RESUMEN - CICA · 2008. 11. 12. · Title: RESUMEN Author: Gaby Created Date: 11/8/2008 3:54:36 PM

ESTALMAT-Andalucía Actividades 08/09

Sesión:6 Fecha: 15/11/08 Un paseo por la Literatura Matemática

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Cinta Nogueiro, Paloma Pascual y Pepe Romero

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RESUMEN

A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas

personas, porque no las acaba de entender. Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los números. Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las Matemáticas. Durante doce noches, Robert sueña sistemas numéricos cada vez más increíbles. De pronto, los números cobran vida por sí mismos, una vida misteriosa que ni siquiera el diablo puede explicar del todo. Nunca las Matemáticas habían sido algo tan fascinante. Pronto, el diablo le hará abandonar los tópicos escolares y hará que acceda a niveles superiores: ¡y aun así los entiende!

Y el joven lector también. Los números, cada página que pasa, se van volviendo cada vez más absorbentes. Es como magia, y Robert quiere saber más y más hasta que, al fin, el diablo le hace comprender que algunos problemas y paradojas pertenecen a las altas esferas de la ciencia.

BIOGRAFÍA DEL AUTOR

Hans Magnus Enzensberger, quizá hoy el ensayista más prestigioso de Alemania, nació en Kaufbeuren en 1929 y estudió literatura alemana y filosofía. Desde 1955 es Doctor en Filosofía y Letras. Poeta, ensayista y crítico, ha trabajado también para el teatro y la radio y ha publicado numeroso artículos en prensa. Su interés por la ciencia matemática le lleva a escribir El diablo de los números, una bella y clara fábula de iniciación al mundo de las Matemáticas



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La séptima noche

-Estoy preocupada -dijo la madre de Robert-. No sé lo que le pasa a este chico. Antes siempre estaba en el patio o en el parque, jugando al fútbol con Albert, Charlie, Enzio y los otros. Ahora está todo el día metido en su cuarto. En vez de hacer sus deberes, ha extendido en la mesa un gran pliego de papel y pinta liebres.

-Calla -dijo Robert-. Me confundes. Tengo que concentrarme. -Y se pasa el día murmurando números, números, números. Eso no es normal. Hablaba para sus adentros, como si Robert no estuviera en la habitación. -Antes nunca se interesaba por los números. Al contrario, siempre se quejaba de su profesor por los

deberes de matemáticas. Sal de una vez a tomar el aire -gritó por fin. Robert levantó la cabeza de la hoja y dijo:

-Tienes razón. Si sigo contando liebres me dará dolor de cabeza. Y Robert salió de casa. En el parque había una enorme pradera por la que no corría ni una sola

liebre. -Hola, Robert -gritó Albert al verle venir-. ¿Juegas?

También estaban Enzio, Gerardo, Ivan y Karol. Estaban jugando al fútbol, pero a Robert no le apetecía. No tienen ni idea de cómo crecen los árboles, pensó.

Cuando volvió a casa, era bastante tarde. Nada más cenar, se fue a la cama. Precavido, se metió un grueso rotulador en el bolsillo del pijama.

-¿Desde cuándo te vas tan pronto a la cama? -se sorprendió su madre-. Antes siempre querías quedarte lo más posible.

Pero Robert sabía muy bien lo que quería, y sabía también por qué no le contaba nada a su madre. No le hubiera creído cuando le hubiera dicho que las liebres, los árboles e incluso los moluscos saben contar, y que era amigo de un diablo de los números.

Apenas se había dormido cuando el anciano apareció. -Hoy voy a enseñarte algo estupendo -dijo. -Lo que sea, menos liebres. He pasado todo el día rompiéndome la cabeza con ellas. Siempre

confundo las blancas y las pardas. -¡Olvídalo! Ven conmigo. Llevó a Robert hasta una casa blanca en forma de cubos. También dentro todo estaba pintado de

blanco, incluso la escalera y las puertas. Llegaron a una gran habitación desierta, blanca como la nieve. -Aquí ni siquiera puede uno sentarse -se quejó Robert-. ¿Y qué clase de ladrillos son ésos?

