5.1

Sea (E, d) un espaci mtrico y A y B subconjuntos de E. Demustrese que

1. si A y B son disjuntos y ambos cerrados, entonces estn separados.

2. si A y B son disjuntos y ambos abiertos, entonces estn separados.

Dificultad [2]

Solucin

1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(A) y B = adh(B), y por tanto,

A adh(B) = adh(A) B = A B = .

As, pues, A y B estn separados.

2.a (Primera demostracin).

Sean, ahora, A y B disjuntos y abiertos; probaremos que A adh(B) = mostrando que ningnpunto de la adherencia de B puede pertenecer tambin a A.

En efecto, si x adh(B) entonces para todo r > 0, la bola abierta B(x, r) tiene interseccin novaca con B; es decir

B(x, r) B 6= para todo r > 0

y por tanto,

B(x, r) 6 A para todo r > 0

puesto que A y B son disjuntos. As, pues, x 6 int(A) y, como A es abierto, A = int(A) y x 6 A.

As, pues, A adh(B) = ; de forma anloga se prueba que adhA B = . y conclumos que A yB estn separados.

2.b (Segunda demostracin).

Sean A y B disjuntos y abiertos y pongamos F = A B. Puesto que A = A F , A es abierto en(F, d) por ser interseccin de un abierto en (E, d) con F . Del mismo modo, B es abierto en (F, d)y por lo tanto A yB estn separados. separados (Teorema 5.1.3).

2.c (Tercera demostracin).

Sean A y B disjuntos y abiertos; entonces F = AB es abierto en (E, d). Por lo tanto, A y B sondisjuntos y abiertos en (F, d) (Teorema 3.3.3), luego estn separados (Teorema 5.1.3).

5.2 Sea (E, d) un espacio mtrico y A y B dos subconjuntos separados. Demustrese que

1. si A B es abierto, entonces A y B son abiertos;

2. si A B es cerrado, entonces A y B son cerrados.

Dificultad [1]

Solucin

Sea F = A B.

1. Puesto que A y B estn separados, son abiertos en (F, d) y, puesto que F es abierto por ser uninde abiertos, tambin A y B son abiertos en (E, d)

2. Similar, mutatis mutandis.

5.4

Proporcionar un ejemplo que revele que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo.

Solucin

En (R2, d2) considrense los conjuntos

A = {(x, y) R2 : (x 1)2 + y2 1}

yB = {(x, y) R2 : (x + 1)2 + y2 1}

Entonces A B es un conjunto conexo (comprubese) y, sin embargo,

int(A B) = B((1, 0), 1) B((1, 0), 1)

que no es conexo por ser unin de abiertos disjuntos.

5.5

Sean A y B dos subconjuntos no vacos y cerrados. Probar que si A B y A B son conexos, entoncesA y B son conexos.

Comprubese mediante un ejemplo que si A y B no son cerrados, entonces la afirmacin anterior puedeser falsa.

Dificultad [3]

Solucin

Por reduccin al absurdo. Supongamos, sin prdida de generalidad, que A no es conexo. Entonces

A = S T

con S 6= , T 6= y S|T .

Ahora

A B = (S T ) B = (S B) (T B)

y puesto que (S B)|(T B) uno de ellos, o ambos, debe ser vaco porque en caso contrario ABno sera conexo.

Pongamos, entonces, que S B = (de forma similar se hara si T B = ), entonces

A B = (S T ) B = S (T B)

y veamos que S|(T B).

En efecto, por una parte se tiene que S yT son cerrados en (A, d) y, puesto que A es cerrado,tambin S y T son cerrados en (E, d). As que S y T B son cerrados en (E, d). Adems

S (T B) = (S T ) (S B) =

con lo que A B es unin de cerrados no vacos y disjuntos y, por lo tanto, no conexo en contrade la hiptesis.

Tmese

A = [0, 1) [2, 3] y B = [1, 3].

A es no conexo y, sin embargo, A B = [0, 3] y A B = [2, 3] son conexos.

