformaciones debidas al peso propio en sólidos de sección recta. Sólido de igual resistencia ...........................................................................1762.3.- Potencial interno en tracción y compresión monoaxial ................................178

3.- Análisis de cables y arcos .......................................................................................1803.1.- Elemento cable ..............................................................................................181

3.1.1.- Catenaria, cable soportando su propio peso ........................................1833.1.2.- Cable sometido a carga uniformemente repartida según el eje x ........1863.1.3.- Cable sometido a cargas puntuales ......................................................188

3.2.- Elemento arco ...............................................................................................1884.- Recipientes sometidos a presión interna (tensión biaxial) ......................................189

4.1.- Depósitos en general .....................................................................................1894.1.1.- Recipientes esféricos y cilíndricos sometidos a presión .....................1914.1.2.- Anillos .................................................................................................196

5.- Tensión triaxial ........................................................................................................1976.- Ejercicios resueltos .................................................................................................203

Lección 6Tensiones normales. Flexión simple ...................................................................................221

1.- Introducción ............................................................................................................2232.- Flexión pura. Ley de Navier ...................................................................................2243.- Flexión simple ........................................................................................................229

3.1.- Convenio de signos .......................................................................................2303.2.- Relación entre el esfuerzo cortante y el momento flector .............................2313.3.- Cálculo de la deformación por doble integración en flexión simple. Ecuación de la elástica ..........................................................................................2333.4.- Diagramas de esfuerzos y de la elástica ........................................................2383.5.- Casos de aplicación para el cálculo a flexión ................................................240

3.5.1.- Viga biapoyada con carga concentrada ..............................................2413.5.2.- Viga biapoyada con carga distribuida ................................................2443.5.3.- Viga en voladizo con carga puntual en el extremo .............................246

3.6.- Tensiones producidas en la flexión simple por el esfuerzo cortante. Teorema de Colignon ............................................................................................2473.7.- Teoría del potencial interno en flexión simple ..............................................253

4.- Teoremas de Mohr ..................................................................................................2575.- Ejercicios resueltos .................................................................................................259

Lección 7Tensiones normales. Otras flexiones ...................................................................................277

1.- Introducción ............................................................................................................2792.- Flexión desviada .....................................................................................................279

2.1.- Potencial interno en flexión desviada............................................................2803.- Flexión compuesta ..................................................................................................282

3.1.- Potencial interno en flexión compuesta ........................................................2824.- Tracción o compresión excéntrica ..........................................................................2835.- Flexión lateral. Pandeo ...........................................................................................284

5.1.- Carga crítica, pandeo de barras rectas de sección constante. Fórmula de Euler .................................................................................................................2845.2.- Carga crítica según la longitud de pandeo ....................................................2865.3.- Límites de aplicación de la fórmula de Euler ...............................................286


Lección 8Tensiones normales: flexión hiperestática...........................................................................295

1.- Introducción ............................................................................................................2972.- Empleo de la ecuación de la elástica en la resolución de vigas hiperestáticas .......2973.- El principio de superposición en la resolución de vigas hiperestáticas ..................3004.- Utilización del teorema de menabrea ......................................................................3035.- Vigas continuas .......................................................................................................3056.- Pórticos planos ........................................................................................................3067.- Ejercicios resueltos .................................................................................................307

Lección 9Tensión cortante. Cortadura pura ........................................................................................313

1.- Un caso muy particular. Cortadura pura .................................................................3151.1.- Potencial interno en cortadura pura ..............................................................316


Lección 10Tensión cortante. Torsión en sección circular .....................................................................321

1.- Introducción ............................................................................................................3232.- Torsión ....................................................................................................................323

2.1- Torsión en secciones circulares ......................................................................3242.2.- Cálculo resistente de árboles sometidos a torsión estática ............................3282.3.- Diseño resistente de árboles sometidos a torsión y otros esfuerzos estáticos .................................................................................................................334


Lección 11Diseño elástico de estructuras de barras de acero según el CTE ........................................347

1.- Introducción ............................................................................................................3492.- Diseño en acero según los estados límite últimos...................................................350

2.1.- Bases quepara tener en cuenta en las secciones ............................................3512.2.- Compresión simple .......................................................................................351

2.2.1.- Resistencia de las secciones ................................................................3512.2.2.- Verificación de la barra ........................................................................3522.2.3.- Determinación de C .............................................................................352

2.3.- Tracción simple .............................................................................................3592.3.1.- Resistencia de la sección .....................................................................3592.3.2.- Verificación de la barra ........................................................................359

2.4.- Cortadura pura...............................................................................................3602.4.1.- Resistencia de la sección .....................................................................3602.4.2.- Verificación de la barra ........................................................................360

2.5.- Elementos sometidos a flexión ......................................................................3612.5.1.- Resistencia de la sección a flexión pura ..............................................3612.5.2.- Verificación de la barra ........................................................................361

2.6.- Elementos a torsión .......................................................................................3652.7.- Esfuerzos combinados...................................................................................365

2.7.1.- Elementos flectados y traccionados y cortante despreciable ...............3652.7.2.- Elementos flectados y comprimidos y cortante despreciable ..............3662.7.3.- Elementos flectados con cortante ........................................................3672.7.4.- Flexión, axil y cortante ........................................................................3682.7.5.- Cortante y torsión ................................................................................3682.7.6.- Flexión y torsión .................................................................................368

3.- Estados límite de servicio .......................................................................................3693.1.- Deformaciones, flecha y desplome ...............................................................3693.2.- Vibraciones ....................................................................................................370


Anexos ................................................................................................................................385Anexo 1Propiedades de las secciones planas ............................................................................387Anexo 2Algunas propiedades de los materiales ........................................................................391Anexo 3Prontuario de perfiles ...................................................................................................395

LECCIÓN 1INTRODUCCIÓN A RESISTENCIA DE MATERIALES

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1.- INTRODUCCIÓN

El objetivo de este curso es el de capacitar al estudiante en los principios en los que se basa el diseño de las estructuras y sus elementos, en particular a los que tienen aplicación en la ingeniería relacionada con la agricultura. Como se ha explicado en el prólogo, Resistencia de Materiales G. I. A. corresponde a la clásica Elasticidad y Resistencia de Materiales, según la planificación habitual de los planes de estudios, pero dirigida a los alumnos de Grado de Ingeniería Agrícola. Es una asignatura situada dentro de la Ciencia y fundamental en el diseño de estructuras y máquinas. En la Universidad de la Rioja corresponde a la asignatura denominada Estructuras y Construcción. En esta lección se trata de situar la asignatura dentro de la Ciencia y repasar algunos conceptos de la Mecánica.

2.- ENTORNO DE LA ASIGNATURA

Antes de establecer los conceptos generales de la asignatura y situarla dentro del campo de la Ciencia y de la Técnica, se debe estudiar la Mecánica como rama del saber a la que pertenece.

La Mecánica es la rama de la Física que se ocupa de los movimientos de los cuerpos, de su evolución en el tiempo y de las fuerzas que actúan sobre ellos. Las leyes que estudia la Mecánica abarcan el comportamiento de los distintos estados de la materia: sólido, líquido, gaseoso, plasma, etc. Estas leyes encuentran aplicación en muchas disciplinas como la Física, la Astronomía, la Ingeniería y la Arquitectura y son utilizadas en el diseño de máquinas, puentes, vehículos, edificios, etc. Para comprender mejor esta rama del saber, se establecen distintas divisiones de esta. Con la finalidad de que las ideas fundamentales queden claras, estas clasificaciones se establecen a partir de conceptos convencionales, que son más o menos sencillos. En la actualidad se suele especificar más, ya que los avances de la Física aumentan el estado de conocimiento necesitándose un mayor nivel de división.

Según el campo de investigación y los principios en los que se basa, se distinguen tres Mecánicas: Mecánica Clásica o simplemente Mecánica (Mecánica newtoniana), Mecánica Relativista y Mecánica Cuántica.

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Resistencia de Materiales G.I.A.

Figura 1.1.- La Mecánica según sus principios y el campo de investigación.

La Mecánica Clásica estudia los sistemas en el ámbito macroscópico y con velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. La Mecánica Relativista abandona el concepto del tiempo absoluto de la Mecánica Clásica y estudia los sistemas que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz. La Mecánica Clásica tiene validez dentro de la Mecánica Relativista y es un caso límite de esta.

La Mecánica Cuántica expresa las leyes que regulan los fenómenos atómicos según unos conceptos que se sustentan en la probabilidad estadística, frente a la rígida concepción determinista de las dos anteriores. A partir de ahora, se hablará de Mecánica haciendo referencia a la Mecánica Clásica o de Newton, práctica y útil para la vida cotidiana y para el ingeniero, considerando el estudio de las otras más apropiado para los físicos.