Se acercó hasta el alto montón que había en la esquina y miró los ladrillos con más atención. -Parece cristal o plástico -constató-. Grandes cubos. Dentro de ellos brilla algo. Tienen que ser

filamentos eléctricos, o algo por el estilo. -Electrónica -dijo el anciano-. Si quieres, construiremos una pirámide. Cogió el primer par de cubos y los puso en fila en el blanco suelo. -Ahora tú, Robert. Siguieron construyendo hasta que la fila tuvo el siguiente aspecto: -¡Alto! -gritó el diablo de los números-. ¿Cuántos cubos tenemos ahora? Robert contó. -Diecisiete. Pero es una cifra coja -dijo. -No tan coja como tú piensas. Sólo tienes que restarle uno. -Dieciséis. Otra vez un número saltado. Un dos saltado cuatro veces: 2

4

-Fíjate -dijo el anciano-. Te das cuenta de todo. Pero ahora sigamos construyendo. El siguiente ladrillo se pone siempre sobre la grieta entre los dos anteriores, exactamente igual a como hacen los albañiles.



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-O. K. -dijo Robert-. Pero esto nunca llegará a ser una pirámide. Las pirámides tienen tres o cuatro esquinas en la base, y esta cosa es plana. Esto no se convertirá en una pirámide, sino en un triángulo.

-Bien -dijo el diablo de los números-. Entonces construiremos un triángulo. Y siguieron hasta que estuvo listo. -¡Listo! -gritó Robert. -¿Listo? Ahora es cuando empieza lo bueno. El diablo de los números trepó por un lado del triángulo y escribió un uno en el cubo más alto. -Como siempre -murmuró Robert-: ¡tú y tus unos! -¡Claro! -respondió el anciano-. Todo empieza en el uno. Ya lo sabes. -Pero ¿cómo sigue? -Enseguida lo verás. En cada uno de los otros cubos escribiremos lo que resulte de sumar lo que

hay encima.

ACTIVIDAD Nº 1 ( Está en otro folio) -Una obra de arte -dijo Robert. Sacó del bolsillo su grueso rotulador y escribió: -Nada más que unos -dijo-. Hasta yo soy capaz de hacerlo incluso sin calculadora. -Enseguida serán más. Sigue -gritó el diablo de los números, y Robert escribió: -Un juego de niños -dijo. -No seas tan arrogante, querido. Espera a ver cómo sigue. Robert calculó y escribió:

-Ya veo, las cifras al borde son unos, no importa lo abajo que lleguemos. Y las de al lado en

diagonal también puedo escribirlas enseguida, son sencillamente los números normales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... -¿Y qué pasa con la siguiente diagonal, la que está justo al lado de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...? Lee las

primeras cuatro cifras -el diablo de los números había vuelto a poner su sonrisa astuta, y Robert leyó de arriba a la derecha abajo a la izquierda:

-1, 3, 6, 10... Me suenan familiares. -Cocos, cocos -gritó el anciano. -¡Ah, sí!, ahora me acuerdo. 1, 3, 6, 10... son los números triangulares. -¿Y cómo se hacen? -Por desgracia lo he olvidado -dijo Robert. -Muy sencillo: -...15 + 6 = 21 -prosiguió Robert. -¡Ahí lo tienes! De esa forma, Robert escribió cada vez más números en los cubos. Por una parte, la cosa era cada

vez más fácil, porque ya no tenía que estirarse tanto, pero, por otra, las malditas cifras se volvían cada vez más elevadas.

-¡Ehhh! -dijo-. No puedes pedirme que calcule todo eso de cabeza. -Como tú digas -contestó el anciano-. Pero no te excites. ¡Que todo esto se vaya al diablo si no lo

hago en un abrir y cerrar de ojos! Y, a un ritmo de locos, escribió el triángulo entero. -Ahí abajo se vuelve un rato estrecho -dijo Robert-. ¡12870! ¡Qué auténtico! -Oh, eso son pequeñeces. Hay aún mucho más en este triángulo.

¡Así es! Quizá creáis que esto sólo sirve para romperse la cabeza. ¡Falso! Lo contrario es lo que es

cierto. Es cosa de gente vaga, a la que no le gusta hacer muchas cuentas. Si, por ejemplo, queréis saber qué sale al sumar los doce primeros números triangulares, sólo tenéis que coger la tercera fila en diagonal a la derecha hacia abajo, la que empieza con 1, 3, 6, 10. Seguid con el dedo hasta el cubo número doce de esta fila. Luego buscad el número que está justo debajo a la izquierda. ¿Cuál es?



