REVISTA

MATEMÁTICA

UNA MIRADA A LA MATEMATICA DESDE LA HISTORIA.

En nuestro proyecto de aula de matemáticas de los grados decimo y undécimo, se trabajo una pequeña línea de investigación acerca de autores importantes en matemáticas, que se enseñan a diario por medio de teorías, solución de ejercicios y situaciones problemas. Estos artículos aquí presentes reflejan una mirada interna acerca de cómo y en qué forma llegaron temas fundamentales de las matemáticas a la vida de los escritores, su contexto histórico y la importancia de estos en nuestra vida actual. Un proyecto de aula es considerado como un proceso de construcción colectiva de conocimiento, donde intervienen las experiencias previas, las reflexiones cotidianas de las estudiantes, de su entorno sociocultural y afectivo. El propósito de este trabajo es abordar artículos de opinión de las estudiantes, para conocimiento de toda la comunidad educativa, a base de un análisis crítico e investigativo. La Revista informativa de matemáticas que aquí presentamos, es el vehículo de comunicación más completo y directo, dentro de nuestra institución. Que nos informa y forma a la vez profesional y especializadamente, involucrando conjuntamente y de una sóla vez a sus públicos internos y externos sobre temas concretos de matemáticas. Esperamos que sea de su agrado y que podamos sacar nuestra segunda versión el año siguiente, ya que se ven reflejadas las competencias que desarrollamos a diario en nuestra clase de matemáticas, como lo es la competencia de comunicación. José Alexander Córdoba Camacho. Docente de Matemáticas.

Ernest Zermelo & Adolfo FraenkelPor: Claudia Vivivana Rodriguez Diaz Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (Berlín, 27 de julio de 1871 – 21 de mayo de 1953) fue un matemático y filósofo alemán. Cursó sus estudios secundarios en el Luisenstädtisches Gymnasium de Berlín de donde regresó en 1889. Después estudió matemáticas, física y filosofía en las universidades de Berlín, Halle y Freiburg. Finalizó su doctorado en 1894 y fue premiado por la Universidad de Berlín por su disertación sobre el cálculo de variaciones (Untersuchungen zur Variationsrechnung).Zermelo permaneció en la Universidad de Berlín, donde fue nombrado ayudante de Planck y bajo su guía comenzó a estudiar hidrodinámica.

En 1897 marchó a Göttingen, que en ese momento era el centro más importante para la investigación matemática en el mundo, donde completó su tesis en 1899. En 1900, en la conferencia del Congreso Internacional de Matemáticos en París, David Hilbert

desafió a la comunidad matemática con los famosos Problemas de Hilbert, una lista de 23 problemas fundamentales no resueltos, que los matemáticos debían atacar durante el siglo entrante.

El primero de estos problemas, un problema de teoría de conjuntos, era la hipótesis del continuo introducida por Cantor en 1878.

Zermelo comenzó a trabajar en los problemas de teoría de conjuntos y en 1902 publicó su primer trabajo sobre la adición de cardinales

transfinitos. En 1904, dio con éxito el primer paso sugerido por Hilbert para la hipótesis del continuo, cuando probó el teorema del

buen orden ("cada conjunto puede estar bien ordenado'"). Este resultado le otorgó fama a Zermelo, que fue nombrado en Göttingen, en diciembre

de 1905. Su prueba del teorema del buen orden, que se basaba en el axioma de elección, no fue aceptado por todos los matemáticos, en parte porque la teoría de conjuntos carecía de una axiomatización en ese tiempo. En 1908,

Zermelo logró una prueba que tuvo una acogida más amplia.

En 1905 comenzó a axiomatizar la teoría de conjuntos; en 1908 publicó sus resultados a pesar de haber fallado en probar la consistencia

de su sistema axiomático. Hay que destacar que, en 1922, Adolf Fraenkel y Thoralf Skolem en forma independiente perfeccionaron el sistema axiomático de Zermelo. El sistema resultante, conocido ahora como

axiomas de Zermelo-Fraenkel, con diez axiomas, es el más usado para la teoría axiomática de conjuntos.

En 1910 Zermelo dejó Göttingen cuando obtuvo un nombramiento en la

cátedra de matemáticas en la Universidad de Zúrich, a la cual renunció en 1916. Obtuvo una cátedra honoraria en Freiburg im Breisgau en 1926

pero renunció a ella en 1935 por su desaprobación al régimen de Hitler. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial solicitó que le fuera restaurada

su posición honoraria en Freiburg, lo cual se concretó en 1946.