Si se atiende al tiempo, la Mecánica se divide en dos ciencias básicas, Estática y Dinámica (figura 1.2).

Figura 1.2.- La Mecánica y su división cuando se considera el tiempo.

La Estática trata del análisis de sistemas estacionarios, es decir, de aquellos en que el tiempo no es un factor determinante. Estudia los sistemas en los que las acciones están en equilibrio, es decir, se encuentran en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. A esta situación se la denomina de equilibrio. En la Ingeniería, tiene gran importancia en el diseño de los sistemas mecánicos, y en particular en las estructuras. La situación de equilibrio se plantea en: el cálculo de reacciones en los apoyos, entre las fuerzas y momentos interiores (esfuerzos) con las acciones, etc. Si a estos conceptos se añade que los cuerpos se deforman, se están sentando las bases de la asignatura que nos ocupa.

La Dinámica se refiere a los sistemas que cambian con el tiempo. En el siglo XVIII, Leonard Euler (1707-1783) intuyó lo que actualmente se consideran las dos ciencias diferentes que forman la Dinámica, y son la Cinemática y la Cinética. Se distinguen entre sí, ya que la Cinemática estudia los movimientos de los cuerpos y la Cinética, las causas que los producen.

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Introducción a Resistencia de Materiales

La Cinemática es el estudio del movimiento independientemente de las acciones, que son las causas que los generan. De manera más específica, la Cinemática es el estudio de: la posición, el desplazamiento, la rotación, la velocidad y la aceleración. Así, por ejemplo, el movimiento de los planetas es un problema cinemático. La Cinemática es de vital importancia en el diseño de las máquinas, sin olvidar el efecto de las fuerzas.

La Cinética se ocupa de las acciones que provocan esos movimientos, es decir, de las fuerzas y momentos que actúan sobre el sistema. La Cinética estudia los cuerpos sometidos a acciones no equilibradas, por tanto, tendrán movimientos no uniformes o acelerados. El estudio de la Cinética constituye una parte importante del estudio de la Mecánica porque proporciona relaciones entre el movimiento de un cuerpo y las acciones que actúan sobre él. Las relaciones de la Cinética se pueden obtener por aplicación directa de las leyes de Newton del movimiento o bien utilizando las formas integradas de las ecuaciones del movimiento que dan lugar a los principios del trabajo y la energía, del impulso y la cantidad de movimiento o del Teorema del Momento Cinético. El término Dinámica se utiliza comúnmente para nombrar a la Cinética. Por otro lado, recordando que la Cinética o, comúnmente, Dinámica va asociado al concepto de inercia, que se tratan posteriormente.

La Mecánica, desde el punto de vista de los modelos teóricos sobre la estructura de la materia utilizados en la resolución de los problemas (ver figura 1.3), se divide en tres ramas: la Mecánica del Punto Material y Sistemas de Puntos Materiales, la Mecánica del Sólido Rígido y la Mecánica de los Medios Continuos. La primera considera la materia concentrada en un punto geométrico, es lo que se denomina partícula o punto material, es decir, es un cuerpo que tiene masa pero cuyas dimensiones son tan pequeñas que se pueden despreciar. Este modelo es válido en el caso del estudio de cuerpos celestes, átomos gaseosos y, en general, de aquellos sistemas cuyas trayectorias son muy grandes en comparación con sus propias dimensiones. En el resto de situaciones, la materia se considera formada por un número elevadísimo de puntos materiales (partículas subatómicas, átomos, moléculas, etc.) sometidos a acciones de todo tipo: magnéticas, eléctricas, gravitacionales, etc. Este planteamiento a nivel microscópico, y que es habitual en la Física de hoy, es excesivo e inoperante en la Mecánica Aplicada, que opera a nivel macroscópico. Esta dificultad se supera cuando la Mecánica establece dos modelos teóricos en los que la materia tiene una distribución continua, diferenciándose en la importancia que tengan las distancias relativas entre la materia. Así, cuando las distancias relativas o deformaciones son despreciables, el modelo se denomina del sólido rígido. Este, en general, se define como aquel que es incapaz de deformarse independientemente de las magnitudes, tipos y formas de las acciones que actúen sobre este. Lógicamente, este concepto no es más que una idealización de la realidad, ya que todos los cuerpos se deforman y el sólido rígido no existe. Sin embargo, esta idea es muy útil

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en la práctica, ya que, cuando un cuerpo está sometido a deformaciones que son muy pequeñas frente a los desplazamientos que experimenta en su movimiento y frente a sus dimensiones, se puede idealizar como rígido omitiendo sus cambios de forma. Por el contrario, un cuerpo deformable es aquel que cambia de forma como efecto de las acciones que soporta. Todos los cuerpos deforman por su constitución material, que no es la más idónea para los cálculos. Por eso se adopta el modelo del medio continuo. Se entiende por medio continuo un conjunto infinito de partículas (que forman parte, por ejemplo, de un sólido, de un fluido o de un gas) que va a ser estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. Ambos modelos son simplemente teóricos, ya que la materia a nivel microscópico carece de continuidad, sin embargo, permiten establecer una formulación sencilla para predecir el comportamiento de la materia a nivel macroscópico. Lógicamente, dicha formulación se ve apoyada por la práctica experimental, de manera que la respuesta obtenida sea una buena aproximación a la realidad.

Dentro de la Mecánica de los Medios Continuos, están la Mecánica de Fluidos y la Mecánica de los Sólidos Deformables. La Mecánica de Fluidos estudia los líquidos y gases en reposo o en movimiento. Los fluidos pueden ser compresibles o incompresibles. Un fluido es compresible cuando su densidad varía con la temperatura y la presión. Si el volumen de un fluido se mantiene constante durante un cambio de presión, se dice que se trata de un fluido incompresible. En muchas aplicaciones técnicas, los líquidos se consideran incompresibles. La parte de la Mecánica de Fluidos que trata de los fluidos incompresibles recibe frecuentemente el nombre de Hidráulica.

El estudio del comportamiento elástico lo hace la rama de la Mecánica de los sólidos llamada Teoría de la Elasticidad, el comportamiento plástico lo realiza la Teoría de la Plasticidad, y a la frontera con la Mecánica de Fluidos se denomina Teoría de la Viscoplasticidad.

Las estructuras y las máquinas están formadas por elementos sólidos que deforman asumiendo el modelo de sólido continuo. Los estudios universitarios dedicados al diseño de estructuras y máquinas se componen de un conjunto variado de asignaturas, que dependen: del tipo de titulación y sus objetivos, del plan de estudios, del tiempo dedicado, etc. Lo habitual es comenzar por el estudio de la Teoría de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales, que son materias que se imparten por separado o en ocasiones como una sola asignatura. La Teoría de la Elasticidad estudia el cálculo de los elementos elásticos aislados con todo el rigor matemático, mientras que la Resistencia de Materiales es una simplificación de la Teoría de la Elasticidad, ya que le introduce un conjunto de hipótesis simplificadoras que permiten obtener soluciones más simples, y que son suficientemente válidas para abordar el diseño de los elementos. Un cuerpo elástico es aquel que deforma cuando actúan las cargas sobre ellos, y, al cesar estas, recupera la forma original. Este modelo es aplicable a la mayoría de los sólidos, ya que dicho comportamiento lo experimentan a nivel macroscópico para ciertos niveles de carga. A niveles superiores de carga, por lo general, los materiales son incapaces de recuperar la forma, por lo que el modelo elástico deja de ser válido. En dicho caso, se dice que el material exhibe comportamiento plástico, y se debe recurrir a la Teoría de la Plasticidad, para su diseño.

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La Resistencia de Materiales actual también estudia materiales con otro comporta-miento diferente al elástico, tratando temas de plasticidad.

Como se ha dicho, estas disciplinas se ocupan del diseño de elementos aislados. Sin embargo, su finalidad es la de sentar las bases del diseño de sistemas más complejos, como son los mecanismos, las máquinas y las estructuras. Es importante que el ingeniero sepa distinguirlos, desde el punto de vista de la Mecánica.