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De este modo os habréis ahorrado calcular cuántos son 1+3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 + 66 + 78.

»¿Sabes lo que hemos construido? -preguntó el diablo de los números-. ¡Esto no es un simple triángulo, es un monitor! Una pantalla. ¿Por qué crees que todos los cubos tienen vida electrónica interior? Sólo tengo que conectar esta cosa y se iluminan.

Dio unas palmadas y la habitación se oscureció. Luego dio otra más, y el cubo de arriba del todo se iluminó en rojo.

-Otra vez el uno -dijo Robert. Cuando el anciano volvió a dar palmas, la primera línea se apagó y la segunda brilló como un

semáforo que pasa a rojo. -Quizá puedas sumarla -dijo. - 1 + 1 = 2 -murmuró Robert-. ¡No es que sea precisamente sensacional! El diablo de los números dio otra palmada, y la tercera línea se volvió roja. - 1 + 2 + 1 = 4 -exclamó Robert-. No hace falta que sigas dando palmadas. Ya lo he entendido.

ACTIVIDAD Nº 2 Calcula la suma de cada una de las filas de la pirámide. ¿A qué te recuerdas?

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Fila 4

Fila 5

Fila 8

Fila 10

Fila 12

Fila n

¿Podrías explicar porqué ocurre eso?

Se trata de nuestros viejos conocidos, los doses saltarines. La siguiente línea sale 2 x 2 x 2 o 23, igual a 8. Etcétera: 16, 32, 64. Hasta que el triángulo termina por abajo.

-La última línea -dijo el anciano- da 216

, y eso es bastante: 65.536, por si quieres saberlo con exactitud.

-¡Mejor que no! -Está bien -el diablo de los números batió palmas, y volvió a hacerse la oscuridad. -¿Quieres volver a ver a unos cuantos viejos conocidos ? -preguntó. -Depende. El anciano dio tres palmadas, y los cubos volvieron a iluminarse: algunos en amarillo, otros en azul,

los siguientes en verde o rojo. -Parece carnaval -dijo Robert.



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ACTIVIDAD Nº3 En la pirámide debes de colorear de la siguiente forma: empezando en la primera diagonal de unos,

y la secuencia ROJO-AMARILLO-AZUL-VERDE. Cuando acabes empieza por la segunda diagonal en la misma secuencia de colores de modo que respetando la secuencia no se repitan los colores con los cuadros vecinos

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1



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-¿Ves las escalerillas del mismo color que van de arriba a la derecha hasta abajo a la izquierda?. Vamos a sumar todo lo que hay en una de ellas, y veremos qué sale. ¡Empieza con la roja, arriba del todo!

-Sólo tiene un escalón -dijo Robert-. Uno, como siempre. -Luego, la amarilla de debajo. -Tampoco tiene más que uno: uno. -La próxima es una azul. Dos cubos. - 1 + 1 = 2. -Luego la verde, justo debajo. Dos cubos verdes. - 2 + 1 = 3. Ahora Robert sabía cómo seguir: -Otra vez rojo: 1 + 3 + 1 = 5. Y amarillo: 3 + 4 + 1 = 8. Azul: 1 + 6 + 5 + 1 = 13.

ACTIVIDAD Nº 4 -¿Qué podría significar: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...? ¿Conocéis esa secuencia de números? Escribe, sin usar la pirámide otros 15

números de esta secuencia.

ACTIVIDAD Nº5 Calcula los cocientes de cada término entre el anterior, es decir, el segundo entre

el primero, el tercero entre el segundo, y así sucesivamente. ¿Reconoces ese resultado? -¡Bonatschi, naturalmente! Los números de las liebres. -Ya ves que todo está en nuestro triángulo. Podríamos seguir durante días, pero creo que tienes

suficiente por hoy. -Puedes decirlo bien fuerte -admitió Robert. -Está bien, basta de cálculos. El diablo de los números batió palmas, y los cubos de colores se apagaron. -Pero nuestro monitor aún es capaz de hacer muchas más cosas. Si vuelvo a batir palmas, ¿sabes

lo que ocurrirá? Se iluminarán los números pares en todo el triángulo, y los impares seguirán oscuros. ¿Quieres que lo haga?