5.6

Sean A y B subconjuntos conexos de (E, d) y A B. Si C es abierto y cerrado en el subespacio (B\A, d),demostrar que A C es conexo.

Dificutlad [4]

Solucin

Si C = o C = B \A la proposicin es evidentemente cierta.

Sea, pues, C 6= y C 6= B \A y supongamos que A C no es conexo. Entonces,

A C = S T

con S y T no vacos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, deber ser A S o A T .Supongamos, sin prdida de generalidad, que A S; entonces T C.

Llamemos ahora M al complementario de C en B \A. Es decir

B \A = C M

con C M = . Naturalmente C y M son no vacos y estn separados porque, por hiptesis, ambos sonabiertos y cerrados en B \A, de manera que T y M estn separados porque T C.

Ahora se tiene que

B = (B \A) A = (C M) A = M (A C) = M S T = (M S) T,

y T y M S son no vacos y separados porque T est separado de M y de S. As, B no es conexo encontra de la hiptesis.

La figura siguiente muestra la situacin.

5.7 Probar que si A y B son subconjuntos conexos de (E, d) no disjuntos, entonces A B es conexo.

Dificultad [2]

Solucin

(Primera resolucin)

Puesto que AB 6= , A y B no estn separados, de aqu que AB es conexo. (Teorema 5.2.5).

(Segunda resolucin sin usar el teorema)

Supongamos que A B no es conexo. Entonces

A B = S T

con S y T no vacos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T ;supongamos, sin prdida de generalidad, que A T . Del mismo modo, B es tambin conexo, asque o bien B S o bien B T , pero si fuera B S, entonces T sera vaco, as que debe serB T . Pero entonces A S y B T , de manera que A y B estaran separados y A B = , encontra de la hiptesis.

5.8 Si A y B con conjuntos conexos y A B 6= entonces A B es conexo.

Dificultad [2]

Solucin

(Primera resolucin)

Puesto que AB 6= , A y B no estn separados, de aqu que AB es conexo. (Teorema 5.2.5).

(Segunda resolucin sin usar el teorema)

Supongamos que A B no es conexo. Entonces

A B = S T

con S y T no vacos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T ;supongamos, sin prdida de generalidad, que A T . Del mismo modo, B es tambin conexo, asque o bien B S o bien B T , pero si fuera B S, entonces T sera vaco, as que debe serB T . Pero entonces A S y B T , de manera que A y B estaran separados y A B = , encontra de la hiptesis.

5.9 Sean A1, A2, . . . , An conjuntos conexos y

Ai Ai+1 6= i = 1, 2, . . . , n 1

Demostrar que

ni=1

Ai

es conexo.

Dificultad [2]

Solucin

Puesto que A1 A2 6= y ambos son conexo, se tiene que

A1 A2

es conexo.

Por la misma razn, puesto que (A1 A2) A3 6= y ambos son conexos, se tiene que

A1 A2 A3

es conexo.

Por recurrencia, pues, es trivial ver que

ni=1

Ai

es conexo.

5.11

En el plano, cualquier segmento es un conjunto conexo. Mostrar que el conjunto de puntos del planocon, al menos una coordenada irracional es conexo.

Solucin

(Una demostracin)

Para cada a RQ, consideremos las rectas

Ra = {(a, y) : y R} y Sa = {(x, a) : x R}.

Ambos conjuntos son conexos y, adems, Ra Sa = (a, a), de manera que el conjunto

Ca = {(a, y) : y R} {(x, a) : x R}

es conexo.

Adems, para cualquier a RQ, se tiene que

Ce Ca = {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)};

luego Ce es conexo y corta a todo Ca.

Ahora

R2 Q2 = Ce

aRQ

Ca

y es conexo.

(Otra demostracin)

Fijemos (e, e) y sea (x, y) R2 Q2. Si y es irracional, la poligonal

[(e, e), (e, y), (x, y)]

est contenida en R2 Q2 y es un conjunto conexo por ser unin de dos segmentos con un puntocomn.