Una estructura es un sistema formado por elementos unidos entre sí que, por sus características de rigidez, resistencia, estabilidad, disposición, etc., es capaz de soportar un conjunto de acciones (fuerzas, momentos exteriores, desplazamientos impuestos, cambios de temperatura, etc.) sin que aparezcan movimientos relativos entre estos. Para completar los conocimientos teóricos de las asignaturas antes mencionadas, se debe estudiar la Teoría de Estructuras. Esta se ocupa de los métodos de análisis que permiten diseñar una estructura a partir de su respuesta frente a las acciones mencionadas. Respecto a la definición dada de estructura, se debe aclarar que cualquier estructura admite desplazamientos que son debidos exclusivamente a las deformaciones que sufren los materiales bajo la actuación de las acciones, y no a los grados de libertad del sistema. Se entiende que grado de libertad es todo movimiento, libre e independiente, que puede experimentar un cuerpo, o que permite definir el movimiento de este. En las estructuras, a los desplazamientos lineales o angulares que experimentan se los denomina también grados de libertad. Para distinguirlos de los grados de libertad reales, se les denomina con el adjetivo de estructurales. Estos conceptos se tratarán con mayor profundidad a lo largo del curso.

Existen otros sistemas que son capaces de soportar acciones pero cuyo estudio no se contempla en la Teoría de Estructuras, ya que su finalidad es otra. Por ejemplo: una máquina tiene la finalidad de transmitir un trabajo o encauzarlo y debe ser capaz de soportar las acciones manteniendo la movilidad entre sus miembros, por eso su diseño se estudia en otras disciplinas, como por ejemplo: en la asignatura denominada Diseño de Máquinas. El Diseño de Máquinas se realiza también con los modelos de sólido rígido y medio continuo.

Como se ha visto, la aplicación práctica de estas ramas de la Mecánica da lugar a otras disciplinas que conviene mencionar. La Teoría de Estructuras puede considerarse como una asignatura de tipo científico; ya que suministra modelos matemáticos que permiten conocer la respuesta de las estructuras, es una asignatura de análisis más que de diseño. Los conceptos de análisis y diseño son diferentes, el análisis equivale a cálculo y es un paso previo al diseño. Este supone, además, la selección del material, sus formas, etc. Como se ha dicho, el diseño es un paso más y se basa principalmente en la práctica experimental y los ensayos de laboratorio, que aplicados a las disciplinas de cálculo dan lugar a las asignaturas que se denominan «tecnológicas». En el caso de las estructuras, las asignaturas tecnológicas están asociadas fundamentalmente a los materiales utilizados: el acero, el hormigón, la madera, el aluminio, etc. Por lo general, el estudio profundo de cada material requiere de una asignatura diferenciada, y en el caso de los elementos constructivos y las estructuras, se diseñan según normativas de los países correspondientes. Las normativas establecen criterios para el diseño en función de: el estado de conocimiento de los materiales, el modo de ejecución, la experiencia práctica, la legislación, etc. Por lo general, además de tener un conocimiento profundo de estas y de los materiales que utilizan, los diseñadores suelen

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cumplirlas mediante una aplicación estricta de estas o utilizando criterios admitidos de un nivel de exigencia igual o superior. También se pueden incluir otros materiales y elementos estructurales como los prefabricados, la piedra, etc., algunos de ellos van imponiéndose y otros se están recuperando. En España, el diseño de las estructuras de acero lo rige la EAE, o Instrucción de Acero Estructural, y las de hormigón, EHE, o Instrucción de Hormigón Estructural. Para otros materiales se siguen normas europeas.

También sería necesario contemplar el estudio desde el punto de vista de la distribución y ejecución, cuyas denominaciones incluyen los términos «arquitectura», «construcción», etc. En los planes anteriores se encuentran algunas: «Tecnología de la Construcción», «Arquitectura Industrial», etc. Otra asignatura que considerar es la Geotecnia, que estudia el comportamiento de los suelos. Para su estudio también es necesario conocer las teorías de plasticidad y viscosidad en sólidos. Todas estas materias es conveniente tenerlas presentes, dado que estas lecciones están dirigidas a futuros ingenieros, que diseñarán máquinas y estructuras.

Volviendo con el Diseño de Máquinas, se puede considerar como de tipo tecnológico. En sí no desarrolla modelos de cálculo, ya que obtiene las acciones que actúan en el conjunto y en cada elemento a partir de las ecuaciones de la Mecánica. Estas ecuaciones suelen ser sencillas, dado que los elementos y sus materiales por sus condiciones de trabajo se pueden considerar indeformables, aplicando el concepto de sólido rígido. Una vez conocidas las acciones para las situaciones críticas, basta aplicar los principios de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales corregidas según el estado de conocimiento de la técnica, cuyo modelo analítico está contrastado por el comportamiento real. La diferencia está en que el diseño de máquinas adapta las ecuaciones de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales para el diseño de los elementos de las máquinas, también llamados eslabones, en función del comportamiento real del elemento dependiendo del material, forma, tipo de carga que actúa, etc. El diseño de elementos de máquinas también sigue sus propias normativas según el tipo de elementos y materiales.

Otra materia es la tecnología mecánica, disciplina que estudia los procesos de fabricación de piezas para máquinas, estructuras, etc., está muy relacionada con el comportamiento plástico que aparece en el conformado por deformación, o en el arranque de viruta, etc.

Se ha hablado de la necesidad del diseño en establecer ecuaciones que permitan determi-nar el comportamiento de los sólidos. Cuando los sólidos son deformables, es necesario co-nocer el comportamiento interno de estos. En pocas palabras, a las ecuaciones de la Estática, Cinemática y Dinámica se deben añadir las de tensiones y deformaciones, magnitudes que permiten caracterizar y diseñar los cuerpos. Estas leyes se obtienen a partir del conocimiento experimental de los materiales.

En el caso de la asignatura que nos ocupa, y dado que está compuesta por dos ramas de la Mecánica perfectamente clasificadas desde el punto de vista del modelo material, no hay duda de su ubicación. Con la finalidad de comprender mejor la asignatura y los contenidos que se van a impartir dentro de la Mecánica, a continuación se sintetizan los aspectos que se han tratado en este apartado.

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La práctica experimental y el análisis macroscópico de la materia permiten simplificar el estudio de su comportamiento. De esta forma, se observa que los materiales que sufren deformaciones pequeñas recuperan su forma cuando la causa que las produce desaparece es el llamado comportamiento elástico. Cuando la deformación es irreversible, es decir, el material no recupera su forma al cesar la causa que la produjo, se dice que el material tiene comportamiento plástico. El comportamiento plástico ocurre para deformaciones mayores en las que los procesos de rozamiento interno liberan calor, cuyo efecto es la aparición de deformaciones permanentes.

El estudio y planteamiento matemático de todas estas teorías nos lleva a ecuaciones de gran complejidad cuya resolución exacta solo es posible en casos muy concretos. El desarrollo actual de los métodos numéricos y computacionales ha dado una mayor relevancia a estas teorías, siendo centro de estudio y desarrollo en este campo.

Sin embargo, en muchos problemas como los unidimensionales y los bidimensionales, es posible establecer a priori hipótesis simplificadoras que permiten obtener soluciones lo suficientemente válidas como para que puedan llevarse a la práctica en el diseño de vigas, columnas, arcos, placas, láminas, etc., o cualquier elemento constructivo. Es este el objeto de la Elasticidad y Resistencia de Materiales, que se estudia como una, si bien son dos; incluidas en la Mecánica de los Medios Continuos, siendo la segunda una simplificación de la primera.

Una estructura nunca tendrá el cometido de transmitir movimiento ni potencia, lo que no significa que existan estructuras que en determinado momento de su vida puedan tener movilidad, pero en dicho caso se comportan como un mecanismo, por ejemplo: un puente levadizo en el que la plataforma tiene el cometido de soportar las acciones cuando trabaja como puente, mientras que, cuando se eleva, no actúa como tal, sino como parte del mecanismo debiendo soportar un conjunto de acciones diferente. Así, la mayoría de las estructuras se calculan tomando como base los principios de la Estática, sin embargo, en determinadas ocasiones se deben analizar desde el punto de vista de la Dinámica. Por ejemplo: en un seísmo se producen grandes desplazamientos del terreno provocando efectos dinámicos. En este curso, en general se prescindirá de los fenómenos dinámicos que no serán objeto de nuestro estudio, en todo caso se asumirán como cargas estáticas equivalentes.

En conclusión, si se quiere situar la asignatura Elasticidad y Resistencia de Materiales dentro de la Mecánica Clásica o Newtoniana, está perfectamente situada en la Mecánica de Sólidos Continuos, como rama reconocida dentro de la Ciencia Mecánica. Atendiendo al tiempo, se sitúa más cerca de la Estática, y en el caso de problemas dinámicos, se resolverán utilizando cargas estáticas equivalentes. Los sólidos serán elásticos dentro de la Mecánica de los Medios Continuos, en esta asignatura no se utilizarán otros modelos (hay que aclarar que en algunos planes de estudio se incluyen dentro de la Resistencia de Materiales modelos de plasticidad).

