Resolución Del Examenmmm

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONI O ABAD DEL CUSCO

ESCUELA DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

MENCIÓN GERENCIA DE LA CONSTRUCCIÓN

TEMA:

MATERIA: MATEMATICA AVANZA PARA INGENIEROS

ALUMNO :

CUSCO- PERU

2015

Página: 1/20

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ÍNDICE DE CONTENIDOS

RESOLUCIÓN DEL EXAMEN.......................................................................03 PROBLEMAS DE ESTIMACIÓ DE MUESTRA................................................11 ESTIMACÍÓN DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA ..........13 PROBLEMAS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS..................................................16

Página: 2/20

I. RESOLUCIÓN DEL EXAMENPROBLEMA N° 01

Solución:

Sistematizando se tiene:

SUELDO xi fi xi*fi xi2*fi fi xi*fi xi2*fi45-55 50 18 900 45000 12 600 3000055-65 60 24 1440 86400 28 1680 10080065-75 70 26 1820 127400 30 2100 14700075-85 80 20 1600 128000 22 1760 14080085-95 90 12 1080 97200 8 720 64800

100 6840 484000 100 6860 483400SUMA

CONSTRUCTORA A CONSTRUCTORA B

Calculo de media: Calculo de varianza

X=∑ xi . fi

n s2=∑ x i2 . fi

n−X2

X A=6840100

=68.40 sA2=484000

100−68.402=161.44

X B=6860100

=68.60 sB2=483400

100−68.402=128.04

De donde: SA=12.71 y SB=11.32

Respuesta a la pregunta 1a:

En la constructora A hay mayor dispersión por tener mayor desviación estándar:

SA=12.71>SB=11.32

Respuesta a la pregunta 1b:

El obrero que ganara quincenalmente $ 70:

Z= x−XS

ZA=70−68.412.71

ZB=70−68.6011.32

ZA=0.126 ZB=0.126

Como ZA >Z B, el obrero estará mejor remunerado en la constructora A

Página: 3/20

Respuesta a la pregunta 1C:

Recurriendo al coeficiente de asimetría de Pearson:

Ap= X−MoS

Calculando la moda: Reemplazando:

Mo A=65+10( 26−2426−20 ) MoB=65+10( 26−2426−20 ) ApA=68.4−67.512.71

y

ApB=68.6−6711.32

Mo A=67.5 MoB=67

De donde: ApA=0.07 y ApB=1.58 vemos que ApA< ApB

De los resultados se observa que ApA se aproxima más al cero que ApB, por consiguientemente la distribución de la constructora A es más simétrica que B

PROBLEMA N° 02

Solución:

En enero:

Promedio de sueldo de obreros: X ob1 = $ 560

El sueldo de los empleados en enero será: Se1=$1270

En Setiembre:

El sueldo de los obreros es 15% más que en enero: So2=1.15 (So1 )+50, siendo So1 sueldo de enero.

De aquí, el promedio del sueldo de los obreros será:

X ob2=1.15 X ob1+50 , por propiedad.

Entonces: X ob2=1.15∗560+50=694

Mientras que el sueldo de los empleados será: Se2=1270+120=1390

En diciembre:

El sueldo promedio de los obreros aumento en 10%, entonces el sueldo promedio será:

X ob3=1.10∗694=763.4

Página: 4/20

Y el sueldo promedio de todos los trabajadores es: X total 3=980.26

Además:

Sea “n” número de empleado, entonces el número de obreros será: 3n


Buscamos el promedio del sueldo del empleado en diciembre: X e 3=?

