1. Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar la televisión un máximo de 200

horas por mes y sólo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control

riguroso del tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de

modo que se trata de una variable continua, X que medida en unidades de 100 horas,

tiene la siguiente función de densidad:

para 1

para 2

en otra p, arte

0

2 1

0

x x

f x x x

El promedio de horas de televisión que espera la mamá que vean sus hijos es:

Solución

Por definición, la media se calcula por:

dx f x x

donde:

2

2

0

2 1

en otra parte

2

0

1x x

x f x x x x

entonces:

0

0 dx

1 2

2 2

0 1 2d 2 d 0 dx xx xx x

3 3

2

1

2

1

0

1 10

3 3x x x

1 2

3 3 , así la media o valor esperado es 1 ,

Pero como cada unidad es de cien horas c/u, la respuesta es: 100 hr

2. Los empleados en Cooper-Price and Lybrand trabajan en promedio de 55,8 horas por

semana, con una desviación estándar de 9,8 horas. Los ascensos son más probables

para los empleados que están dentro del 10% de los que pasan más tiempo

trabajando, ¿cuánto debe trabajar usted para mejorar sus oportunidades de ascenso?

Solución

= 55.8 horas, = 9.8 horas

( ) 0.10

( ) 0.90

( ) 0.90

1.28k

P X k

P X k

P X k

z

1.28 

X 55.81.28 

9.8

X

X 68.344

Rpta: Para aumentar las posibilidades de ascenso y estar dentro del 10% que

trabaja más, se debe trabajar 68.34 horas.

3. Para recolectar los datos de un proyecto de investigación, un estudiante de mercadeo

en una universidad pequeña en el centro de Estados Unidos, contó en 50 cursos de

negocios el número de estudiantes que habían comprado recientemente discos

compactos. En 12 clases no encontró estudiantes que hubieran hecho dicha compra; 3

estudiantes habían comprado en 8 clases, 4 habían comprado en 9 clases, 5 en 15

clases y 7 estudiantes, de las seis clases restantes habían aumentado su colección de

música. El estudiante deseaba comenzar su investigación resumiendo sus datos. La

probabilidad de que 3 estudiantes hayan comprado discos compactos es:

X fi (frecuencias)

P(X=xi)

0 12 0.24

3 8 0.16

4 9 0.18

5 15 0.3

7 6 0.12

50 1

Rpta: P(X=3) = Nº de cursos comprados por 3 alumnos 8

0.16Nº de cursos comprados por el total de a lumnos 50

16%

4. La distribución normal estándar se caracteriza porque:

Solución

La función de densidad de la distribución normal estandarizada es

2

21

( ) e2

z

f z

. Entonces

su media es:

( )z f z

2

21

z e2

z

dz

2

2e1

2

z

e e1

2

usar la tabla de distribución normal estandarizada.

1

20 0

0

Además para estandarizar la función de

distribución normal

2

2

( )

21

( ) e2

x

f x

Es absolutamente necesario hacer

1 y 0

Y así obtener:

2

21

( ) e2

z

f z

.

Respuesta: varianza 1 y 0media

5. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay

20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de

discos defectuosos obtenidos en la selección. El valor esperado y la varianza de la cantidad de

discos defectuosos es:

Solución

Al producir o fabricar discos existen dos posibles resultados: defectuoso o no defectuoso, es

decir 2 valores (binario), o sea la variable aleatoria sigue el patrón de una distribución de

probabilidad binomial:

1!

! !

n xxnP x

x n x

Siendo la probabilidad de que un disco salga defectuoso. Entonces

10% 0.1

La esperanza o media de obtener discos defectuosos está dada por la fórmula n

siendo 20n el número de pruebas. Entonces

(0.1) (20)

2

La varianza se halla mediante: 2 (1 )n

2 (20)(0.1)(1 0.1)

2 1.8

6. Determine el valor de C de manera que la función pueda servir como distribución de

probabilidad de la variable discreta X:

2 , para 0,1,2,1

23f X c xX

Para que f sea función de probabilidad, debe

cumplir:

3

1

0

1, 0.1,2,3.f x i

0 1 2 3 1f f f f

2 2 2 21 1 1 10 1 2 3 1

2 2 2 2c c c c

Entonces:

1 3 9 19c c c c 1

2 2 2 2

16 1c

1

16c

7. Los corredores de una maratón local terminaron el trayecto en un tiempo promedio de 180,3 minutos; s = 25,7. ¿Qué tan rápido deben correr para terminar dentro del primer 10%?

