ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4. EJERCICIOS DE ESTADISTICA INFERENCIAL

De acuerdo a las propiedades de la estadística inferencia realiza de forma clara los

siguientes ejercicios:

a) Ejercicios de límites de confianza

1. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el

nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/c. c. Se sabe

que la desviación estándar de la población es de 20 mg/c.c.

Procedimiento:

σ√n

= 20√100

=2

Tenemos que calcular

Zα /2TALQUE P (Zα /2≤ Z≤α /2 )

α2+P (−Zα /2≤Z≤ Zα /2 )+ α

2=1⟹2 P (Z ≤Zα /2)

¿1+P(−Zα /2≤Z ≤Zα /2)

P=(−Zα /2≤Z≤Zα /2 )=0.90⟹2 P (Z ≤Zα /2 )−1=0.90⟹P (Z≤Zα /2 )=0.90+12=0.95

Entrando con valor 0,95 en la tabla de la Norma N (0,1), obtenemos el valor

Zα /2=1.645

a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la

población.

¿

b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?

Ε=Zα /2 ∙σ√n

=1.645∙ 20√100

=1.645∙2=3,29

2. Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al azar, de 200 cojinetes

de bolas, hechos por una determinada máquina, dieron una media de 2 cm y una

desviación estándar de 0,1 cm. Hallar los intervalos de confianza del 95% y del 99%

para el diámetro de todos los cojinetes.

En cada caso vamos a calcular Zα /2

P=(−Zα /2≤Z≤Zα /2 )=0.9544⟹2P (Z≤Zα /2 )−1=0.9544⟹ P (Z ≤Zα /2 )=0.9544+12=0.9772

Empleando las Tablas de la Normal (0,1) sigue que:

Zα /2=2,0

El intervalo de confianza es:

(2−2∗0.1√200

,2+2∗0.1√200

)=(1.986,2 .014)

99,73%

P=(−Zα /2≤Z≤Zα /2 )=0,9973⟹2 P (Z ≤Zα /2 )−1=0,9973⟹ P (Z ≤Zα /2 )=0,9973+12=0,9986

Empleando las Tablas de la Normal (0,1) sigue que

Zα /2=3,0

El intervalo de confianza es:

(2−3· 0,1√200

,2+3· 0,1√200

)=(1,979,2,021)

3. En una determinada colonia se seleccionó al azar una muestra de 100 personas

cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a $10,600. Con una desviación

estándar de $2,000.

a) Si se toma un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para

la media de los ingresos mensuales de toda la población?

P=(−Zα /2≤Z≤Zα /2 )=0,95⟹2 P (Z ≤Zα /2 )−1=0,95⟹ P (Z≤Zα /2 )=0,95+12=0,975

Zα /2=1,96

El intervalo de confianza es:

¿

4. La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas

de rodamiento fabricadas por cierta máquina fue de 0,824 cm y la desviación típica fue

de 0,04 cm. Halla los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas

fabricadas por esa máquina.

Para el nivel de confianza de 0, 95, Zα /2 = 1,96 el intervalo de confianza será:

(0,824−1,96 · 0,042√200

,0,824+1,96 · 0,042√200

)=(0,818 ,0,830)

Los límites de confianza son: 0,818 y 0,830

5. En una gran ciudad, la altura media de sus habitantes tiene una desviación

típica de 8 cm. Se pide:

a) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad, se

obtiene una altura media de 178 cm. Determina un intervalo de confianza del 95%

para la altura media de los habitantes de esta ciudad. Explica los pasos seguidos para

obtener la respuesta.

n=100, no sabemos la medida de la población por lo tanto tomamos como medida de

la población media de la muestra, si conocemos la desviación típica.