Adolf Abraham Halevi Fraenkel (Múnich, Alemania, 17 de febrero de 1891 - Jerusalén, Israel, 15 de octubre de 1965) matemático alemán- israelí. Estudió matemáticas en las universidades de Múnich, Berlín, Marburgo y Breslau. Después de su graduación dio clases en la Universidad de Marburgo desde 1916 donde obtuvo el cargo oficial de profesor en 1922. Abandonó Marburgo en 1928. Después de dar clases durante un año en la Universidad de Kiel, se trasladó a Jerusalén en 1929, cuatro años después de la fundación de la Universidad Hebrea de Jerusalén, donde estuvo el resto de su carrera. Fue el primer decano de la Facultad de Matemáticas y también obtuvo el puesto de rector de la Universidad. Los primeros trabajos de Fraenkel versaron sobre los números p-ádicos de Hensel y sobre la teoría de anillos. Sin embargo, es más conocido por sus trabajos en teoría axiomática de conjuntos, publicando la mayor parte de sus trabajos sobre el tema ("Einleitung in die Mengenlehre") en 1919. Intentó en dos ocasiones, en 1922 y 1925, axiomatizar la teoría de conjuntos, eliminando las paradojas y mejorando el sistema axiomático de Zermelo y creando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF), y demostrando formalmente la independencia del axioma de elección (ZFC). También se interesó en la historia de las matemáticas; escribió sobre Gauss en 1920 y 1930, publicó una biografía de Cantor y editó la revista Jewish mathematics and astronomy en 1960. Después de su retiro, y siendo sucedido por su alumno Robinson en la Universidad hebrea, continuó dando clases en la Universidad Bar Ilan cercana a Tel Aviv.

PRINCIPIOS DE LOS AXIOMAS

Durante el siglo XIX algunos matemáticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalización de la matemática a partir de la teoría de conjuntos. Gottlob Frege intentó culminar este proceso creando una axiomática de la teoría de conjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russell descubrió en 1901 una contradicción, la llamada Paradoja de Russell. A partir de ese evento surgen distintos intentos, siendo hoy el más aceptado los denominados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, habitualmente referidos como ZFC. La teoría de conjuntos es una rama de la matemática relativamente moderna cuyo propósito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teoría es reconocida como los fundamentos mismos de las matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por él mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonométricas de Fourier. La teoría de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artículos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Pitágoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo éxito, si bien su teoría debía ser precisada y sometida a un sistema axiomático, un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel. Cantor partió de la convicción platonista de que era posible “comprimir” una colección o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando implícitamente los supuestos siguientes: (i) Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad. (ii) Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto. (iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.

De este modo, Cantor pudo desarrollar su teoría de una forma que en aquel entonces parecía lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ideó un sistema más preciso, intentó fundamentar adecuadamente la teoría de conjuntos (y por tanto todas las matemáticas), pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrió una paradoja en la teoría de aquél (hoy llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parecía desbaratarse. A principios del siglo XX, fue el matemático alemán Ernst Zermelo quien puso la teoría de conjuntos sobre una base aceptable reduciéndola a un sistema axiomático más restringido que no permitía la obtención de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron después precisadas por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teoría axiomática de conjuntos, conocida como teoría de Zermelo-Fraenkel, aunque sería más adecuada llamarla teoría de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la teoría cantoriana fue desarrollada después, principalmente, por John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gödel. Esta última es hoy llamada, naturalmente, la teoría de von Neumann-Bernays-Gödel. Sobre el concepto de conjunto. El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definición precisa del mismo. Palabras como colección, reunión, agrupación, y algunas otras de significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definición, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la teoría intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, así como también permite tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento de un conjunto como entidad matemática.

De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relación diádica de pertenencia. El símbolo usual para representar esta relación es el símbolo una versión de la letra griega å (épsilon). Los segundos argumentos de la relación son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos. Así, si la fórmula

se cumple, se dice que a es un elemento del conjunto X. Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de pertenecen al mismo dominio La negación de se escribe .

