Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Número 43 (octubre – diciembre 2011)

ISSN – 1698-277X

ÍNDICE

Artículos, Notas y Lecciones de Preparación olímpica 43

Nota necrológica: Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)

Moisés Toledo Julián: El método de integración de Federico Villarreal.

Problemas para los más jóvenes 43

Dos problemas (PMJ43-1 y PMJ43-2) propuestos por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.

Tres problemas (PMJ43-3,PMJ43-4 y PMJ43-5) enviados por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.

Recibidas soluciones a los problemas PJ42-1 y PJ 42-3, por Luis M. Maraví Zavaleta, Huamachuco, Perú, que presentamos.

Problemas de Nivel Medio y de Olimpiadas 43

Problemas propuestos en la Competición Matemática Mediterránea 2011.

Problemas 43

Problemas propuestos 211 – 215

Problemas resueltos

Problema 21. El Prof. Bruno Salgueiro Fanego nos indica varias fuentes bibliográficas donde ha aparecido este problema, con anterioridad a la REOIM. Del exhaustivo material aportado por Salgueiro se desprende que el origen más probable del problema es la 48ª Olimpiada de Polonia

(1997), donde fue propuesto en su última ronda. El Editor agradece el esfuerzo realizado de rastreo del origen del problema.

Problema 201. A su debido tiempo se recibieron sendas soluciones a este problema, por Dones Colmenárez, Barquisimeto, Venezuela, y Roberto Bosch Cabrera, entonces en La Habana, Cuba, que no fueron mencionadas en el vol. 42, por lo que el Editor presenta sus excusas a ambos resolventes.

Recibida una solución del problema 204 por Robinson Alexander Higuita Díaz, Antioquia, Colombia.

Problema 206

Recibidas soluciones de Kee-Wai Lau, HongKong, China; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España; Bruno Salgueiro Fanego, Viveiro, España; y el proponente.

Presentamos la solución de Peiró.

Problema 207

Recibidas soluciones de Francisco Javier García Capitán, Priego de Córdoba, España; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Cristóbal Sánchez-Rubio García, Benicassim, España; y el proponente.

Presentamos la solución de García Capitán.

Problema 208

Recibidas soluciones de: Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel Darío Góngora García, Lima, Perú; José Hernández Santiago, Oaxaca, México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Paolo Perfetti, Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero, España; y el proponente.

Presentamos la solución de Begué.

Problema 209

Recibidas soluciones de: Floro Damián Aranda Ballesteros, Córdoba, España; Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel Darío Góngora García, Lima, Perú; Kee-Wai Lau, Hong Kong, China; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España;

Paolo Perfetti, Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Henry Alexander Ramírez Bernal, Bogotá, Colombia; Joaquín Rivero Rodríguez, Zalamea de la Serena, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero, España; y los proponentes.

Presentamos la solución de Begué.

Problema 210

Recibidas soluciones de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; y del proponente.

Presentamos la solución de Lasaosa.

Divertimentos Matemáticos 43

Covadonga Rodríguez-Moldes Rey: Liberando incógnitas.

F. Bellot: Capturado en Internet

Comentario de páginas web y Noticias de Congresos 43

XV JAEM en Gijón (España)

Congreso de la SBPMef en Bastogne (Bélgica)

Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of Vue en Aveiro (Portugal)

XXVI Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa Rica.

Cartas al editor 43

Sobre la prueba de Pascal : Respuesta del Prof. Milton Donaire Peña al comentario del Prof. Lucas Martín Andisco, publicada en el vol. 42.

Sobre Historia de las Matemática en la Península Ibérica : carta de Raúl A. Simón Elexpuru, Chile.

Convocatorias OEI

Curso iberoamericano de formación de profesores de secundaria en el área de matemáticas Ñandutí

17 de noviembre de 2011 El curso lo convoca la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) en el seno de su Centro de Altos Estudios Universitarios con la participación de aquellos países Iberoamericanos que decidan incorporarse al proyecto. El proyecto se enmarca en la colaboración que la OEI y la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo AECID desarrollan con el fin de apoyar la construcción del Espacio Iberoamericano del Conocimiento a través del fomento de vocaciones hacia la ciencia y al avance del Programa Metas Educativas 2021. Además, presta su colaboración el Ministerio de Educación de Paraguay y la Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa de la Junta de Andalucía (España). Empezamos en marzo 2012

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Curso Básico sobre TIC y Educación

24 de noviembre de 2011 Convocatoria de matrícula y becas abierta A los cursos inicial y de especialización que la OEI tiene puestos en marcha se une a partir de marzo de 2012 el Curso Básico. El curso se propone para docentes en ejercicio y estudiantes de la carrera docente. El objetivo del Curso es proporcionar a los participantes de las herramientas básicas que las TIC proporciona a la educación. Al tratarse de un sector de gran dinamismo se hace un especial énfasis en la capacidad de seguir aprendiendo y conociendo los avances y propuestas tecnológicas para la educación Este curso se hace con el apoyo de la Fundación Telefónica.

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VI Curso sobre Educación para la Cultura Científica

15 de noviembre de 2011 Próxima edición marzo 2012. Becas disponibles En el marco del Proyecto Iberoamericano de Divulgación Científica de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura con la coordinación académica de la Universidad de Oviedo y realizado con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (AECID) se convocan a profesores/as (con alumnos/as con edades comprendidas entre los 14 y 18 años) a

participar en esta nueva edición del curso.

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Congreso Iberoamericano de las Lenguas en la Educación

23 de noviembre de 2011 Salamanca, España, 5 al 7 de septiembre de 2012 La Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) en el marco de su Programa para el fortalecimiento de las Lenguas de Iberoamérica en la Educación convoca al Congreso Iberoamericano de las Lenguas en la Educación que se celebrará en la ciudad de Salamanca del 5 al 7 de septiembre de 2012. Se encuentra abierta la inscripción y la entrega de propuestas de comunicaciones y experiencias Incluye: Leer para aprender matemática

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REOIM 43

Nota necrológica, por Francisco Bellot

Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)

Estando en preparación este número 43 de la REOIM nos llega, a través del correo electrónico, la triste noticia del fallecimiento, en su querida La Habana, del Prof. Luis Davidson, pocos días después de habérsele rendido allí un merecido homenaje con motivo de su nonagésimo cumpleaños. Agradecemos al Prof. Mario Díaz su amabilidad para enviarnos el texto del Prof. Carlos Sánchez Fernández, de la Universidad de La Habana, leído durante dicho homenaje, y del que nos permitimos tomar algunos datos biográficos del Prof. Davidson.

