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Capítulo 3. ANALISIS TRANSITORIO DE
SISTEMAS DE CONTROL
Estado transitorio y estado estable / Análisis de respuesta
transitoria para sistemas de primer orden / Análisis de
respuesta transitoria para sistemas de segundo orden
/Análisis de respuesta transitoria para sistemas de orden
superior / Análisis de respuesta estacionaria / Error en
estado estacionario, coeficientes estáticos de error /
Rechazo a perturbaciones / Sensibilidad / Aplicaciones de
diseño y simulaciones aplicando software especializado.
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)(sG+
-
)(sH
)(sR )(sY
Función de transferencia lazo cerrado
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sY
Salida del sistema:
)()()(1
)()( sR
sHsG
sGsY
Dependiendo del orden del denominador de la función de transferencia de
Lazo cerrado, diremos que el sistema es de primer orden, segundo orden o de orden
superior (al segundo).
“La forma de la respuesta en el dominio
del tiempo de un sistema de control, ante
una entrada R(s), típicamente del tipo
Escalón, nos permite juzgar su
comportamiento dinámico y estacionario.
Sabremos si el sistema tiene una
respuesta lenta o veloz, si tiene buena
precisión estática o no, etc.”
Sistemas de primer orden
Los sistemas de primer orden responden a una ecuación diferencial de primer
orden
)()()(
00 trbtyadt
tdy
Cuya función de transferencia es:
0
0
)(
)(
as
b
sR
sY
reacomodando términos:
1)(
)(
s
K
sR
sY
Donde:
0
0
a
bK , Ganancia estática
0
1
a , Constante de tiempo del sistema.
10 as , Polo de lazo cerrado.
Respuesta de un sistemas de primer orden a una entrada escalón de
magnitud A
)()(0
0 sRas
bsY
s
AsR )(
)(
1)(
0
1
0ass
Abty L
)1()( 0taeAKty
La transformada inversa de Laplace es
La salida es
La salida en el tiempo es
respuesta al escalón
AK
t
AK632120.0
AK981684.0
4
)(tyt
0
AK632120.0
0
2
3
4
AK864664.0
AK950212.0
AK981684.0
•La constante de tiempo ( ) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63.212% del valor final.
•La salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema
real lo hace en un tiempo finito. Para fines prácticos se considera que
la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final.
Se usan dos criterios: el del 98%( ) y el del 95% ( ). 4 5
Ejemplo:
Observaciones:
1. Con la función de transferencia y conociendo la entrada, se puede
obtener la salida.
2. A partir de una gráfica (o datos) de la salida se puede obtener la
función de transferencia.
Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.
LRs
LsV
sI
1
)(
)(
Solución:
No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta
normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:
cuando se aplica una entrada escalón de )(ti volt1Determinar la corriente
Se obtiene la ecuación:
)1(1
)(t
L
R
eR
ti
t
R
L
R
1
R
L2
R
L3
R
L4
1
1
)(
)(
sR
LR
sV
sI KR1 Ganancia en estado
estable
R
L Constante de tiempo
Ejemplo:
Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica de 127
volts. Alcanza una temperatura estable de 325°C y demora 130 segundos
en alcanzar un 98% de ese valor.
Determinar la función de transferencia de primer orden que represente
mejor esta respuesta.
Solución:
Se define la ganancia en estado estable:
559.2127
325
entradadeVoltaje
estableestadoenaTemperaturK
Se determina la constante de tiempo:
Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la
salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la
constante de tiempo.
5.324
130
Finalmente, se sustituye valores en la función de transferencia de la forma:
1)(
s
KsG
15.32
559.2
)(
)(
ssV
sT
La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
30769.0
078738.0
)(
)(
ssV
sT
Sistemas de segundo orden
Consideremos el sistema de control de 2° orden, cuya función de
transferencia en lazo cerrado es:
22
2
2)(
)(
nn
n
ss
K
sR
sY
Donde:
K : Ganancia estática
ξ : Relación de amortiguamiento.
n : Frecuencia natural de oscilación del sistema.