Bajo estos supuestos puede desarrollarse un poco la teoría de conjuntos. Sin embargo, la concepción intuitiva de conjuntos no permite llegar tan lejos como pudiera desearse, pues llega un momento en que, como sucede en otras áreas de las matemáticas, la intuición es de poca o ninguna ayuda (por ejemplo como pasa al hablar de la hipótesis del continuo, de espacios de dimensión mayor que tres, etc.). Es en momentos como ese en que se hace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizar la teoría de conjuntos para poder llegar a resultados más profundos. Esto implica renunciar a una definición intuitiva de conjunto, y en su lugar postular una serie de principios que determinen el comportamiento de éste, de tal forma que los resultados obtenidos no son ya consecuencia de razonamientos intuitivos flojos, sino que se obtienen a partir de tales principios.

La necesidad de axiomatizar la teoría de conjuntos En la teoría de Cantor, es posible formar un conjunto a partir de una propiedad determinada que deben cumplir sus elementos. En otras palabras, dada cualquier propiedad P, existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifican P(a). En símbolos, este conjunto se representa por Así, por ejemplo, considerando la fórmula a = a, se obtiene el conjunto que claramente lo contiene todo. A este conjunto no se le puede aplicar alguno de los resultados de Cantor, ya que esto conduce a ciertas paradojas. Como otro ejemplo más claro de conjuntos contradictorios debido a su 'gran tamaño', está el que da lugar a la paradoja de Russell. Consideremos el conjunto X cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Esto es, el conjunto La paradoja de Russell surge al preguntarse: ¿es x un elemento de sí mismo? Si lo es, es decir, si , entonces x no satisface la condición , lo que es una contradicción. Si , entonces x satisface la condición para ser uno de sus elementos, y así , de nuevo una contradicción. Así, x no puede ni ser un elemento de sí mismo ni no serlo. En un intento de eliminar esta paradoja, Russell y Whitehead desarrollaron la teoría de tipos y la expusieron en un libro titulado Principia Mathematica. Si bien esta teoría eliminaba la paradoja de Russell, resultaba demasiado complicada como para poseer interés. La teoría de

GOTTFRIED LEIBNIZ Y LOS NÚMEROSTRIANGULARES HISTORIA MATEMATICAS Jesus m. Landart TIO PETROS (blogia) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ha traspasado a la historia como filósofo y como matemático; su nombre está fuertemente ligado con el de Isaac Newton, al ser concebidos como los coautores del cálculo infinitesimal. Leibniz nació en una familia muy bien dotada intelectualmente: su padre era profesor de filosofía, y en la casa existía una biblioteca abastecida de la que el joven Gottfried hizo buen uso durante su infancia. Se dice que aprendió latín y griego de niño por sí mismos. A los quince años se estaba preparando para entrar a la universidad de Liopzig y con veinte años, había terminado su tesis doctoral. En 1976 fue enviado a parís a desarrollar sus tareas como diplomático de alto rango. En aquella época en la ciudad habían bastantes científicos: Leeuwenhoek, Boyle y Hooke son una muestra de lo que se ofrecía a los ojos de Leibniz, ávidos de conocimiento. No obstante su aprendizaje en matemáticas era muy pobre y sabio que lo limitaba mucho a la hora de aprender ciencia, entonces decidió capacitarse en matemáticas, teniendo de base la matemática clásica, su extraordinaria inteligencia y su energía. Por aquel entonces, estaba por París Christian Huygens(1629-1695) astrónomo, y matemático neerlandés; aunque hoy lo conocemos por sus contribuciones a la física, en ese momento experto en las matemáticas, no hay nadie mejor que él para cultivar a Wilhelm en las matemáticas. Huygens accediendo enseñar a

Leibniz le plantea problemas de series: sumas infinitas de números, la teoría de series estaba en mantillas, y a veces con gran ingenio se conseguía encontrar el sumatorio de una serie concreta. Para probarlo le insistió a encontrar la suma de dos inversos de los números triangulares. Estos números son los que se obtienen de las disposiciones triangulares, Leibniz soluciono dicho problema sin hacer uso de ningún concepto especial de la teoría de series; pura magia matemática. Teniendo en cuenta la increíble importancia que desencadenan los números triangulares para muchos matemáticos, como lo fueron para Leibniz, nos enfocaremos en su estructura y en su forma de hallazgo. Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón. Número que puede representarse mediante un patrón triangular de puntos equilibradamente espaciados, siendo números que pueden recomponerse en la forma de un triángulo equilátero. Ejemplos: 3, 6, 10, 15, etc. Se establece que Los números triangulares los puedes obtener mediante la expresión:

[(n+1)(n+2)] /2; Donde "n" es un numero natural mayor o igual que 1.