Luis Davidson San Juan nació en La Habana el 10 de septiembre de 1921. En la Universidad de La Habana cursó la carrera de Ciencias Físico-Matemáticas, doctorándose en 1944 con su tesis Desarrollos en serie de las funciones analíticas. De 1945 a 1961 impartió sus clases en el Instituto de Segunda Enseñanza de Matanzas. En 1950 formó parte de la delegación cubana en el ICM de Harvard, y el curso 1958 – 59 realizó un intercambio con una High School de Nuevo México.

En 1960 es nombrado Inspector Nacional de Matemáticas y en 1966 Coordinador Nacional de Planeamiento e Inspección Técnica. Desde 1963 organizó los concursos de Matemáticas para estudiantes de Bachillerato en todo el país y participó desde 1971 en la Olimpiada Internacional de Matemáticas como Jefe de la Delegación de Cuba, llegando en 1988 a ser Vicepresidente del IMO Site Committee ( y a presidir sus reuniones en 1988, por ausencia del Presidente).

La O.E.I. le concedió en 199 un Diploma como Maestro Fundador de los Concursos de Matemáticas en Iberoamérica.

La primera vez que coincidí en persona con Luis Davidson fue, si la memoria no me falla, en Australia en 1988. Conocía, a través del Prof. Raimundo Reguera, algunas de sus publicaciones (Los concursos de Matemática, con Félix Recio). Un año más tarde volví a verle en el Simposio previo a la Olimpiada Iberoamericana. El mes de Abril, en La Habana,

suele ser caliente. Pero Davidson siempre parecía inmune al calor ambiental, con su impecable corbata y su traje, perfectamente planchado. Además de su aspecto, impresionaba la precisión de su lenguaje, la forma de transmitir sus conocimientos, propia de un verdadero maestro. Tras aquellos primeros encuentros, coincidimos a lo largo de los años siguientes en varias reuniones y congresos : en 1990, en Waterloo (Canadá), en la 1ª Conferencia de la Federación Mundial de Competiciones Matemáticas Nacionales (WFNMC); en 1992, en el ICME de Quebec, donde Davidson recibió el Premio Paul Erdös de la FNMC. En la siguiente foto se nos ve al final de una de las sesiones en Quebec.

Y me considero muy afortunado porque, a lo largo de mi carrera, he sido considerado amigo por muchos matemáticos ilustres. Entre ellos está, por descontado, Luis Davidson, cuya tradicional felicitación de Año Nuevo ya no podré recibir más…

En 2009, Davidson me hizo llegar un ejemplar dedicado de su último libro, Ecuaciones y Matemáticos, Ed. Pueblo y Educación, 2008. Lo conservo con singular cariño en mi biblioteca. También tengo el primer volumen de una obra colectiva (Davidson – Reguera – Frontela – Castro) que considero tuvo una enorme influencia en la educación

matemática de los estudiantes cubanos: Problemas de Matemática Elemental, Ed. Pueblo y Educación, 1987. El libro fue un regalo durante la IMO de Australia de 1988 del otro pionero, junto a Davidson, de los concursos de Matemáticas en Cuba, Prof. Raimundo Reguera, fallecido hace varios años.

Sirvan estas breves, pero sinceras, líneas, de homenaje y recuerdo a un gran matemático, un excelente profesor y una mejor persona.

Luis, sit tibi terra levis.

Valladolid, noviembre de 2011

Francisco Bellot Rosado

HISTORIA DE LA MATEMÁTICAEN EL PERÚ

ANÁLISIS DE OBRAS

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DEFEDERICO VILLARREAL

Autor: Moisés Samuel Toledo Julián(el numeros@hotmail.com)

Resumen

Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller[2] ante la Facultad de Ciencias dela Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima–Perú), realizó una observaciónnotable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema,este será tratado en tres secciones, cada uno de los cuales indicará una subparte de lamisma, los puntos a tratar serán:

1. Sobre expresiones susceptibles de generalización.

2. Método de traspasos.

3. Aplicación del método de traspasos.

Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), elpresente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el procesode integración.

2

1. Sobre expresiones susceptibles de generalización

Es bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n) y descompo-sición (−, ÷, n

√) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertirel orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lomismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a+ b)− c = (a− c)+ b. Perosi a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por cy agregar b, es decir: (a + b)c 6= ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismoresultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:

“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas delmismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puedecambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones sonimposibles no es permitida su permutación”

— Federico Villarreal

El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptiblesde una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración porpartes como uno suceptible de generalización.

1.1. Recordando el método de integración por partes

Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración porpartes:

1ro por la regla de la derivada de un producto tenemos

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

2do integrando a ambos lados de la igualdad

⇒∫(f(x) · g(x))′∂x =

∫f ′ · g(x)∂x+

∫f(x) · g′(x)∂x

3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando ade-cuadamente

⇒∫f(x) · g′(x)∂x = f(x) · g(x)−

∫f ′(x) · g(x)∂x

A partir de los calculos anteriores y del hecho que una integral y =∫f(x)∂x sienpre es

posible escribirla como y =∫A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la

combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integraciónpor partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto quey =

∫f(x)∂x escrita en términos de A,B tomará una forma mas simple o complicada

segun sean A y B escogidos en forma adecuada.Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en

dos casos:

• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones ra-cionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebrai-camente o por logaritmos o por arco tangentes.

3

• Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.

Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes,pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien loson los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarselesintegración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integraciónpor factores.

Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia suestudio sobre la integración por traspasos, pasamos a describir el método en si.

2. Método de traspasos

Primero haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.

2.1. Observaciones:

1. El método de integración inmediata tiene sus reglas fijas. La inversa de la derivación:∫x3∂x = x4

4 + cte , o tambien∫ √

x∂x = 23

√x3 + cte (cte: constante real)

2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende delos casos que se presenten:

a) Para convertir en algebraica una expresión trascendente∫ln(x+ 1) cosx∂x

b) Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc(esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)

c) Para hacer racional a una función inconmensurable∫

1√x2+1

∂x

3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:

a) Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales∫

∂xx2−6x+9

b) Si el denominador tiene raíces distintas∫

∂xx2+3x+10

c) Si el denominador tiene raíces imaginarias∫

∂xx2+1

4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo aello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogíaa lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando comofactor constante ∂x tenemos:

y =

∫f(x)∂x

= xf(x)−∫f ′(x)x∂x

Pero ∫f ′(x)x∂x =

x2

2f ′(x)− 1

2

∫f ′′(x)x2∂x

Así

y = xf(x)− x2

2!f ′(x) +

1

2!

