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En esta revista se presentan de una manera creativa los temas vistos sobre matrices durante el curso de Álgebra Lineal. Creada por: Daniel Aragón Ivo Asturias Manuel López José Shin
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Orígenes de la Matriz
¿Qué soy?
Soy un arreglo rectangular de números
llamados “entradas de la matriz”.
¿Cómo me denoto?
Me denoto con letras mayúsculas o con
letras minúsculas con doble subíndice, y
estoy encerrada entre corchetes.
¿Qué tamaño tengo?
Mi tamaño es de m x n. En donde m son
mis renglones, y n mis columnas.
Próximamente THE
MATRIZ, solo en cines!
A cada sistema lineal se le asocia una matriz A, llamada matriz de
coeficientes y un vector de términos constantes.
Diversión
¿Por dónde entra una matriz a
su casa?
Por la entrada principal!
Cuando una fila de la matriz no
es nula, a su primer elemento
diferente de cero se le llama la
entrada principal de la fila.
¿Eres una matriz
incomunicada?
Que esperas, compra ya el
nuevo iMatriz 3GS
Sólo en nuestras tiendas
iGauss!!
Método de Gauss-Jordan
Es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el
método de Gauss cuando se obtienen sus
soluciones mediante la reducción del sistema
dado a otro equivalente en el que
cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior.
El método de Gauss transforma la matriz de
coeficientes en una matriz triangular superior.
Estrategia para resolver
la matriz:
1. Ir a la columna no cero, extrema, izquierda.
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta
columna, intercambiarlo con otro que no lo
tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento
delantero, sumando múltiplos adecuados del
renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso
anterior con la submatriz restante. Repetir con
el resto de los renglones (en este punto la matriz
se encuentra en la forma de escalón)
5. Comenzando con el último renglón no cero,
avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener
un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste
sumando múltiplos correspondientes a los
renglones correspondientes
¿Cuáles son mis propiedades para lograr resolver
mis problemas? Se preguntó la matriz
Intercambio de renglones
Multiplicación de renglón por una constante
Sumar el múltiplo de un renglón a otro
renglón
Ahora con Excel Automatriz, puedes
trasladarte a cualquier cuaderno con mayor
facilidad!
Operaciones entre matrices
Estas son las operaciones entre matrices:
Suma entre matrices: Se realiza sumando cada componente de las matrices
correspondientes. Las matrices deben ser siempre del mismo tamaño.
Multiplicación de un escalar por una matriz: Se multiplica el escalar por cada componente
de la matriz:
Multiplicación entre matrices: Se debe cumplir la condición de que la cantidad de
columnas en la primera matriz debe ser igual al número de renglones de la segunda
matriz. El tamaño de la matriz resultante será el número de renglones de la primera matriz
y el número de columnas de la segunda matriz. Para multiplicar se observan las
componentes de la matriz resultante. Entonces para se realiza el producto punto entre
el primer renglón de la matriz 1 y la primera columna de la matriz 1 y así sucesivamente.
Propiedades de la suma entre matrices:
Entrevista con una matriz cuadrada El día de hoy tuvimos a un invitado muy especial, que fue la matriz cuadrada a quién le realizamos varias preguntas:
Buenos días matriz cuadrada ¿Sabe por qué le pusieron ese nombre tan particular? Buenos días, sí conozco la razón y es porque tengo la forma n x n, en donde la cantidad de renglones es igual a la de columnas. Aquí tengo algunas fotos de mis parientes para que tengan una idea:
Tenemos información que ustedes fueron las primeras matrices en llegar a nuestro mundo, y rápidamente se han reproducido en nuevas matrices ¿nos podría contar cuales son las características de la nueva generación? Sí es cierto todo lo que se ha contado, cada matriz nueva tiene sus propias características pero siempre se les reconoce también como matrices cuadradas: Matrices diagonales: Las componentes de la diagonal ( ) no son necesariamente cero, pero si deben ser todas cero.
Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
Matrices escalares: son iguales y todas las deben ser cero. Cuando es
igual a 1 la matriz recibe el nombre de matriz identidad. Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
(Identidad)
Matrices simétricas: La matriz original es igual a su matriz transpuesta. Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
Matrices antisimétricas: La matriz original negativa es igual a su matriz
transpuesta (La diagonal en estas matrices siempre es cero). Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
Triángulo superior: Todas las entradas (donde ) son ceros.
Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
Triángulo inferior: Todas las entradas (donde ) son ceros.
Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
El único tipo de matriz que no necesariamente debe ser cuadradas son las: Matrices transpuestas: se obtiene al transformar los renglones de la matriz
original en las columnas de la nueva matriz, se denota así . Fotos cortesía de la matriz cuadrada:
Además de toda su familia de matrices, las hemos visto reuniéndose muchas veces con una matriz misteriosa ¿nos podría contar sobre ella? Jajaja, ya sé de quién me están hablando. Les presento a la matriz cero, que es el nuevo amigo de todas las matrices. Resultó bastante raro el verlo la primera vez, ya que todas sus componentes eran cero, pero es una matriz bastante amigable. Aquí hay algunas fotos de él y su familia:
Existen gran cantidad de operaciones que se pueden realizar entre matrices cuadradas, pero ahora acaba de surgir la potencia de matrices ¿podría hablarnos un poco acerca de esta operación? Bueno la potencia de matrices es una multiplicación y consiste en multiplicar la matriz por la misma matriz cuantas veces indique el exponente. Si se recuerdan de las propiedades, para multiplicar matrices el número de columnas de primera matriz debe ser igual al número de renglones de la misma matriz. Las únicas matrices que cumplen con esto, para poderse multiplicar ellas mismas, son las cuadradas. Aquí hay una foto de una operación exitosa:
Por último ¿Qué piensa sobre el trámite que deben hacer todas las matrices cuadradas para adquirir su número de identificación? Espero que el trámite sea rápido y fácil, ya que todas las matrices cuadradas deben cambiar su número de traza, por su determinante. Antes la traza se conseguía rápidamente, ya que era solamente la suma de los componentes de la diagonal de una matriz cuadrada. Pero ahora para la determinante se utiliza un método más complejo que el Presidente aún no ha explicado. Se espera que con la determinante cada matriz tenga su propio número y que no hayan dos matrices con un mismo número que los identifique.
Fotos de trazas iguales con distintas matrices:
Bueno eso fue toda la entrevista matriz cuadrada, le agradecemos por su
tiempo, todas sus respuestas y sus fotos, y que tenga un buen día.
Gracias a ustedes por dejarme contarles un poco de mi historia, espero que esta
información les sirva y que al encontrarse con una matriz se acuerden de mí y la
puedan clasificar.
¿Tienes muchos números en la cabeza y no sabes
cómo ordenarlos?
¡Entonces consigue una matriz y consigue ordenar
todos esos números, que tantos problemas te dan!
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segunda matriz a mitad de precio
Matrices en acción
A continuación les presentamos las propiedades de las matrices transpuestas:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Chiste
¿Cuándo está
transpuesta una matriz?
Luego de haber tomado
mucho
Consejos para el cálculo eficiente de matrices
Las matrices, al igual que los vectores se pueden combinar linealmente, de esta manera: . Por lo que se puede determinar la independencia lineal, espacio generado y el conjunto generador de un conjunto de matrices.
Independencia lineal: Se dice que es independiente (l*i) si
existen escalares , tal que . Todos los
escalares deben ser cero. Si un escalar no es igual a cero entonces existe una dependencia (l*d). Ejemplo:
Dada la matriz
y
determinar si A y B son
linealmente independientes (l*i) ó dependientes (l*d).
El primer paso es establecer la combinación lineal de las matrices e
igualarlas a cero, de la siguiente manera:
Ahora se desarrollarán las multiplicaciones y las sumas:
Ya se tiene la nueva matriz y se resolverá para y
y son linealmente independientes (l*i), ya que al despejar para y
ambos dan como resultado cero.
El conjunto generador en vectores se define como; un conjunto
Rn, el cual es el conjunto de todas las combinaciones lineales de
v1, v2 …. Vn. Esta misma definición se aplica a matrices.
De esta forma un espacio generado se puede definir por un conjunto
de matrices como el conjunto de todas las combinaciones lineales de
la matrices.
Matrices
Conjunto generador de
matrices
Definiciones
Tip de resolución
Una matriz habla con su madre y le dice, ¨Mama, por mi padre no me deja hacer nada de lo que yo
quiero¨ y la madre muy tristemente le responde a su hijo, ¨Simplemente por tu papa es una
matriz cuadrada¨
Diversión 1. Se escribe la combinación lineal de matrices.
