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Integrantes: Daniela Hernandez Jennely Rojas
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TOMO 4.
ECUACIONES DIFERENCIALES.
DEFLEXION DE
VIGAS.AUTORES:DANIELA
HERNANDEZ.JENNELY ROJAS.
CONSTRUCCION CIVIL.
Ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o Más funciones
desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes
CONSTRUCCION CIVIL.
respecto de las que se deriva.
Clasificación de las ecuaciones
diferenciales.
Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.
4.1 Clasificación por Tipo:
Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Ejemplo:
Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)
Ejemplo:
En estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes,
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contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.
4.2. Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:
Por ejemplo:
a), esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que está definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.
b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3
c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.
4.3. Clasificación según la Linealidad:
Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:
En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:
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La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., an
dependen solo de la variable x.
Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:
a) y''+xy'-3y=e2x , b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x
Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:
a) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente
de la variable dependiente y'' también depende de y.
b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y
c) y'' + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.
D) (y''')3 + xy'' - 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1.
CONSTRUCCION CIVIL.
Aplicaciones de ecuaciones
Diferenciales en INGENIERÍA CIVIL.
Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones
se describen procesos reales aproximados.
Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es:
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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES
DE ORDEN SUPERIOR.
Una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden es una ecuación diferencial
ordinaria donde intervienen derivadas de
primer orden respecto a una variable
independiente. Estas ecuaciones, junto
con su condición inicial, se pueden
encontrar expresadas en forma explícita.
O EN SU FORMA IMPLICITA:
CONSTRUCCION CIVIL.
La deflexión de vigas.
Considere una viga horizontal
AB según la figura. Se supone
que la viga es uniforme en su
sección transversal y de
material homogéneo. El eje de
simetría se encuentra en el
plano medio
indica por la
zona
sombread
Cuando está sometida a fuerzas, las cuales
suponemos que están en un plano que contiene
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el eje de simetría, la viga, debido a su
elasticidad, puede distorsionarse en su forma
como se muestra en la
siguiente figura.
CONSTRUCCION CIVIL.
CONSTRUCCION CIVIL.
CONSTRUCCION CIVIL.
FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES.
Una viga o una
barra delgada son
sólidos homogéneos
e isótropos cuya
longitud es grande
comparada con las
dimensiones de su
sección trasversal.
Cuando una viga
flexiona debido a las
fuerzas exteriores
que se aplican,
existen algunas
partes de la viga que
se acortan y hay
otras zonas que se
alargan. Pero hay
una línea,
denominada eje
neutro, que no se
acorta ni se alarga.
Este eje se
encuentra en el
centro de gravedad
de la sección
trasversal.
Se usará una barra
empotrada de un
determinado
material, de longitud
CONSTRUCCION CIVIL.
L, de anchura a y de
espesor b. Se fijará
uno de sus extremos
y se aplicará una
fuerza en su
extremo libre.
Mediremos el
desplazamiento del
extremo libre y (L) o
flecha en función de
la fuerza aplicada F,
comprobando su
relación de
proporcionalidad,
mientras que la
flexión de la barra
sea pequeña.
CONSTRUCCION CIVIL.
PASA TIEMPOS.
C A L C U L OOE T AS E NOI CA U CE DJ N UME ROS F F AI N F I N I T OZ I VL A A H P UQB CGIA GI V WA U I Z U RMK S A V RU C F R EE L A S T I C I DA D
1. Calculo.2. Viga.3. Derivada.4. Números.5. Ecuaciones.6. Infinito.7. Figura.8. Elasticidad.
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9. Curvas.
Estas fuerzas pueden ser debidas al
peso de la viga, a cargas aplicadas
externamente, o a una combinación de
ambas. El eje de simetría distorsionado
resultante, situado en el plano medio
distorsionado de la segunda figura, se
llama la curva elástica. La determinación
de esta curva es de importancia en la
teoría de elasticidad.
CONSTRUCCION CIVIL.
Una viga en la cual el extremo A está
rígidamente fijo, mientras que el extremo B está
libre, para moverse.
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La viga está apoyada en los dos extremos A y B.
Hay más formas y más condiciones para la deflexión
que serán aplicadas a cada tipo de problema.
Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa.
Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.
Carga
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variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella. Carga
puntual o
concentrada. Considere la viga
horizontal OB de la
figura siguiente.
Colocando el eje de
simetría (línea
punteada) en el eje X
tomado como positivo a
la derecha y con origen
en 0. Escoja el eje Y
como positivo hacia
abajo.
CONSTRUCCION CIVIL.
Debido a la acción
de las fuerzas externas
F1 y F2 (y si es
apreciable el peso de la
viga) el eje de simetría
se distorsiona en la
curva elástica que se
muestra punteada en la
figura de abajo donde
hemos tomado la viga
como fija en 0. El
desplazamiento y de la
curva elástica desde el
eje X se llama la
deflexión o flecha de la
viga en la posición x.
Así, si determinamos la
ecuación de la curva
elástica, se conocerá la
deflexión de la viga.
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