TEOREMA DE CASTIGLIANO Se utiliza para encontrar desplazamientos en estructuras con materiales elásticos lineales. Solo es aplicable a estructuras con temperatura constante y sin asentamientos en los extremos. “El desplazamiento en un punto determinado es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en el cuerpo con respecto a una fuerza aplicada en el punto y en la dirección del desplazamiento.”

PiUii ∂∂=∆ /

Para demostrar este teorema se utiliza el concepto de energía de deformación complementaria. Para el caso en que apliquemos la carga P y después apliquemos una variación pequeña de esta carga, la energía de deformación complementaria se calcularía como:

∆+= .** dPpUU donde: =pU * es la energía complementaria debida a la carga P

=∆.dP es la variación de la energía complementaria debida a dP entonces: ∆= .* dPdU y dPdU /*=∆ . En el caso de que no tengamos una sola fuerza P, la energía complementaria estaría en función de todas las fuerzas aplicadas a la estructura y una variación de esa energía al variar cada una de estas fuerzas se puede encontrar como el diferencial total de U*:

dPiPi

UdP

P

UdP

P

UU .

*.

*.

** 2

21

1 ∂∂++

∂∂+

∂∂= Kδ

Si aplicamos todas las cargas y solo se varia Pi , entonces:

*. dUdPii =∆ y dPiPi

UU .

**

∂∂=δ

igualando y cancelando el termino dPi , nos queda:

P

∆

Energía U

Energía de deformación complementariaU*

P

dP

∆

P

d∆

U*

U

PiUii ∂∂=∆ /*

Para un material lineal la energía y la energía complementaria son iguales ( UU =* ) por lo tanto se comprueba el teorema de Castigliano. También se cumple para rotaciones: MiU ∂∂= /θ Forma de usar el teorema para el calculo de deformaciones: 1. Para elementos que trabajan solo por carga axial:

∑=EA

LNU

..2

.2

y Pi

N

EA

NPiU

∂∂=∂∂ ∑ .

.2

.2/ = i

Pi

N

EA

N ∆=∂∂

∑ .

2. Para deformaciones por flexión:

dxPi

M

IE

Mdx

IE

M

Pii ..

..

..2.

2

∂∂=

∂∂=∆ ∫∫

en todas estas ecuaciones la deformación es en el punto de aplicación de la carga Pi, la cual puede ser ficticia y después de derivar se iguala a cero. Esta misma metodología se aplica a las deformaciones por cortante y torsión.