∫f ′′(x)x2∂x

4

Procediendo análogamente para la ultima integral:

y = xf(x)− x2

2!f ′(x) +

x3

3!f ′′(x)− x4

4!f ′′′(x) + · · · (1)

Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no suponeque precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo loparticulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.Federico Villarreal.

2.2. Principio de integración por traspasos

Dada la expresión y =∫f(x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y =

∫A · dB

y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:

1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.

2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x eintegrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.

3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir

A ·B −A′ ·∫B∂x+A′′ ·

∫ ∫B∂x−A′′′ ·

∫ ∫ ∫B∂x · · ·

Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponen-te, cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tantoen este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va dis-minuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integraciónes constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en estecaso la integral (como se sabe) es un logaritmo.

Ejemplo 1. Sea la función x4, cuya integral puede ser expresada en formas distintas ypor tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:

z =

∫x4∂x =

∫x2 × x2∂x =

∫x2 × ∂(

∫x2)∂x =

∫x2 × ∂(x

3

3) (2)

aplicando el método para A = x2 y B = x3

3 tenemos en cada caso:

A = x2 B =x3

3dA

dx= 2x

∫B∂x =

x4

12

d2A

dx2= 2

∫(

∫B∂x)∂x =

x5

60

d3A

dx3= 0

5

note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para Afue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (3) será:

z =x5

3− x5

6+x5

30

=x5

5

Si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permitehacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo(esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. FedericoVillarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguientesección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituyeun caso trivial).

Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B seráel factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizanen cada paso (o proceso de iteración) a considerar.

2.3. Variantes del método de traspasos

Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así co-mo también es posible considerar un proceso mixto de ambos, pero por el momento soloconsideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para la próxima sección.

2.3.1. Traspaso del factor diferencial al factor integral:

En este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función zexpresada como z =

∫AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:

“se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constanteo variable), después se integra B (la expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, eneste caso a A1, y se hace el traspaso a B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultantees B2), etc.” En resumen:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados

A⇒ B

Segundo paso: T1 será el término a traspasar

dA = T1 ·A1 ⇒∫B · T1∂x = B1

Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar

dA1 = T2 ·A2 ⇒∫B1 · T2∂x = B2

etc.

Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del procesode integración

z =

∫AdB

=∑±Ai ·Bi; i = 0, 1, . . . ,m, (m: no de pasos y A0 = A,B0 = B)

6

por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar todala variable (pero de modo que se pueda integrar B) así la siguiente diferencial será cero ypor lo tanto se acorta el cálculo.

Ejemplo 2. Sea la función z =∫x4∂x damos la forma que deseamos z =

∫x2 · ∂(x3

3 )luego aplicando la regla de formación:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B

A⇒ B

Segundo paso: T1 será el término a traspasar

dA = x · 2 = T1 ·A1 ⇒∫x3

3· x∂x =

x5

15= B1

Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar, pero notemos que

dA1 = ∂(2) = 0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.

Ultimo paso: Colocamos los términos A0, A1, B0, B1 para obtener el resultado final delproceso de integración:

z =

∫x4∂x

= A0 ·B0 −A1 ·B1

= x2 · x3

3− 2 · x

5

15

=x5

5

2.3.2. Traspaso del factor integral al factor diferencial:

En este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la funciónz expresada como z =

∫AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:

“se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (laexpresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en este caso a A1 (expresión que resultade multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que sedesea de B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante es B2), etc.” En resumen:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados

A⇒ B

Segundo paso: donde B = T1 ·B∗1 y T1 es el término traspasado a dA

dA · T1 = A1 ⇒∫B∗1∂x = B1

Tercer paso: donde B1 = T2 ·B∗2 y T2 es el término traspasado a dA1

dA1 · T2 = A2 ⇒∫B∗2∂x = B2

etc.

7

Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del procesode integración

z =

∫AdB

=∑±Ai ·Bi; i = 0, 1, . . . ,m, (m: no de pasos y A0 = A,B0 = B)

Ejemplo 3. Sea la función z =∫x4dx damos la forma que deseamos z =

∫x2 · d(x3

3 )luego aplicando la nueva regla de formación:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B

A⇒ B

Segundo paso: donde B = T1 ·B∗1 = x · x2

3 y T1 es el término traspasado a dA

dA · T1 = 2x · x = 2x2 ⇒∫B∗1dx =

∫x2

3=x3

32= B1

Tercer paso: donde B1 = T2 ·B∗2 = x · x2

32y T2 = x es el término traspasado a dA1.

dA1 · T2 = 22x · x = 22x2 = A2 ⇒∫B∗2dx =

∫x2

32=x3

33= B2

siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso)

Ultimo paso: Colocamos los terminos Ai, Bi (aquí A0 = A,B0 = B), para obtener elresultado final del proceso de integración:

z =

∫AdB

= A0 ·B0 −A1 ·B1 +A2 ·B2 · · ·

=x5

3− 2x5

32+

22x5

33− 23x5

34· · ·

Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serieinfinita, para nuestro caso dicha serie converge a x5

5 , así suponiendo x = 1 se tiene:

1

5=

1

3− 2

32+

22

33− 23

34· · ·

en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es −23 ) tendremos:

13

1 + 23

=1

5

En la siguiente sección presentamos una mistura de los métodos anteriores y finalizamoscon una aplicación de tal proceso (misturado), así también se da una observación sobreexponentes negativos.

8

3. Aplicación del método de traspasos

En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que unamistura de los casos señalados en la anterior sección.

3.1. Generalidad de los traspasos

Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a Ao bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos endos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquierade estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficientediferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de laintegración por partes.

Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:

z =

∫x4∂x =

∫x2 × ∂(x

3

3)

aplicando el método para A = x2 y B = x3

3 tenemos en cada caso:

A0 = x2 B0 =x3

3

derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0

A1 = 2x2 B1 =x3

9

derivamos A1 y traspasamos el factor integral x de B1 e intragamos lo sobrante de B1

A2 = 4x2 B2 =x3

27

derivamos A2 y traspasamos el factor integral x de B2 e intragamos lo sobrante de B2

A3 = 8x2 B3 =x3

81

derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno

A4 = 16x B4 =x4

324

derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno

A5 = 16 B5 =x5

1620

dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que

z =x5

3− 2x5

9+

4x5

27− 8x5

81+

4x5

81− 4x5

405

z =x5

5

9

3.2. Observación sobre exponentes negativos

Si los exponentes son negativos la diferenciación va aumentando el exponente en suvalor absoluto y la integración lo va disminuyendo hasta ser infinita (así pues la integrales logarítmica), sin embargo en virtud de la teoría de traspasos se puede hacer que ladiferenciación llegue a anularse y por lo mismo se llegue a la integral exacta.