Para un nivel de confianza de 0,95, Zα /2=1,96

P=(−Zα /2≤Z≤Zα /2 )=0,95⟹2 P (Z ≤Zα /2 )−1=0,95⟹ P (Z≤Zα /2 )=0,95+12=0,975

Zα /2=1.96

El intervalo de confianza es:

(178−1,96· 8√100

,178+1,96 · 8√100

)=(176,432,179,568)

b) Ejercicios de prueba de hipótesis

1. Se desea comprobar si la cantidad de dinero que un estudiante gasta

diariamente en promedio es mayor que $87.00, seleccionando una muestra al azar de

29 estudiantes y se encuentra que la media es de $89.00, teniendo una desviación

típica de $7.25. A un nivel de significación del 5% probar si es verdad que los

estudiantes gastan diariamente en promedio $87.00

Z= X−μσ /√ n

n=29

x=89

σ=7.25 .

α=0.05

μ=¿87

Z= 89−877.25 /√29

¿ 89−871,35

¿ 21,35

=1,48

2. Una encuesta revela que los 100 autos particulares, que constituyen una muestra aleatoria, se condujeron a un promedio de 12,500 Km. durante un año, con una desviación estándar de 2,400 Km. Con base en esta información, probar la hipótesis donde, en promedio, los autos particulares se condujeron a 12,000 Km durante un año, frente a la alternativa de que el promedio sea superior. Utilizar el nivel de significación del 5%.

Datos:

n= 100

X 12,500

S= 2,400

A) Ho:µ=12,000

Ha:µ>12,000

B) a=0.05

Z= X−μs/√ n

c ¿Z=15−15.92.3 /√64

=−3.13

Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene

un efecto significativo negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del

5%.

3. Una muestra aleatoria de 100 actas de defunción registradas en México el año

pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar

poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la vida media hoy en día es mayor a 70

años con base en esa muestra. Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.

Datos:

µ=70 años

 σ= 8.9 años

= 71.8 años

n = 100

 α= 0.05

Ensayo de hipótesis

Ho; µ = 70 años.

H1; µ > 70 años.

Regla de decisión:

Si ZR ≤1.645 no se rechaza Ho.

Si ZR> 1.645 se rechaza Ho.

Cálculos:

ZR=X R−μα /√n

= 71.8−708.9 /√100

−2.02

Justificación y decisión.

Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia

del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisión en base al

estadístico real, en este caso la media de la muestra. De la formula de la distribución

muestral de medias se despeja la media de la muestra:

ZL=XL−μα /√n

X L= µ+Z Lα√n

=70+(1.645 ) (8.9 )

√100=71.46

Regla de decisión:

Si X R ≤ 71.46 No se rechaza Ho

Si X R > 71.46 Se rechaza Ho

Como la media de la muestral es de 71.8 años y es mayor al valor de la media

muestral límite de 71.46 por lo tanto se rechaza Ho y se llega a la misma conclusión.

4. Se desea conocer el peso promedio de todos los pasajeros de un avión. Como

hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una muestra de 36

pasajeros de la cual se obtiene una media de la muestra x= 63 kg. Suponga además

que la distribución de los pasajeros tenga una distribución normal con desviación

estándar de 12 kg., con un nivel de significancia de 5%. ¿Se puede concluir que el

peso promedio de todos los pasajeros es menor que 63 kg?

Nota como puede ver esta es una prueba de una cola (a la izquierda) por lo

que hay que utilizar una tabla de distribución para una cola.

Datos:

n=36

x=63

σ=12kg

α=0.05

H 0 : μ≥63

H 1: μ<63

μ0=63

Z=X−μ0σ /√n

= 63−6312/√36

=06=−2

H 0 : μ≥ μ0

H 1: μ<μ0

Rechazo Ho si Z < - Z1- α

No rechazo Ho si Z ≥-Z1-α

Z1−0.05=Z0,95=1,65

-2 < -1,65

Conclusión:

Se rechaza la hipótesis nula, quiere decir que promedio de todos los pasajeros es

menor a 63 kg.

5.- Estamos estudiando el efecto del estrés sobre la presión arterial. Nuestra hipótesis

es que la presión sistólica media en varones jóvenes estresados es mayor que 180

mm de Hg Estudiamos una muestra de 36 sujetos y encontramos una media de 185

mm de Hg y desviación estándar de 3.6 mm de Hg A un nivel de significación del 5%

probar si es verdad que el estrés afecta a la presión sistólica.

