RESUMEN DE CRITERIOS SOBRE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS

A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean aplicados en el orden indicado. Si un paso en particular no es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.

1 . C alcu le lim ( ). S i lim ( ) 0 , en tonces la serie d iverge. S i lim ( ) 0, no puede in ferirse n inguna conclu sión .

2 .- E xam ine la serie a fin de determ inar si co rresponde a uno de los sigu ien tes tipos espe

n n nn n nu u u

→ +∞ → +∞ → +∞− ≠ =

1

1

1

c ia les:

( ) U na serie geom étrica: . . C onverge a la sum a 1; d iverge si 1 .1

1( ) U na serie p : (donde p es una constan te). C onverge s i p> 1 ; d iverge si p 1 .

( ) U na serie a lternan te

n

n

pn

ai a r si r rr

iin

iii

+∞−

=

+∞

=

< ≥−

≤

∑

∑

( ) ( )11

1 1

: 1 . ó 1 . S i 0 , y

para todos lo s núm eros en tero s positivos , y si lim 0, en tonces la serie alternan te es convergen te .

3 . A p lique el criterio de la razón , S ea una serie in fin ita para

n nn n n n n

n n

nn

n

a a a a a

n a

u

+∞ +∞+

+= =

→ +∞

− − > <

=

−

∑ ∑

+

1

1

1 1

1

la cual u es d iferen te de cero :

( ) s i lim 1, la serie es abso lu tam en te convergen te;

( ) si lim 1, o si lim , la serie es d ivergen te;

( ) si lim 1, nad

nn

n

nn

n n

n nn n

n

nn

ui L

u

u uii L

u u

uiii

u

∞

=

+

→ +∞

+ +

→ +∞ → +∞

+

→ +∞

= <

= > = +∞

=

∑

1

a se puede in ferir acerca de la convergencia a partir de este criterio .

4 .- A p lique el criterio de la ra íz : S ea una serie in fin ita para la cual cada es d iferen te de cero :

( ) s i lim

n nn

nnn

u U

i u L

+∞

=

→ +∞= <

∑1, la serie es abso lu tam en te convergen te;

( ) si lim 1, o si lim la serie es d ivergen te;

( ) si lim 1, nada se puede in ferir acerca de la convergencia a partir de este criterio .

5 .-

n nn nn n

nnn

ii u L u

iii u→ +∞ → +∞

→ +∞

= > = +∞

=

+

1

A p lique el criterio de la in teg ral: S ea una función que es con tinua, decrecien te y de valo res positivos para toda

x 1 . E n tonces la serie in fin ita ( ) (1) (2 ) (3) ... ( ) ... es convergen ten

f

f n f f f f n∞

=

≥ = + + + + +∑+ b

1 1

+

1

+

1

s i la in tegral

im prop ia ( ). ex iste , y es d ivergen te si lim ( ). .

6 .- A plique el criterio de com paración : S ea la serie una serie de térm inos positivos.

( ) S i es un

b

nn

nn

f x dx f x dx

u

i v

∞

→ +∞

∞

=

∞

=

= +∞∫ ∫

∑

∑

1

a serie de térm inos positivos de la cual se sabe que converge, y si para

todo núm ero en tero positivo , en tonces es convergen te .

( ) S i es una serie de térm inos positivos de la cual se s

n n

nn

n

U V

n u

ii w

+∞

=

≤

∑+

1

1

+

1 1

abe que d iverge, y s i para

todo núm ero en tero positivo , en tonces es d ivergen te .

o ap lique el criterio de com pración po r paso al lím ite : S ean y dos series de térm inos

n nn

nn

n nn n

U W

n u

u v

∞

=

+∞

=

+∞ ∞

= =

≥∑

∑

∑ ∑

+

1 1

positivos.

( ) lim 0, en tonces las dos series son convergen tes o am bas series son d ivergen tes .

( ) S i lim 0 y si converge, en tonces converge.

( ) S i lim y si

n

nn

nn nn n nn

n

nn

ui S i c

vu

ii v uvu

iii vv

→ +∞

∞ +∞

→ +∞= =

→ +∞

= >

=

= +∞

∑ ∑+

1 1

d iverge, en tonces d iverge.n nn n

u∞ +∞

= =∑ ∑

Adaptado por: Prof. José Gregorio Páez Veracierta Fuente: Luois Leithold, Cálculo con Geometría Analítica, 7ma. Edición.