Resolución de triángulos no rectángulos.

Prof. Joel Amauris Gelabert S.

Resolver un triangulo es calcular la longitud de sus tres lados, la medida de sus tres ángulos, su perímetro y su área. Caso 1.

Dado un triangulo con sus tres lados hallar los demás elementos.

C

b=12cm a=9cm

A B c= 15cm Para resolver este triangulo debemos aplicar la ley del coseno para calcular la longitud del lado que falta y la medida de los otros ángulos. Solución: Se calculan las medidas de los ángulos.

Cos B= a2+c2−b2

2ac Cos A =

b2+c2−a2

2bc Cos C =

b2+a2−c2

2ba

B= cos -1 92+152−122

2 9 (15) A= cos -1

122+152−92

2 12 (15) C= cos -1

122+92−152

2 12 (9)

B= cos -1 81+225−144

270 A= cos -1

144+225−81

360 C= cos -1

144+81−225

216

B= cos -1 162

270 A= cos -1

288

360 C= cos -1

0

216

B= cos -1 0.6 A= cos -1 0.8 C= cos -1 0

B= 530 7’ 48’’ A= 360 52’ 11’’ C= 900

La medida del ángulo C se pudo haber calculado también aplicando el teorema fundamental sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triangulo.

Se calcula el perímetro. Se calcula el área aplicando la formula de Herón.

P= a+b+c A= 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

P= 9cm+12cm+15cm A= 18 18 − 9 18 − 12 (18 − 15)

P= 36cm A= 18 9 6 (3)

S es el semiperímetro A= 2916

S = 𝑝

2 A= 54cm2

S = 36𝑐𝑚

2

S=18cm

Caso 2. Otro ejemplo de resolución de triángulos no rectángulos es aquel en el que nos da un triangulo con dos lados y un ángulo para que calculemos el lado que falta, los tres ángulos, el perímetro y el área. Ejemplo.

Resolver el siguiente triangulo. C

b=14cm a=?

A 560 B

c= 16cm

Como sabemos la ley del coseno establece que Cos A = 𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐 en este caso

vamos a despejar la variable a de la fórmula del coseno.

I. Calculamos el lado a

2bc.cos A= b2+c2-a2

a2 = b2+c2-2bc.cosA

a= 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 II. Calculamos la medida del ángulo B

a = 142 + 162 − 2 14 16 cos 56 Cos B= 𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

a = 196 + 256 − 448(0.56) B= cos -1 (14.18)2+162−142

2 14.18 (16)

a = 452 − 250.88 B= cos -1 201.07+256−196

453.76

a = 201.12 B= cos -1 261.07

453.76

a = 14.18cm B= cos -1 0.57

III. calculamos el ángulo C. B= 550 14’ 59’’

C= 1800- (A+B) V. Calculamos el área

C= 1800-1110 14’ 59’’ A= 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

C= 680 45’ 01’’ A= 22.09 22.09 − 14.18 22.09 − 14 (22.09 − 16)

IV. calculamos el perímetro A= 22.09 7.91 8.09 (6.09)

P= a+b+c A= 8608.708 P= 14.18cm+14cm+16cm A= 92.78cm2 P= 44.18cm

S = 𝑝

2 =

44.18 cm

2

S = 22.09cm