Instituto Universitario Aeronutico Facultad de Ciencia de la Administracin Materia: MATEMATICA IAlumno: Waldo Daro Barrios y Gabriela Lorena Villagra - Resolucin: PARTE A Y B, modelo 2, Ejemplo 17 y movimiento 2, Clase 4, U2

La figura representa en forma sencilla un plano urbano en el que las flechas indican la circulacin en las calles de un sentido nico y u, v, w, x, z representan puntos de referencia de la ciudad: monumentos, lugares de inters, entre otros.

u v zx w

Vemos que para llegar de un punto a otro como por ejemplo al punto w sin pasar por un camino intermedio no es posible, pero s lo es si pasamos por un punto de referencia intermedio

u v zx w

GRAFICO DE DOBLE ENTRADA DE LAS CONEXIONES ENTRE LOS PUNTOS DE REFERENCIA

Sitiosuvwxz

u00010

v10000

w01011

x11100

z00100

Matriz de aproximacin:

Pasando por un punto de referencia intermedio la matriz A elevada a la potencia de 2 nos queda lo siguiente:

La representacin de A31 en nuestra matriz, indica que para llegar desde el punto de referencia w a u obtenemos dos rutas posibles con un punto intermedio representadas segn lo indica en grafico siguiente:

u v zx w

Para obtener las vas desde un punto a otro por un punto de referencia efectuamos una suma de ambas matrices:

En la representacin nos indica que la matriz S y entrada S42 hace referencia que se hallan dos caminos en forma directa o indirecta para llegar desde un punto a otro:Grficamente lo indicamos de la siguiente forma Puntos uvwxz

u11110

v10010

w22211

x22121

z01111

Observamos que en las entradas a las cuales les corresponde un cero son los puntos de referencia a los cuales no se puede llegar directamente o por medio de un punto intermedio sino que se necesitan ms puntos, si queremos conseguir ese objetivo lo que podemos hacer es calcular la matriz elevada a la potencia 3 lo vemos:

Donde las sucesivas potencias naturales n de A, An, nos dan informacin de las conexiones entre dos de esos puntos pasando por n-1puntos intermedios o tambin a travs de n trayectos. Ahora Si nos gustara saber el total de caminos que salen de cada punto de referencia solo nos queda por hacer el producto de:

Y el resultado es:

Esto nos da la cantidad de caminos que salen de cada punto de referencia. Tenemos que de u salen 4 caminos, de v salen 2 de w salen 8 al igual que de x y 4 de z

AHORA SI AGREGAMOS ALGUNOS CAMBIOS A NUESTRO PLANO URBANO NOS QUEDA:

u v zx w

GRAFICO DE DOBLE ENTRADA DE LAS CONEXIONES ENTRE LOS PUNTOS DE REFERENCIA

Puntos uvwxz

u01010

v10001

w01011

x11100

z01100

Para poder ayudarnos ms, la siguiente es la matriz de adyacencia:

Ahora si lo que quiero saber es pasando por un punto de referencia intermedio a la matriz A la elevo a la potencia de 2 lo que me queda:

Lo vemos mejor en el grfico de doble entrada para A2:Puntos uvwxz

u21101

v02110

w22201

x12022

z11012

La entrada A41 nos indica que para llegar de z a v tenemos 1 rutas posibles con un punto intermedio

u v zx w

Para obtener los caminos para llegar de un punto de referencia a otro por al menos un camino o por solo un punto de referencia lo que hacemos es sumar ambas matrices:

En este caso la matriz S nos indica que la entrada S42 hace referencia que existen 2 caminos en forma directa o indirecta para llegar de un punto de referencia a otro su grafica de doble entrada es:Puntos uvwxz

u22111

v12111

w23212

x23122

z12112

Observamos que en las entradas a las cuales les corresponde un cero son los puntos de referencia a los cuales no se puede llegar directamente o por medio de un punto intermedio sino que se necesitan ms puntos, si queremos conseguir ese objetivo lo que podemos hacer es calcular la matriz elevada a la potencia 3 lo vemos:

Donde las sucesivas potencias naturales n de A, An, nos dan informacin de las conexiones entre dos de esos puntos pasando por n-1puntos intermedios o tambin a travs de n trayectos, ahora Si nos gustara saber el total de caminos que salen de cada punto de referencia solo nos queda por hacer el producto de:

Y el resultado es:

Esto nos da la cantidad de caminos que salen de cada punto de referencia. Tenemos que de u salen 7 caminos, de v salen 6 de w salen 10 al igual que de x y 7 de zResolucin parte BLa actividad consiste enrecrear el Ejemplo 28del material de estudio. Para recrearlo:1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.Nombres identificatorios: T= nueva matriz de transformacin D= matriz de coordenadas. TD=H=nueva matriz del transformado por T.Entre los smbolos grficos ms sencillos en dos dimensiones, estn las letras. Una letra dibujada en el plano requiere de varios puntos coordenados para definirse totalmente. Por ejemplo, la letra N de la figura necesita de ocho puntos coordenados. Volcamos en una matriz

