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I. CAPITAL ASSET PRICING MODEL

(a) Breve descripción teórica del CAPM1

Los orígenes del CAPM: el Modelo de Markowitz

Los orígenes del Capital Asset Pricing Model residen en el modelo teórico de administración de portafolios desarrollado por Harry Markowitz (1952). A partir del mismo surge una nueva modalidad de análisis de la perfomance de una cartera en particular al enfocar el estudio en dos variables: la rentabilidad esperada y el riesgo total del portafolio, destacando el rol de las covarianzas de los activos2.

El Modelo de Markowitz introduce el concepto de administración simultánea del

riesgo y de la rentabilidad por parte de los inversores. El mismo parte de los siguientes supuestos simplificadores:

a) Normalidad de los rendimientos de los activos.

b) Ausencia de un activo libre de riesgo.

c) No saciedad y adversidad al riesgo de los agentes económicos.

De esta manera, la ecuación de la rentabilidad esperada de un portafolio (( )PE R )

sería la siguiente:

1

( ) ( )N

i i pi

X E R E R=

=∑ (2.1)

Donde iX y ( )iE R son la proporción de su riqueza que el agente económico invierte

en el activo i y la rentabilidad esperada del activo i respectivamente. Así, dicha ecuación se interpreta como que la rentabilidad esperada de un portafolio es igual al promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los diferentes activos que componen la cartera.

Por otro lado, el riesgo total del portafolio medido por su desvío estándar (pσ )

sería:

1 El lector familiarizado con el Modelo de Markowitz y el Modelo CAPM puede omitir esta subsección e ir directamente al punto (b). 2 Previo a los aportes de Harry Markowitz los teóricos de la administración de portafolios ignoraban la importancia de la covarianza como elemento de relación entre los activos y su consecuente efecto en el riesgo total de un portafolio (a mayor covarianza entre activos de una cartera, mayor contribución al riesgo de un portafolio y viceversa).

2

2 2

1 1 1

N N N

p i i i j i j iji i j

i j

X X Xσ σ σ σ ρ= = =

≠

= +

∑ ∑∑ (2.2)

Donde iX y jX se interpretan como las proporciones de su riqueza que el agente

económico invierte en el activo i y j respectivamente mientras que iσ y jσ son los desvíos

estándares de dichos activos. A su vez, ijρ es el coeficiente de correlación entre los activos

i y j3. A partir de las ecuaciones 2.1 y 2.2 un individuo procede, acorde a sus preferencias

y expectativas particulares, a maximizar el rendimiento de su cartera sujeto a cierto nivel de riesgo deseado o, similarmente, minimizar el nivel de riesgo sujeto a un determinado nivel de retorno. Es decir, en notación:

Min. pσ sujeto a 1) 1

1N

ii

X=

=∑

2) ( ) ( )p eE R E R=

Donde ( )eE R es un nivel de rentabilidad target o deseado por el inversor.

Similarmente, el agente económico podría:

Max. ( )pE R sujeto a 1) 1

1N

ii

X=

=∑

2) p eσ σ=

Donde eσ es el nivel de riesgo que el inversor estará dispuesto a afrontar.

Como consecuencia de lo anterior, la resolución del ejercicio de optimización

permite al agente económico obtener las proporciones de su riqueza que destinará a invertir en los diferentes activos componentes de su portafolio acorde a los criterios de rentabilidad o riesgo establecidos por el mismo a priori. Por lo tanto, realizando dicho procedimiento para diferentes niveles de riesgo total o rendimiento esperado, un inversor particular podrá estar en condiciones de construir su “Área de Portafolios Accesibles” (Figura 2.1).

3 Podríamos haber descripto la ecuación 2.2 mediante la expresión

1/ 2

1 1

N N

p i j iji j

X Xσ σ= =

=

∑∑ donde

implícitamente contemplaríamos tanto las varianzas de los diferentes activos individuales pertenecientes al portafolio del inversor como también las covarianzas entre los mismos.

3

Cada punto de la “nube” de la figura 2.1 representa distintos portafolios obtenidos a

partir del ejercicio de optimización que realiza el inversor por lo que representan diferentes combinaciones de proporciones de activos con sus resultantes ( )pE R y pσ .