Ejemplo 5. Integraremos la función x4 · lnx la cual puesta en forma adecuada:

z =

∫lnx(.

x5

5)

identificando términos

A0 = lnx B0 =x5

5

derivamos A0 y siendo x en el numerador con exponente negativo lo traspasamos a B0 eintegramos, quedando

A1 = 1 B1 =x5

25

dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que

z = lnx · x5

5− x5

25

Ejemplo 6. Integraremos la función x4 pero en esta oportunidad procuramos expresarel término integral con exponente negativo:

z =

∫x6d(−x−1)

identificando términos

A0 = x6 B0 =−1x

derivamos A0 e integramos B0 sin efectuar traspaso alguno

A1 = 6x5 B1 = − lnx

derivamos A1 y traspasamos el factor diferencial x4 a B1 e integramos

A2 = 30 B2 =

∫−x4 · lnx =

−x5 · lnx5

+x5

25

dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que

z = −x5 + 6x5 · lnx− 6x5 · lnx+6x5

5

z =x5

5

10

3.3. Recursividad para decimales del número π

Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cualestendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:

3.3.1. Observación sobre los arcotangentes

Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:

∂x =∂u

1 + u2

el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues

x =

∫1

1 + u2· ∂u

identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores

A0 =1

1 + u2B0 = u

tomando derivada a los Ai, traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta elsiguiente cálculo

A1 = −2 ·1

(1 + u2)2B1 =

u3

1 · 3

A2 = 2 · 4 · 1

(1 + u2)3B2 =

u5

1 · 3 · 5

A3 = −2 · 4 · 6 ·1

(1 + u2)4B3 =

u7

1 · 3 · 5 · 7

A4 = 2 · 4 · 6 · 8 · 1

(1 + u2)5B4 =

u9

1 · 3 · 5 · 7 · 9

continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva

An = (−1)n ·n∏

i=1

(2i) · 1

(1 + u2)n+1Bn =

u2n+1

n∏i=1

(2i+ 1)

Luego multiplicamos los términos Ai, Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecidoen el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:

x =u

1 + u2+

∞∑j=1

[j∏

i=1

(2i

2i+ 1

)· u2j+1

(1 + u2)j+1

](3)

tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a

x =u

1 + u2

1 +∞∑j=1

[j∏

i=1

(2i

2i+ 1

)·(

u2

1 + u2

)j] (4)

11

examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criteriode la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede

r =

2·4·6···(2n)3·5·7···(2n+1)

(u2

1+u2

)n2·4···2(n−1)3·5···(2n−1)

(u2

1+u2

)n−1=

2n

2n+ 1· u2

1 + u2

=2

2 + 1n

· 1

1 + 1u2

tomamos límite para n =∞, resulta

r =1

1 + 1u2

para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresiónobtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valorde u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = 1

z y reemplazandoen (4) tendremos:

x =z

z2 + 1

(1 +

2

3

1

z2 + 1+

2 · 43 · 5

· 1

(z2 + 1)2+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

3 · 5 · · · (2n+ 1)· 1

(z2 + 1)n+ · · ·

)(5)

luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente paravalores grandes de z.

3.3.2. Aproximando decimales de π

Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta

Arco de 45◦ =1

2

(1 +

2

2 · 3+

2 · 422 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

23 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

2n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

)(6)

“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45◦, por lo que buscaremos otrosarcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmulatrigonométrica:

a+ b = 45◦

⇒ tan (a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a · tan b= 1

12

tomando tan a = 1/3 tendremos

13 + tan b

1− 13 · tan b

= 1

⇒ 1

3+ tan b = 1− 1

3· tan b

⇒ 4

3· tan b = 2

3

⇒ tan b =1

2

así tenemos que el arco de 45◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así

tanx+ tan y

1− tanx · tan y=

1

2

tomando tanx = 1/3 (notar que x = a pues tanx = tan a) tendremos

13 + tan y

1− 13 · tan y

=1

2

⇒ 1

3+ tan y =

1

2− 1

6· tan y

⇒ 7

6· tan y =

1

6

⇒ tan y =1

7

vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangentees 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados

x =3

10·{1 +

2

10 · 3+

2 · 4102 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

103 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

(10)n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

}y =

7

50·{1 +

2

50 · 3+

2 · 4502 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

503 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

(50)n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

}finalmente podemos expresar el arco de 45◦ como

Arco de 45◦ = 2x+ y

⇒ π = 8x+ 4y

⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·

Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el gradode precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presenteaproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplosen que tiene cabida la integración por traspasos.

13

Bibliografía

[1] La Obra del Doctor Federico Villarreal, Godofredo García Díaz. Revista de Ciencias,año XXVII, 1924 No3, 4,5,6. Lima.

[2] Fórmulas y Métodos que Deben Completarse en Matemáticas, Federico VillarrealVillarreal Tesis de Bachiller, 1879. Lima.

[3] Federico Villarreal Matemático e Ingeniero, Luis Katzuo Watanabe, Ediciones COPÉdepartamento de relaciones públicas PETROPERÚ, 2004. Lima.

[4] Revista de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNMSM,No 2, 1988. Lima.

[5] Unidad de Árchivo Histórico Domingo Ángulo UNMSM, Árchivos de la Facultad deCiencias 1875,1876,1877,1878,1879,1880,1881.

14

Problemas para los más Jóvenes 43

PMJ43-1

Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.

ABC es un triángulo rectángulo en B. H es el pie de la altura desde B. Las medianas que parten de A y B, relativas respectivamente a los lados BH y HC de los triángulos ABH y HBC, se cortan en el punto M.

Las bisectrices interiores de los ángulos BAH y HBC se cortan en el punto N. Si ,AMN ANHα β= = , determinar el ángulo BHN .

PMJ43-2

Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.

El triángulo ABC es rectángulo en B, y sea r el radio de su círculo inscrito. Las bisectrices interiores de los ángulos en A y en C cortan a sus lados opuestos en N y M, respectivamente. Calcular el área del triángulo BMN en función de r.

PMJ43-3

Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.

En la figura, P y Q son los respectivos puntos medios de los lados de un cuadrado.

Determinar el cociente entre el área de la región doblemente sombreada y el área del cuadrado.

PMJ43-4

Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.

