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Ing. Mario R. Modesti
10. 1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL CORDOBADEPARTAMENTO ELECTRONICA
Carrera : Ingeniería ElectrónicaAsignatura : Análisis de Señales y Sistemas
T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa deFourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control.
Rev 1.2 Enero 2001
Serie trigonométrica de Fourier
f(t) = a0 + + + ++ + + +
a Cos t a Cos t a Cos tb Sen t b Sen t b Sen t
1 2 3
1 2 3
2 32 3
ϖ ϖ ϖϖ ϖ ϖ
.........
a0 = =−∫ ∫
1 1
2
2
0Tf t dt
Tf t dt
T
T T
( ) ( )
a f(t) Cos n f(t) Cos nn = =−∫ ∫
2 2
2
2
0Tt dt
Tt dt
T
T T
ϖ ϖ
bT
t dtT
t dtT
T T
n f(t) Sen n f(t) Sen n= =−∫ ∫
2 2
2
2
0
ϖ ϖ
MATHEMATICA
Serie exponencial de Fourier
Ing. Mario R. Modesti
10. 2
f(t) = F0 + + + + + +
+ + + + + +−−
−− −
−−
F e F e F e F e
F e F e F e F e
J t J t J tn
Jn t
J t J t J tn
Jn t
1 22
33
1 22
33
ϖ ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ ϖ ϖ
.... .....
..... .....
f(t)=n=-
F e para t t t TnJn t
∞
∞
∑ < < +ϖ ( )0 0
Ff(t)(e ) dt
e (e ) dt
1T
f(t)e dtn
Jn t *
t0
t T
Jnv t Jn t *
t
t TJn t
t
t T
0
0
0
0
0
= =
+
+−
+∫
∫∫
ω
ϖ
ω
MATHEMATICA
Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial
( )
( )
aa
0
n
== +
= +
= +
−
−
FF F
b J F F
F a Jb
n n
n n n
n n n
0
12
Espectro de frecuencias de Fourier
Ing. Mario R. Modesti
10. 3
F( )ϖ ϖ=−∫ f(t) e dt -Jn t
T2
T2
f(t)=
1T
F e Jn t
n
( )ϖ ϖ
=−∞
∞
∑
Transformada de Fourier
f t F e dJ t( ) ( )=−∞
∞
∫1
2πϖ ϖϖ
F f t e dtJ t( ) ( )ϖ ϖ= −
−∞
∞
∫
La función F( )ϖ es la densidad espectral , y otro modo de expresar lastransformadas es:
[ ]f t f t e dtJ t( ) ( )= −
−∞
∞
∫ ϖ [ ]−
−∞
∞
= ∫1 12
F F e dJ t( ) ( )ϖπ
ϖ ϖϖ
MATHEMATICA
APLICACIONES
10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la seriecorrespondiente.
F(x)0 5 x 03 0 x 5
Periodo 10=− < <
< <
=
Ing. Mario R. Modesti
10. 4
( ) ( ) ( ) =
=
+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 53
51
301022
dttn
CosdttnCosdttnCosfT
aT
tn
πϖϖ
Resolución analítica
( ) ( ) ( ) =
=
+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 53
51
301022
dttn
SendttnSendttnSenfT
bT
tnπ
ϖϖ
( )[ ]=+−=
=
= ∫ 0
35
35
53
51
5
0
5
0
CosnCosn
tn
Cosn
dttn
Senn
bn ππ
ππ
ππ
( )[ ]ππ
nCosn
bn −= 13
( ) ( )23
053101
3101
301011 5
0
0
5
5
000 =−==
+== ∫ ∫∫
−
tdtdtfT
aT
t
Mathematica
52 ππ
ϖ ==T
tn
dutn
u55ππ
=∴=
[ ] 003
53
55
351
5
0
5
0
=−=
=
= ∫ π
ππ
ππ
πSenSen
nt
nSen
ndtt
nCos
nan
00 ≠= nan
Ing. Mario R. Modesti
10. 5
10.2) Desarrollar F x x x( ) = < <2 0 2π en serie de Fourier
a - Si el período es 2πb- Si el período no se especifica
5 10 15 20 25
10
20
30
40
Ing. Mario R. Modesti
10. 6
10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación
F ttt
( ) =< <
− < <
1 01 2
ππ π
Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( , )0 2π demodo que el error cuadrático medio sea mínimo
f t Sen t( ) =
Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse unaaproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamenteortogonales.