-Por mí...



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ACTIVIDAD Nº 6 Colorea de amarillo sobre la pirámide los números pares

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1



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Lo que Robert vio entonces fue una auténtica sorpresa. -¡Es una locura! Un dibujo. Triángulos dentro del triángulo, sólo que cabeza abajo. Robert estaba fuera de sí. -Mayores y menores -dijo el diablo de los números-. Sin duda el pequeño parece un cubo, pero en

realidad es un triángulo. El mediano consta de 6 cubos, y el grande de 28. Naturalmente, son números triangulares.

»Así que ahora sólo brillan en amarillo los números pares. ¿Qué crees que pasará si encendemos todos los números de nuestro monitor que se puedan dividir entre tres, cuatro o cinco? Sólo tengo que dar una palmada y lo verás. ¿Con qué divisor lo intentamos, con el cinco?

-Sí -dijo Robert-. Todos los que se puedan dividir entre cinco.

ACTIVIDAD Nº 7 (Está en otro folio). El anciano dio una palmada, las cifras amarillas se apagaron y las verdes se encendieron. -Es increíble -dijo Robert-. Otra vez triángulos, pero ahora son otros. ¡La más pura brujería! -Sí, querido, a veces yo mismo me pregunto dónde terminan las Matemáticas y dónde empieza la

brujería. -Fantástico. ¿Has inventado tú todo esto? -No. -¿Quién ha sido entonces? -¡Sabe el Diablo! El gran triángulo de números es una cosa antiquísima, mucho más vieja que yo. -Pues a mí me pareces bastante viejo. -¿Yo? Permite que te diga que soy uno de los más jóvenes del paraíso de los números. Nuestro

triángulo tiene por lo menos dos mil años. Creo que la idea se le ocurrió a algún chino. Pero hoy aún seguimos dándole vueltas, y seguimos hallando nuevos trucos que se pueden hacer con él.

Si seguís así, pensó Robert para sus adentros, es posible que no acabéis nunca. Pero no lo dijo. Sin embargo, el diablo de los números le había entendido. -Sí, las Matemáticas son una historia interminable -dijo-. Hurgas y hurgas y siempre encuentras

cosas nuevas. -¿No podéis dejar de hacerlo nunca? –preguntó Robert. -Yo no, pero tú sí -susurró el diablo de los números, y cuando lo dijo los cubos verdes se hicieron

cada vez más pálidos y él mismo se volvió cada vez más delgado, hasta que se quedó igual que un fideo y con cara de pito. La habitación estaba oscura como boca de lobo, y pronto Robert lo hubo olvidado todo, los cubos de colores, los triángulos, los números de Bonatschi e incluso a su amigo, el diablo de los números.

Durmió y durmió, y cuando despertó a la mañana siguiente su madre le preguntó:

-Estás muy pálido, Robert. ¿Has tenido pesadillas? -Nooo -dijo Robert-. ¿Por qué? -Estoy preocupada. -Pero, mamá -respondió Robert-, ya sabes lo que dicen: No hay que mentar al Diablo.

ACTIVIDAD Nº8 Colorea en la pirámide todos los múltiplos de 4 Colorea en la pirámide todos los múltiplos de 3.



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ACTIVIDAD Nº 9 Otra aplicación del triángulo es la de el cálculo de los números combinatorios, que usan tanto en Teoría de Probabilidad como para hallar el n-ésima potencia de un binomio. La fórmula para calcular el CUADRADO DE UN BINOMIO, ya la conoces, es la siguiente:

2222 bababa

La fórmula para calcular el CUBO DE UN BINOMIO, es la siguiente:

3223333 babbaaba

Si te fijas los coeficientes que tienen esos monomios coinciden con las filas 3 y 4 del triángulo de Pascal. La fórmula general para calcular cualquier potencia de un binomio es la siguiente:

nnnnnnnb

n

nba

n

nba

nba

nba

na

nba

1133221

1.....