Se trata de colocar – ante cada uno de los números de la secuencia siguiente – un signo de suma o de resta:

1 2 3 4 5 6 7 8 … 2006 2007 2008

Encontrar al menos 2008 maneras diferentes de colocar los signos de manera que el resultado sea 2008.

PMJ43-5

Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.

Se considera el menor n tal que 102008 divide a n!

Hallar la última cifra distinta de cero de n!.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA PJ42 – 3 (Vol. 42 de la REOIM)

Luis M. Maraví Zavaleta

Profesor

I.E. 80915 “Miguel Grau Seminario”, El Pallar, Huamachuco, región de La Libertad, Perú

El valor de c debe corresponder al de un número cuadrado perfecto de una cifra, ya que no es posible una cifra no entera. De esta manera, el análisis se reduce a cuatro casos:

(i) c = 0 En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando

, tenemos que resolver la ecuación , de donde =0 (raíz no aceptada para las condiciones del problema) o =10 (raíz aceptada). Por lo tanto, el primer valor de es 100.

(ii) c = 1

En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones análogas a las del primer caso, =12. Por lo tanto, el segundo valor de es 121.

(iii) c = 4 En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones análogas a las de los casos anteriores, =14. Por lo tanto, el tercer valor de es 144.

(iv) c = 9 En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones análogas a las de los casos anteriores, =16. Por lo tanto, el cuarto valor de es 169. De esta manera, los números de tres cifras que cumplen con la condición señalada en el problema son 100, 121, 144 y 169.

Problemas propuestos 211-215

Problema 211Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.Se da un triángulo ABC y la circunferencia exinscrita relativa al lado AC.

Se traza la recta que pasa por el vértice B y por el punto de tangencia, N, dedicha circunferencia con el lado AC. La recta BN vuelve a cortar en P a lacircunferencia exinscrita. Sean D y E los otros puntos de tangencia de dichacircunferencia con las rectas que contienen a los lados BC y AB, respectivamente.M es el punto medio de la cuerda ED. Hallar BPM en función de los elementosdel triángulo ABC.Problema 212Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España.Sea ABC un triángulo y H el pie de la altura desde A (H ∈ BC). DEFG

es el cuadrado inscrito en el triángulo, con el lado DG sobre BC, E en AB y Fen AC. Se consideran los puntos definidos a continuación:

J = AD ∩ HE; K = AG ∩ FH; I, L son las proyecciones ortogonales deJ,K, respectivamente, sobre el lado BC.Además, M = AD ∩ EF ; N = AG ∩ EF ; R = AG ∩ FL; y S = AD ∩ IE.Demostrar que:i) IJKL es un cuadrado cuyo lado se determinará.ii) Las rectas EI, FL y AH se cortan en un punto P tal que AH = HP.iii) Las rectas BJ,CK y AH se cortan en el punto medio P ∗ de AH.iv) Las rectas CN,BM y AH son concurrentes.v) Los triángulos AKJ,ARS y AGD son semejantes.Problema 213Propuesto por Gabriel Alexander Chicas Reyes, El Salvador.Sea {bn}n ≥ 0 la sucesión definida por b0 = 0, b1 = 1, y para todo n ≥ 2,

bn+1 =2b2n

bn−1 + bn.

Demostrar que esta sucesión es convergente.¿Qué se puede decir de su límite?Problema 214Propuesto por Pedro Pantoja, Brasil.Resolver en el conjunto Z la ecuación

3x+y−2 = 2(x3 + y3

)+ 3

(x2 + y2

)+ x+ y − 11.

Problema 215Propuesto por Francisco Javier García Capitán, Priego de Córdoba, España.Sean α, β, γ tres números complejos cuyo módulo es la unidad, y A, B, C los

puntos del plano de los que son afijos. Sean A′B′C ′ y A′′B′′C ′′ los triángulosórtico y tangencial de ABC. Demostrar que A′B′C ′ y A′′B′′C ′′ son homotéticosy que se cumple la relación

B′C ′

B′′C ′′= − αβγ

(α+ β) (β + γ) (γ + α).

1

Solución de Ricard Peiró i Estruch. IES “Abastos” València.

El área del triángulo ∆

ABC es:

2cbar

R4abcS cABC

−+== .

abc)cba(2

Rr1

c

−+= .

La proposición quedaría probada si c

2 Rr1

c1

ab

ba

≥

+ ⇔

⇔ abc

)cba(2abc

ba2

22 −+≥

+ ⇔

⇔ )cba(2c

ba 22

−+≥+ ⇔

⇔ 0bc2ac2c2ba 222 ≥−−++ ⇔ ⇔ 0)cb()ca( 22 ≥−+− . Esta última igualdad es cierta. Por tanto la proposición es cierta y la igualdad se alcanza cuando cba == , es decir, cuando el triángulo es equilátero.

Problema 207. Se tiene un triangulo ABC y su circunferencia inscrita,

tangente a los lados en los puntos D, E y F , como se indica en la figura.Por los puntos A′, B′, C′ de la circunferencia inscrita se trazan las rectas

tangentes a los arcos FD, DE y EF , respectivamente. Desde los vertices deABC se trazan rectas perpendiculares a dichas tangentes (vease igualmente

la figura adjunta). Determinar los puntos de tangencia A′,B′ y C′ para quese cumpla la siguiente condicion:

a

b·p

q·

n

m= 1.

a

m

q

n

p

b

A

B CD

FE

B'

C'

A'

Propuesto por Carlos Hugo Olivera Dıaz, Lima, Peru

Solucion de Francisco Javier Garcıa Capitan.

La condicion que cumplen las distancias a, b, p, q,m, n indican que eltriangulo UV W formado por las tangentes en A′, B′, C′ es perspectivo con

ABC (ver por ejemplo el apartado 179 de Lachlan: An Elementary Treatiseon Modern Pure Geometry).

Sean B′, C′ dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia, y sea U elpunto comun de las tangentes por B′ y C′ Hallemos otro punto A′ sobre

la circunferencia que forma con B′ y C′ el triangulo UV W perspectivo conABC.

1

Para ello, observemos qeu si P1 es un punto arbitrario sobre AU , y

las rectas BP1, CP1 cortan a UC′, UB′ en V1, UW1, respectivamente, lostriangulos UV1W1 y ABC son perspectivos.

A

B C

FE

D

C'

B'

U

P1

W1

V1

S

A'W

V

P

Segun el teorema de Desargues, los puntos V1W1 ∩ BC, W1U ∩ CA y

UV1 ∩ AB estan alineados. Pero las rectas W1U y UV1 son fijas, por tantotambien lo son los puntos W1U ∩ CA y UV1 ∩ AB, haciendo fija a la recta

que pasa por los tres puntos. Por tanto el punto S = V1W1 ∩ BC tambienes fijo.

