Intervalos de Confianza

Autores:

♦ Doranna Rodríguez

♦ Yvan Hernández

♦ David Ferreira

♦ Jhonny Becerra

♦ Gerson Osorio

ESTIMACIÓN

Se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un

parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Es el

proceso por el que se averigua el valor de un parámetro de la población a partir de los

estadísticos obtenidos en la muestra.

La estimación es el procedimiento utilizado cuando se quiere conocer las características de

un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Es decir, que mediante

el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de

la misma.

Existen dos tipos de estimación:

•Estimación puntual: La estimación de un parámetro tiene por resultado

un solo punto. Estimación •Estimación por intervalos: La estimación de un parámetro tiene por

resultado un intervalo dentro del cual exista cierta probabilidad de

encontrarlo. En el problema que planteamos en este trabajo le damos más énfasis a la parte de estimación por intervalos debido a que nos mandan a calcular los intervalos de confianza.

En nuestro punto de vista podemos decir que La ESTIMACIÓN sirve para obtener resultados más cerca al parámetro deseado.

MARCO TEORICO

A continuación presentamos diferentes conceptos para la fácil comprensión de los diferentes términos usados en el que se presentara:

Promedio o Media Aritmética: consiste en el resultado que se obtiene al generar una división con la sumatoria de diversas cantidades por el dígito que las represente en total. Claro que esta noción también se utiliza para nombrar al punto en que algo puede ser dividido por la mitad o casi por el medio y para referirse al término medio de una cosa o situación.

Distribución de frecuencias: Es la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas.

Los Distintos tipos de frecuencia son 4:

1. Frecuencia Absoluta.

2. Frecuencia Relativa

3. Frecuencia acumulada.

4. Frecuencia relativa acumulada.

Moda: En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Mediana: Representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean

mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo no se ve afectado por valores extremos.

Desviación Estándar: Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media.

La varianza: Es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su esperanza. Se define como la esperanza de la transformación.

Esperanza: La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Intervalo de confianza: Es un rango de valores (calculado en una muestra) en el

cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad

determinada.

Prueba de Hipótesis: Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor

supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una

muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con

el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional ().

Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el

valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando

la hipótesis es cierta.

GRAFICOS Y CALCULOS

Tabla de Frecuencia

Nota Fi Fni ni Ni

01 4 4 0,04 0,04

02 0 4 0 0,04

03 3 7 0,03 0,07

04 2 9 0,02 0,09

05 3 12 0,03 0,12

06 3 15 0,03 0,15

07 2 17 0.02 0,17

08 7 24 0.07 0,24

09 4 28 0,04 0,28

10 6 34 0,06 0,34

11 6 40 0,06 0,40

12 5 45 0,05 0,45

13 7 52 0,07 0,52

14 12 64 0,12 0,64

15 10 74 0,10 0,74

16 5 79 0,05 0,79

17 6 85 0,06 0,85

18 5 90 0,05 0,90

19 4 94 0,04 0,94

20 6 100 0,06 1,00 14 12 10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Media: ∑Fni/ N

Media: 1225/ 100: 12.25.

Moda: 14.

Tabla de Clases: Para calcular el tamaño de las clases, se determina primero el rango, que sería el puntaje máximo menos el puntaje mínimo

Rango: Puntaje máximo- puntaje mínimo.

Rango: 20-01: 19.

Luego determinamos el número de intervalos, que es igual a, M: √n

M: √100: 10.

Luego determinamos la amplitud de la clase: C: R/M--- 19/10: 1,9= 2

Clases Fi Fni ni Ni

(01-02) 4 4 0.04 0,04

(03-04) 5 9 0.05 0,09

(05-06) 6 15 0,06 0,15

(07-08) 9 24 0,09 0,24

(09-10) 10 34 0,10 0,34

(11-12) 11 45 0,11 0,45

(13-14) 19 64 0,19 0,64

(15-16) 15 79 0,15 0,79

(17-18) 11 90 0,11 0,90

(19-20) 10 100 0,10 1,00

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los estudiantes de la facultad de ingeniería de la Universidad Bicentenaria de Aragua

específicamente los de la escuela de Sistemas se les aplico un parcial de la materia de

Matemática en la cual se obtuvieron las siguientes calificaciones (Cuadro de notas inferior)

las cuales están basadas en una nota de 01 a 20 puntos sabiendo que para aprobar se

necesita una mínima de 12 puntos.

