TRABAJO PRACTICO N° 1 – RESPUESTAS EN EL TIEMPO A PARTIR DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

U.T.N. / F.R.T. - SISTEMAS DE CONTROL – 2015 INGENIERO VAZQUEZ

1

Este trabajo, debe ser presentado completo y en forma individual por cada alumno.

Fecha de entrega: 7/05/2015

Apellido y Nombre: Vazquez Emmanuel Eduardo

Número de Legajo: Profesor de la Asignatura “Sistemas de Control”

1. Determinar analíticamente 𝑖(𝑡) al cerrar el switch, partiendo de la transformada de

Laplace. Verificar cada resultado, con MATLAB. Supondremos que todos los componentes

se encuentran descargados inicialmente.

a.

Desarrollando ejercicio 1-a

Primero redibujaremos el circuito eléctrico

Utilizando ley de Kirchhoff, y la transformada de Laplace

𝑉

𝑠= 𝐼(𝑠). 𝑍1(𝑠) + 𝐼(𝑠). 𝑍2(𝑠)

𝑉

𝑠= 𝐼(𝑠) [𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)]

𝐼(𝑠) =

𝑉𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑖(𝑡)

𝑅

𝐿 𝑅

+𝑉

𝑍1(𝑠)

𝑍2(𝑠) 𝐼(𝑠)

+𝑉

𝑠

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2

Ahora determinaremos las impedancias

𝑍1(𝑠) = 𝑅

𝑍2(𝑠) =𝑠𝑅𝐿

𝑅 + 𝑠𝐿

Por lo tanto

𝐼(𝑠) =

𝑉𝑠

𝑅 +𝑠𝑅𝐿

𝑅 + 𝑠𝐿

𝐼(𝑠) =

𝑉𝑠

𝑅2 + 𝑠𝑅𝐿 + 𝑠𝑅𝐿𝑅 + 𝑠𝐿

𝐼(𝑠) =

𝑉𝑠

𝑅2 + 𝑠2𝑅𝐿𝑅 + 𝑠𝐿

𝐼(𝑠) =𝑉(𝑅 + 𝑠𝐿)

𝑠(𝑅2 + 𝑠2𝑅𝐿)

𝐼(𝑠) =𝑉𝑅 + 𝑠𝐿𝑉

𝑠2𝑅𝐿 (𝑅2

2𝑅𝐿+ 𝑠)

𝐼(𝑠) =𝑉𝑅 + 𝑠𝐿𝑉

𝑠2𝑅𝐿 (𝑅2𝐿

+ 𝑠)

𝐼(𝑠) =𝑠𝐿𝑉 + 𝑉𝑅

𝑠2𝑅𝐿 (𝑠 +𝑅2𝐿)

Aplicando fracciones parciales

𝐼(𝑠) =𝑠𝐿𝑉 + 𝑉𝑅

𝑠2𝑅𝐿 (𝑠 +𝑅2𝐿)