Para un punto arbitrario P1 sobre AU , la recta V1W1 no sera tangente

a la circunferencia, pero conocido el punto S, bastara trazar la tangentedesde dicho punto (ademas de la recta BC) para obtener la recta tangente

buscada.

2

Solución al problema 208 de la REOIM

Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA

Dado que la función coseno sólo toma valores entre -1 y 1, la función que

estamos integrando está acotada entre 2 y 2. La integral estará acotada

entre 2π y 2π . Basta ahora observar que 32 22

π π< ⋅ , porque 322

< .

Nota: separando las partes en que el coseno es positivo de las partes en que es negativo, se obtiene una cota inferior mejor que la propuesta:

2 32

π +, y aplicando la desigualdad de Jensen de manera bastante directa

se obtiene una cota superior mucho mejor que la propuesta: 3π .

Solucion al problema 209

Alvaro Begue

Tomemos la funcion f(x) := 2x + 21+

1√

x y calculemos sus dos primerasderivadas:

f ′(x) = 2x log(2)−2

1√

x log(2)

x3/2

f ′′(x) =3 · 2

−1+1

√

x log(2)

x5/2+ 2x log(2)2 +

2−1+

1√

x log(2)2

x3

Observese que f(x) es convexa (los tres terminos de f ′′(x) son positivossi x > 0), f(1) = 6 y f ′(1) = 0. Luego f(x) tiene un unico mınimo global enx = 1, y este es el unico valor para el cual f(x) = 6.

1

PROBLEMA 210, propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Ru-manıa

Se lanza 3 veces un dado y se denota con zi, con i ∈ {1, 2, 3}, la variable aleatoriaque da el numero de puntos obtenidos en la situacion i. Si la probabilidad P (z1 +z2 = z3) = p ∈ [0, 1], se considera la variable aleatoria

X :(−1 1p 1− p

).

Por otra parte, se considera tambien la variable aleatoria

Y :(

0 2 3α α2 1

4

).

donde α ∈ (0, 1).Se pide:(A) Comparar M(X) y M(Y ).(B) Estudiar si X e Y son independientes y si estan correlacionadas sabiendo

que P (X = 1, Y = 0) = 3572 y P (X = −1, Y = 2) = 1

72 .

Solucion por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Publica de Navarra,Pamplona, Espana

(A) Para que Y sea una variable aleatoria, necesitamos que 1 = α + α2 + 14 =(

α+ 12

)2, es decir α = − 12 ± 1, y como α > 0, ha de ser α = 1

2 . Claramente,

M(Y ) = 0α+ 2α2 + 314

=54.

Al mismo tiempo, tirar 3 dados da un total de 63 = 216 casos posibles, de los que sonfavorables aquellos de la forma (a, s− a, s), donde 1 ≤ s ≤ 6 y 1 ≤ a ≤ s− 1. Estonos proporciona s−1 valores posibles para a, luego un total de 0+1+2+· · ·+5 = 15casos favorables, con lo que p = 15

216 = 572 . Luego

M(X) = p(−1) + (1− p)1 = 1− 2p =3136.

(B) Si X,Y fueran independientes, se tendrıa que3572

= P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1) · P (Y = 0) = (1− p)α =67144

,

claramente falso. Luego X,Y no son independientes. De forma analoga, si X,Yfueran independientes, tambien se tendrıa

172

= P (X = −1, Y = 2) = P (X = −1) · P (Y = 2) = p14

=5

288,

nuevamente tambien falso.

1

Comentario de páginas web y noticias de Congresos 43

XV JAEM en Gijón, España

En el espléndido marco de La Laboral, de Gijón, se han celebrado del 3 al 6 de julio de 2011 las décimoquintas Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Este congreso, que se celebra cada dos años, se ha convertido en un lugar de encuentro de una gran mayoría de Profesores de Matemáticas de todos los niveles para compartir experiencias, escuchar las Conferencias y Poenecias o participar en los Talleres. Inevitablemente, hay que elegir, porque muchas de las actividades son simultáneas. El que suscribe impartió un Taller de Resolución de Problemas (Algunos métodos de resolución de problemas) y voy a citar algunas de las actividades en las que estuve presente.

La Profª Mª Encarnación Reyes Iglesias, de la Escuela de Arquitectura de Valladolid, impartió una de las conferencias invitadas: Matemáticas, Naturaleza y Arte: Tres mundos interconectados, que tuvo un gran impacto, porque es un tema que domina a la perfección.

El Prof. Juan Martínez-Tébar Giménez, del IESO Cinxella, de Chinchilla de Montearagón (Albacete), presentó De Combinatione (Breve historia de la Combinatoria, de la mano de dos españoles). Uno de ellos es bien conocido (Raimundo Lulio), pero el otro (Sebastián Izquierdo) era completamente desconocido para mí, hasta ese momento.

Alicia Pedreiro Mengotti (IES Monelos de La Coruña) y Covadonga Rodríguez-Moldes Rey (IES de Mugardos) presentaron muy brillantemente su lección para un grupo de ESTALMAT Entrando en el palomar.

Miquel Albertí Palmer (Instituto Vallés, Sabadell) fue otro de los conferenciantes invitados, con Investigación etnomatemática: más allá de la línea de Wallace.

Antonio Ledesma López (IES 1 de Requena, Valencia), como coordinador del Colectivo Frontera de Matemáticas, presentó Poesía visual y resolución de problemas en torno a la XXIIIª edición del Open Matemático.

La conferencia de Clausura, a cargo del Grupo Alquerque se titulaba Si hay Matemáticas, esto es Cultura e hizo las delicias del auditorio.

Antigua Capilla de la Universidad Laboral de Gijón

La cúpula de la Antigua Capilla de La Laboral

Congreso de la Sociedad Belga de Profesores de Matemáticas de lengua francesa; Bastogne, Bélgica.

La SBPMef ha celebrado su congreso anual del 23 al 25 de agosto de 2011, en esta ocasión en Bastogne, donde el ejército nortemericano resistió el invernal e infernal asedio del ejército alemán durante la Segunda Guerra Mundial en la batalla de las Ardenas. La minúscula ciudad conserva las placas conmemorativas, documentos y la reproducción de un tanque Sherman en su plaza principal.