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3.- REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA

3.1.- RECORDANDO ALGUNAS DEFINICIONES Y MAGNITUDES

En la Ciencia, para tener un mayor conocimiento de los fenómenos que se estudian, se establecen propiedades conocidas bajo el nombre de magnitudes físicas, y que pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Esto supone que se deben hacer mediciones, que no son más que dar valor numérico cuantitativo a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área. Son ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, la energía, etc.

Definir magnitudes como el espacio, el tiempo, etc., nos remonta a los orígenes de la Ciencia entroncados estrechamente con la Filosofía. Si se busca el significado de espacio, se encuentran definiciones como «la extensión del universo» o «continente de todos los objetos sensibles que coexisten». De forma más concreta, se dice que es el lugar en el que suceden los eventos físicos que estudia el ser humano y que no tiene límites. Para conocer los sistemas físicos, se utilizan magnitudes que cuantifican determinadas propiedades o características. El espacio se mide con la magnitud denominada longitud que describe el tamaño de un sistema físico. El espacio físico o tridimensional se caracteriza porque se puede representar en tres dimensiones básicas como son: largo, ancho y alto, entendiendo por dimensión aquella magnitud que se puede medir y que permite definir en este caso el espacio. Al hablar de la posición de una partícula o punto, se está haciendo referencia a cuál es su situación. Fácilmente se entiende que la posición de un punto se va a valorar partiendo de esas tres dimensiones básicas, y que van a depender del lugar de referencia del que se hace la medición, es decir, debe definirse en función de algún marco de referencia acordado, o sea, un sistema de coordenadas de referencia.

En la figura 1.4 a), se establece el sistema de coordenadas xyz como marco de referencia, se dice que el punto P está localizado a x unidades a lo largo del eje x, y unidades a lo largo del eje y y z unidades a lo largo del eje z respecto a O. Así el sistema de coordenadas está compuesto:

1.- El origen de las coordenadas O proporciona una ubicación a partir de la que se mide la situación del punto P.

2.- Los ejes de coordenadas proporcionan direcciones (y sentidos) a lo largo de las cuales se harán las mediciones, y también ofrecen rectas y planos conocidos para definir y medir ángulos.

3.- La unidad de distancia o distancia unitaria a lo largo de cualquiera de los ejes constituye una escala para cuantificar las distancias.

El sistema coordenado xyz en el que se ubica el punto P en función de las coordenadas (x, y, z) se denomina Sistema de Coordenadas Cartesianas del punto P.

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Se debe recordar que tanto el origen, las direcciones, etc., son admitidas por convenio o acuerdo universalmente, y así deben ser recordadas.

Las tres propiedades antes indicadas para el sistema coordenado rectangular son aplicables para definir las coordenadas cilíndricas (r, q, z) y las esféricas (r, q, f) o cualesquier otro sistema. Para el caso del plano, es decir, para los sistemas bidimensionales, se aplica igual. Independientemente a cómo se defina la posición de un punto, no es posible sin un sistema de coordenadas.

Para definir el concepto de tiempo, se encuentran expresiones como «duración de las cosas sujetas a mutación» o «época durante la cual vive una persona o sucede algo». Se puede definir diciendo que es el intervalo que transcurre entre dos sucesos. El tiempo se mide a partir de sucesos que la naturaleza repite de forma exacta, así un año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol, un día es el que tarda la Tierra en dar una vuelta en torno a su eje. Estos periodos sirven de referencia para establecer el tiempo de cualquier evento.

El reloj es el instrumento que se emplea para medir el paso del tiempo. Estos dispositivos utilizan propiedades propias de la materia o ingenios creados por el hombre que reproducen sucesos en periodos exactos y medibles, permitiendo la medición del tiempo. Algunos de estos relojes son: la oscilación de un péndulo, la oscilación de un resorte espiral y un volante regulador y la oscilación de un cristal piezoeléctrico. La repetición de un suceso se llama ciclo, y el tiempo que tarda un ciclo se denomina período. Al número de ciclos que se realizan en una unidad de tiempo dada se llama frecuencia.

Para definir materia, se tiene «realidad primaria de las que están hechas las cosas» o «substancia extensa e impenetrable capaz de recibir toda especie de formas». Se entiende que materia es toda substancia que ocupa espacio. Un cuerpo es materia cuyos límites son definidos, es decir, tiene un volumen finito. Se llama masa a la cantidad de materia o sustancia que tiene un cuerpo. La inercia es la propiedad de los cuerpos a resistirse a cualquier cambio de movimiento. Cuando el movimiento es lineal, la inercia se cuantifica midiendo la masa, cuando el movimiento es angular, la inercia se mide determinando el momento de inercia, que, por tanto, será la resistencia que un cuerpo opone a la variación de

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su movimiento angular. Así, en el movimiento de translación, la inercia es independiente de la forma y tamaño del cuerpo; solo depende de su masa. En cualquier otro caso, la inercia depende de la cantidad de masa y de cómo esté distribuida.

No fue hasta el siglo XVII cuando Isaac Newton (1642-1727) introdujo el concepto de fuerza. La fuerza es toda acción o causa cuyo efecto es producir un cambio de movimiento, una deformación o rotura en el cuerpo o sistema de estudio. Las primeras ideas que se pueden emplear en la comprensión del concepto de fuerza son las que experimenta en nuestro propio cuerpo. El esfuerzo que se hace al mover nuestro propio peso, al ejercer acciones con nuestros músculos sobre otro objeto, los empujes recibidos de los asientos cuando nuestro automóvil acelera, al tomar una curva como hay una fuerza que tira de él, etc. Las fuerzas pueden actuar directamente o indirectamente, es decir, a distancia. Cuando se eleva un peso con una polea, se realiza una fuerza que se contrarresta la gravedad, aplicándola directamente mediante un cable. Las fuerzas gravitatorias son ejemplos claros de fuerzas indirectas, así, por ejemplo: la Tierra y la Luna se atraen mutuamente aunque estén separadas a miles de kilómetros. Más adelante se estudiarán las leyes de Newton, de las que se pueden entresacar los conceptos clave sobre las fuerzas. Si la fuerza es la causa, su efecto es producir movimientos acelerados en los cuerpos y también estados deformados y resistentes en estos.

3.2.- LEYES DE NEWTON

A finales de 1665, inicia Newton una serie de reflexiones acerca de la caída de los graves en el vacío que le llevarían a enunciar la ley de gravitación universal.

Fue entonces, indudablemente, cuando dedujo de la tercera ley de Kepler (1571-1630) la regla del inverso de los cuadrados e intentó verificarla mediante el movimiento observado de la Luna.

Pero no pudo confirmar la exactitud de sus conclusiones hasta 1685, cuando tuvo a su disposición un valor más exacto del radio terrestre, calculado por Picard (1620-1682), después de haber superado la dificultad de calcular la atracción de una esfera sobre una partícula adyacente.

En julio de 1687, publica Philosophiae naturalis principia mathematicampn, estableciendo los conceptos de masa y fuerza y las tres leyes fundamentales de la dinámica. Se da con ellos un paso definitivo en el estudio de la Mecánica que hoy se califica como clásica. Aunque este genio inglés enunció sus leyes de forma diferente, con el afán de sintetizar, se resumen como sigue.

3.2.1.- LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO

Las leyes de Newton se conocen por el nombre de leyes de Newton del movimiento y se suelen expresar hoy en día en la forma siguiente:

Primera ley, Principio de Inercia: si la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre una partícula es nula, es decir, las fuerzas exteriores sobre una partícula están equilibradas, dicha partícula se mantendrá en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme.

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Segunda ley, Ecuación Fundamental de la Dinámica: si la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre una partícula no es nula, es decir, las fuerzas exteriores sobre una partícula están desequilibradas, dicha partícula experimentará una aceleración proporcional a la fuerza resultante y en su misma dirección.

Tercera ley, Principio de Acción y Reacción: cuando dos partículas reaccionan, es decir, interaccionan entre sí, se producen dos fuerzas de igual magnitud, dirección pero con sentido opuesto. La reacción es siempre igual y opuesta a la acción, es decir, las acciones que se ejercen dos cuerpos entre sí son de igual magnitud pero de sentidos contrarios.

Las tres leyes de Newton se desarrollaron a partir del estudio del movimiento planetario (movimientos de puntos materiales), como se dijo anteriormente; por tanto, solo son aplicables al movimiento de puntos materiales. Durante el siglo XVIII, Euler (1707-1783) extendió el trabajo de Newton para sistemas de cuerpos rígidos.

La primera ley del movimiento constituye un caso particular de la segunda y contiene el caso en que la partícula esté en equilibrio. Así pues, la primera ley nos da la base del estudio de la Estática. La segunda ley del movimiento nos da la base del estudio de la Dinámica.