X total 3=∑ Sob3+¿∑ Se3

3n+n=980.26¿

Donde Sob3 y Se3 representan los sueldos de los obreros y empleados respectivamente en mes de diciembre. Ordenando adecuadamente se tiene:

( 3∗∑ Sob3

3n )+∑ Se3

n=980.26∗4

Reemplazando:

(3∗763.4 )+∑ Se3

n=3921.04

De donde se tiene que el promedio del sueldo de los empleados en diciembre es:

∑ Se 3

n=X e3=1630.84

X e 3=$1630.84

El promedio del sueldo de los empleados en mes de setiembre es: X e 2=1390 nn

=1390

Entonces el porcentaje de aumento será:

%=1630.841390

=17.33%

De aquí se deduce que el promedio de los sueldos de los empleados en diciembre aumentó en 17.33% respecto al promedio dado en setiembre:


Los promedios de los sueldos de obreros y empleados en setiembre está dado por:

X ob2=∑ Sob2

3n X e 2=

∑ Se2

n

Despejando se tiene:

∑ Sob2=3n X ob2 ∑ Se2=3n X e2

Ahora el promedio de los trabajadores en setiembre será:

X total 2=∑ Sob2+¿∑ Se2

3n+n=3n(694)+1390n

4n=868¿

Respuesta: el sueldo promedio de los trabajadores en mes de setiembre será de $ 860

Página: 5/20

PROBLEMA N° 03

Solución:

Sean:

A: provisión del país con la inflación por debajo de 2%

B: provisión del país con la inflación entre 2% y 3%

C: provisión del país con la inflación de más de 3%

X: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación baja menos de 2%

Y: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación entre 2 y 3%

Z: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación mayor a 3%


La probabilidad de crear más de 700 mil empleos será:

PE=AX+BY +CZ=0.65∗0.7+0.25∗0.4+0.4∗0.0

PE= 0.56,

Dónde: E: que se creen más de 700 mil empleos.

Respuesta: la probabilidad de que se creen más de 700 mil empleos es de 0.56.


Dado que ocurrió E, entonces por la expresión de la probabilidad total:

P( A /E)=P ( A ) P(X )

P ( A ) P ( X )+P (B ) P (Y )+P (C ) P(Z)

P ( A / E )= 0.65∗0.70.65∗0.7+0.25∗0.4+0.4∗0

=0.81

P ( A / E )=0.81

La probabilidad de presión obtenida con la inflación de menos de 2% es de 0.81

Página: 6/20

PROBLEMA NO 04

Solución:

En número esperado por los empresarios dela categoría A esta dado por: P(Z1≤ Z ≤ Z2)

Para: (15≤ x≤20)

Y los datos son: X=12.8 S2=2.56

Entonces la desviación típica será: S=√2.56=1.6

Por otro lado, se sabe que: Z= x−XS

De donde: Z1=15−12.81.6

=1.375 y Z2=20−12.81.6

=4.50

Entonces: P(1.375≤ Z ≤4.50)

P (1.375≤ Z ≤4.50 )=p (Z ≥1.375 )−P(Z ≥4.50)

Respuesta: el número esperado por los empresarios de categoría A es 0.084

PROBLEMA N° 05

Página: 7/20

P (1.375≤ Z ≤4.50 )=0.084

Los resultados del procesamiento de los datos en SPS se muestran en los siguientes cuadros:

Página: 8/20

i) la ecuación de la regresión seria:

Sean:

X1: ingreso del comprador,

X2: número de recamaras

X3: número de baños

X4: área

X5: ubicación

Y: precio en miles de dólares

A: la constante que de acuerdo al cuadro n° 03 es 672.277

X6: Ubicación.

La ecuación de la regresión seria: Y=a+b1X1+b2X 2+b3 X3+b4 X4+b5X 5

Los constantes bi, se obtienen del cuadro n° 03 para cada variable. Entonces la ecuación seria:

ii) pruebe si el modelo de regresión es significativa en forma general

De acuerdo al cuadro no 02, el grado de significancia del modelo en general es: 0.003

Este valor: 0.003 < 0.05, entonces no es significativo en forma global

iii) pruebe que si los coeficientes de regresión son significativos separadamente e interprete cada valor:

De acuerdo a la tabla n° 03 se tienen:

MODELO SIGNIFICANCIA INTERPRETACIÓNIngreso 0.258 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativon° de recamaras

0.003es menor que 0.05 por lo tanto no es significativo

n° de baños 0.178 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativoárea 0.22 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativoubicación 0.299 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativo

iv) escriba la ecuación de regresión de acuerdo al apartado iii con apoyo del cuadro n° 04

Si bien la variable número de recamaras no es significativo independientemente en el cuadro no 03, pero en el cuadro n° 04 se observa que esta remarcado con dos asteriscos, por lo que se considera importante la consideración en la ecuación:

Por tanto la ecuación quedaría:

Siendo las variables Xi representan a las variables independientes, identificadas anteriormente.