Otra forma de definición de números triangulares podría ser e la siguiente: "Un número triangular es el número de elementos (puntos) que pueden ser distribuidos en la forma de un triángulo equilátero". De acuerdo a esta definición: Podemos decir que el número tres, es un número triangular de lado 2, ya que se puede descomponer así: 3=1+2 Y que el seis, es un número triangular de lado 3, ya que se puede descomponer como: 6=1+2+3 Y asi sucesivamente. Una propiedad interesante que presentan los números triangulares, es: "Si sumas dos números triangulares consecutivos, obtienes, un número cuadrado". Por ejemplo, si se suma, 3+6, obtienes el número cuadrado 9.

"Un número cuadrado es el número de elementos (puntos) que pueden ser distribuidos en la forma de un cuadrado".

Podemos concluir con lo visto anterior mente que los números triangulares son de manipulación poco rigurosa, y son dependientes del infinito, como muchas veces en las matemáticas. Estos números han permitido desarrollar numerosos teoremas matemáticos, mostrándonos así su increíble importancia y utilidad.

Son muchos los autores representativos que han utilizado estos números para sus importantes hallazgos en el campo matemático; como vimos anteriormente Leibniz y ahora pues Johann Bernoulli, matemático, médico y filólogo suizo, el cual demostró que la suma de los inversos de los naturales (serie armónica) era divergente, y para ello se basó en los trabajos precedentes del ya nombrado Leibniz al respecto de los números triangulares.

APLICACIONES MATEMATICAS EN TEORIAS APLICADAS.

JHON NASH

La resolución de problemas y el modelado matemático 1es una de las maneras de representar las situaciones de la vida en la cotidianidad, a través de la modelación como un método de simplificación de la realidad se puede analizar y comprender la interacción de diferentes elementos que componen dichos modelos, orientado a “aplicaciones y a una variedad de situaciones prácticas (…) las aplicaciones se toman de las ciencias sociales, administrativas y de la vida, con especial énfasis en los negocios y la economía”

La Economía en particular desarrolla varios tipos de modelos para comprender como funciona la misma en el desarrollo del mercado capitalista en competencia perfecta “asigna los recursos por medio de las decisiones descentralizadas de muchas empresas y hogares cuando interactúan en los mercado de bienes y servicios”2 asi este mercado perfecto como tal, no es el común de cómo funciona la economía, en ella se desarrollan mercados como el de competencia monopolística, monopolio yoligopolio.

Los Oligopolios son un tipo de mercado donde los productos pueden o no estar diferenciados y donde unas pocas empresas producen gran parte o toda la producción total, tienen grandes

barreras de entrada como la tecnología, infraestructura, conocimiento, capital,información, están entre el mercadocompetencia perfecta y monopolio, como solo compiten unas pocas empresas, cada una debe considerar la influencia de sus actos en sus rivales así como sus posibles reacciones (Robert Pindyck: 2001: 441-442)

Por las anteriores características este tipo de mercado se compara con un juego donde hay participantes limitados (empresas), reglas, estrategias, recompensas y resultados, estos factores son elementos que componen la Teoría de los Juegos cuyo objetivo es que cada participante “quiere obtener el mejor resultado posible dado lo que hacen sus competidores”3

La Teoría de los Juegos es uno de los modelos matemáticos más aplicados en varias áreas del conocimiento como la Economía, Política, Biología, Psicología entre otras, este es el estudio de cómo se comportan los individuos en diferentes situaciones donde se deben tomar decisiones teniendo en cuenta y consideración la estrategia del otro (Gregory Mankiw: 2008: 218)

Algunas de las ramas de la matemática comunes en la Teoría de los juegos son las probabilidades, estadística y programación lineal. Uno de los ejemplos más conocidos en la Teoría de los juegos es el del dilema del prisionero que

consiste en una historia de dos delincuentes capturados por la policía, la policía tiene evidencia para condenar solo por un delito menor, por lo que le daría a cada uno un año de cárcel, pero se sabe que han cometido atracos a bancos pero no lo pueden probar para condenar por un delito mayor que les daría si confiesan los dos ocho años de cárcel a cada uno, la policía interroga separadamente a cada delincuente y ofrece un trato , si confiesa y delata a su compañero tendrá un beneficio de libertad inmediata pero su compañero tendrá una pena de 20 años. Si cada uno piensa egoístamente ambos terminaran confesando, pero si solo uno confiesa, uno sale libre llevando el máximo beneficio y el otro la máxima perdida, ambos desconfían y cada uno buscará su mayor estrategia para cada jugador (Gregory Mankiw: 2008: 220)