El lema del Congreso era Las matemáticas hacen viajar. El que suscribe presentó una comunicación sobre Algunos problemas de Geometría del espacio. Aunque este congreso es pequeño, siempre hay que elegir entre las actividades simultáneas. Y las presentaciones del veterano profesor Claude Villers (del que publicaremos una en un próximo número de la REOIM) nunca dejan indiferente y siempre proporcionan ideas muy interesantes para desarrollar en clase. En este caso se trataba de C’est l’occassion qui….(que se podría traducir por Érase una vez…) que el autor subraya como una matematización de lo cotidiano. Tras un diaporama con varias fotos “matemáticas” del autor, desgranó varios ejemplos de situaciones de la vida real en las que subyacen problemas matemáticos, y cómo resolverlos.

El Prof. Eric Deridiaux presentó de una manera práctica como construir, casi artesanalmente, una antena parabólica para captar via satélite imágenes de Televisión de todo el mundo (más de 2000 canales). L’orientation des antennes de télévision directe par satellite era el título de su comunicación.

El General Mc Auliffe, defensor de Bastogne

Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of View, Aveiro, Portugal.

Del 1 al 3 de septiembre se ha celebrado en Aveiro un minicongreso con el título que antecede a estas líneas, dentro del proyecto Klein y como casi la última actividad del mismo. Contó con la intervención del Secretario General del ICMI , Prof. Jaime Carvaho e Silva, de la Universidad de Coimbra (El desarrollo y el declive de los Elementos de Euclides en la enseñanza de las Matemáticas); del Prof. Pedro Duarte de la Univ. de Lisboa (Paisajes de Morse); del Prof. José María Montesinos (Univ. Complutense; Klein, aritmética fuchsiana y grupos y nudos de Klein); del Prof. Francisco Santos Leal (Univ. de Cantabria, Santander, España: Politopos, programación lineal y complejidad). La contribución del que suscribe fue presentar una demostración elemental del teorema del ortopolo, de Gheorge Tzitzeica, descubierta cuando el matemático rumano era un estudiante de Bachillerato.

Porche de la Universidad de Aveiro.

XXVIª Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa Rica.

Se ha celebrado en Costa Rica, durante la segunda mitad de septiembre, el Simposio Iberoamericano de Educación Matemática y la vigésimasexta Olimpiada Iberoamericana de Matemática.

La O.E.I. envió al que suscribe como experto para dar un curso de Capacitación durante los tres días del Simposio (21-22-23 de Septiembre), que se celebró en el Hotel Condesa, cerca de Heredia, y en la sede de San José del Instituto Tecnológico de Costa Rica. En el curso de capacitación había tres grupos de asistentes (A:Profesores con poca experiencia en Olimpiadas; B: Profesores con cierta experiencia en Olimpiadas; y C: estudiantes de las carreras de matemáticas de las diferentes Universidades del país). Además de mi persona, también dieron clase en este curso los Prof. José Heber Nieto, de Maracaibo, y José Antonio Gómez Ortega, de la UNAM de México. Fueron tres días muy intensos, con sesiones de trabajo largas, en sesiones de mañana y tarde, pero en mi opinión muy fructíferas.

Una de las sesiones del grupo A

Concluido el Simposio fuimos trasladados a San José, para colaborar como Coordinadores de uno de los problemas de la Olimpiada. Todo el desarrollo de la Olimpiada fue normal, y tanto el Jurado Internacional como los Coordinadores realizamos nuestro trabajo en un ambiente de total cordialidad.

El alumno ganador de la Olimpiada fue el jovencísimo peruano Raúl Chávez, que lleva camino de convertirse en el Terry Tao de Iberoamérica. Ojalá en el futuro sea uno de los galardonados con la medalla Fields.

Los medallistas de oro de la Olimpiada

Valladolid, noviembre de 2011.

Francisco Bellot Rosado

Divertimentos matemáticos 43

El primero de los divertimentos de este número es una narración, original de la Profª Covadonga Rodríguez-Moldes Rey, Profesora de Matemáticas y Directora del I.E.S. de Mugardos (La Coruña), que resultó premiada en un concurso de cuentos didácticos para alumnos y profesores en Galicia.

Es un cuento literario-matemático, y está escrito en gallego, idioma, como se sabe, muy próximo al portugués, uno de los idiomas oficiales de la REOIM, y que no hemos traducido.

El segundo divertimento está formado por algunas viñetas capturadas en Internet, por lo que resultaría casi imposible averiguar la procedencia real.

LIBERANDO INCÓGNITAS

Hoxe hai unha importante reunión. A Raiña ten convocado ao comité de liberación e hai moita expectación. Dende que dirixe o país, a Raíña leva feitos moitos cambios, non sempre ben recibidos polos que antes tiñan o poder, que protestan: "Onde se viu un país coma este!, xa non hai exército, hai comité de liberación de incógnitas!". E ameazan: "Temos que volver ao de sempre, hai que derrocar a Raíña, non podemos perder incógnitas e caer nas mans dos atrapadores de incógnitas".

As incógnitas son elementos moi importantes do país. Están gardadas con vixilancia especial. Serven para resolver problemas. Nunca se sabe o que pode agochar unha incógnita, só cando o problema está resolto libérase a incógnita descubríndose o seu valor. A incógnita máis famosa é X, pero tamén hai Y, Z, a, b, c e outras raras que só se utilizan en certas ocasións.

Así de enrarecido está o ambiente. E aínda non saben o motivo polo que a Raíña ten convocado ao comité de liberación!

Silencio, fala a Raíña:

"Meus queridos amigos e amigas, membros do comité de liberación: os atrapadores de incógnitas queren poñernos a proba, esta é a mensaxe que acabo de recibir:

Onte procedemos a atrapar unha incógnita, témola retida seguindo o procedemento habitual. Calquera intento de rescate pode dar lugar a que a incógnita se precipite na cova das serpes e desapareza para sempre. Anunciamos que a nosa intención é a de atrapar tódalas incógnitas que podamos do voso país para así estar en condicións de resolver por nós mesmos os problemas e ter o dominio. (Atrapadores de incógnitas)

Ante isto, queridos amigos e amigas, propóñovos actuar con sixilo e intelixencia. Tentaremos rescatar a incógnita atrapada. Trátase de X. O primeiro é saber onde e como se atopa. Enviarei especialistas a analizar a situación e mañá de novo reunirémonos para peparar o rescate".

Esa noite un comando de especialistas obtivo imaxes de X. Efectivamente, estaba sobre a cova das serpes, vixiada por sete guerreiros, dous ao seu carón e cinco enfronte. Todos en equilibrio sobre a cova das serpes.