Si y es racional, entonces x es irracional y la poligonal

[(e, e), (x, e), (x, y)]

est contenida en R2 Q2 y es un conjunto conexo por ser unin de dos segmentos con un puntocomn.

Ahora R2 Q2 es unin de todas las poligonales (que tienen un punto comn), por lo tanto esconexo.

5.13

Probar que un espacio mtrico (E, d) es conexo si y slo si todo subconjunto propio de E tiene fronterano vaca.

Solucin

Supongamos que A es un subconjunto propio de E y que frt(A) = . Entonces

A = int(A) frt(A) = int(A).

Por lo tanto A es abierto y cerrado en (E, d) y E no es conexo.

Recprocamente, si E no es conexo, existe un subconjunto propio A E abierto y cerrado en (E, d); esdecir,

A = A = int(A)

lo que implica que

frt(A) =

5.14 Si A y B son subconjuntos del espacio (E, d) tales que A es conexo, y

A B 6= y A (E \B) 6= ;

demuestra que

A frt(B) 6=

Solucin

Supongamos que A frt(B) = . Entonces

A B = A int(B) 6=

y

A (E \B) = A ext(B) 6= .

As, pues,

A = (A B) (A (E \B)) = (A int(B)) (A ext(B))

Ahora, puesto que int(B) y ext(B) estn separados (son dos abiertos disjuntos), se tiene que A int(B)y A ext(B) estn separados, de manera que A es unin de dos conjuntos no vacos y separados y, porlo tanto, no es conexo.

5.15 Sean A y B conjuntos conexos y A B. Si C es una componente conexa de B \A, demostrar queB \ C es conexo.

Solucin

Supongamos que B \ C no es conexo. Entonces

B \ C = S T

con S y T no vacos y separados.

Ahora, puesto que A B \ C = S T y A es conexo, necesariamente es A S o A T . Supongamos,sin prdida de generalidad, que A S; entonces T A = de modo que

T (B \ C) \A = (B \A) \ C

y, puesto que C es una componente conexa de B \ A, se tiene que (B \A) \ C y C estn separados, demanera que T y C estn separados.

As, pues,

B = (B \ C) C = T (S C)

y B no sera conexo, en contra de la hiptesis.

La figura siguiente muestra la situacin.

5.16

Demostrar que las componentes conexas de un conjunto A son conjuntos cerrados en el subespacio (A, d)

No es cierto, en general, que las componentes conexas de A sean abiertos en (A, d) (pngase un ejemplo),pero s es cierto si el nmero de componentes conexas es finito; demustrese.

Solucin

Sea C una componente conexa de A. Entonces

C A,

de manera que

C C A = C

y, por tanto, C A es conexo.

Pero, puesto que C es el mayor conjunto conexo que contiene a cualquiera de sus puntos, resultaque

C = C A

y C es cerrado en (A, d).

Nota: no es cierto que C sea cerrado en (E, d). Considrese por ejemplo, dos abiertos conexos ydisjuntos.

Considrese Q en la recta real. Entonces para todo x Q, se tiene que C(x) = {x} y C(x) no esabierto en (Q, d).

Si hay un nmero finito de componentes conexas, entonces

A =

ni=1

Cn

y

Ck = A \n

i=1,i6=k

Cn

de manera que Ck es abierto en (A, d).

5.18 Sea A un conjunto conexo, abierto y cerrado en (E, d). Demostrar que A es una componente conexade E.

Solucin

Por coherencia, suponemos que A no es vaco. Sea, entonces, x A y llamemos C a la componenteconexa de E que contiene a x.

Puesto que A es conexo y x A, se tiene que A C. Supongamos que A 6= C; entonces

A C = A

es abierto en C por ser A abierto em E y tambin cerrado en C por ser A cerrado en E.

As, pues, A es un subconjunto propio, abierto y cerrado en C, de manera que C no es conexo. Absurdo,porque C es una componente conexa.