Como la primera ley es un caso particular de la segunda, la ecuación que resume la segunda nos sirve para la primera y, por tanto, las dos primeras leyes de Newton se resumen con la ecuación:

→→

= a·mF

donde →

F es la fuerza que experimenta el cuerpo o partícula, m es la masa y →

a es la aceleración de este.

La tercera ley del movimiento nos da la base para la comprensión del concepto de fuerza, ya que, en las aplicaciones prácticas, con la palabra acción se quiere significar fuerza. Así pues, si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejerce sobre el primero una fuerza igual y opuesta llamada reacción. En lecciones posteriores se dará una visión más amplia que nos permitirá abordar problemas de mayor dificultad aplicando las leyes de Newton a problemas con sólidos rígidos y deformables.

Newton también fue el responsable de la formulación de la ley de la gravitación. Esta ley se puede expresar matemáticamente en la forma:

∧→

= r·r

m·m·GF 221

y se enuncia que la fuerza con que dos cuerpos se atraen tiene un valor proporcional al producto de las masas de ambos e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias y según la dirección de la distancia que los separa con el sentido de atracción.

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En esta última expresión, →

F es la fuerza mutua de atracción entre los dos cuerpos y es un vector, G es la constante de la gravitación universal, m1 es la masa de uno de los cuerpos,

m2 es la masa del otro, r es la distancia entre los centros de masa de los dos cuerpos y ∧

r es el vector unitario que representa la dirección y el sentido de atracción de la fuerza.

El valor aproximado de la constante de la gravitación universal que se utiliza es G = 6,673·10-11 m3/(kg s2) o N m2/kg2 en el sistema SI de unidades.

Las fuerzas mutuas de atracción de dos cuerpos representan la acción de un cuerpo sobre otro; por tanto, obedecen a la tercera ley de Newton, que exige que tengan igual módulo, igual dirección y sentidos opuestos. La ley de la gravitación es muy importante en todos los estudios referentes al movimiento de planetas o de satélites artificiales.

3.2.2.- LEYES DE NEWTON PARA SÓLIDOS RÍGIDOS

Newton estableció sus leyes para el caso de partículas. Estas leyes se cumplen dentro de la Mecánica Clásica, y cuando los sistemas de referencia son inerciales, es decir, no están sometidos a aceleraciones.

La primera ley de Newton o ley de la inercia se puede expresar de forma general como: todo cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, salvo que actúe sobre las fuerzas que le obliguen a cambiarlo. Newton toma en cuenta, así, que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como esta a la fricción. Está claro que los estados de reposo y de movimiento rectilíneo uniforme implican la ausencia de aceleraciones, y se conserva la cantidad de movimiento.

La segunda ley del movimiento de Newton aplicada a un cuerpo de masa m constante está sometido a un conjunto de acciones, por las leyes de Newton y en el caso general, se deduce que el sistema sufre aceleraciones lineales y angulares. Esto se resume con las ecuaciones:

Gext

a·mF→→

=∑

→→

α=∑ ·IM Gext

G

donde ext

F∑→

es la resultante de todas las fuerzas exteriores cuyo resultado es que el

sistema experimenta una aceleración Ga→

referida al centro de gravedad G, pudiéndose

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escribir la resultante de las fuerzas exteriores como Ga·m→

. ∑

→

extGM

es la suma de todos

los momentos exteriores y los momentos creados por las fuerzas exteriores respecto a G,

IG es el momento de inercia respecto a G, y →

α es la aceleración angular. Estas ecuaciones

son las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido y que se utilizan en el diseño de máquinas, ya que los elementos que las forman se consideran rígidos inicialmente dado que las deformaciones a las que están sometidos son pequeñas frente a los desplazamientos reales que experimentan sus puntos móviles. Al utilizar el modelo teórico de sólido rígido, se pueden estimar fácilmente (sin cálculos complejos que incluyan la deformación del sólido) y muy aproximadas las acciones y esfuerzos que soportan los elementos pudiéndolos diseñar. Sin embargo, esto tiene una pequeña dificultad, al aparecer aceleraciones, y el sistema no está en equilibrio. Estas se tratan, según el Principio de D’Alembert, con las técnicas de la estática

al hacer: →→→

=−∑ 0a·mF Gext ,

→→→

=α−∑ 0·IM Gext

G , que supone incluir las acciones de

inercia Ga·m→

− y →

α− ·I G como si fuesen acciones exteriores al sistema, para lo que se debe resolver primero la cinemática calculando esas aceleraciones.

La tercera ley de Newton se puede expresar igual para los cuerpos que como se hizo con las partículas. Se emplea habitualmente al obtener las reacciones en los elementos de unión.

Se han omitido otras generalizaciones, como considerar la masa variable y los efectos relativistas que no son objeto de este curso.

3.3.- MASA Y PESO

El concepto de masa hace referencia a la cantidad de materia que tiene un cuerpo. En la edi-ficación se emplean conceptos y unidades que pueden llevar a confundir los conceptos de peso y masa. La masa m es una magnitud absoluta independiente del entorno y posición del sistema. El peso P de un cuerpo es la atracción gravitatoria que sobre él ejerce otro cuerpo. Se entiende que, dentro del campo gravitatorio del universo, el peso se refiere a la fuerza de atracción predo-minante de todas las que ejercen los cuerpos celestes entre sí, especificando; en el planeta Tierra para un objeto en su cercanía, por ejemplo: en su superficie, su peso será la fuerza que ejerce la Tierra sobre dicho cuerpo. Entonces, el peso de un cuerpo depende de la posición de este relativa a otro cuerpo. Así pues, según la ecuación anterior, en la superficie terrestre se verifica

g·mr

m·m·GP 2T

T ==

donde mT es la masa de la Tierra, rT es el radio medio de la Tierra, g = G (mT /rT2) es la

aceleración de la gravedad.

La aceleración de la gravedad terrestre vale g = 9,806 m/s2. Se tomará normalmente g = 9,8 m/s2. Se pueden producir confusiones cuando se utilice el kg como unidad de masa del

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sistema internacional SI, o como unidad de fuerza en el Sistema Técnico. Esta circunstancia se aclarará en el apartado referente a las unidades de medida.

3.4.- RELATIVOS A LOS SISTEMAS MECÁNICOS Y SUS ELEMENTOS

Como se ha dicho anteriormente, está claro que para comenzar nuestro estudio se debe contar con un buen conocimiento de las asignaturas: Teoría de la Elasticidad y Resistencia de Materiales. Aun así, antes de comenzar con la asignatura propiamente, conviene recordar algunos conceptos.

En ingeniería, diseñar supone tomar decisiones óptimas para la obtención del objetivo. En el diseño de estructuras se eligen los materiales, las formas y dimensiones de sus elementos y su conjunto, para que resistan del modo más apropiado y económico las acciones que los solicitan, sin olvidar otros aspectos como: la funcionabilidad, durabilidad, etc.

Se denominan acciones a aquellas causas externas a la estructura que pueden producirle fallos que impidan que cumpla su misión, y son lo que se llaman: fuerzas, momentos, desplazamientos que le vienen impuestos, cambios de temperatura, etc. Es primordial conocer convenientemente las acciones que actúan sobre ella, incluyendo las debidas al entorno con el que interacciona y que se conocen como reacciones. Cuando un sistema se dibuja a escala con todas sus acciones, se dice que se ha representado su diagrama de cuerpo libre. El diagrama del cuerpo libre es muy importante en el diseño mecánico, ya que permite ver de forma clara las actuaciones de las fuerzas y momentos exteriores para poder analizar el problema. Además, es un modelo gráfico y sencillo de transmisión de la información, de fácil archivo, y pasado un tiempo permite al diseñador recuperar fácilmente el estado de conocimiento del problema.

Por otro lado, las acciones, cuando actúan sobre la estructura y sus elementos se traducen en otras fuerzas, momentos, desplazamientos, etc., a nivel interno. Cuando dichos efectos de tipo interno se tratan como fuerzas y momentos, se denominan esfuerzos. En los análisis, representando a mano alzada las acciones y esfuerzos sobre los elementos o porciones de estos y en partes de las estructuras, por lo que en estos casos también se puede hablar de diagrama del cuerpo libre (aunque no se representen a escala), ya que los esfuerzos tienen carácter externo para la porción o parte representada.

Conviene aclarar que algunos autores denominan esfuerzos a lo que se conoce por tensión mecánica. Aquí, para evitar equívocos, los esfuerzos son fuerzas y momentos interiores. Como se verá, las tensiones y los esfuerzos están íntimamente relacionados, pero el estudiante debe diferenciarlos claramente.