Esta teoría se formalizó a través de trabajos de John Von Newman, quien fue uno de los grandes matemáticos del siglo XX, nació en Australia y terminó un doctorado en matemáticas a los 23 años y aporto en la teoría de conjuntos y análisis de funciones , también Oskar Mongenstern, un matemático nacido en Alemania miembro de la escuela austriaca o matemática hizo grandes aportes en el campo económico y fue un docente destacado en Princeton, para aplicaciones a la estrategia militar en la guerra fría. (Michael Parkin y otros: 2006: 310)

A raíz del análisis de los juegos como “El dilema del prisionero” se generaliza y genera un gran interés en su estudio, pues se des encasilla las

matemáticas del estrictamente analítico, demostrando que a través de las matemáticas se puede pensar en proponer actividades prácticas y aplicadas a varias áreas del conocimiento, es así como Jhon Nash premio Nobel de economía en 1994, donde expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, propone un modelo donde todos ganen en un juego, no haya perdedores dando como resultado el Equilibrio de Nash “situación en la que los agentes económicos interactúan entre si y eligen cada uno su mejor estrategia dadas las estrategias que han elegido todos los demás”1 este modelo muestra la tensión entre la cooperación y el interés personal, los oligopolistas podrían conseguir una mejor situación si se ponen de acuerdo (coluden) logrando asi comportamientos de monopolio pero cada una busca su propio provecho y son tentados para aumentar la producción y quedarse con una mayor parte del mercado asi aumentando las cantidades mejorando las condiciones para los consumidores. (Gregory Mankiw: 2008: 218)

Así mismo las aplicaciones del modelo matemático de la Teoría de Juegos fue realizada por la politóloga Estadounidense Elinor Ostrom ganadora del premio Nobel de Economía en el 2006, considera que una de las maneras de frenar las Tragedia de los comunes (termino de los recursos a largo plazo como bosques, recursos hídricos, pesca, pastizales entre otros) es la cooperación de

los seres humanos, buscando el mayor beneficio para todos, propone que el desarrollo y prácticas comunitarias permiten la preservación de recursos comunes promoviendo reglas,manejando conflictos, promoviendo resultados positivos basándose en las multidimensiones de los seres humanos y sistemas ecológicos identificando elementos quepromuevan la auto organización o eco sociedades (Elinor Ostrom:2005:70)

Estos dos personajes con enorme valentía van en contra de los supuestos inherentes al ser humano; el egoísmo natural, comosupervivencia del más apto que deja entre ver que solamente los más capases ascenderán y lograran los mejores resultados, los más fuertes e inteligentes asumirán roles más importantes en la sociedad, frente a otro grupo que quedara relegado a labores marginales, poniendo de manifiesto la competencia, el egoísmo y el desarrollo individual, con sus propuestas estos dos premios Nobel permiten generar esperanza y pensar

que es posible un juego sin perdedores donde la multidimensionalidad de los seres humanos potencializaran sus decisiones en pro de la misma sociedad.

LEONARD EULER

A través de este trabajo pretendemos dar a conocer la vida y obra del matemático Leonard euler, maestro en filosofía, quien trabajaba en todas las áreas de la matemática como la geometría, cálculo, trigonometría, algebra, teoría de números, en el área de física en la teoría lunar, en el campo de la geometría analítica y otras áreas. La geometría analítica es la aplicación del Álgebra simbólica al estudio de problemas geométricos mediante la asociación de curvas y ecuaciones indeterminadas en un sistema de coordenadas. Euler Sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. Euler Introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, definió la función exponencial para números complejos y descubrió la relación de las funciones trigonométricas.

Leonard Euler nació en Basilea, Suiza en 1707 el 15 de abril y muere el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia; fue un gran matemático y físico, a los 13 años se matriculo en la universidad

y en 1723 recibió el título de maestro de filosofía. Trabajaba en todas las áreas de la matemática como la geometría, cálculo, trigonometría, algebra, teoría de números, en el área de física en la teoría lunar y otras áreas. Euler definió una constante matemática conocida como el numero e con la función F(x)=ex en el punto x=0. Ex es llamada “función exponencial”, también llamado logaritmo natural o logaritmo con base e. Se le conoce por el análisis de la utilización de la serie de potencias; uno de sus logros fue el descubrimiento de la expansión de potencias de la función arco tangente. Introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, definió la función exponencial para números complejos y descubrió la relación de las funciones trigonométricas. Euler contribuyo en el entendimiento de los números perfectos y avanzo en la investigación en el teorema de los números primos.