1
; 1
02
2
2
2
1
22
nn
nn
nn
s
s
ss
Las raíces s1 y s2 dependen de la relación de amortiguamiento ξ; por lo tanto la respuesta y(t) dependerá de ξ
Las raíces del denominador de la función de transferencia son:
y(t)
K
2K
1 ; 1 2
2
2
1 nnnn ss
σ
jω
× × s1 s2
))(()(
)(
21
2
sssssR
sY n
Caso I. Sistema sobreamortiguado (ξ > 1) El sistema presenta dos raíces reales negativas:
Las raíces se ubican en el plano S como sigue:
La función de transferencia del sistema quedará:
sss
KsY
nn
n 1
)1 ( )1 ()(
2
n
2
n
2
0 tpara ; ] )1(
e
)1(
e
1 2-1[(t)
n
2
t )1( -
n
2
t )1( -
2
nn
2n
2
Ky
Respuesta al escalón unitario, R(s) = 1/s.
Para este caso la salida del sistema es:
En el dominio de Laplace.
Gráficamente:
0
En el dominio del tiempo.
K
nn ss 21 ;
σ
jω
× × s1 , s2
2
2
)()(
)(
n
n
s
K
sR
sY
Caso II. Sistema críticamente amortiguado (ξ = 1)
El sistema presenta dos raíces reales negativas e iguales:
Las raíces se ubican en el plano S como sigue:
La función de transferencia del sistema quedará:
ss
KsY
n
n 1
)()(
2
2
0 tpara ; )]1(e-1[(t) t - n tKy n
Respuesta al escalón unitario, R(s) = 1/s.
Para este caso la salida del sistema es:
En el dominio de Laplace.
Gráficamente:
En el dominio del tiempo.
K
0
Caso III. Sistema subamortiguado (0< ξ < 1) El sistema presenta dos raíces complejas conjugadas con parte reales negativa:
2
2
2
1 1 ; 1 nnnn jsjs
dd jsjs 21 ;
21 ; ndn
σ
jω
×
×
s1
s2
-σ
ωd
-ωd
22
2
222
2
)()1()()(
)(
d
n
nn
n
sssR
sY
O que es lo mismo:
Donde:
ωd : Frecuencia de oscilación amortiguada
La función de transferencia del sistema quedará:
Las raíces se ubican en el plano S como sigue:
Factor de amortiguamiento;
ss
KsY
d
n 1
)()(
22
2
]sen -1
1[)( 2
t
te
Kty d
acos)
-1atan( ; 1 ;
22 ndn
Respuesta al escalón unitario, R(s) = 1/s.
Para este caso la salida del sistema es:
En el dominio de Laplace.
En el dominio del tiempo.
Gráficamente: K
0
; para .0t
“Cuanto menor es la relación de amortiguamiento, el sistema
subamortiguado es más oscilante.”
Caso IV. Sistema oscilante (ξ = 0)
El sistema presenta dos raíces imaginarias conjugadas:
nn jsjs 21 ;
σ
jω
×
× ωn
-ωn
Las raíces se ubican en el plano S como sigue:
La función de transferencia del sistema quedará:
22
2
)(
)(
n
n
s
K
sR
sY
ss
KsY
n
n 1)(
22
2
para ; )]cos(1[)( tKty n
Respuesta al escalón unitario, R(s) = 1/s.
Para este caso la salida del sistema es:
Gráficamente:
K
2K
En el dominio de Laplace.
En el dominio del tiempo. .0t
Sistemas de orden superior
Sistema de Tercer orden
La respuesta transitoria a una señal escalón
Es prácticamente la respuesta de un sistema
De segundo orden subamortiguado.
a) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados
Dominantes.
b) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados
con un polo real mas dominante.
c) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados
que se superpone con otro par de polos complejos conjugados
menos dominantes.
Especificaciones de funcionamiento
en el dominio del tiempo Las especificaciones de funcionamiento son las restricciones matemáticas
que se le impone al funcionamiento de un sistema de control. Tr y Tr: Tiempo de subida.
Tp: Tiempo de pico.
Ts: Tiempo de Asentamiento o
Estabilización.
SP: Sobre Paso u OP
ess: Error de estado estable.