=𝐴

𝑠2𝑅𝐿+

𝐵

𝑠 +𝑅2𝐿

Igualando los polinomios

𝑠𝐿𝑉 + 𝑉𝑅 = 𝐴 (𝑠 +𝑅

2𝐿) + 𝐵𝑠2𝑅𝐿

𝑠𝐿𝑉 + 𝑉𝑅 = 𝐴𝑠 +𝐴𝑅

2𝐿+ 𝐵𝑠2𝑅𝐿

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Factor común

𝑠𝐿𝑉 + 𝑉𝑅 = 𝑠(𝐴 + 𝐵2𝑅𝐿) +𝐴𝑅

2𝐿

Sistema de ecuaciones

{𝐿𝑉 = 𝐴 + 𝐵2𝑅𝐿

𝑉𝑅 =𝐴𝑅

2𝐿

Resolviendo

𝟐𝑽𝑳 = 𝑨

Reemplazando

𝐿𝑉 = 2𝑉𝐿 + 𝐵2𝑅𝐿

𝑉 = 2𝑉 + 𝐵2𝑅

𝑉 − 2𝑉 = 𝐵2𝑅

−𝑉 = 𝐵2𝑅

−𝑽

𝟐𝑹= 𝑩

Reemplazando en la suma de fracciones

𝐼(𝑠) =𝐴

𝑠2𝑅𝐿+

𝐵

𝑠 +𝑅2𝐿

𝐼(𝑠) =2𝑉𝐿

𝑠2𝑅𝐿+

−𝑉2𝑅

𝑠 +𝑅2𝐿

𝐼(𝑠) =𝑉

𝑠𝑅+

−𝑉2𝑅

𝑠 +𝑅2𝐿

𝐼(𝑠) =𝑉

𝑅

1

𝑠−

𝑉

2𝑅

1

𝑠 +𝑅2𝐿

La transformada inversa de Laplace

𝑖(𝑡) =𝑉

𝑅−

𝑉

2𝑅𝑒−𝑡𝑅/(2𝐿)

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Verificando con MATLAB

b.

𝑖(𝑡) =𝑉

𝑅(1 −

1

2𝑒−𝑡𝑅/(2𝐿))

𝐶/3

𝐶/3

𝐶/3

𝐶/3

𝐶/3

𝐶/3

4𝑅

4𝑅

2𝑅

4𝑅

4𝑅

2𝑅

+𝑉

𝑠 𝐼(𝑠)

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Desarrollando ejercicio 1-b

Primero redibujaremos el circuito eléctrico

Utilizando ley de Kirchhoff, y la transformada de Laplace

𝑉

𝑠=

𝐼(𝑠)

2. 𝑍1(𝑠) +

𝐼(𝑠)

2. 𝑍2(𝑠)

𝑉

𝑠=

𝐼(𝑠)

2 [𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)]

𝐼(𝑠)

2=

𝑉𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝐼(𝑠) =

2𝑉𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

Ahora determinaremos las impedancias

𝑍1(𝑠) = 𝑍3(𝑠) =1

𝑠𝐶

𝑍2(𝑠) = 𝑍4(𝑠) = 𝑅

Por lo tanto

𝐼(𝑠) =

2𝑉𝑠

1𝑠𝐶 + 𝑅

𝑍1(𝑠) 𝑍2(𝑠)

𝑍3(𝑠) 𝑍4(𝑠)

+𝑉

𝑠

𝐼(𝑠)

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𝐼(𝑠) =

2𝑉𝑠

1 + 𝑠𝑅𝐶𝑠𝐶

𝐼(𝑠) =2𝑉

1 + 𝑠𝑅𝐶𝐶

𝐼(𝑠) =2𝑉𝐶

1 + 𝑠𝑅𝐶

𝐼(𝑠) =2𝑉𝐶

𝑅𝐶 (𝑠 +1

𝑅𝐶)

𝐼(𝑠) =2𝑉

𝑅 (𝑠 +1

𝑅𝐶)

𝐼(𝑠) =2𝑉

𝑅

1

𝑠 +1

𝑅𝐶

La transformada inversa de Laplace

Verificando con MATLAB

𝑖(𝑡) =2𝑉

𝑅𝑒−𝑡/(𝑅𝐶)

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2. Determinar analíticamente 𝑣𝑜(𝑡) al cerrar el switch, partiendo de la transformada de

Laplace. Verificar cada resultado, con MATLAB. Supondremos que todos los componentes

se encuentran descargados inicialmente.

a.