Consideramos: T= matriz de transformacin D= matriz de coordenadas. TD=H=matriz del transformado por T.Usamos el paquete informtico Wiris, para representar grficamente:

Matriz de coordenada

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 8

Para disear N partimos de la secuencia de Coordenadas de los puntos:

Puntos (1, 2, 5, 3, 8, 7, 4, 6)

Para transformar su inclinacin, se alteran los primeros valores de las coordenadas (x) y los segundos (y). Pero si usamos matrices? Puede realizarse esa inclinacin de N? , se obtiene multiplicando la letra D por una matriz cuadrada que contenga esa informacin de transformacin.Supongamos que deseamos cambiar las coordenadas x por su valor anterior ms del Valor de la correspondiente coordenada y. La matriz de transformacin se obtiene de la siguiente manera:

Matriz de Transformacin:

k = Matriz de transformacin

Definitivamente la letra TD nos facilita las nuevas coordenadas para los vrtices de la letra N:

Para poder multiplicar matriz T por la matriz D, usamos el paquete informtico Wiris

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 8

Matriz del transformado por T

Para proyectar N nos referimos a la secuencia de Coordenadas de los puntos: Puntos (1, 2, 5, 3, 8, 7, 4, 6)

Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Para poder obtener la matriz D se realizo el siguiente clculo.

TD = H

Multiplico la matriz H por el inverso multiplicativo de la matriz T y nos da lo siguiente:

D = T-1H

Usamos el paquete informtico Wiris

Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.Nuevos nombres identificatorios: S= nueva matriz de transformacin H= nueva matriz de coordenadas. SH=J=nueva matriz del transformado por S.La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar cmo cambia de posicin la letra N (esto es,hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una pantalla.

Puntos1 2 3 4 5 6 7 8

Puntos (1, 2, 5, 3, 8, 7, 4, 6)

Para transformar N, se modifican los primeros valores de las coordenadas (x) y las que corresponden a y, se dejan como estn. Se multiplica H por una matriz cuadrada que contenga esa informacin de transformacin.Supongamos que deseamos cambiar la matriz de transformacin:

Matriz de transformacinFinalmente SH facilita las nuevas coordenadas para los vrtices de la letra N:

Para poder multiplicar matriz S por la matriz H, usamos el paquete informtico onlinemschool

Solucin:

C=AB=-10

01

0.565.8952.10527.58

001.586.42888

=

=-0.5-6-5.895-2.105-2-7.5-8

001.586.42888

Los componentes de la matrizCse calculan del modo siguiente:C1,1= A1,1 B1,1+ A1,2 B2,1== (-1) (0.5) + 0 0 = (-0.5) + 0 = -0.5

C1,2= A1,1 B1,2+ A1,2 B2,2== (-1) 6 + 0 0 = (-6) + 0 = -6

C1,3= A1,1 B1,3+ A1,2 B2,3== (-1) (5.895) + 0 (1.58) = (-5.895) + (0) = -5.895

C1,4= A1,1 B1,4+ A1,2 B2,4== (-1) (2.105) + 0 (6.42) = (-2.105) + (0) = -2.105

C1,5= A1,1 B1,5+ A1,2 B2,5== (-1) 2 + 0 8 = (-2) + 0 = -2

C1,6= A1,1 B1,6+ A1,2 B2,6== (-1) (7.5) + 0 8 = (-7.5) + 0 = -7.5

C1,7= A1,1 B1,7+ A1,2 B2,7== (-1) 8 + 0 8 = (-8) + 0 = -8

C2,1= A2,1 B1,1+ A2,2 B2,1== 0 (0.5) + 1 0 = (0) + 0 = 0

C2,2= A2,1 B1,2+ A2,2 B2,2== 0 6 + 1 0 = 0 + 0 = 0

C2,3= A2,1 B1,3+ A2,2 B2,3== 0 (5.895) + 1 (1.58) = (0) + (1.58) = 1.58

C2,4= A2,1 B1,4+ A2,2 B2,4== 0 (2.105) + 1 (6.42) = (0) + (6.42) = 6.42

C2,5= A2,1 B1,5+ A2,2 B2,5== 0 2 + 1 8 = 0 + 8 = 8

C2,6= A2,1 B1,6+ A2,2 B2,6== 0 (7.5) + 1 8 = (0) + 8 = 8

C2,7= A2,1 B1,7+ A2,2 B2,7== 0 8 + 1 8 = 0 + 8 = 8PUNTO 12 3 4 5 6 7 8

MATRIZ TRANSFORMADA POR S

Para dibujar N seguimos, la secuencia de Coordenadas de los

Puntos (1, 2, 5, 3, 8, 7, 4, 6)

Movimiento 2.Estos movimientos se los conoce como cortes o trasquilados. En los cortes, la constante k puede asumir cualquier valor real positivo o negativo-. Dependiendo del eje, se trata de un corte a lo largo del primer eje o eje horizontal- en un factor k o de expansin a lo largo del segundo eje o eje vertical- en un factor k . Les corresponde las siguientes matrices de transformacin:

T= matriz de transformacinD= matriz de coordenadas.TD=H=matriz del transformado por T

Punto 1 2 3 4 5 6 7 8

K=4

K=4