Como señalamos anteriormente, el Modelo de Markowitz introduce el concepto de

administración simultánea del riesgo y de la rentabilidad de un portafolio. Por consiguiente, el mismo implícitamente nos proporciona una regla de decisión para seleccionar aquellos portafolios más eficientes (denominados de “Mínima Varianza”), dentro del grupo perteneciente al “Área de Portafolios Accesibles”. Es decir,

1) Dado 1 2

1 2( ) ( )

p p

p pE R E R

σ σ=

>

2) Dado 1 2

1 2

( ) ( )p p

p p

E R E R

σ σ=

<

De esta forma, a partir de la regla de decisión anterior, el inversor se encuentra en

condiciones de graficar su “Frontera de Portafolios Eficientes” (Figura 2.2) reduciendo sustancialmente las posibilidades de elección de una determinada composición de cartera. Así, el agente elegirá un portafolio perteneciente a la frontera según el nivel de rentabilidad deseado o riesgo dispuesto a enfrentar.

Portafolio 1 y 2 tienen igual riesgo pero elijo el n° 1porque tiene mayor rentabilidad.

Portafolio 1 y 2 tienen igual rendimiento pero elijo el n° 1porque tiene menor riesgo

pσ

( )pE R

Figura 2.1: Área de Portafolios Accesibles

pσ

( )pE R

Figura 2.2: Frontera de Portafolios Eficientes

4

Sin embargo, pese a las bondades ofrecidas por el Modelo de Markowitz para facilitar el proceso de decisión a la hora de conformar un portafolio, el mismo presenta una serie de inconvenientes para su puesta en práctica. Entre los principales problemas, podemos destacar:

a) El requerimiento de una gran cantidad de inputs para el modelo (cálculo de

rendimientos promedios, varianzas y covarianzas de las distintas acciones pertenecientes al portafolio en cuestión).

b) La omisión de la existencia de un activo libre de riesgo.

c) El modelo es útil solamente para un inversor individual. Los problemas antes mencionados dieron luz al desarrollo de un modelo más simple

para la administración de portafolios y que a su vez proporcionó una herramienta para valuar los mismos: el Capital Asset Pricing Model.

Capital Asset Pricing Model Partiendo del Modelo de Markowitz, William Sharpe, John Lintner y Jan Mossin

(1964) introducen una serie de supuestos que dan nacimiento al Modelo CAPM. Los mismos son4:

a) Competencia perfecta (presencia de muchos inversores siendo todos price-

takers)

b) Inversores tienen el mismo horizonte temporal de inversión.

c) Inversores solamente pueden invertir en activos públicamente comercializables.

d) Ausencia de costos de transacción.

e) Inversores poseen el mismo mecanismo de selección de portafolios (uso del Modelo de Markowitz).

f) Exitencia de un activo libre de riesgo (por ejemplo: Bono a 10 años del tesoro

de EE.UU. )5

g) Inversores poseen expectativas homogéneas respecto a la distribución de los retornos de los activos (poseerán mismos inputs por lo que, vía el Modelo de Markowitz, obtendrán misma frontera de portafolios de mínima varianza).

4 Para una mayor profundidad del análisis de los suspuestos del modelo se recomiendan “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, fith edidtion”, Elton, E.J., Gruber, M.J. 5 Por definición un activo “libre de riesgo” carece de riesgo por lo que su valor esperado es cierto y observable.

5

h) Inversores pueden endeudarse o conceder préstamos ilimitados a la tasa libre de riesgo.

Como resultado inmediato de los supuestos anteriores (principalmente “e”,“f” y

“g”) obtenemos una frontera de portafolios eficientes más sencilla que la presente en el Modelo de Markowitz y cuyo cálculo es más simple. Esto se debe a que la Figura 2.2 se transformaría en la siguiente forma (Figura 2.3):

La recta tangente a la frontera de portafolios eficientes se denomina “Capital Market

Line (CML)” y es uno de los principales productos del Modelo CAPM. A partir de la misma podemos observar que ahora el inversor optará por formar lo que se denominan “Portafolios de Separación”. En otras palabras, invertirá una proporción de su riqueza en el activo libre de riesgo y otro en el portafolio tangente a la frontera de portafolios eficientes,

mP .