Desarrollando ejercicio 2-a

Primero redibujaremos el circuito eléctrico

Utilizando ley de Kirchhoff, y la transformada de Laplace

𝐼

𝑠=

𝐸𝑜(𝑠)

𝑍1(𝑠)+

𝐸𝑜(𝑠)

𝑍2(𝑠)

𝐼

𝑠= 𝐸𝑜(𝑠) (

1

𝑍1(𝑠)+

1

𝑍2(𝑠))

𝐸𝑜(𝑠) =

𝐼𝑠

1𝑍1(𝑠)

+1

𝑍2(𝑠)

𝐼/𝑠

𝑍1 (𝑠)

𝑍2 (𝑠)

𝐸𝑜(𝑠)

𝐼1(𝑠) 𝐼2(𝑠)

𝐼1 (𝑠)

𝐼2 (𝑠)

𝐼/𝑠

𝐸𝑜(𝑠) 𝐿

𝑅

1/𝑠𝐶

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𝐸𝑜(𝑠) =

𝐼𝑠

𝑍1(𝑠)+𝑍2(𝑠)𝑍1(𝑠). 𝑍2(𝑠)

Ahora determinaremos las impedancias

𝑍1(𝑠) =1

𝑠𝐶+ 𝑅

𝑍2(𝑠) = 𝑠𝐿

Por lo tanto

𝐸𝑜(𝑠) =

𝐼𝑠

1𝑠𝐶 + 𝑅 + 𝑠𝐿

𝑠𝐿 (1

𝑠𝐶+ 𝑅)

𝐸𝑜(𝑠) =

𝐼𝑠

1 + 𝑠𝑅𝐶 + 𝑠2𝐿𝐶𝑠𝐶

𝑠𝐿 (1 + 𝑠𝑅𝐶

𝑠𝐶 )

𝐸𝑜(𝑠) =

𝐼𝑠

1 + 𝑠𝑅𝐶 + 𝑠2𝐿𝐶𝑠𝐿(1 + 𝑠𝑅𝐶)

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝑠𝐿(1 + 𝑠𝑅𝐶)

𝑠(1 + 𝑠𝑅𝐶 + 𝑠2𝐿𝐶)

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝐿(1 + 𝑠𝑅𝐶)

1 + 𝑠𝑅𝐶 + 𝑠2𝐿𝐶

Factorizo en el polinomio denominador

𝑠1,2 = 𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1

𝑠1,2 =−𝑅𝐶 ± √(𝑅𝐶)2 − 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶

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𝑠1,2 = −𝑅𝐶

2𝐿𝐶∓

√(𝑅𝐶)2 − 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶

𝑠1,2 = −𝑅

2𝐿∓ √(

𝑅𝐶

2𝐿𝐶)

2

−4𝐿𝐶

(2𝐿𝐶)2

𝑠1,2 = −𝑅

2𝐿∓ √(

𝑅

2𝐿)

2

−1

𝐿𝐶

Cambio de variables

𝛼2 = (𝑅

2𝐿)

2

𝛽2 = (1

𝐿𝐶)

2

Por lo tanto

𝑠1,2 = −𝛼 ∓ √𝛼2 − 𝛽2

Existen tres posibles casos de resolución, pero se elegirá una de ellas, para lograr una respuesta

posible

Si 𝛼2 = 𝛽2 entonces; el polinomio puede expresarse de la siguiente manera:

𝑠1,2 = 𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1 = 𝑎(𝑠 − 𝑠1)(𝑠 − 𝑠2) = 𝐿𝐶(𝑠 + 𝛼)(𝑠 + 𝛼) = 𝐿𝐶(𝑠 + 𝛼)2 = 𝐿𝐶 (𝑠 +𝑅

2𝐿)

2

Por lo tanto

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝐿(1 + 𝑠𝑅𝐶)

𝐿𝐶 (𝑠 +𝑅2𝐿)

2

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝐿𝑅𝐶 (𝑠 +

1𝑅𝐶)

𝐿𝐶 (𝑠 +𝑅2𝐿)

2

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝑅 (𝑠 +

1𝑅𝐶)

(𝑠 +𝑅2𝐿)

2

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Resolviendo fracciones parciales (factor lineal repetido)

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝑅 (𝑠 +

1𝑅𝐶

)