Se desea saber si el promedio de notas es µ>12 con una muestra de 20 estudiantes. También se desea saber la cantidad de aprobados. Igualmente se desea saber la cantidad de reprobados.

Evaluar y determinar las diferentes actividades, métodos de evaluación y métodos

de enseñanza para la mejora de promedios de nota de los diferentes estudiantes

reprobados para así disminuir este número y apuntar a la excelencia académica.

Determinar la cantidad de estudiantes que tenga una nota mayor a 18 puntos para así tomarlos en cuenta para futuras evaluaciones y colocarlos en un grupo llamado

“grupo Excelencia” el cual podría optar a diferentes beneficios dentro de la universidad.

Calificaciones de los estudiantes de la UBA de Matemática de las distintas secciones

(4). N: 100.

12 08 01 11 14 15 20 13 03 10

15 11 15 10 13 09 18 10 09 20

08 14 03 17 08 15 14 08 18 18

15 14 17 15 19 06 07 16 17 14

19 20 14 17 13 06 17 16 05 01

16 14 20 01 05 11 15 19 10 13

08 11 04 04 14 14 09 12 20 16

08 08 13 12 13 01 18 03 14 09

15 10 16 12 19 10 12 14 05 16

17 11 20 18 13 11 14 15 06 07

INTERVALOS DE CONFIANZA

N=100 ; n=20 100/20=5

Método de numero aleatorios sistemático

= ∑

=

= 12.45

S = √∑

= √

= √ = 5.66

∑ = 640.95

01 13 15 10 03 08 17 16 14 16

20 19 04 12 13 03 16 14 20 15

=131.1025 =57.0025

=0.3025 =42.9025

=6.5025 =71.4025

=6.0025 =0.2025

=89.3025 =0.3025

=19.8025 =89.3025

=20.7025 =12.6025

=12.6025 =2.4025

=2.4025 =57.0025

=12.6025 =6.5025

t(n-1)=t(20-1)=t(19)

µ < 12 µ > 12

1 - ∝ = ∝ = – 0.95 ∝ =

∝

=

= 0.025

1 - ∝

= 1 – 0.025 = 0.975

(

√ )

IC (95%) = ( – t(n-1,∝ ⁄ ) . √

< µ < + t(n-1,1 - ∝ ⁄ ) . √

)

IC (95%) = (12.45 – 2.093 .

√ < µ < 12.45 + 2.093 .

√ )

IC (95%) = 12.45 – 2.093 . 1.26 < µ < 12.45 + 2.093 . 1.26

IC (95%) = 12.45 – 2.64 < µ < 12.45 + 2.64

IC (95%) = 9.81 < µ < 15.09 Con una confianza del 95% de las notas del parcial de la materia de

matemáticas realizado a los estudiantes de la facultad de ingeniería,

específicamente los de la escuela de sistema están entre 9.81 < µ <

15.09

Con un margen del 5% de contener error.

Se desea saber lo siguiente:

Se desea saber si el promedio de notas es μ>12 con una muestra de 20 estudiantes.

tc =

=

= 0.07

También se desea saber la cantidad de aprobados.

Mediante la muestra obtenida de n=20 nos da que el total de aprobados es de:

= 0.7

Igualmente se desea saber la cantidad de reprobados.

Mediante la muestra obtenida de n=20 nos da que el total de reprobados es de:

= 0.3

Evaluar y determinar las diferentes actividades, métodos de evaluación y métodos de

enseñanza para la mejora de promedios de nota de los diferentes estudiantes reprobados

para así disminuir este número y apuntar a la excelencia académica.

1. Tomar asesoría con su profesor respetivo o de igual modo con cualquier otro

profesor experto en la materia.

2. Puede tomar un curso, mientras el trascurso de la materia especifica.

3. De igual modo puede pedirle ayuda a sus compañeros para aclarar sus dudas.

4. Puede formar su grupo de estudio para así, prepararse mejor antes de la prueba

establecida.

5. Llegar a un acuerdo con dicho profesor para realizar un trabajo extraescolar que

lo ayude a subir su promedio.

Determinar la cantidad de estudiantes que tenga una nota mayor a 18 puntos para así

tomarlos en cuenta para futuras evaluaciones y colocarlos en un grupo llamado “Grupo

Excelencia” el cual podría optar a diferentes beneficios dentro de la universidad.

Mediante la muestra obtenida de n=20 nos da que el total de notas mayores a 18 y que

serán tomados en cuenta para formar un grupo llamado “Grupo Excelencia” es de:

= 0.15