Determinación de las Especificaciones de
Funcionamiento en el Dominio del Tiempo.
22
2
2)(
)(
nn
n
ss
K
sR
sY
Donde:
K = 1
R(s)= 1/S ;
Escalón unitario
Se toma como base la respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden
en el dominio del tiempo, cuya función de transferencia de lazo cerrado es:
(I)
(II)
o
Nota.- Una expresión aproximada para el tiempo de subida Tr1,
mostrada en la página 286 del texto de Modern Control Systems,
de R. Dorf y R. Bishop (11ava. Edición) está dada por:
Válida para
Nota 1.- El sobre paso porcentual está dado por:
22
2
)(ln
)(ln
SP
SP
En términos generales el sobre paso está dado por:
Nota 2.- A partir de la expresión del Sobre Paso se puede obtener
La siguiente expresión para la relación de amortiguamiento:
o
El primer máximo se produce en el
primer período
o
Entonces, el Máximo Pico estará dado por:
Sabemos que el sobre paso esta dado por:
Entonces se puede construir una curva envolvente de sobrepasos
Dada por:
Que es una curva exponencial tal que:
Si se acepta que el transitorio de y(t) esta a
menos de del 2% del valor final para el tiempo
Entonces: y(t)
PROBLEMA
Para el sistema mostrado, halle los valores de KP, KI y KD, si se desea que
el sistema completo responda exactamente como un sistema de segundo orden, tal que a una entrada en escalón unitario, responda con
las siguientes características: ess = 0 , SP = 10% y Ts = 1 seg.
sKK IP
1
)256(
5
2 ss
R(s) E(s) Y(s) U(s)
sKD
planta acción PI
acción D
+ +
Solución
IPD
IP
KsKsKs
KsK
sR
sY
5)255()65(
)(5
)(
)(23
La FT de Lazo Cerrado es:
(1)
)2(
5
)2()(
)(5
)2()(
)(5
)(
)(222222
nn
P
nn
P
IP
nn
IP
wsws
K
wswsps
K
KsK
wswsps
KsK
sR
sY
El sistema de 3° orden y se pide que responda exactamente como uno de 2° orden:
(2)
P
I
K
Kp
Pn Kw 52
pwspwwswpswswsps nnnnnn
222322 )2()2()2()(
De (2) se deduce que:
(3)
(4)
(5)
nD wpK 265
pwwK nnP 22552
pwK nI
25
De (1) y (5):
(6)
(7)
(8)
segradwsegw
T
SP
n
n
s /77.64
14
59.0)1.0(ln
)1.0(ln1.0
22
2
95
2
nP
wK
Luego de las especificaciones de funcionamiento de estado transitorio:
De (4) (9)
32
2552
n
nP
w
wKp
15
62
n
D
wpK
5.275
2
pw
K nI
De (7):
Por lo tanto, de (09), (11) y (12), la respuesta es:
KP = 9
(10)
De (6) (11)
De (8) (12)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
segundos
u(t)
y(t)
Identificar la función de transferencia que describe el comportamiento de un
sistema frente a cambios en la entrada. Para ello, utilícese la Figura 1; donde
la entrada es u(t), la salida es y(t). Téngase en cuenta que el sistema en
cuestión es de tercer orden, pero se comporta como uno de segundo orden,
sin ceros, y donde el polo real es de magnitud 20 veces superior a la parte real
de los polos complejos conjugados.
PROBLEMA
Figura 1.
Verificación:
>> n=[111132];
>> d=[1 231 4851 92610];
>> sys=tf(n,d)
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sys
Time (seconds): 0.175
Amplitude: 1.39
System: sys
Time (seconds): 0.584
Amplitude: 1.2
Tp= 0.175 seg. Mp= 1.16666 K = 1.3999 Y() = K = 1.2 ojo SP= 1/6 = 0.16666
Para el sistema de segundo orden de la Figura 3, ¿Es posible asignar valores a b
para que la respuesta del sistema, ante un escalón de entrada, sea de diferentes
tipos (respuesta subamortiguada, respuesta oscilante, etc.)?
)1(
10
S S
1
b
)(SY)(SR
Figura 3
PROBLEMA