(𝑠 +𝑅2𝐿

)2 =

𝐴

𝑠 +𝑅2𝐿

+𝐵

(𝑠 +𝑅2𝐿

)2

𝐼𝑅 (𝑠 +1

𝑅𝐶) = 𝐴 (𝑠 +

𝑅

2𝐿) + 𝐵

𝐼𝑅𝑠 +𝐼𝑅

𝑅𝐶= 𝐴𝑠 +

𝐴𝑅

2𝐿+ 𝐵

Sistema de ecuaciones

{𝐼𝑅 = 𝐴

𝐼𝑅

𝑅𝐶=

𝐴𝑅

2𝐿+ 𝐵

𝑰𝑹 = 𝑨

𝐼𝑅

𝑅𝐶=

𝐼𝑅𝑅

2𝐿+ 𝐵

𝐼𝑅

𝑅𝐶=

𝐼𝑅2

2𝐿+ 𝐵

𝑰𝑹

𝑹𝑪−

𝑰𝑹𝟐

𝟐𝑳= 𝑩

Reemplazando en las fracciones parciales

𝐸𝑜(𝑠) =𝐼𝑅 (𝑠 +

1𝑅𝐶)

(𝑠 +𝑅2𝐿

)2 =

𝐼𝑅

𝑠 +𝑅2𝐿

+

𝐼𝑅𝑅𝐶 −

𝐼𝑅2

2𝐿

(𝑠 +𝑅2𝐿

)2

𝐸𝑜(𝑠) = 𝐼𝑅1

𝑠 +𝑅2𝐿

+ (𝐼

𝐶−

𝐼𝑅2

2𝐿)

1

(𝑠 +𝑅2𝐿)

2

La transformada inversa de Laplace

𝑣𝑜(𝑡) = 𝐼𝑅𝑒−𝑡𝑅/(2𝐿) + 𝑡 (𝐼

𝐶−

𝐼𝑅2

2𝐿) 𝑒−𝑡𝑅/(2𝐿)

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Verificando con MATLAB

b.

b.

Desarrollando ejercicio 2-b

Primero redibujaremos el circuito eléctrico

𝐶

+

V

+

𝑅 𝑅

𝑣𝑜(𝑡)

−

𝐶

+

V

+

𝑅 𝑅

𝑣𝑜(𝑡)

−

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Ganancia de un amplificador no inversor, y la transformada de Laplace

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +𝑍3(𝑠)

𝑍1(𝑠). 𝑍2(𝑠)𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +𝑍3(𝑠)[𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)]

𝑍1(𝑠). 𝑍2(𝑠)

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +𝑍3(𝑠). 𝑍1(𝑠) + 𝑍3(𝑠). 𝑍2(𝑠)

𝑍1(𝑠). 𝑍2(𝑠)

Determinando las impedancias

𝑍1(𝑠) = 𝑍2(𝑠) = 𝑅

𝑍3(𝑠) =1

𝑠𝐶

Reemplazando en la ecuación de ganancia

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +

𝑅𝑠𝐶 +

𝑅𝑠𝐶

𝑅2

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +

2𝑅𝑠𝐶𝑅2

𝐴𝑉(𝑠) = 1 +2𝑅

𝑠𝑅2𝐶

+

+

𝑍1 (𝑠)

𝑣𝑜(𝑡)

−

𝑍2 (𝑠)

𝑍3(𝑠)

𝑉

𝑠

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𝐸𝑜(𝑠)

𝑉𝑠

= 1 +2𝑅

𝑠𝑅2𝐶

𝐸𝑜(𝑠) =𝑉

𝑠(1 +

2𝑅

𝑠𝑅2𝐶)

𝐸𝑜(𝑠) =𝑉

𝑠+

𝑉

𝑠

2𝑅

𝑠𝑅2𝐶

𝐸𝑜(𝑠) =𝑉

𝑠+

2𝑅𝑉

𝑠2𝑅2𝐶

𝐸𝑜(𝑠) =𝑉

𝑠+

2𝑉

𝑅𝐶

1

𝑠2

La transformada inversa de Laplace

Verificando con MATLAB

𝑣𝑜(𝑡) = 𝑉 +2𝑉

𝑅𝐶𝑡