resumen

Apuntes de 3º ESO preparados Angel l. Hernandez Pág. 1 de 8

TEMA 1 NÚMEROS REALESNúmeros naturales Son los que hemos aprendido de forma natural, 1, 2, 3, 4, ..., 78,...

Números enteros Son todos los que podemos escribir sin cifras decimales, , incluyen los naturales. ..., -6, -2, -1, 0, 1, 2, 8, ....

Números racionales

Son todos los números que podemos escribir en forma de fracción o los decimales exactos y periódicos,

Números irracionales Son los decimales con infinitas cifras no periódicas.

Fracciones equivalentes

Son las fracciones que al pasarlas a forma decimal tienen la misma expresión. Se cumple que dos fracciones son equivalentes si

Representación de fracciones en

la recta

Se divide el segmento unidad en tantas partes como nos indica el denominador y se toman tantas particiones como indica el numerador.Si el numerador es mayor que el denominador calculamos la cantidad de unidades enteras que debemos tomar (dividiendo sin decimales) y dividimos la unidad siguiente en tantas partes como nos indica el denominador y se toman tantas particiones como indica el resto.

Reducción de fracciones al

mismo denominador

1. Calculamos el mcm de los denominadores.2. Hallamos los numeradores de forma que obtengamos fracciones

equivalentes a las dadas (multiplicando numerador y denominador por la misma cantidad)

Suma o resta de fracciones con el

mismo denominador

Se conserva el denominador y se suman, o se restan, los numeradores. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Suma o resta de fracciones con

distinto denominador

Se reducen las fracciones a común denominador.Se conserva el denominador común y se suman, o se restan, los numeradores. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Multiplicación de fracciones

Se multiplican los numeradores y el resultado se pone en el numerador; se multiplican los denominadores y el resultado se pone en el denominador. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

División de fracciones

Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y el resultado se pone en el numerador; se multiplican los términos restantes y el resultado se pone en el denominador. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Operaciones combinadas

1. Las operaciones del interior de los paréntesis.2. Multiplicaciones y divisiones.3. Sumas y restas.4. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Resolveremos correctamente todo tipo de castillos.

Fracción generatriz de los

decimales exactos

Se escribe el número sin la coma y se divide por el 1 seguido de tantos ceros como decimales tiene el número. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Fracción generatriz de los

decimales periódicos

Se escribe el número sin la coma y sin el arco y se le resta la parte no periódica. Se divide por tantos 9 como cifras periódicas hay, seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos tiene el número. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.

Error absoluto Valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto del número y el valor aproximado.

Al tomar 7’2 como aproximación de 7’235 el error absoluto es:

Error relativo Cociente entre el error absoluto y el valor exacto. En el caso anterior:

Acotar el error Consiste en poner un límite al error “es menor que ...” En el ejemplo anterior el error absoluto es menor que 5 centésimas.

TEMA 2 POTENCIAS Y RAICES

Potencias

Producto de potencias con la Se mantiene la base y se suman los exponentes


misma base

Cociente de potencias con la misma base Se mantiene la base y se restan los exponentes

Potencia de una potencia Se mantiene la base y se multiplican los exponentes

Producto de potencias con el mismo exponente Se multiplican las bases y se mantiene el exponente

Cociente de potencias con el mismo exponente Se dividen las bases y se mantiene el exponente

Potencia de exponente cero Si la base no es cero, es siempre 1 ( es indeterminado)

Potencia de exponente negativo Se escribe la fracción inversa con exponente positivo

Notación científica

Escribimos todas las cantidades como un número entre 1 y 10 (entero o decimal (en este caso se escribe una o dos cifras decimales), positivo o negativo) multiplicado por una potencia de 10 (con exponente positivo o negativo)

Suma y resta en notación científica

Debemos escribir todos los números que vamos sumar o restar como números multiplicados por la misma potencia de 10 (la de mayor exponente)Sacamos factor común la potencia de 10 y sumamos o restamos los números.Al finalizar debemos comprobar que el resultado lo escribimos correctamente en notación científica.

Multiplicación o división en notación científica

Multiplicamos los números y sumamos los exponentes de las potencias de 10, o dividimos los números y restamos los exponentes de las potencias de 10. Al finalizar debemos comprobar que el resultado lo escribimos correctamente en notación científica.

Raíces

Producto de raíces

Cociente de raíces

Suma o resta

Solamente con radicales semejantes, es decir, mismo índice y mismo radicando.

Potencias con exponente fraccionario (relación entre

potencias y raíces)

Es igual a una raíz que tiene por índice el denominador de la fracción y por radicando la misma base elevada al

numerador de la fracción.


TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión algebraica

Es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división

Monomio

Es una expresión algebraica en la que tenemos la multiplicación como única operación (y la potenciación con exponente natural) Suele estar formado por un número (coeficiente) y alguna letra (parte literal).