Antes de resolver este ejercicio debo tener en cuenta lo siguiente:

Las hipótesis estadísticas se pueden contrastar con la información extraída de las

muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error.

a= p(rechazar H0|H0 cierta) 

b = p(aceptar H0|H0 falsa) 

Potencia =1-b = p(rechazar H0|H0 falsa)

Hay que tener en cuenta estos detalles:

1 a y b están inversamente relacionadas.

Los pasos necesarios para realizar un contraste relativo a un parámetro q son:

1. Establecer la hipótesis nula en términos de igualdad

Ho: θ=θo

2. Establecer la hipótesis alternativa, que puede hacerse de tres maneras,

dependiendo del interés del investigador

H 1 :θ≠ θ0 θ>θ0 θ<θ0

En el primer caso se habla de contraste bilateral o de dos colas, y en los otros dos

de lateral (derecho en el 2º caso, o izquierdo en el 3º) o una cola.

3. Elegir un nivel de significación: nivel crítico para a

4. Elegir un estadístico de contraste: estadístico cuya distribución muestral se conozca

en H0 y que esté relacionado con q y establecer, en base a dicha distribución, la región

crítica: región en la que el estadístico tiene una probabilidad menor que a si H0 fuera

cierta y, en consecuencia, si el estadístico cayera en la misma, se rechazaría H0.

Observar que, de esta manera, se está más seguro cuando se rechaza una hipótesis

que cuando no. Por eso se fija como H0 lo que se quiere rechazar. Cuando no se

rechaza, no se ha demostrado nada, simplemente no se ha podido rechazar. Por otro

lado, la decisión se toma en base a la distribución muestral en H0, por eso es

necesario que tenga la igualdad.

5. Calcular el estadístico para una muestra aleatoria y compararlo con la región crítica,

o equivalentemente, calcular el "valor p" del estadístico (probabilidad de obtener ese

valor, u otro más alejado de la H0, si H0fuera cierta) y compararlo con a.

Solución:X=18,5 S=3,6

1. Se trata de un contraste sobre medias. La hipótesis nula (lo que queremos

rechazar) es:

H 0 : μ=18

2. la hipótesis alternativa

H 1: μ>18

Es un contraste lateral derecho.

3. Fijamos "a priori" el nivel de significación en 0,05

4. El estadístico para el contraste es

T=X−μ0S /√n

Y la región crítica T¿ tα

Si el contraste hubiera sido lateral izquierdo, la región crítica sería T<t1-

y si hubiera sido bilateral T<t1- α/2 o T>t α/2 

En este ejemplo t(35)0,05=1,69.

5.-Calculamos el valor de t en la muestra 

T=18,5−183,6/√36

=0,833

No está en la región crítica (no es mayor que 1,69), por tanto no rechazamos H0.

Otra manera equivalente de hacer lo mismo (lo que hacen los paquetes estadísticos)

es buscar en las tablas el "valor p" que corresponde a T=0,833, que para 35 g.l. es

aproximadamente 0,20. Es decir, si H0fuera cierta, la probabilidad de encontrar un

valor de T como el que hemos encontrado o mayor (¿por qué mayor? Porque la H1 es

que µ es mayor, lo que produciría una media muestral mayor y por tanto mayor valor

de t) es 0,20, dicho de otra manera la probabilidad de equivocarnos si rechazamos

H0 es 0,20, como la frontera se establece en 0,05 no la rechazamos.

Este valor crítico de 0,05 es arbitrario pero es la convención habitual. 

BIBLIOGRAFIA:

https://books.google.com.mx/books?id=RbaC-

wPWqjsC&q=intervalo+de+confianza&hl=es&source=gbs_word_cloud_r&cad=4#v=sni

ppet&q=intervalo%20de%20confianza&f=false

http://www.mediafire.com/download/j6x3m0jb1peshpr/Estadistica

%2C+Descriptiva+e+Inferencial+-+Manuel+Cordova+Zamora.pdf