3210

Donde los números de la forma

m

nse llaman números combinatorios y coinciden con los

números de la fila n+1 de la pirámide o del triángulo de pascal, que también recibe ese nombre: Calcula lo que vale:

8

5

3

2

3

12

ba

yx

yx

x



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ACTIVIDAD Nº1

Completa el triángulo como dice el Diablo: ―Pon un 1 en la cima de la pirámide, y en cada cuadrado, la suma de los 2 números que tiene encima‖



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ACTIVIDAD Nº 7 Colorea de verde todos los múltiplos de 5?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1



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1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1



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1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1



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MALDITAS MATEMÁTICAS

Alicia en el país de los números

RESUMEN

"Alicia detesta las matemáticas y considera que no sirven para nada. Un día, mientras está estudiando en el parque, un extraño individuo la invita a dar una vuelta por el País de los Números. Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Maravillas, resultará ser su acompañante y en su fantástico viaje se enfrentarán al mosntruo del alberinto, cruzarán un desierto de granos de trigo, se adentrarán en un bosque de números arborescentes, tomarán el té con el Sombrero Loco...

En este libro, la mayor aventura para Alicia, y para todos los lectores, será descubrir que las matemáticas no sólo son útiles, sino también divertidas."

BIOGRAFÍA DEL AUTOR Carlo Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano.

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de cuarenta libros, muchos de ellos para niños y jóvenes, como La magia más poderosa, El vampiro vegetariano, El libro de Guillermo. En 1998 ganó el Premio Jaén de Literatura Infantil y Juvenil con El gran juego.

Ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La Bola de Cristal, El Duende del Globo y Tendencias, y ha estrenado varias obras de teatro. Ha creado y dirige las colecciones de divulgación científica para niños y jóvenes `El Juego de la Ciencia` y `La Aventura de la Ciencia`.

Tanto sus obras para adultos como las infantiles han sido traducidas a numerosos idiomas. Es presidente de la Asociación Contra la Tortura y miembro fundador de la Alianza de Intelectuales Antiimperialistas.



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Capítulo 12

El cuadrado mágico

Alicia y Charlie continuaron adentrándose en el bosque, siguiendo siempre la diagonal del gran cuadrado de números arborescentes.

Bajo el 651 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de las cuales se dividía en siete, que a su vez se subdividían en treinta y una), vieron una gran tortuga con un extraño dibujo en el caparazón. Pero al darse cuenta de que alguien se acercaba, el quelonio se escabulló con una rapidez impropia de los de su especie.

—¿Qué era eso? —preguntó Alicia. —La tortuga divina que el sabio chino Yu vio salir del río Amarillo —contestó Charlie—. Al menos

eso es lo que cuenta el Libro de las permutaciones, escrito hace más de tres mil años. Los signos de su caparazón representan los números del 1 al 9 mediante puntos blancos y negros, y componen un cuadrado mágico.

ACTIVIDAD Nº1 —¿Y qué es un cuadrado mágico? A modo de respuesta, Charlie dibujó en su cuaderno un cuadrado dividido en

nueve casillas. —Si consigues disponer en las casillas los números del 1 al 9 de manera que todas

las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo, habrás compuesto un cuadrado mágico. Completa el siguiente cuadrado mágico.

—Me he dado cuenta de que en el centro del caparazón de la tortuga había cinco puntos formando

una cruz —comentó Alicia. —Pues ya tenemos mucho adelantado. Pongamos el 5 en la casilla central. —¿Y ahora? —Y ahora, pensemos. ¿Cuánto tienen que sumar los números de cada fila, columna y diagonal? —Lo mismo —contestó la niña. —Sí, pero ¿cuánto? —No sé... —¿Cuánto suman los números del 1 al 9? —insistió Charlie.

—Voy a calcularlo con el truco del pequeño Gauss: 452

9·19

—Entonces, ¿cuánto sumarán los números de cada fila? —¡Ya lo veo! —exclamó Alicia. Si entre las tres filas tienen que sumar 45 y las tres han de sumar lo

mismo, cada fila sumará 15. Y lo mismo las columnas y las diagonales.



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( el texto del libro continúa con la explicación de la construcción)

—Ahí tienes tu cuadrado mágico —dijo Charlie con una sonrisa (amplia, por una vez, en lugar de

enigmática). —¡Cómo mola! —exclamó Alicia—. ¿Hay más cuadrados mágicos? —De orden tres, sólo éste, básicamente. —¿Qué es eso del orden tres? —El orden de un cuadrado mágico es su número de casillas por lado. —Pero hay más de uno —observó la niña—. Si ponemos la columna de la izquierda a la derecha y

la de la derecha a la izquierda, sigue siendo mágico. —Cierto, pero este cuadrado es como la imagen en el espejo del otro, y lo mismo ocurre con todos

los que podemos componer: se pueden obtener a partir de un modelo único mediante giros o reflexiones, o sea que son básicamente iguales.