10.4) Desarrollar f t Sen t( ) = , 0 < <t π en serie de Fourier trigonométrica
Ing. Mario R. Modesti
10. 7
10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a
una función del tipo f t Sen t( ) = , 0 < <t π , desarrollar en serie de Fourierexponencial
10.6) Considersr la función periódica ( )tf en 0 < <t π y determinar el espectro
de frecuencias de la función
( )tf Sen t= .
Ing. Mario R. Modesti
10. 8
10.7) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funciónseno.
10.8) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funcióncoseno.
10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)8 0 x 2
8 2 x 4 Periodo 4=
< <− < <
=
10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F xx 4 x 0
x 0 x 4Periodo 8( ) =
− − ≤ ≤≤ ≤
=
10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8
F(x)2 x 0 x 4x 6 4 x 8
Periodo 8=− < <− < <
=
10.12) Calcular los coeficientes a a bn n0 , , de la serie trigonométrica querepresenta en período 2 π .
a) F(t) Sen tb) F(t)= Cos t
=
10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)x 0 x 48 x 4 x 8
=< <
− < <
10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar sutransformada de Fourier.
Ing. Mario R. Modesti
10. 9
<<<<
=πππ
2t0t0tsen
F(t)
10.15) Dada una onda cuadrada periódica f(t)=A 0 < t < T / 20 2 0− < <
T t/
,
determinar
a) El espectro de frecuenciasb) F(w)c) la función f(t)
[ ]
[ ]1enA
J1eJn
A
eJn
Adte
JnA
dte A
dte A dte0 dte f(t))F(
Jn-2T
Jn-
2T
0tJn-
2T
0
2T
0
tJn-tJn-
0
2T
2T
0
tJn-tJn-2
T
2T
tJn-
−=
−−=
=−=−==
=+==
∫ ∫
∫ ∫∫−−
πϖ
ϖϖϖ
ϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖ
[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
n
tJnJnp-
n
tJn e1enA
JT1
)eF(T1
=f(t) ϖϖ
ϖϖ
10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier
trigonométrica f tSen t t
t( ) =
< << <
00 2
ππ π
10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una
función del tipo f tSen t t
t( ) =
< << <
00 2
ππ π , desarrollar en serie de
Fourier exponencial
10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente.
Ing. Mario R. Modesti
10. 10
10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2)
u(t)ef(t) at−=
J?21
)e(eJ?2
1dtee? ) F( 0
0
tJat
+=−
+−== ∞−
∞−−∫ ϖ
2s1
F(s)+
=
MATLAB
a=[1,2]; % Coeficientes del denominador en orden decrecienteb=[1]; % Coeficientes del numeradorw=-50:.05:50; % Rango de frecuencia en rad/s
H=freqs(b,a,w);mag=abs(H);fase = angle(H);axis([-50,50,0,.5]);
figure (1);plot(w,mag);title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('magnitud');grid;
figure(2);
Ing. Mario R. Modesti
10. 11
fase =fase*180/pi; % Cambio de fase de radianes a gradosaxis([-50,50,-200,200]);plot(w,fase);title('Respuesta en frecuencia (fase)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('fase, degrees');grid;axis;
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
MATHEMATICA
10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral
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10. 12
f t e a t( ) = −
10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación
>
<=
2T
t0
2T
t1f(t)
10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante.
10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t).
10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial ydeducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación.
( )f θ θ π θ π= − ≤ ≤para
Ing. Mario R. Modesti
10. 13
10.25) Determinar la serie de Fourier de :
− < <= − < ≤ − ≤ <
1 1 t 1
f(t) 2 t 10
1 t 2
Ing. Mario R. Modesti
10. 14
Referencias :
Señales y sistemaslan V. Oppenheim - Alan S.WillskyPrentice Hall
Mathematica 3.0MatLab 5.0GrapMath 1.30C