Resolución de Sistemas Lineales

Introducción

Notación matricial

mnmnmm

n

n

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2

1

2

1

21

22221

11211

2211

22222121

11212111

...

...

...

37

77

15

1120

19100

124

37

77

15

1120

19100

124

37112

771910

1524

3

2

1

32

32

321

bA

x

x

x

xx

xx

xxx

Condiciones para que el Sistema tenga Solución única

Teorema

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

0det)

que tal)

ntesindependie elinealmentson A de (filas) columnas Las )

00)

única es esta sistema, el parasolución una existe si )

bsolución una tiene)

111

Af

IAAAAAe

d

xAxc

b

bAxa

Observaciones

Una matriz que satisface las condiciones del teorema es NO SINGULAR

Escalado

AA n det)det(

El determinante cambia MUCHO con el escalado

Observaciones

No se puede usar el determinante para decidir EN FORMA NUMERICA cuántas soluciones tiene un sistema

Usar RANGO para determinar cantidad de soluciones

Rango

XX

XX

XX

XX

XX

nm

XXXXX

XXXXXnm

nmAr

A

solnoArbArnAr

solsnArbArnAr

solnAr

A

mxn

nxn

,min)(

)()()(

)()()(

!)(

Generalidades

Cbx

AC

bAx

bAx

)2

)1

estable) poco (caro, Algoritmo1

1

Sistemas fáciles de resolver

Matrices diagonales Matrices triangulares inferiores Matrices triangulares superiores

Matrices diagonales

4

3

2

1

4

3

2

1

44

33

22

11

000

000

000

000

,10

b

b

b

b

x

x

x

x

a

a

a

a

nia

adiagDbDx

ii

ii

Matrices triangulares

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

333231

2221

11

0

00

000

b

b

b

b

x

x

x

x

llll

lll

ll

l

bLx

Matrices triangulares inferiores

fin

hacer 2,...n 1,ipara

adelantehacia nSustitució

00

1

1

ii

i

jjiji

i

iiij

l

xlb

x

iljilbLx

Matrices triangulares superiores

fin

hacer 1,...1-nn,ipara

atrashacia nSustitució

00

1

ii

n

ijjiji

i

iiij

u

xub

x

iujiubUx

Resolución de sistemas lineales

Métodos directos Métodos iterativos

Métodos Directos: Eliminación de Gauss

Triangularización

operaciones elementales

Sustitución hacia atrás

bxU

bxA

Fase de Reducción

144

133

122

3

2

48140

10120

43210

43121

81423

33241

43452

43121

fff

fff

fff

Reducción para EG

610057

57

10

21

21

23

1

45

554

59

00

57

57

10

21

21

23

1

2

812057

57

10

21

21

23

1

58120

775021

21

23

1

2

4

7212

5511421

21

23

1

27212

55114

1132

722

55114

132

33233

22133

1221

1

321

321

321

fffff

fffff

ffff

f

xxx

xxx

xxx

Resolver todo por reducción

213

106

72

13

12000

10030067

0010

213

0001

48140

10120

43210

43121

484

12

432

432

432

32

432

4321

x

xxx

xx

xxx

xxxx

Método de Gauss-Jordan

2

13

106

72

13

12000

1003006

70010

2

130001

12000

763003

21010

53001

4

2

2

2020900

76300

43210

129301

48140

10120

43210

43121

244

233

211

x

fff

fff

fff

Sistema compatible determinado: triangularización

610057

57

10

21

21

23

1

45

554

59

00

57

57

10

21

21

23

1

2

812057

57

10

21

21

23

1

58120

775021

21

23

1

2

4

7212

5511421

21

23

1

27212

55114

1132

722

55114

132

33233

22133

1221

1

321

321

321

fffff

fffff

ffff

f

xxx

xxx

xxx

Sustitución hacia atrás

6713

:Solución

1321

621

723

7657

57

657

57

21

21

23

610057

57

10

21

21

23

1

722

55114

132

1

2

3

32

321

321

321

321

Tx

x

x

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Vectores fila de una matriz

iniiTi

Tm

T

T

aaar

r

r

r

A 212

1

Vectores columna de una matriz

mi

i

i

in

a

a

a

ccccA

2

1

21

Espacio filas de una matriz

A DE FILAS ESPACIO denomina se

A FILAde vectoreslospor

abarcado de subespacio el entonces Si nmxnA

Espacio columnas de una matriz

A DE COLUMNAS ESPACIO denomina se

A COLUMNAde vectoreslospor

abarcado de subespacio el entonces Si mmxnA

Teoremas

Def: La dimensión común del espacio filas y columnas de A se denomina rango de A

Las operaciones elementales entre filas no cambian el espacio filas de A

Si A es una matriz cualquiera, entonces el espacio de filas y el de columnas de A tienen la misma dimensión

Operaciones elementales entre filas

Multiplicar una fila por una constante distinta de cero

Intercambiar dos filas Sumar a una fila un múltiplo de otra

Teorema

Los vectores fila de una matriz A

de cualquier forma canónica

forman una base para el espacio filas de A

Propiedades: forma canónica (row-echelon=renglón-escalón)

Si una fila no consiste de elementos todos nulos, entonces el primer número distinto de cero en la fila es un uno. (1 principal)

Todas las filas con elementos todos nulos están agrupados en la zona inferior de la matriz

Dadas dos filas sucesivas que tienen al menos un elemento distinto de cero, los unos principales están “escalonados”

Forma canónica reducida

Si además se verifica que cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en todos sus otros elementos, entonces la forma se llama forma canónica reducida

1000

0010

0001

Ejemplo

3)(

10000

01100

06210

2)(

000

010

011

3)(

5100

2610

7341

CrC

BrB

ArA

Rango

XX

XX

XX

XX

XX

nm

XXXXX

XXXXXnm

nmAr

A

solnoArbArnAr

solsnArbArnAr

solnAr

A

mxn

nxn

,min)(

)()()(

)()()(

!)(

Ej: sistema compatible indeterminado

)1(57

)1(5

27

x

generalsolución 57

57

44

000057

57

10

4411

55114

1132

4411

55114

132

44

3

32

321

321

321

321

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Ej: sistema incompatible

610

0

35

21

21

610

00

35

10

21

21

1

113

321

112

13

32

12

2

21

21

21

21

x

xx

xx

xx

xx

Lectura obligatoria

Noble págs 162-167 Gerald págs 104-116 Kincaid págs 126-134

FIN TEORIA PRIMER PARCIAL