—¿Y los de orden cuatro? —Ésos son mucho más variados: con los números del 1 al 16 podemos formar 880 cuadrados

mágicos de orden cuatro distintos. —¿Cómo? —Enseguida lo verás. Efectivamente, al poco rato, y siempre siguiendo la diagonal del bosque de números, llegaron al

2.451 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de las cuales se dividía en diecinueve que a su vez se subdividían en cuarenta y tres), y a la sombra de su tupido ramaje vieron, en el suelo, una losa de piedra cuadrada dividida en dieciséis casillas. En las doce casillas del perímetro había sendos números labrados en la piedra, pero las cuatro del centro estaban vacías. ACTIVIDAD Nº 2 Construye un cuadrado de orden 4. Recuerda que debes calcular lo que valer la constante



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—Ahí tienes un cuadrado mágico de orden cuatro —dijo Charlie—, el mismo que fue inmortalizado por Durero en su famoso grabado Melancolía. Por cierto, los dos números centrales de la fila inferior forman el año de realización del grabado: 1514.

—Pero está incompleto —observó Alicia. —Sí. Tienes que completarlo tú para poder entrar. —¿Para entrar dónde? —Lo averiguarás en cuanto entres. —¿Y cómo voy a grabar los números en esa losa? —Puedes marcarlos con el dedo, siempre que sean los números correctos: la verdad ablanda hasta

la piedra.

16 3 2 13

5 8

9 12

4 15 14 1

—Está bien, está bien, lo intentaré. Déjame tu cuaderno para hacer una prueba... Vamos a ver:

faltan los números 6, 7, 10 y 11, y los tengo que poner en las casillas del centro. Los números de la primera columna suman 16 + 5 + 9 + 4 = 34; por lo tanto, todas las columnas, filas y diagonales tienen que sumar eso... En la segunda columna están el 3 y el 15, que suman 18, luego faltan 16 para llegar a 34. Con los cuatro números que quedan, la única forma de sumar 16 es con el 6 y el 10; por lo tanto los tengo que poner en la segunda columna, pero ¿en qué orden? Supongamos, en principio, que los pongo así...

—¿Lo has conseguido? —pregunto Charhe, mirando el cuaderno por encima del hombro de la niña. —No, así no puede ser —contestó ella tras unos segundos—, porque los tres números de la

segunda fila suman 19 y faltaría el 15 para llegar a 34, pero el 15 ya está colocado. Por lo tanto, tiene que ir el 10 encima y el 6 debajo... Ahora sí, y el 11 y el 7 están chupados...

Alicia se arrodilló en el suelo y marcó los cuatro números en las casillas centrales de la losa. La piedra cedió bajo la punta de su dedo como si fuera arcilla blanda, y en cuanto hubo terminado de grabar el último número se deslizó horizontal-mente y dejó ver una empinada y oscura escalera que se hundía en las entrañas de la tierra.

—¿Adonde lleva? —preguntó la niña volviéndose hacia Charlie. Pero el escritor había desaparecido

ACTIVIDAD Nº3 La constante mágica, o el valor de la suma de cada una de las filas, columnas y diagonales de un cuadrado mágico, hemos visto que se puede obtener a partir del total de números que tenemos que utilizar. Escribe dicha constante:

1. Para un cuadrado de orden 3, que tiene 9 números:



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2. Para un cuadrado de orden 4, que tiene 16 números:

3. Para un cuadrado de orden n , que tiene n2 números:

4. Completa la siguiente tabla:

Orden 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n

Constante

ACTIVIDAD Nº4

Cuadrado mágico de la prueba de Estalmat (Este es el problema de cuadrados

mágicos que hicisteis este año en la prueba de selección de Estalmat.

a) Si las casillas de un cuadrado mágico están ocupadas por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8 y 9, ¿cuál es la suma mágica del cuadrado? ¿Qué número ocupa siempre la casilla

central? ¿Por qué?

b) En este caso, con esos números, muestra los cuadrados mágicos que se pueden

construir.

c) Construye un cuadrado mágico con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17. ¿Qué

número ocupa la casilla central?

d) Existe un cuadrado mágico formado por nueve números impares consecutivos entre los

que aparecen siete números primos. ¿Cuáles son estos números? Escribe un cuadrado

mágico formado por ellos.