Rene Descartes Para llegar a la verdad hay que dudar por todo, para hacer un juicio hay que guiarse por un pensamiento abstracto mas que por la experimentación y la observación. La madre de Rene murió cuando el tenia un año, su padre le educo personalmente ya que era un niño enfermizo. Su padre decidió enviar a su hijo al colegio en 1606 para descartes su educación empezó cuando conoció la poesía. en el colegio tuvo una gran educación , Cuando terminara le dieron a escoger entre dedicarse a la vida eclesiástica o militar , Rene no gustaba de ninguna de las 2 así que le pidió tiempo a su padre para pensarlo , y decidió irse a Paris y empezó a jugar a las cartas cosa que le gustaba mucho ya que tenia la posibilidad de ganar dinero y hacer cálculosmatemáticos tiempo después cansado de esa vida se fue a estudia derecho , a los 20 años Rene se licencio de derecho y decidió dedicar su vida a viajar ya que el ejercito le brindaba esta oportunidad ya que Rene se presento voluntario a los 22 años lo dejo a los 24 y los siguientes 9 años seria viajando por el mundo y así mismo abriendo su mente y conociendo. Cuando Rene era militar aseguro que las matemáticas funcionan con conceptos exactos y precisos mientras que las otras ciencias solo se complementan con suposiciones.

Así que decidió empezar hacer teorías del las estructura del universo basadas en las matemáticas con el tiempo se dieron conocer y a descartes eso no le gusto ya que pensaba que la fama limitaría su libertad, así que decidió trasladarse a holanda donde al habiente era perfecto para sus investigaciones. En holanda descartes entablo una relación secreta de 6 años con Elena la criada de un amigo de descartes de la cual nació Francine su hija , a la cual descartes quería mucho pero siempre decía que era su sobrina, a los 5 años la pequeña niña murió lo cual causo un gran golpe para el , aun así la pena no logro separarlo de la ciencia , Así que se entrego por completo a su trabajo y empezó a tener una vida muy saludable hacia ejercicioconstantemente y comía frutas y verduras ya que afirmaba que la salud era lo mas preciado. En 1637 descartes publico el tratado discurso del método, en el cual se debía enfocar el pensamiento en la búsqueda de verdad científica y hay planto las bases de la lógica, después hizo obras como meditaciones de la primera filosofía, principios de la filosofía y pasiones del espíritu con estas obras descartes ubico las bases de la geometría analítica.

Cuestiono el origen del sistema solar, formulo una teoría por la cual los organismos vivos eran maquinas complejas que funcionaban mediante las leyes de la naturaleza, introdujo en concepto reflejo y su descripción de la anatomía de un ojo seria envidiada por muchos. En 1647 el gobierno Frances le dio una pensión por sus meritos así que regreso a Francia pero no lo tomaron en cuenta por eso fue que decidió aceptar la invitación de la reina cistina y se fue a vivir a Estocolmo, pero no le gustaba ese ambiente. Mientras cuidaba a un amigo enfermo Descartes contrajo neumonía y falleció el 11 de febrero de 1650. Las teorías de descartes abrieron el mundo a mejorar las matemáticas, medicina y ciencias así que fue alguien esencial en el mundo de los pensadores e intelectuales. Para realizar una énfasis en la interesante vida del filosofo matemático descartes e decidido céntrame en una de sus mas importantes obras conocida como la geometría analítica pero antes debemos saber que el matemático quería que el mundo viera la naturaleza en términos matemáticos Así que descartes simboliza con un árbol , diciendo así que la raíces eran la metafísica ,el tronco la física y las ramas todas las demás ciencias Descartes trato de hallar una matemática universal y en su búsqueda encontró algo mas practico la geometría analítica así que introdujo el algebra de símbolos a las manipulaciones geométricas de la antigüedad cambio el rumbo de las matemáticas para siempre , la geometría analítica es una idea que nace de Descartes con el fin de poder lograr hacer una mate sistematizada y severa , lenguaje sencillo y claro para que pueda gravarse fácilmente en la memoria. El principal objetivos es unir la geometría con el algebra así que sustituye las palabras enteras , abreviaturas y notaciones por un simbolismo