Otro concepto que recordar es la propiedad denominada resistencia mecánica, que es la capacidad de los materiales de oponerse a la rotura bajo los efectos de las acciones. El segundo aspecto importante es el de analizar las deformaciones que experimentan los materiales. La propiedad que define el comportamiento ante las deformaciones se denomina rigidez y es la capacidad que tienen los materiales de oponerse a ser deformados cuando soportan acciones. Estas dos propiedades deben cuantificarse. La resistencia mecánica se

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valora a partir del vector tensión y la rigidez a partir del vector deformación. Además, es necesario conocer las propiedades de los materiales para poder plantear los diseños, de ahí la importancia que tienen los ensayos de laboratorio que permiten valorar la resistencia mecánica y la rigidez. El análisis de las tensiones y deformaciones es fundamental para hacer un diseño apropiado que satisfaga los requisitos de resistencia mecánica y rigidez. Estos requisitos están limitados por las propiedades del material establecidas previamente en el laboratorio, por la propia experiencia del diseñador, por el conocimiento existente, por las normativas, etc.

Por lo dicho, el diseñador de estructuras deberá asegurar que estas y los materiales con los que se han construido, además de la estabilidad, cumplen la resistencia mecánica y rigidez, sin olvidar que las soluciones sean económicas, viables y que cumplan los principios de funcionalidad, la normativa vigente, etc.

EJEMPLO DE CUESTIONES TEÓRICAS

1.- Explique qué significa y de qué trata la expresión «Mecánica de los Medios Continuos».

La expresión «Mecánica de los Medios Continuos» se refiere a una de las ramas de la Mecánica que desde el punto de vista del modelo material considera que la materia es continua, o mejor dicho: no se tiene en cuenta que a nivel microscópico la materia está formada por partículas (átomos, moléculas, etc.) entre las que existen distancias y hay huecos por falta de partículas (por ejemplo: en determinadas estructuras cristalinas la situación de estabilidad requiere de ausencia de determinados átomos), etc. La materia continua no es más que un modelo de análisis que admite que en la materia real los fenómenos físicos se transmiten de forma continua, o sea, se pueden expresar ellos y sus propiedades por funciones continuas evaluadas a partir de su realidad macroscópica (ensayos de laboratorio o comportamiento real basado en la experiencia). Por ejemplo: el calentamiento de un cuerpo en un extremo transmitirá calor a través de este. Esta transmisión depende de las propiedades de la propia materia que permiten definir correctamente el fenómeno, que, por lo general, son magnitudes macroscópicas que se determinan experimentalmente. En el caso anterior, serán los coeficientes de transmisión de calor por conducción.

2.- (Tipo test). Indicar con una X cuál de las siguientes afirmaciones es la más correcta

1 Resistencia Mecánica es la capacidad del material a oponerse a la deformación2 Rigidez es la capacidad del material a oponerse a la deformación x3 Resistencia Mecánica es la capacidad del material a oponerse a la deformación y

la Rigidez de oponerse a la rotura4 Resolver un problema de Resistencia de Materiales es calcular las tensiones5 El cálculo de tensiones es resolver un problema de Rigidez

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4.- UNIDADES DE MEDIDA

4.1.- MAGNITUDES

Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales.

Magnitudes escalares: son aquellas que quedan completamente definidas por un número o módulo, que expresa su medida, y en las unidades utilizadas. Su valor puede ser independiente del observador (por ejemplo: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (por ejemplo: la energía cinética).

Magnitudes vectoriales: son aquellas que se definen mediante una magnitud escalar, una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc. Se representan por una letra con una flecha encima (la notación adoptada por la Unión Internacional de Física Aplicada es que se expresen en negrita. La negrita se usa en el texto para resaltar frases, palabras, letras y números, etc., por lo que se omite dicha notación), si el vector es unitario, se emplea la letra con una v invertida encima, como ejemplos y otras notaciones, ver los apartados anteriores.

Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan variación, es decir, no cambia ni su módulo, ni su dirección, ni su sentido. Sin embargo, para relacionar las medidas de diferentes observadores, se necesitan relaciones de transformación vectorial. En Mecánica Clásica el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad, los campos electrostáticos y magnéticos deben tratarse como parte de una magnitud tensorial.

Magnitudes tensoriales: se utilizan cuando las magnitudes escalares y vectoriales son insuficientes para caracterizar las propiedades o fenómenos físicos. Esto ocurre, generalmente, porque las cantidades que medir dependen del sistema de coordenadas asociado a un observador, de manera que, si se utilizan otros sistemas de referencia con diferente estado de movimiento o de orientación, los valores cambiarán. En el espacio tridimensional, se necesitan nueve valores para definir este tipo de magnitudes. El término «tensor» hace referencia a que estas magnitudes se utilizaron inicialmente en el estudio de tensiones mecánicas dentro de la mecánica de los medios continuos. Las magnitudes tensoriales se representan con una letra entre corchetes. Estas magnitudes se expresan comúnmente por lo que en matemáticas se conocen como «matrices». Los vectores y los escalares son casos particulares de tensores, ya que un vector en el espacio 3D se puede representar por una matriz 1x3 o 3x1, según se exprese como fila o columna.

De acuerdo con el tipo de magnitud, se deben escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador conocidas las de otro, cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.

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Una magnitud extensiva es la que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si se considera un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

Una magnitud intensiva es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tienen el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.

Las magnitudes físicas son fundamentales en la Mecánica para expresar sus leyes. Entre dichas magnitudes se tienen: masa, longitud, fuerza, tiempo, velocidad y aceleración. Cuando se quieren definir las magnitudes que utilizar en una rama, materia, disciplina, etc., de la Ciencia, las magnitudes físicas se dividen en básicas y derivadas. Las magnitudes básicas no pueden definirse en función de otras magnitudes físicas, son dimensionalmente independientes entre sí, y se selecciona el número mínimo necesario para dar una descripción coherente y completa de todas las magnitudes físicas de dicha rama del saber. Ejemplos de magnitudes que se consideran básicas en Mecánica son la longitud y el tiempo. Magnitudes derivadas son aquellas cuyas operaciones de definición se basan en medidas de otras magnitudes físicas. Ejemplos de magnitudes derivadas en Mecánica son: el área de una superficie, el volumen, la velocidad y la aceleración. Algunas magnitudes pueden considerarse o bien básicas o bien derivadas, según el sistema de unidades que se emplee, ya que cada sistema fija sus propias unidades básicas y el resto son derivadas.

Por convenio, las magnitudes físicas se suelen expresar en cursiva, mientras que las unidades empleadas para expresar su valor se expresan con letra normal, así, por ejemplo, la «masa» se indica con «m», y «una masa de 5 kilogramos» se expresará como «m = 5 kg». En el texto no se considera esta circunstancia.

Los sistemas de unidades comúnmente empleados fijan sus unidades de forma estándar,

a partir de la ecuación: →→

= a·mF . Las unidades habituales para expresar dicha ecuación son: fuerza, F; longitud, L; masa, M y tiempo, T. Cada sistema de unidades toma tres unidades básicas de referencia y una cuarta derivada de las tres primeras. Cuando se eligen como unidades básicas la longitud, la masa y el tiempo, se llama sistema absoluto de unidades y la fuerza es unidad derivada. Si se toman como unidades básicas la longitud, la fuerza y el tiempo, se llama sistema gravitacional de unidades y la masa es unidad derivada. Posteriormente, se estudiarán los sistemas de unidades más utilizados.

El valor de cada magnitud básica se define por medio de una unidad o patrón que se elige arbitrariamente. La yarda, el pie y la pulgada, por ejemplo: provienen de la práctica de utilizar el brazo, el pie o el pulgar como patrones de longitud. No obstante, para cualquier tipo de cálculo de precisión, estas unidades de longitud resultan insatisfactorias. El primer patrón internacional de longitud fue el metro patrón, que es una barra de platino iridiado conservada en

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la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia. En 1961, se adoptó por acuerdo internacional un nuevo patrón en función de la longitud de onda en el vacío de la raya rojo-anaranjada del espectro del isótopo kriptón 86. Ahora, un metro se define ser 1 650 763,73 veces la longitud de onda de dicha luz. Esta elección supone: mayor precisión, facilidad y economía de su obtención al encontrarse kriptón 86 en todas partes, todos sus átomos son iguales y emiten luz de la misma longitud de onda. Además, la longitud de onda elegida es exclusiva del kriptón 86 y tiene mucha nitidez.