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ACTIVIDAD Nº5

Construye un cuadrado mágico con 9 múltiplos de 5 consecutivos.

ACTIVIDAD Nº 6

¿Se podrán construir cuadrados mágicos con otros tipos de números además de con los naturales? ¿e incluyendo al cero?

se pueden formar cuadrados mágicos con cualquier tipo de números: naturales, enteros, decimales, fracciones, potencias, números complejos..

Construye los siguientes cuadrados mágicos: 1. Con los números naturales del 0 al 8 2. Con los números de la siguiente serie: 1,4,7,……. 3. Con los números enteros de valor absoluto menor o igual que 4 4. Con los números de la serie: 0,5 , 0,8, 1,1,……

.



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ACTIVIDAD Nº 7

Buscamos las propiedades que cumplen los cuadrados mágicos

Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico.

+ 2 =

- 6 =

· 3 =

: 2 =

Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir.

+

=

-

=

*

≠

:

≠



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ACTIVIDAD Nº8

1. Piensa en un número cualquiera. 2. Escríbelo en el cuadradito superior izquierda . 3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán

sumando al número que tenías escrito en la hoja, uno de manera horizontal y el otro de manera vertical hasta obtener nueve números distintos. ( Colócalos encima de las flechas)

□

□

□

□ □ □

□ □ □

4. Haz una lista con estos números ordenándolos de menor a mayor.

5. Escribe el cuadrado mágico 3x3 sustituye sus números con los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el tercero en el lugar del 3 y así sucesivamente hasta que completes el nuevo cuadrado.



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AHORA ALGO DE HISTORIA

En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Lo que tenía eran los números naturales del 1 al 9, dispuestos en forma de cuadrado, de tal forma que la suma horizontal, vertical y diagonal de los grupos de tres cifras formados daba siempre la misma cantidad.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).

Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,

edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.



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Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu (El libro del río Lo), y tiene otras propiedades importantes.Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares ( Yin ), y los números impares (Yang) forman una cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los cinco elementos del universo oriental ( Agua, fuego, madera, metal y Tierra )

CUADRADOS MÁGICOS EN EL ARTE

El más famoso está incluido en un grabado de Alberto Durero, llamado Melancolía y también podemos encontrar un cuadrado mágico en la fachada del templo de la Sagrada Familia, iniciado por el arquitecto Gaudí, en Barcelona.

Melancolía de Alberto Durero

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado La Melancolía, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg o en la Bibliothèque nationale de France, Paris. En este grabado, Durero pintó en lugar destacado un cuadrado mágico de orden 4. Fue realizado en plancha de cobre. Su constante mágica es 34.

El cuadrado está formado por los números del 1 al 16, distribuidos en otras tantas casillas (cuatro por cada lado), la constante mágica es 34, que se obtiene como suma de los números de cualquier fila, columna, diagonal principal, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los



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cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. El número 34 está asociado a Júpiter y a las virtudes atribuidas a este planeta. Alberto Durero, muy aficionado a los juegos numéricos, incluyó también la fecha de ejecución de la obra, que se puede leer combinando las dos casillas centrales de la última fila: 15-14.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

La sagrada Familia de Barcelona

Otro cuadrado mágico se encuentra en la fachada de la Pasión, del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia de Barcelona, templo ideado y comenzado a construir por Antonio Gaudí. Está junto al grupo escultórico del Beso de Judas, y se debe a Joseph María Subirachs, escultor que en 1987 recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de esta Fachada.

Como se puede ver el cuadrado mágico, también 4 x 4, es

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

La constante mágica en este caso es 33 que coincide con la edad que tenía Jesucristo cuando le crucificaron. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1



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unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1. Esta es la única pega de este cuadrado mágico, lo que quizás le quite algún mérito pero seguramente era necesario para darle el sentido espiritual pretendido.

También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería.

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RESUMEN - CICA · 2008. 11. 12. · Title: RESUMEN Author: Gaby Created Date: 11/8/2008 3:54:36 PM