puro que se conserva casi integro hasta nuestros días , en este considera el segmento como una unidad o un numero transformando así la geometría en aritmética como la suma la resta la multiplicación o división de un segmento da a lugar a otro segmento ; Descartes relaciona los números con las operaciones mismas enfrentando problemas netamente algebraicos ya que sabe que los problemas geométricos lineales y cuadráticos se pueden resolver por medio de la regla y el compás ya que los considera problemas de plano , así que se decide a resolver ecuaciones de mayor grado de complejidad por curvas algebraicas engendradas paso a paso por mecanismos lineales del movimiento al usar elementos de referencia en posiciones especiales , resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando así operaciones de mayor complejidad , entre sus ejemplos se encuentra la concoide y el ovalo de Descartes . Habla de la tangente creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemática y que sus métodos de tangentes y normales son los mas sencillos. Descartes Y Fermat son los creadores de la geometría sobre ejes de coordenadas donde el algebra y la geometría se reúnen en el trazado de graficas, ecuaciones y desigualdades. Para concluir decimos que el calculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII Estudiando figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuación. Para finalizar afirmamos que el gran pensador descartes además de dedicar su vida a las matemáticas nos ayudo a generar mucho progreso en ámbito matemático.

SofíaKovalévskaya Vivió su infancia en Palibino, Bielorrusia. Tenía gran afición por la literatura y la poesía. Su hermana y dos de sus tíos influyeron marcadamente en su vida. A menudo se sentaba en un banco del patio para ver mecerse con el oleaje, provocado por el viento, la pelota del estanque quedándose sumergida en sus pensamientos matemáticos. Bajo la guía del tutor de su familia, Sofía comenzó sus primeros estudios reales de matemáticas. A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra. Por esa época escribió: "Comencé a sentir una atracción tan intensa por las matemáticas, que empecé a descuidar mis otros estudios". Pero su padre, a quien le horrorizaban las mujeres sabias, decidió interrumpir las clases de matemáticas de su hija, aún así Sofía siguió estudiando por su cuenta con libros de álgebra y así aquello que nunca había estudiado lo fue deduciendo poco a poco. Sofía tenía la capacidad de explicar y analizar en base al conocimiento previo que tenía y así expuso por sí misma lo que era el concepto de seno y como había sido inventado originalmente. Un profesor descubrió las facultades de Sofía, y habló con su padre para recomendarle que facilitara los estudios a su hija. Después de unos años padre finalmente accedió a que Sofía comenzara a tomar clases particulares. Su adolescencia fue la época de las grandes revoluciones del siglo XIX en las que el socialismo feminista iba ganando terreno. Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que se contraían matrimonios de conveniencia. Eso es lo que hizo Sofía para escapar de control paterno y poder salir a estudiar. Así se casó con Vladímir Kovalevski y se marchó a Heidelberg, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente. Pronto atrajo la atención de los profesores, que la recomendaron para estudiar en la universidad de Berlín con Karl Weierstrass, a quien se consideraba el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella en privado. A los 24 años recibió por parte de la Universidad de Göttinger un doctorado en filosofía, algo imposible para cualquier mujer de su época, sin embargo sintió la crudeza del rechazo hacia su género, cuando regresó a Rusia, teniendo esos inimaginables dotes, un doctorado y la influencia de su mentor Weierstrass, no consiguió trabajo debido a que nadie querría una mujer como docente, sino hasta 1883 su esposo se quita la vida por problemas económicos, quedando devastada recibe una noticia

que la llevaría al auge de su actividad científica y literaria, el matemático sueco Mittag-Leffler le propone trasladarse a Estocolmo para trabajar como docente en la universidad. En la Universidad de Estocolmo Kovalévskaya dio con gran éxito 12 cursos sobre diferentes aspectos de las matemáticas, escribió su autobiografía que años más tarde le llevaría a ser miembro de la respetada Academia de las Ciencias de Rusia. Posteriormente realizó estudios.

sobre el concepto de seno y esto la llevó a ganar el Premio Bordin de la Academia de las Ciencias de París y más tarde el premio de la Academia de las Ciencias de Suecia.