Si bien mP es calculable mediante el ejercicio de optimización de Markowitz, dicho

portafolio es lo que usualmente se denomina como el “Portafolio de Mercado”. El mismo es aquel portafolio que resulta de dividir el valor monetario que se ha asignado a cada activo de un mercado en particular con respecto al valor total de los activos de dichos mercados. Es decir, mP sería aproximadamente un índice de mercado (como por ejemplo el

S&P 500, el Nikkei, el Dax, etc.) cuyo valor es el promedio ponderado de los valores de cada uno de los activos participantes en el mercado. Dado los supuestos antes descriptos (principalmente “e” y “g”), el Modelo CAPM resulta ser entonces un modelo de equilibrio general. Por consiguiente, para que haya equilibrio en el mercado de capitales (cumplimiento de Ley de Walras donde no hay exceso de oferta o demanda de cierto activo), todos los inversores deberán invertir una porción de su riqueza en dicho “Portafolio de Mercado”.

De esta manera, a partir de fR y mP , ambos datos observables en el mercado, el

agente económico puede construir su “Portafolio de Separación” según el nivel de riesgo dispuesto a afrontar.

pσ

( )pE R

Figura 2.3: Capital Market Line

fR

mP

6

Es decir, gráficamente a partir de la Figura 2.3 podemos deducir que la ecuación de la recta (ecuación de la rentabilidad esperada del portafolio “s” dentro del conjunto “p” de “Portafolios de Separación” posibles) sería:

(2.3)

Por lo tanto, definiendo sσ podemos determinar la rentabilidad esperada del

“Portafolio de Separación” que desea armar el inversor y, en consecuencia, el porcentaje de su riqueza que deberá destinar a mP y a fR . Esto se debe a que el riesgo del portafolio

sería:

1/ 22 2 2 2(1 ) 2 (1 )s m m m f m m m f mfX X X Xσ σ σ σ σ ρ = + − + − (2.4)

Pero dado que 0fσ = , la expresión anterior se reduce a:

1/ 22 2

s m mXσ σ = (2.5)

Despejando mX conseguimos la proporción de su riqueza que el inversor destinará a

mP con la finalidad de obtener la rentabilidad esperada dado el nivel de riesgo estipulado a priori6.

Además de la CML, el otro importante producto que surge del Modelo CAPM es la

“Security Market Line (SML)”. El mismo se deriva de los supuestos del CAPM especificados previamente como también de la evidencia empírica presente en los mercados. Esta última revela que los retornos de las acciones tienden a moverse en dirección similar al retorno del mercado en su conjunto medido por un índice representativo del mismo. En consecuencia, surge el “Modelo de Mercado”, que podríamos explicitar bajo la siguiente forma:

i i i m iR R eα β= + + (2.6) Por lo tanto, el retorno de un activo i estaría explicado por una constante iα

(componente del retorno del activo i independiente de la perfomance de mercado), por

mR (retorno del índice de mercado) ajustado por un factor iβ (medición de la sensibilidad

6 Desde ya el porcentaje destinado a fR se consigue a partir del complemento (1 )f mX X= − .

( )( ) m f

s f sm

E R RE R R σ

σ−

= +

Precio del TiempoPrecio del Riesgo

Tamaño del Riesgo(input)

7

del retorno del activo i a cambios en el retorno del índice de mercado) y por ie (error

aleatorio). Por consiguiente, mediante una regresión econométrica a partir de datos históricos y mediante la técnica de Mínimos Cuadrados Ordinarios, podríamos estimar el retorno esperado de un determinado activo. Cabe señalar que, por detrás de este modelo, se presentan los usuales supuestos de la teoría econométrica denominados frecuentemente como supuestos de Gauss-Markov, es decir:

1) ( ) 0iE e =

2) ( ; ) 0i jCov e e = 7 ∀ i j≠

3) ( ; ) 0i mCov e R = 8

4) 2 2( )i eeσ σ= 9

5) (0; )i ee N σ− 10

Como consecuencia de lo anterior, la rentabilidad esperada y el riesgo del activo

serían, respectivamente:

( ) ( )i i i mE R E Rα β= + (2.7)

( )1/ 22 2 2i i m eσ β σ σ= + (2.8)

Generalizando el modelo anterior para un portafolio con N activos tendríamos que

1

N

p i ii

Xα α=

=∑ mientras que 1

N

p i ii

Xβ β=

=∑ . De esta manera, la rentabilidad esperada del

portafolio y su riesgo total serían: ( ) ( )p p p mE R E Rα β= + (2.9)

( )1/ 2

1/ 22 2 2 2 2 2 2

1 1

N N

p p m i i m i ei i

X Xσ β σ β σ σ= =

= = + ∑ ∑ (2.10)

Ahora bien, supongamos que el inversor pudiera invertir proporciones iguales de su

riqueza en cada uno de los N activos existentes. Así, la expresión (2.10) se reduciría a:

7 Ausencia de autocorrelación temporal entre los errrores aleatorios. 8 Ausencia de autocorrelación entre el error aleatorio y la variable explicativa o independiente. 9 Supuesto de “Homocedasticidad” (varianza constante en el tiempo). 10 Supuesto de normalidad de los errores aleatorios.

8

1/ 2

2 2 2

1

1 1N

p p m eiN N

σ β σ σ=

= +

∑ (2.11)

Por lo tanto, si el inversor diversifica lo suficiente la composición de activos dentro

de su cartera podría reducir el riesgo promedio del residuo, también denominado “riesgo no

sistemático” o “riesgo diversificable” 2

1

Ne

i N

σ=∑ a un valor cercano a 0. La expresión (2.11)

se simplificaría a:

( )1/ 2

1/ 22 2 2 2 2

1

N

p p m m i ii

Xσ β σ σ β=

= = ∑ (2.12)

Como consecuencia de lo anterior, 1/ 2

2 2 2

1

N

m i ii

Xσ β=

∑ sería la medida del “riesgo

sistemático” de un portafolio, donde iβ sería la contribución del riesgo de cierto activo

dentro de un portafolio más amplio de instrumentos de inversión. Recordemos que dado los supuesto de CAPM (“g” y “h”), todos los agentes

económicos invertirán en el portafolio de mercado que, por definición, es un portafolio bien diversificado. De esta manera, el interés de un inversor a la hora de conformar un portafolio se reduce a la rentabilidad esperada y a iβ , que sería el índice de riesgo

sistemático relevante para la toma de decisiones de inversión. De esta forma surge la SML, cuya ecuación nos brindará una herramienta para estimar la rentabilidad esperada de cualquier activo individual o portafolio, dando así el rótulo de Modelo de Pricing al CAPM. Teniendo en cuenta que el activo libre de riesgo, fR tiene un iβ =0 y por definición

el Portafolio de Mercado, mP , debería tener iβ =l , la recta SML se graficaría de la siguiente

manera:

Del gráfico y de lo mencionado en el párrafo anterior podemos deducir que la ecuación de la SML para estimar la rentabilidad esperada de cualquier activo sería:

Figura 2.4: Security Market Line

fR

mP

iβ

( )iE R

1mβ =

( )mE R

9

( ) ( )i f i m fE R R E R Rβ = + − (2.13)

Arribamos así a un Modelo de Pricing para cualquier activo libre de riesgo donde

los principales inputs son: la tasa del activo libre de riesgo fR (observable en el mercado –

ej: Bono del tesoro de los EE.UU. a 10 años), el retorno del portafolio de mercado ( )mE R (observable en el mercado – ej: S&P 500) y el índice de riesgo sistemático11 iβ

(estimable a partir de datos empíricos del retorno del activo i y el retorno del portafolio de mercado). Como se puede apreciar, iβ es un elemento importante a la hora de obtener una

rentabilidad esperada de un determinado activo. Por consiguiente, una correcta estimación del mismo se vuelve imprescindible para una adecuada valuación del activo financiero. En las siguientes secciones nos ocuparemos de la forma usual en que se suele estimar dicho coeficiente y los inconvenientes que ello acarrea.

11 También se lo denomina “sensibilidad de la rentabilidad esperada de un activo respecto a cambios en la prima de riesgo”.

Prima de Riesgo