Conceptos

Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un

conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida.

Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, exenta de ambigüedades, que

seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico

Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en

numérico y resolver este último

Análisis numérico

Cuando hablamos de análisis numérico nos referimos a la rama de las

matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos, a través números y reglas

matemáticas netamente aritméticas utilizando instrumentos de cálculo como

computadoras y calculadoras que ayudan a la ejecución de algoritmo

El análisis numérico proporcionará todo el trayecto necesario para llevar a cabo

todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse

algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo

en procesos más sencillos empleando números.

¿En donde podemos utilizar el análisis numérico?

Cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación

funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son:

Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.

Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores existencia y

unicidad estabilidad y convergencia

Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y

estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa Definición de

número

Números en la máquina

Todas las computadoras trabajan con una cantidad fija de información. La unidad

fundamental mediante la cual se representa la información se llama palabra. Una palabra

es una unidad de información constituida por una cadena fija de dígitos binarios o bits que

son usados para representar las instrucciones de un programa, símbolos alfabéticos,

números, etc. El número de dígitos de una palabra recibe el nombre de longitud de palabra.

El sistema numérico utiliza solamente dos símbolos o números 0 y 1 y su base es

2 Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las

computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una

conexión eléctrica abierta/cerrada.

Ejemplo

0.0158 se escribe como 0.0158 * 100

850000 se escribe como 0.850 * 106

35.519 se escribe como 0.35519 * 102

Cada uno de los di (i = 1,2, …) son dígitos de la base b y e es un número entero

(positivo, negativo o cero) el cual determina donde se encuentra el punto decimal.

Debido a las limitaciones en el número de dígitos que conforman la palabra, es

necesario restringir la parte fraccionaria de [3]. Esta restricción nos lleva a la

representación de un número x en punto flotante, el cual denotamos por fl(x).

fl(x) = ± 0.d1d2…dk * be [4]

Donde 0 <= di < b, i = 1, 2, …, k. La parte fraccionaria 0.d1d2…dk recibe el

nombre de mantisa, e es el exponente o característica y k es la precisión o

longitud de la palabra e indica el número fijo de dígitos usados para la

representación del número.

Forma en que un número de punto flotante se guarda en una palabra

Ejemplo

Los siguientes son números en punto flotante de 6 dígitos en base 10.

a) -0.813450 x 101

b) 0.457000 x 100

c) -0.056778 x 103

Si el primer dígito es diferente de cero, el número en punto flotante se dice que

esta normalizado. En el ejemplo los casos a) y b) corresponden a números

expresados en punto flotante normalizado. El caso c) no lo es; sin embargo es

posible normalizarlo al ajustar el exponente. Este ajuste siempre es posible en

todo número, en punto flotante, diferente de cero.

En el caso c)

-0.056778 x 103 = -0.567780 x 102

Error

Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto se debe

desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados

obtenidos.

Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo se

puede decir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta

hasta cuatro cifras significativas – esto es, debe existir seguridad que las

primeras cuatro cifras son correctas.

DEFINICIÓN DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y

cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar

aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de

presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado

exacto o verdadero.

Error absoluto

Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o

redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado”; debido a que la ecuación se dio en

términos del valor absoluto

εa= x – x0

En la práctica se adopta para x0 el valor medio de un gran numero de observaciones o simplemente se

asigna a εa un cierto valor limite o cota superior (o se toma la menor cantidad capaz de ser medida con

el dispositivo utilizado). Así, por ejemplo, cuando realizamos una pesada hasta el centígrado se admite

que εa ≤ 0.01 g y cuando tomamos el número π = 3.141 con tres cifras decimales el error cometido es

<0.001.

ERROR RELATIVO

Cociente de dividir el error absoluto εa=Δx por el valor exacto de x0 de la magnitud que se

mide:

εr=Δx/x0

Como x0, en general, desconocido se calcula el límite superior de εr dividiendo el error absoluto por el

número que resulta al sustituir por ceros todas las cifras que siguen a la primera significativa del número

aproximado. Así, por ejemplo, el error relativo cometido al tomar π con dos cifras decimales se expresa

de la forma siguiente:

Fuentes básicas de error

Las dos causas básicas de error son llamadas error de redondeo y error de

truncamiento

Aunque ciertas cantidades representan números específicos, no se puede expresar

exactamente con un número finitos de dígitos. Debido a que las computadoras

personales solo representan aproximadamente diez cifras significativas

(comúnmente varían entre 7 y 14) tales números jamás se podrán representar

exactamente. A la comisión del resto de cifras significativas se le conoce como

error de redondeo.

Y el error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula

matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se

emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento)

Errores de suma y resta

Para evitar la propagación rádida de los errores hay que tener en cuenta que en la

aritmética del computador la propiedad asosiativa no se cumple.

Resta de números muy parecidos

Resta de números muy parecidos

Sumatorias largas de números

Estabilidad un algoritmo es estable si datos pequeños en los datos iniciales producen

cambios pequeños en los resultados se agrandan en etapas posteriores y degradan

seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el

método numérico.