Grado de un monomio

Cantidad total de letras que tiene, contando sus multiplicidades. Es decir la suma de los exponentes de todas las letras.

Variables Cada una de las letras que forman parte de una expresión algebraica.

Monomios semejantes

Son los que tienen la parte literal igual (las mismas letras con los mismos grados)

Binomio Suma o resta de dos monomiosTrinomio Suma o resta de tres monomiosPolinomio Suma o resta de varios monomios (2, 3, 4, 5, ...)

Término (en un polinomio)

Cada uno de los monomios que forman parte de un polinomio se llama término.

Grado de un polinomio

El mayor de los grados de los términos que forman el polinomio.

Término principal

Es el término de mayor grado en un polinomio. Su coeficiente es el coeficiente principal.

Término independiente Es el término de grado 0, el que no tiene letras.

Valor numérico

Es el resultado de sustituir cada variable por números y realizar las operaciones.

Polinomio ordenado

Sus términos van de mayor a menor grado, o viceversa.

Polinomio completo

Tiene términos de todos los grados inferiores al mayor.

Polinomio opuesto

Se obtiene cambiando todos los signos de sus términos. y

Suma (resta) de monomios

Para poder sumar (restar) dos monomios deben ser semejantes. Se suman (restan) los coeficientes y se mantiene la misma parte literal.

Suma de polinomios

Es un nuevo polinomio formado por la suma de los monomios semejantes y los términos no semejantes de ambos.

Resta de polinomios

Se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.

Producto de monomios

Es un monomio con coeficiente el producto de los coeficientes y como parte literal el producto de las letras (si tenemos la misma variable se suman los exponentes)


Producto de polinomios

Se multiplica cada monomio de un factor por todos los monomios del otro factor.

División de monomios

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables.

División de polinomios

Se divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor, el monomio resultante se escribe en el cociente. Se multiplica este monomio por el divisor y se escribe debajo del dividendo el opuesto del resultado. Sumamos esto con el dividendo y obtenemos un resto provisional.Repetimos el proceso hasta que este resto provisional tiene grado menor que el divisor.

Igualdades notables

Cuadrado de una sumaCuadrado de una resta Suma por diferencia

Raíz de un polinomio

Es un valor de la indeterminada que hace cero el polinomio.


TEMA 4 ECUACIONES

Igualdades, expresiones con

un signo =

Formadas por:

Números y operaciones. Numérica

Números, letras y operaciones. Algebraica

Según sea cierta o no:

Identidad: Siempre es cierta , Contradicción, absurdo o incompatible: nunca es ciertaEcuación: Se cumple solo para ciertos valores de las letras. Resolver una ecuación consiste en averiguar para qué valores de las letras se cumple la igualdad.

Ecuación de primer grado

(lineales)

Igualdad formada por números y letras, de forma que en ningún caso las letras están multiplicadas o divididas entre sí.

Ecuación de una incógnita

Igualdad formada por números y una sola letra, que puede aparecer en forma de potencia.

Regla de la sumaSi a los dos miembros de una ecuación sumamos o restamos la misma cantidad, obtenemos una ecuación equivalente.

Regla del producto

Si los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por la misma cantidad distinta de cero, obtenemos una ecuación equivalente.

Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Son las igualdades que se pueden escribir como , con , el valor de x que verifica la igualdad es la solución de la ecuación.

1. Mínimo común múltiplo de denominadores, y se multiplican todos los términos por esa cantidad.

2. Se suprimen paréntesis aplicando la propiedad distributiva y cambiando todo de signo si tenemos delante un signo “-“

3. Se aplican las reglas de la suma y el producto.Ecuaciones de

segundo grado y una incógnita

Son las igualdades que se pueden escribir como , con , los valores de x que verifican

la igualdad son las soluciones de la ecuación.Ecuaciones de segundo grado incompletas

Tipo b=0, a=0

Tipo b=0

Tipo a=0

Ecuaciones de segundo grado completas

Las soluciones de una ecuación de segundo grado

completa vienen dadas por . Llamaremos

discriminante a: su valor de positividad permite saber el número de soluciones sin resolver la ecuación.

Si la ecuación no tiene solución.

Si la ecuación tiene una solución (doble)

Si la ecuación tiene dos soluciones.

Si son las dos soluciones de la ecuación se cumple:

TEMA 5 SISTEMAS


Ecuación lineal con dos incógnitas

Son las ecuaciones de primer grado, que tienen dos incógnitas, de la forma , cualquier par de valores, que verifique la igualdad es una solución de esta ecuación. Si las representamos gráficamente, obtenemos una recta.

Sistema de dos ecuaciones lineales y

dos incógnitas

Se suele representar Se trata de calcular los valores de las incógnitas para los

cuales se cumplen las dos ecuaciones.