Se vio que el tiempo se mide a partir de eventos naturales, en días, años y a partir de aquí horas, segundos, etc. Para hacer una medición más rápida y obtener mejor precisión, se utilizan relojes de cristal de cuarzo que funcionan midiendo las vibraciones periódicas propias, de una lámina de cuarzo excitada eléctricamente. Así funcionan muchos de los relojes de pulsera. Los mejores relojes de cuarzo han marcado el tiempo con un error máximo de 0,02 s por año.

Los relojes atómicos se basan en las vibraciones atómicas periódicas del isótopo cesio 133. En la XIII Conferencia General de Pesas y Medidas en 1967, se definió el segundo a partir del reloj de cesio y fue adoptado como patrón de tiempo. Un segundo patrón es la duración de 9 192 631 770 ciclos de vibración del isótopo cesio 133. Su exactitud es tal que se estima que en tres mil años dos relojes de cesio no difieren en un segundo en sus mediciones.

La unidad de masa, el kilogramo, está definida por un cilindro de platino iridiado (el kilogramo patrón) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia.

Es interesante conocer los distintos sistemas de unidades de medida, sin embargo, aquí se desestiman los anglosajones por el poco uso que se les da en España en el campo de la edificación. Las normativas actuales en Europa, incluyendo España, utilizan el Sistema Internacional. La unificación se debe al esfuerzo que se ha hecho con los eurocódigos. En el mundo de la construcción se ha utilizado tradicionalmente el llamado Sistema Técnico, que se empleará también.

Tabla 1.1.- Unidades de base y sus símbolosMagnitud Nombre de la unidad SímboloLongitud metro m

Masa kilogramo kgTiempo segundo s

Intensidad de corriente ampere ATemperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd

4.2.- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Al principio, el sistema métrico original se basó en dos unidades fundamentales: el metro para longitud y el kilogramo para la masa. El resto como: la superficie, el volumen, la capacidad, eran derivadas. Cuando se introdujo la unidad de tiempo, las medidas prácticas comenzaron a basarse en el sistema de unidades metro-kilogramo-segundo (MKS). En 1960, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas adoptó el Systeme International d’Unités (Sistema Internacional

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de Unidades), cuya abreviatura en todos los idiomas es SI, como norma internacional. En dicha conferencia participaron 36 países.

El Sistema Internacional de Unidades adoptado por la mencionada conferencia contiene tres clases de unidades: (1) unidades básicas, (2) unidades suplementarias, (3) unidades derivadas. El sistema se fundamenta en siete unidades básicas que se consignan en la tabla 1.1, y que permiten definir todas las ramas de la Física.

Tabla 1.2.- Unidades suplementarias y sus símbolosMagnitud Nombre de la unidad Símbolo

Ángulo plano radián radÁngulo sólido estereorradián sr

En la tabla 1.2, se tienen otras unidades distintas a las anteriores y denominadas unidades suplementarias (algunos textos las llaman complementarias), sin que se haya definido si son unidades básicas o derivadas, por lo que se admite cualquier opción.

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en función de las unidades de básicas y de unidades suplementarias. Sus símbolos se obtienen por medio de los signos matemáticos de multiplicación y división. Por ejemplo: la unidad SI de velocidad es el metro por segundo (m/s) y la unidad SI de velocidad angular es el radián por segundo (rad/s). En el sistema SI, la unidad de fuerza es una unidad derivada y se denomina newton. El newton es la fuerza necesaria para dar a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadrado. Así pues, 1 N = 1 kg·m/s2. Algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos particulares; en la tabla 1.3, se consignan las que son de interés en Mecánica.

Tabla 1.3.- Unidades derivadas, símbolos y nombres particularesMagnitud Unidad SI derivada Símbolo Nombre particular

Área metro cuadrado m2 -Volumen metro cúbico m3 -Velocidad lineal metro por segundo m/s -Velocidad angular radián por segundo rad/s -Aceleración lineal metro por segundo al cuadrado m/s2 -Frecuencia ciclos por segundo Hz hertzDensidad kilogramo por metro cúbico kg/m3 -

Fuerza kilogramo metro por segundo al cuadrado N = kg·m/s2 newton

Momento de una fuerza newton metro N·m -

Presión newton por metro cuadrado Pa = N/m2 pascalTensión Mecánica newton por metro cuadrado Pa = N/m2 pascalTrabajo newton metro J jouleEnergía newton metro J joulePotencia joule por segundo W watt

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Para formar los nombres y símbolos de múltiplos (múltiplos y submúltiplos decimales) de nombres SI, se utilizan ciertos prefijos. La elección del múltiplo apropiado viene regida por la conveniencia y deberá tomarse de manera que el valor numérico esté comprendido entre 0,1 y 1000. Para formar un múltiplo o una unidad compuesta, deberá utilizarse un solo prefijo y convendrá evitar prefijos en el denominador. En la tabla 1.4, se consignan los prefijos aprobados junto con sus nombres.

En los países anglosajones, se utiliza cada vez más el sistema SI. Tanto los ingenieros europeos como los anglosajones deben tener facilidad para emplear unos sistemas u otros. En nuestro caso, no se emplearán sistemas anglosajones, por lo que, si el estudiante lo requiere, deberá consultar otros textos.

4.3.- SISTEMA TERRESTRE EUROPEO O SISTEMA MÉTRICO

El Sistema Terrestre Europeo o Sistema Métrico (SM) es un sistema gravitacional de unidades. Las unidades básicas son el kilopondio, kp (kilogramo-fuerza) de fuerza; metro, m de longitud y el segundo, s de tiempo. La unidad de masa es derivada y no tiene nombre específico, si bien se designa UTM (Unidad Técnica de Masa), siendo la masa que sometida a la fuerza de 1 kp es acelerada 1 m/s2.

El kilogramo fuerza o kilopondio es la fuerza con que la Tierra atrae la masa de un kg. Siendo la aceleración de la gravedad aproximadamente g = 9,8 m/s2; 1 kp = 1 kg 9,8 m/s2. Además, 1 kp = m m/s2, siendo m la unidad de masa del sistema que vale entonces m = 9,8 kg. En la práctica, es habitual encontrarse con notaciones en las que el kilopondio, kp, aparece denotado como kg pudiendo confundirse con el kilogramo como unidad de masa, deberá tenerse en dichos casos especial cuidado con las unidades. También es fácil encontrar la notación kgf para denotar kilogramo fuerza o kilopondio.

El Sistema Métrico se resiste a desaparecer a pesar de que en los libros modernos de Mecánica muchas veces ni se menciona. Sin embargo, es de vital importancia, ya que se suele utilizar a menudo en asignaturas relacionadas con la edificación y la construcción. El motivo es evidente, la fuerza más familiar para el ser humano es el peso, y resulta que la fuerza de 1 kp es la que hace la Tierra sobre la masa de 1 kg.

4.4.- UNIDADES FUNDAMENTALES EN EL SISTEMA CEGESIMAL C. G. S.

Longitud: centímetro (cm): 1/100 del (m) SI

Tiempo: segundo (s) igual que el SI

Masa: gramo (g): 1/1.000 del (kg) del SI

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Tabla 1.4.- Múltiplos de unidades SI

Factor por el cual se multiplica la unidad PrefijoNombre Símbolo

1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hecto h10 Deca da10-1 Deci d10-2 Centi c10-3 Mili m10-6 Micro m10-9 Nano n10-12 Pico p10-15 Femto f10-18 Atto a

4.5.- NORMAS ORTOGRÁFICAS PARA LOS SÍMBOLOS

Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas y no abreviaturas, por lo que se deben escribir siempre tal cual están definidos (p. ej., «m» para metro y «A» para ampere o amperio).

Deben usarse preferentemente los símbolos y no los nombres (p. ej., «kHz» y no «kilohertz» o «kilohercio»). Los nombres no están normalizados internacionalmente, sino que dependen de la lengua (así lo establece explícitamente la norma ISO 80 000); se consideran siempre nombres comunes. Pueden utilizarse las denominaciones castella-nizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidos por la Real Academia Española (ejemplos: amperio, culombio, faradio, voltio, vatio, etc.). Los símbolos sí están nor-malizados.

Los símbolos se escriben en minúsculas, salvo que el nombre proceda de una persona (W, de Watt, V, de Volta). Asimismo, los submúltiplos y los múltiplos, hasta kilo (k) inclusive, también se escriben con minúscula; desde mega, se escriben con mayúscula. Se han de escribir en letra redonda independientemente del resto del texto. Esto permite diferenciarlos de las variables.