Ao día seguinte a Raiña reúne ao comité de liberación:

“ A situación é delicada pero sinxela, a un lado hai cinco guerreiros e ao outro a x con dous guerreiros (5=x+2) . Necesitamos actuar con precisión e sincronizadamente nos dous lados. Basta con eliminar a dous guerreiros a cada lado, despois rescátase X procedendo á súa liberación e traendo retidos aos tres guerreiros aos que equivale. O rescate será esta noite”.

Chegada a noite o plan desenvolveuse coa precisión que pedía a Raíña: a incógnita foi devolta ao seu recinto e os tres guerreiros inimigos postos á súa disposición.

Despois deste acontecemento a Raíña chamou a sabios de todo o mundo. Foron varios días de reunións, discusións e estudos. Agora a Raíña driríxese a tódolos habitantes do país nunha convocatoria extraordinaria que se espera con moita espectación.

"Queridos amigos e amigas -comeza a falar a Raíña- teño que comunicarvos unha importante decisión. É froito de profundas reflexións de toda a comunidade de sabios e levará a cambios moi importantes que mellorarán as condicións de vida e a formación de todos os habitantes do país. A decisión que tomei é que TODOS VOS CONVIRTADES EN LIBERADORES DE INCÓGNITAS. A tarefa non será doada, é necesario prepararse a fondo. Contratarei a sabios e estudosos que nos formarán na arte de liberar incógnitas. A medida que vaiamos aprendendo usaremos técnicas e utensilios máis complicados. A próxima semana comenzará a formación para tódolos os habitantes que o desexen, que espero sexa a maioría de todos vós".

E así foi, o chamamento da Raíña foi seguido por habitantes de todas as idades.

Despois de varios días de preparativos comezou a formación.

Un mes despois a Raíña visita as salas de aprendizaxe.

“Maxestade, esta é a sala de 1º grao, aquí están os principiantes que aprenden a liberar as incógnitas tratando de que quede soa a un lado da balanza mantendo o equilibrio. Pode ver como agora a un lado da balanza hai dous lilís (elementos de liberación) e ao outro está a x acompañada dun lilí suxeito a un globo que tira del e da balanza para arriba (2=x-1). Observe como con coidado colocan un lilí a cada lado da balanza e así a un lado quedan tres lilís e ao outro queda soa a x pois os dous lilís anuláronse. A x está liberada e o seu valor é 3”.

Satisfeita a Raíña prosegue o percorrido. Entran nunha sala ampla onde hai cadrados de varios tamaños, lilís e globos polo chan. O ambiente é moi serio. A incógnita X está atrapada elevada ao cadrado, hai ademais outras cinco X cada unha delas colgada dun globo que as empuxa para riba pero aferránse ao bambán, ademais hai seis lilís. Ao outro lado da balanza,

non hai nada!, non obstante o bambán está en equilibrio (x2-5x+6=0). Levan tempo tratando de liberar a X . Parece unha empresa complicada.

A Raíña di que quere colaborar pois coñece unha técnica que leu nun libro. Despois de frenética actividade movendo globos, cadrados e lilís, entre todos conseguen o obxectivo: a x queda liberada con dúas liberacións posibles! (x=2, x=3).

Remata a visita da Raíña na gran sala de sistemas. Alí están a liberar dúas incógnitas, x e y, atrapadas conxuntamente en dous lugares distintos. A Raíña asiste emocionada á liberación das dúas incógnitas e móstrase interesada pola estratexia seguida:

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A Raíña, moi satisfeita do visto, dá por terminada a primeira xornada de visita ás salas de aprendizaxe A semana próxima visitará outras: a sala das raíces nas que liberan incógnitas atrapadas en raíces cadradas, a sala exponencial cos famosos “logaritmos”, a sala de Ruffini… Pensa que moi pronto o país será forte e sabio, estará preparado para liberar incógnitas e resolver problemas e ela poderá negociar un acordo co país veciño para compartir a formación adquirida e anular os temibles atrapadores de incógnitas, todo a cambio de que se facilite ao seu país a ansiada vía de acceso ao mar.

Esa noite, nas súas dependencias, a Raíña ten nas mans o libro Lilavati, que escribiu o mestre hindú Bhaskara, hai varios séculos, e le: “A quinta parte dun enxame de abellas pousa sobre unha flor de kadamba, a terceira parte sobre unha flor de silindra. O triplo da diferenza entre estes dous números voa sobre unha flor de krutxa e unha abella, voa indecisa dunha flor de Pandanus a un xazmín”. A Raíña pecha os ollos pensando como liberar o número de abellas do enxame.

En Ares no mes de abril do 2011

Covadonga Rodríguez-Moldes Rey

Algunas viñetas capturadas en Internet

Presentamos a continuación algunas viñetas capturadas en Internet o recibidas por correo electrónico. La procedencia de cada una es, como puede suponerse, muy difícil de determinar.

Esta es la verdadera raíz cuadrada….

Las primeras críticas al teorema….

El recibimiento a Steve Jobbs en el Más Allá

La sutil diferencia entre Filosofía y Matemáticas.

Cartas al editor 43

En esta ocasión, nos hacemos eco de dos cartas recibidas.

En la primera, nuestro colaborador Milton Donaire Peña comenta la de Lucas Martin Andisco publicada en el vol.42 de la REOIM:

“En el número 42 de la REOIM, he visto con mucho interés la aclaración que nos hace nuestro amigo Lucas Martín Andisco, sobre la autoría de la demostración del teorema de Pascal. Bien, por el gran respeto y credibilidad que la comunidad de asesores de olimpiadas matemáticas le tenemos a la web http://www.artofproblemsolving.com/ , veo muy conveniente la aclaración hecha por el Prof. Lucas, y debo agregar que para acertar sobre la originalidad de la prueba realicé las consultas respectivas con destacados geómetras de nuestro medio que se encargan de presentar pruebas originales a teoremas clásicos, entre los cuales, como todos sabemos, destaca por sus amplias publicaciones originales nuestro amigo francés Jean Louis Ayme, quien se tomó la molestia de averiguar sobre la originalidad de la prueba”.

Por lo que a este Editor respecta, este asunto se considera cerrado.

En la segunda, nuestro también colaborador Raúl A. Simón Elexpuru (Santiago, Chile), dice:

“Me alegra muchísimo que existan libros como el de María Victoria Veguín Casas: “Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica (de la Prehistoria al siglo XV)”. Con ellos se demuestra que la contribución de los pueblos hispánicos a la ciencia – en especial, a la ciencia matemática – no ha sido nula, como se suele creer. Faltaría una continuación hasta nuestros días, para terminar de ilustrar esta tesis.”