Solución

180.3 25.7

XZ

( ) 10%P Z z

( ) 0.1P Z z

Como 0.1 < 0.5 entonces z < 0

Pero por la simetría esto equivale a:

0.5 - Área de (0 hasta -z) = 0.1

Notar que -z > 0

Área de (0 hasta –z) = 0.5 – 0.1

= 0.4

Buscando el valor 0.4 dentro de la tabla (aprox 0.3997), encontramos:

-z = 1.28 z = -1.28

Area de [- hasta z] 0.1

Area [de - hasta 0] 0. 5

z

z -z 0.1 0.1

0

0

Luego:

Xz

180.31.28

25.7

X

1.28 25.7 180.3X

147.40400X

Respuesta:

Para terminar dentro del primer 10% los

atletas deben de emplear 147.404 minutos

8. Ya está hecho (repetido en el examen por error).

9. La función de probabilidad de una variable aleatoria X, representa:

Solución

Por definición la función de probabilidad está se denota por:

( )P X x o bien 0( )P X x

10. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay

20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de

discos defectuosos obtenidos en la selección.

¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 2 discos defectuosos?

Solución

Al producir o fabricar discos existen dos posibles resultados: defectuoso o no defectuoso,

entonces la variable aleatoria sigue el patrón de una distribución de probabilidad binomial:

!, 0,1,2,

! !

1n xxn p p

P X xn x

xx

n

ésta, es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja

mencionada.

donde p la probabilidad de que un disco salga defectuoso en una extracción. Entonces

10% 0.1p

20n

asumimos que extrajeron todos los de la caja

Lo que se pide es:

1

1 (0) P(1

1 0.12158 0.27017

2

)

1

2

,

XPX

P

P

0.602 8253XP

11. Para transformar una distribución normal estándar o típica se debe hacer el siguiente cambio

Respuesta: X

z

12. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay

20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de

discos defectuosos obtenidos en la selección.

¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea menor o igual que 2?

Solución

!, 0,1,2,

! !

1n xxn p p

P X xn x

xx

n

es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja mencionada.

Donde:

10% 0.1p

20n

asumimos que extrajeron todos los de la caja

Lo que se pide es:

0.1215766546 0.2701703436 0.28

(0

51

2

7

) P(

98071

0.676

1) P(2

2680

)

9 53

PXP

Entonces: 0.676922 68  053XP

13. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay

20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de

discos defectuosos obtenidos en la selección.

¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea igual a 1?

Solución

!, 0,1,2,

! !

1n xxn p p

P X xn x

xx

n

es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja mencionada.

Donde:

10% 0.1p

20n

asumimos que extrajeron todos los de la caja

Lo que se pide es:

0.2701703 3

)

4

1 P(1

6

P X

Entonces: 0.270171 03  436XP

14. Una empresa industrial compra varias máquinas de escribir nuevas al final de cada año,

dependiendo el número exacto de la frecuencia de reparaciones en el año anterior.

Suponga que el número de máquinas X, que se compra cada año tiene la siguiente

distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tenga que

comprar máximo 2 máquinas?

X 0 1 2 3

f(X) 1/2 3/10 2/5 1/5

Solución

(X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2)P

1 3 2(X 2)

2 10 5P

(X 26

5)P (Respuesta)

15. Si Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar, el valor de k cuya área

entre 0 y k corresponde a 0,2291 , es:

Solución

Respuesta: Observando en la tabla de la distribución normal estandarizada se tiene

k = 0.61

Apéndice