2. Con la combinación lineal de matrices, se procede a
elaborar una matriz aumentada. Donde cada matriz forma
una columna.
3. Se emplea como vector de términos constantes las letras a,
b, c, ….n. Dependiendo el número de combinaciones lineales
que se tenga.
4. Se resuelve la matriz, y si a,b, c…n aparecen de alguna
manera combinadas en la expresión de la combinación lineal,
entonces; es un conjunto generador.
El conjunto generador en vectores se define como; un
conjunto Rn, el cual es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de v1,v2...vn. Esta misma definición
se aplica a las matrices.
De esta forma un espacio generado se puede definir por un
conjunto de matrices como el conjunto de todas las
combinaciones lineales de las matrices.
Igualdad de matrices
A=B
Una matriz es igual a otra si y solo si, estas tiene el mismo
tamaño y la misma entrada correspondiente.
Por ejemplo:
Determinante de una Matriz Se refiere a una forma multilineal alternada de un
cuerpo. Este concepto se introdujo para estudiar el
número de soluciones de los sistemas de ecuaciones
lineales.
El determinante esta solamente definido para matrices
cuadradas.
Notación de determinante
Una determinante de una matriz A se denota como:
|A| o det A
Calculo de determinantes
Para matrices de 1 x 1 y
2 x2
Si A = [a] , una matriz de 1 x 1 entonces su determinante está dado por:
|A| = a Si A es una matriz de 2 x 2, donde
A= entonces su determinante será: |A| = = a11a22 – a21a12
Este método emplea la diferencia entre el producto de las entradas de la diagonal principal y el producto de las entradas de la otra diagonal.
Método de las diagonales
Este método solamente es valido para matrices de 3 x 3. El cual es análogo al método para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2. Este método consiste en copiar las primeras dos columnas de A a la derecha de la matriz y tomar los productos de los elementos en las 6 diagonales. Donde las diagonales que descienden tienen signo positivo y los que ascienden tiene signo negativo. Tal como se observa en la imagen.
Calculo determinante matriz 3 x 3
Expansión de
Laplace
La expansión de Laplace se puede emplear en una
matriz de n x n donde n > 2. Este método consiste en
la expansión por cofactores a lo largo de un renglón o
una columna.
1. Se define el cofactor (i, j) de A como
Cij = (–1)i+j detAij, donde Aij es la
submatriz de A obtenida mediante
la eliminación del renglón i y la
columna j.
El determinante esta dado por:
|A| = det A =
(expansión por cofactores a lo largo
del i-ésimo renglón)
|A| = det A =
(expansión por cofactores a lo largo
de la j-ésima columna).
2.
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llévate la segunda matriz completamente
gratis. Aplican restricciones.
Teorema para calcular determinantes
Es importante observar si conviene
emplear este método, ya que resulta
más fácil si la matriz tiene un
renglón o columna con varios ceros.
Si se tiene una matriz triangular; su determinante se
calcula por medio del producto de las entradas
sobre su diagonal principal.
Por lo que se obtiene:
Si A = [aij] es de n x n
entonces
det A = a11a22a33…ann.
3. Había una vez una matriz
escalonada que quería bajar de peso. Entonces dejo de comer
tanto que llegó a ser una matriz escalonada reducida.
Diversión
Regla de Cramer
Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada. a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0. b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A, entonces det B = – det A. c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos, entonces det A = 0. d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un escalar k, entonces det B = k det A. e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de C sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det C = det A + det B. f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna), entonces det B = det A.
Teoremas relacionados con determinantes
Si A y B son matrices de n x n, entonces det(AB) = (det A)(det B). Para cualquier matriz cuadrada, det A = det AT Si A es una matriz de n x n, entonces det kA = kn det A Una matriz es invertible si det A ≠ 0
Esta regla proporciona una fórmula para encontrar la solución de ciertos sistemas de n ecuaciones lineales con
n variables. Esta formula se resuelve, completamente, en términos de determinantes.
Notación de determinante Ejemplo
a Para una matriz A de n x n y un vector b en IRn,
denotemos como Ai(b) la matriz obtenida al reemplazar
la i-ésima columna de A por b.
Es importante observar si conviene
emplear este método, ya que resulta
más fácil si la matriz tiene un
renglón o columna con varios ceros.
Señorita matriz
2012
Hecha por:
Daniel Aragón
Ivo Asturias
Manuel López
José Shin