Sistema incompatible

No existe ningún par de valores para los cuales se cumpla el sistema. Si representamos las dos rectas vemos que son paralelas.

Sistema compatible determinado

Existe un único par de valores para los cuales se cumple el sistema. Si representamos las dos rectas vemos que son secantes.

Sistema compatible indeterminado

Existen infinitos pares de valores para los cuales se cumple el sistema. Si representamos las dos rectas vemos que son coincidentes,

son la misma.

Métodos de resolución de sistemas

Igualación Sustitución Reducción

Se basa en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. El valor encontrado para la primera incógnita se sustituye en cualquiera de las ecuaciones que forman el sistema para hallar la otra incógnita.

Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra. El valor encontrado para la primera incógnita se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema y se halla el valor de la otra.

Se trata de conseguir que las ecuaciones tengan coeficientes opuestos para una misma incógnita; así, al sumar ambas ecuaciones se obtiene una única ecuación con una sola incógnita que se resuelve. El valor hallado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la segunda incógnita.


TEMA 6 PROPORCIONALIDAD

Razón Entre dos números es el cociente, la razón entre a y b es .

Proporción Es la igualdad entre dos o más razones. Los números a y d se llaman

extremos, los números b y c se llaman medios.

Constante de proporcionalidad Es el valor del cociente entre a y b, o entre c y d.

Cuarto proporcional

Conocidos tres números a, b y c, se llama cuarto proporcional al número x que forma

proporción con ellos:

Tercero proporcional

Si los medios son iguales, se llama tercero proporcional al número x que forma

proporción con ellos:

Medio proporcional

Dados dos números a y b, se llama medio proporcional al número x que cumple

Regla de tres simple directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, aumenta la otra, siguiendo una proporción.Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, tenemos que calcular un valor qué falta.

Regla de tres simple inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye, siguiendo una proporción.Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, tenemos que calcular un valor qué falta.

Regla de tres compuesta

Debemos estudiar cada una de las magnitudes, y mirar si forma proporcionalidad directa o inversa, con la magnitud en la que tenemos la incógnita, x.

Porcentajes Se trata siempre de reglas de tres simples directas:

Interés simple Calcularemos el beneficio producido por un capital durante cierto tiempo colocado a un interés simple. El capital final será la suma del capital inicial y el beneficio.

Interés compuesto Calcularemos el capital al final que obtendremos por un capital colocado a un interés compuesto.

Repartos directamente

proporcionales

Para repartir un número C en partes directamente proporcionales a varios números, a, b y c: Se calcula la suma de los números y se calculan los repartos usando las reglas de tres simples.

,...

Repartos inversamente

proporcionales

Para repartir un número C en partes inversamente proporcionales a varios números, a, b y c: Se toman los números: , los

reducimos a común denominador, y se realiza el reparto directamente proporcional a los numeradores obtenidos.

MezclasElaboraremos una tabla similar a la siguiente:

kilos €/kg € totalProd1Prod2Mezcla

Colocamos en la tabla los datos del problema. Además sabemos que el precio total de un producto es igual a la cantidad de producto (kg) multiplicada por el precio de cada kg. También sabemos que la cantidad de producto mezcla es igual a la suma de las cantidades de producto (kg) y que el precio total de la mezcla es la suma de los precios totales de todos los productos que mezclamos.

Móviles

Para resolver estos problemas usamos siempre la fórmula .

Si se trata de un problema de encuentro (sentido contrario) usaremos , si se trata de un problema de alcance (mismo

sentido) usaremos Si uno de los móviles sale antes que el otro, debemos calcular primero la distancia que recorre.


TEMA 7 SUCESIONES

Sucesiones Una sucesión es una colección de números dados ordenadamente, que siguen una pauta. Ejemplo: 6, 9, 12...

Progresiones aritméticas

Son sucesiones en las que se pasa de cada término al siguiente sumando una cantidad fija que llamaremos diferencia, d.

1, 4, 7, 10, 13, 16,... (d=3)

Término general

Es la expresión matemática que nos da el valor de un término en función del primer término de la sucesión y del lugar que ocupa.

En el ejemplo anterior

Suma de los n primeros términos

(Debemos conocer el último

término que vamos a sumar, y el tipo de sucesión que es)


La suma de los 4 primeros términos

Progresiones geométricas

Son sucesiones en las que se pasa de cada término al siguiente multiplicando por una cantidad fija que llamaremos razón, r.

2, 6, 18, 54, 162,... (r=3)

Término general

Es la expresión matemática que nos da el valor de un término en función del primer término de la sucesión y del lugar que ocupa.


Suma de los n primeros términos

(Debemos conocer el último término que vamos a sumar, y el tipo de sucesión que es)


La suma de los 4 primeros términos

Suma de todos los términos

Sólo se puede hacer en el caso , en ese

caso

Ej: 4, 2, 1,

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