Página: 9/20

Y=672.277−0.007 X1+40.056 X 2+6.464 X3+0.379 X 4−2.094 X5

Y=672.277−0.007 X1+40.056 X 2+6.464 X3+0.379 X 4−2.094 X5

v) interprete el valor de R y R2

El valor de R de acuerdo a la tabla n° 01 es de 0.999.

Este valor es muy próximo a 1, por lo que se concluye que existe una correlación muy buena entre las variables.

R2: Es el coeficiente de determinación, mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente respecto a su media. Su valor se aproxima a 1 (valor perfecto). En el cuadro n° 01 se observa que se aproxima a 1, por lo que se concluye que la proporción de la variable dependiente respecto a su media es muy buena.

vi) que variables independientes tiene correlación significativa

numero de baños numero de recamarasárea de construcción ingreso del comprador ubicaciónnumero de baños 0.869** muy buena 0.651 regular 0.452 mala 0.226 pésimanumero de recamaras 0.695 regular 0.523 mala 0.133 pésimaárea de construcción 0.923** muy buena 0.263 pésimaingreso del comprador 0.253 pésimaubicación

De aquí observamos que las variables número de baños tiene correlación significativa con número de recamaras y área de construcción. Y el número de recamaras tiene una regular correlación significativa con área de construcción.

vii) ¿existe la correlación entre las variables independiente?

De acuerdo a la tabla anterior, se observa que si existe la correlación entre algunas variables independientes. Como es el caso que existe un buen relacionante entre la variable de número de baños y numero de recamaras así como área de la construcción y el ingreso del comprador

Página: 10/20

II. PROBLEMAS DE ESTIMACIÓ DE MUESTRA

Solución: n=Z2α /2∗σ 2

ε2 σ=50 , α=5%ε=20

En la tabla para distribución normal se obtiene Z: Z0.025=1.96

Por consiguiente la muestra será: n=1.962∗502

202=24.01≡25

El tamaño de la muestra debe ser de 25 para un nivel de confianza de 95% y con un error de 20

Solución: n=Z2α /2∗p(1−p)

ε2 α=10% ε=0.04 y Z0.05=1.65

Tomamos para p=0.5

n=1.652∗0.5(1−0.5)

0.042=425.4≡426

El tamaño de la muestra será de 426 personas consumidores.

Solución: n=Z2α /2∗σ 2

ε2 σ=1.2 , α=5%ε=0.5Z0.025=1.96

Página: 11/20

Por consiguiente la muestra será: n=1.962∗1.22

0.52=15.68≡16

El número de bolsa que deben ser probadas para las condiciones del problema es de 16 bolsas


ε2 α=2% ε=0.05 , p=85% y Z0.01=2.33

n=2.332∗0.85(1−0.85)

0.052=276.87≡277

Elena deberá probar en 277 acciones para estar segura al 98% que sus acciones subirán de precio.


ε2 α=10% ε=0.05 , p=0.5 y Z0.05=1.65

n=1.652∗0.5(1−0.5)

0.052=272.25≡273

Para satisfacer todas las condiciones del problema, el gerente del banco deberá contar con 273 ahorradores.

Página: 12/20

III. ESTIMACÍÓN DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA

a) α=5% n=35 , Z0.025=1.96

n=Z2α /2∗σ 2

ε2

De donde: ε=√ Z2α /2∗σ2

n ε=√ 1.962∗20235

=6.63

El error de la muestra para las condiciones dadas será igual a 6.63

b) α=5% n=35 , Z0.025=1.96 , ε=3.31σ=20

n=1.962∗202

3.312=140

Se requerirá 140 muestras para cumplir las condiciones del problema

Solución:

X=1800S=150


σ x=σ

√nde donde σ=σ x √n

Entonces:

σ=150√36=900

Página: 13/20

La desviación estándar de la población sería igual a 900


Tomemos 95% de nivel de confianza, entonces: α=5% Z0.025=1.96

n=Z2α /2S2N

Z2α /2S2+(N−1)ε2 ε=√ Z2α

2

S2(N−n)

n(N−1)

ε=√ 1.962∗1502(1500−36)36(1500−1)=48.42

Respuesta a la pregunta 6c:

α=2% n=36 , S=150 X=1800Z0.0125=2.24

X−Z α2

∗S

√n≤ μ≤ X+

Z α2

∗S

√n

1800−2.24∗150√36

≤ μ ≤1800+ 2.24∗150√36

1744≤ μ ≤1856

Los taladros tendrán una vida útil entre los siguientes rangos: 1744≤ μ ≤1856

Solución:

xi (xi-X)^2660 10404460 9604540 324580 484550 64

2790 20880

X=27905

=558 S2=208805−1

=5220 S=72.25

α=5% n=5 , Z0.025=1.96

X−Z α2

∗S

√n≤ μ≤ X+

Z α2

∗S

√n

558−1.96∗72.25√5

≤ μ ≤558+ 1.96∗72.25√5

494.67≤ μ≤621.33

Página: 14/20

Se puede afirmar con un 95 % de confianza de que la resistencia media de la rotura de cuerda estará dentro de los límites:494.67≤ μ≤621.33

Proceso A: X A=50 Proceso B: X B=55

sA=10 sB=10

nA=10 nB=10

( X B−X A )−Z α2 √ SB

2

nB

+S A

2

nA

≤ UB−U A ≤ ( X B−X A )+Z α2 √ SB

2

nB

+SA

2

nA

(55−50 )−1.96√ 1228 +102

10≤U B−U A ≤ (55−50 )+1.96√ 1228 + 10

2

10

−5.37≤ UB−U A ≤15.37

Fábrica A: X A=1230 Fábrica B: X B=1150

sA=120 sB=90

nA=80 nB=100

Aplicando la misma expresión que en el problema N° 8 Y α = 5%

(1230−1150)−1.96√ 120280+ 90

2

100≤ U B−U A ≤ (1230−1150)+1.96√ 120280

+ 902

100

48.34 ≤U B−U A ≤111.66

Como U B>U A por lo consiguiente si hay una diferencia real

Página: 15/20

X=24.3 S=3.2 n=45 Ɣ=45

X−Z α2

S

√n≤U A ≤ X+Z α

2

S

√n

24.3−1.963.2

√45≤U A ≤24.3+1.96 3.2

√45

23.37≤ U A ≤25.23

IV. PROBLEMAS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS

Solución:

Acción 1 Acción 2Acción 1 Acción 2 (xi-X)^2 (xi-X)^2

5.6 7.5 1.0609 0.08417.2 7.3 0.3249 0.00816.3 6.2 0.1089 1.02016.3 8.3 0.1089 1.18817.1 8.2 0.2209 0.98018.2 8 2.4649 0.62417.9 8.1 1.6129 0.79215.3 7.3 1.7689 0.00816.2 5.9 0.1849 1.71616.2 5.3 0.1849 3.6481

SUMA 66.3 72.1 8.041 10.069PROMEDIO 6.63 7.21 DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL 0.95 1.06

Respuesta a la pregunta 2a: CV=SX

Cv1=0.956.63

=0.143 Cv2=1.067.21

=0.147

De los resultados se observa que el coeficiente de variación de acción 1 es prácticamente igual al de la acción 2:

Por lo tanto se recomienda invertir en cualquiera de las acciones las cuales tendrán menos riesgo.


Página: 16/20

Para determinar la mayor utilidad, tomaremos un valor al azar: sea x= 8

Z= x−XS

Z1=8−6.630.95

Z2=8−7.211.06

Z1=1.44

Z2=0.74

De aquí observamos que Z1>Z2 por consiguiente se debe recomendar invertir en el tipo de acción 1.