Los símbolos no cambian cuando se trata de varias unidades, es decir, no se pluralizan añadiendo una «s». Tampoco debe situarse un punto («.») a continuación de un símbolo, salvo cuando el símbolo se encuentra al final de una frase. Por lo tanto, es incorrecto escribir, por ejemplo: el símbolo de kilogramos como «Kg» (con mayúscula), «kgs» (pluralizado) o «kg.» (con el punto). La única manera correcta de escribirlo es «kg». Esto se debe a que se quiere evitar que haya malas interpretaciones: «Kg» podría entenderse como kelvin·gramo,

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ya que «K» es el símbolo de la unidad de temperatura kelvin. Por otra parte, ésta última se escribe sin el símbolo de grados «°», pues su nombre correcto no es grado Kelvin (°K), sino solo kelvin (K).

El símbolo de segundos es «s» (en minúscula y sin punto posterior) y no «seg.» ni «segs.». Los amperios no deben abreviarse «Amps.», ya que su símbolo es «A» (mayúscula y sin punto). El metro se simboliza con «m» (no «mt», ni «mts.»).

4.6.- OTRAS UNIDADES DE INTERÉS

Tanto con el SI y el SM se emplean otras unidades ampliamente conocidas y utilizadas que se recogen en la tabla 1.5, sin embargo, conviene destacar la tonelada dado que en ocasiones, y más cuando se utiliza como unidad de fuerza, crea confusiones. En la tabla aparece como unidad de masa y con símbolo t. Sin embargo, la tonelada fuerza se utiliza también como unidad de fuerza con la letra t (no se emplea tm o Tm), representando la fuerza de 1000 kp o kgf, así el estudiante deberá entender y separar claramente cuando se emplee como unidad de masa y cuando se emplee como unidad de fuerza.

Tabla 1.5.- Otras unidades de interésMagnitud Símbolo Valor en el SI

minuto min 60 shora h 3600 sdía d 86 400 s

grado º (p/180) radminuto ´ (1/60)º = (p/10 800) rad

segundo ´´ 3600 slitro l 10-3 m3

tonelada t 103 kg

Se incluyen las tablas 1.6 y 1.7 para la realización de los ejercicios propuestos de repaso de unidades.

Tabla 1.6.- Magnitudes del sistema solarMasa Radio medio

Tierra 5,976·1024 kg 6,371·106 m*Luna 7,350·1022 kg 1,738·106 mSol 1,990·1030 kg 6,960·108 m

Distancia media de la Tierraa la Luna 3,844·108 m

al Sol 1,496·1011 m*Radio de una esfera de igual volumen. Radio polar = 6,357·106 m, Radio ecuatorial = 6,378·106 m

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Tabla 1.7.- Medidas características de los planetasNombre Periodo T

(años)Distancia Media

(km·106)T2/r3 Radio Medio

(km)Masa (kg·1024)

Mercurio 0,241 57,9 1,245 2421,1 0,3253Venus 0,615 108,1 1,252 6161,0 4,871Tierra 1,000 149,5 1,247 6371,0 5,976Marte 1,881 227,8 1,249 3332,1 0,6422Júpiter 11,862 777,8 1,246 69 892,0 1900,1Saturno 29,458 1246,0 1,247 57 532,0 568,7Urano 84,015 2869,0 1,245 23 701,0 86,8

Neptuno 164,790 4496,0 1,246 21 535,0 103,3Plutón 247,700 5899,0 1,246 2867,0 1,1

5.- NIVELES DE ANÁLISIS EN LOS SISTEMAS MECÁNICOS

En general y desde el punto de vista dimensional, se puede decir que los sistemas mecánicos son de dos tipos: elementos aislados y conjuntos. La Elasticidad y Resistencia de Materiales estudia los elementos aislados, fundamentalmente, aunque en la asignatura se analizarán algunos conjuntos sencillos. Los conjuntos se estudian en el Diseño de Máquinas y en la Teoría de Mecanismos, cuando se mueven, y en la Teoría y Diseño de Estructuras cuando están quietos.

A nuestro nivel de conocimiento, los conjuntos y sus elementos son en la mayoría de los casos tipo barra. Así la barra será nuestro modelo de sólido por excelencia. Por otro lado, en los análisis, suele ser necesario trabajar a nivel interno, para lo que se definen las rebanadas como porciones de la barra obtenidas por el corte de la barra por dos planos paralelos y normales a su dirección principal o directriz, y el punto.

En la figura 1.5 se muestran las situaciones de estudio en los sistemas mecánicos, habituales. En general, se busca el diseño como resultado final. En el diseño se comienza por el nivel de conjunto (en la figura 1.5 el pórtico, que es una estructura), del conjunto se pasa al elemento (barra de la figura), del elemento a la porción (rebanada de la barra) y de la porción al punto. En esos niveles se aplican las ecuaciones de la Elasticidad y Resistencia de Materiales.

LECCIÓN 2GEOMETRÍA DE MASAS. SECCIONES PLANAS

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1.- INTRODUCCIÓN

Geometría de masas es la ciencia que estudia las propiedades geométricas de los cuerpos, volúmenes, superficies, líneas, etc., con el objetivo de estudiar su comportamiento mecánico.

En esta lección se tratarán los conceptos básicos de la geometría de masas orientada al estudio de las secciones planas, que son las propiedades que se utilizan en la Teoría de la Elasticidad y Resistencia de Materiales y en el diseño de las estructuras. Dado que las propiedades geométricas de las secciones planas carecen de sentido físico, en algunos textos se denominan propiedades matemáticas de las superficies. Sin embargo, en el diseño de elementos de los sistemas mecánicos, dichas propiedades son de vital importancia pudiéndoseles atribuir cierto sentido físico a partir de su influencia y relación con los esfuerzos a los que están sometidas las secciones. Dado que dicha contribución se puede relacionar con la de las propiedades geométricas de los cuerpos, en ocasiones se hará referencia a otras propiedades como la masa m, el volumen V, etc., para mejorar su comprensión por simple analogía. Se debe considerar que todas estas propiedades se deducen de las de la masa m, la cual tiene una densidad δ que, en el caso que se pueda simplificar, se obtienen las propiedades para el volumen V. Del volumen se deducen las de las áreas y longitudes cuando alguna de las dimensiones se reducen, obteniendo las de un área Ω y una longitud L. Aquí se estudian principalmente las propiedades de las secciones Ω (en las asignaturas de cálculo de estructuras y en la bibliografía se suele usar la letra A para designar el área de una sección).

En primer lugar, se explicarán los conceptos de centroide y momento estático de una sección plana cuya característica geométrica es su área Ω. Luego, se estudiará el concepto de momento de inercia de una sección Ω, imprescindible en la Resistencia de Materiales por ser la característica geométrica de la sección que tener en cuenta en el diseño de vigas sometidas a esfuerzos de flexión o torsión.

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Desde el punto de vista de la Mecánica, el momento de inercia I es al par de rotación →M lo que es la masa m a la fuerza

→F , basta recordar la segunda ley de Newton o ley

Fundamental de la Dinámica →

=→

a·mF , que, cuando un sólido efectúa una rotación

o un giro, se escribe →α=

→·IM , siendo

→M el par, I el momento de inercia en el centro

de gravedad y que depende de la masa del cuerpo y de cómo está distribuida; y →α es la

aceleración angular. De ahí se deduce que el concepto de momento de inercia siempre está asociado a un movimiento angular. De la misma manera que la inercia en el movimiento rectilíneo va asociada a la masa, en el movimiento angular se asocia principalmente al momento de inercia.

2.- MOMENTO ESTÁTICO DE MASAS, VOLÚMENES, SECCIONES Y LÍNEAS

El momento estático de una magnitud x, de forma general ver figura 2.1, se define

respecto a un punto de referencia O por el vector ξ=→→

·rSO (se usa la letra S por ser la

notación utilizada en las tablas de estructuras), siendo →r el vector de posición desde el

origen O al punto donde se sitúa la magnitud x.

El concepto de momento de una fuerza es bastante conocido por el estudiante, ya desde los cursos de primaria se estudia el concepto de fuerza y de momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje. En ingeniería, se utilizan fórmulas en las se expresan momentos estáticos de magnitudes x como son las masas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o planos, que, si bien no gozan de un significado, se pueden comparar con el de momento de una fuerza.

Cuando se tiene un sistema discreto formado por un conjunto de magnitudes xi situadas

con vectores de posición →

ir desde un mismo origen O, ver figura 2.1a), el momento estático se define por el vector:

∑=

→→ξ=

n

1iiiO ·rS

donde el subíndice i designa al elemento i-ésimo xi pudiendo ser una masa mi, un volumen Vi, una sección Ω i o una longitud Li, etc.

Cuando el sistema es continuo, el momento estático se expresa:

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RESISTENCIA DE MATERIALES - Editorial Club · PDF file5. PRÓLOGO Resistencia de materiales. es el libro de texto que reúne los conceptos teóricos de la asignatura Estructuras y