Solución:

Tabulando adecuadamente los datos:

Lo L1 xi fi xi*fi (xi-X)^2*fi6.60 6.64 6.62 1 6.62 0.01446.64 6.68 6.66 6 39.96 0.03846.68 6.72 6.70 5 33.5 0.0086.72 6.76 6.74 8 53.92 06.76 6.8 6.78 10 67.8 0.0166.80 6.84 6.82 3 20.46 0.0192

SUMA 33 222.26 0.096Promedio X 6.74 desv. Estándar S 0.05

S=0.05 X=6.74

i) Formulación de la hipótesis H 0>6.70 H a<6.70

ii) Elegir el nivel de significancia α=5% Zα=Z0.05=1.645

iii) Determinar el estadístico de prueba Z

C =¿X−U 0

S

√n

¿

iv) determinación de región de aceptación o de rechazo de Ho

RA

H 0

Z<1.645 RA

H 0

Z<1.645

v) cálculo de valor crítico Z6.74−6.700.05

√33

=4.60

Página: 17/20

vi) Contraste: 4.60∈ RR / H 0 por consiguiente aceptamos la hipótesis alterna.

vii) Conclusión: La resistencia de la elasticidad media de las vigas no es superior a 6.7 MM/M.

A: n=? E<0.04 E=0.03 α=5% P=90%

n=Z α2

2

E2P (1−P) Entonces n=1.96

2

0.0320.9(1−0.90) de aquí n=3.85

La muestra deberá ser de 385 inversionistas para que de las condiciones del problema

B: P−Z α2 √ P (1−P )

n≤ P ≤ P+Z α

2 √ P (1−P )n

P= 3003.85

=0.78

0.78−Z 32 √ 0.78 (1−0.78 )

n≤ P ≤+0.78−Z3

2√ 0.78 (1−0.78 )n

Z0.015=2.17

0.78−2.17√ 0.78 (1−0.78 )3.85

≤ P≤ P+0.78+2.17√ 0.78 (1−0.78 )3.85

0.73≤ P ≤0.83

n=361 x=105 α=10% P0=25%=0.25 P0=105361

=0.29

i) Formulación de hipótesis: H 0>P0 H a<P0

ii) nivel de

significancia α=10% Z0.10=1.28

iii) Determinar el estadístico de prueba Z

C =¿P−P 0

√ P (1−P)n

¿


Página: 18/20

RA/HoZC<1.28 RR/Ho ZC>1.28

v) Calculo de valor crítico: Z= 0.29−0.25

√ 0.29 (1−0.29 )361

=1.67

vi) Contraste: 1.67∈RR /H 0 Por lo que aceptamos H 0

vii) Conclusión: no hubo aumento en el porcentaje de quiebras

Pn=412875

=0.47 Pm=412875

=0.47

i) Formulación de hipótesis: H 0 :Pn=Pm : H a :Pn≠ Pm

ii) nivel de significancia α=5% Z0.10=1.96

iii) Determinar el estadístico de prueba

ZC<Pn−Pm

√ Pn

n+

Pm

m


RA / Ho :1.96≤ Z ≤1.96 RR / Ho :Z<1.96U Z>1.96

v) Cálculo de valor crítico: ZC< 0.47−0.34

√ 0.47875 + 0.34910

=4.30

vi) Contraste: 4.30 € IRR/ H 0 por lo que se acepta la H 0

vii) Conclusión: Existe diferencias en proporción de hombre y mujeres que responden favorablemente a un determinado anuncio.

Lima (X) Cusco (Y)

n = 230 m= 302

Página: 19/20

X=1512 Y=1317

Sx=517 Sy=485

i) Formulación de hipótesis: μX=μY μX ≠ μY

ii) nivel de significancia α=5% T ∝/2 (m+n−2)=T 0.025(530)=1.96

iii) Determinar el estadístico de prueba Z<

X−Y−U X−U Y

√ Sx2

n+

S y2

m


RA / Ho :−1.96≤ Z ≤1.96 RR/Ho : X ≤−1.96U Z ≤1.96

v) Cálculo de valor crítico:

Z< 1512−1317

√ 5172230+ 485

2

302

= 4.43

vi) Contraste: 4.43∈ RR / H 0 por lo tanto se acepta H 0

vii) Conclusión: Si existe diferencias medias de ahorros.

Página: 20/20

Documents

Resolución Del Examenmmm