Al morir a los cuarenta y un años de gripe SofiaKovalévskaya nos deja como legado sus trabajos más importantes y un legado en la historia de la ciencia universal recibiendo la tan merecida gloria o solo por sus increíbles descubrimientos, sino por su carácter y su talento.

Otros aportes significativos:

Al ser una mujer brillante y exitosa Sofía realizó una serie de aportes que contribuyeron en su carrera como matemática y que hoy en día son base fundamental de la matemática que vemos.

1. Sucesiones y el infinito: Durante el siglo XlX Sofía contribuye en las investigaciones de sucesiones y series infinitas. A ella se le conoce como la precursora de los que son objetos semigeométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

2. Teorema de Cauchy-Kovalevskaya sobre ecuaciones en derivadas parciales: El trabajo de Cauchy sobre sistemas de ecuaciones diferenciales fue mejorado por Sofía, quién en 1874 en su primera obra Sobre la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales, demostró la existencia de una solución analítica única del problema de Cauchy bajo la condición de analiticidad de los datos. Un notable descubrimiento

de Kovalevskaya es sobre la ecuación con condiciones iniciales analítica en una vecindad de

Para esta ecuación el problema de Cauchy no tiene solución analítica, ya que la serie de potencias que satisface formalmente las condiciones del problema, converge sólo con condiciones iníciales muy especiales. Sofía extendió sus resultados a sistemas normales de EDP, dándoles una forma próxima a la actual. El caso en que los datos no son analíticos ha sido muy estudiado posteriormente, así como otras generalizaciones del teorema de Kovalevskaya.

Sus principales aportaciones al campo de las matemáticas fueron

1. El teorema que lleva hoy el nombre de Cauchy-Kovalevsky, básico en la teoría de lasecuaciones diferenciales parciales.

2. Examinó el concepto analítico desarrollado en la obra de Legendre, Abel, Jacobi y Weiestrass, que dio pie al trabajo de su segundo doctorado, que llevaba por título "Über die Reeduction emer bestimmeten Klasse Abelscher Integrale dritten Ranges auf elliptische Integrale", in Acta Mathematica, 4, 1884, 393-414

3. En su trabajo ganador del Premio Bordin, al que anteriormente hacíamos referencia,generalizó los resultados de Euler, Poisson y Lagrande que consideraban dos casos Elementales de la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo.

4. Sus estudios sobre la dinámica de los anillos de Saturno. El algebrista inglés Sylvester, en 1886, escribió un soneto en la que la nombra "Musa de los Cielos". Su hermano matemático, Fritz Lefler, escribirá un poema en su honor "Mientras los anillos de Saturno brillen todavía mientras los mortales respiren el mundo recordará siempre tu nombre”

Arquímedes fue un griego físico matemático Marcelo capturaron la ciudad de Siracusa mientras

ingeniero inventor y astrónomo que desarrollo el el contemplaba un diagrama matemático y un

método para determinar el volumen de un objeto de soldado romano le ordeno encontrarse con el general

forma irregular, el método de exhausción para a lo que Arquímedes se negó por terminar el enigma

conseguir el valor aproximado del número . e matemático y el soldado lo mato.

importantes avances para el desarrollo de la

Los más importantes descubrimientos realizados ingeniería dentro de los que se encuentran el

por Arquímedes se encuentran el principio tornillo de Arquímedes, la primera explicación

hidrostático con su nombre que consiste en un conocida del principio de iniciar una palanca y el

método para determinar el volumen de un objeto con principio hidrostático físico que lleva su nombre.

forma irregular teniendo en cuenta que al sumergir

un objeto en agua y sabiendo que esta no se puede Arquímedes nació en el año 287 ac. En la ciudad de

comprimir desplazara la cantidad de agua igual a Siracusa que en ese tiempo era colonia de Magna

su volumen y que todo cuerpo sumergido en un Grecia, hijo de Fidias un astrónomo del cual se tiene

líquido experimenta un empuje de abajo hacia poco conocimiento, Arquímedes estudio en

arriba igual al peso del líquido desalojado.Alejandría donde tuvo como maestros a Conón de

Samos y a Eratóstenes a pesar que no se sabe

Otro de sus descubrimientos importantes es el demasiado sobre la vida de Arquímedes, se conoce

cálculo de la longitud de una circunferencia por el algunas anécdotas especificas que llevaron después

método de exhausción y el método de comprensión, de un análisis a sus importantes descubrimientos

este método desarrollado en la antigüedad para una de estas es la de su descubrimiento del principio

reducir los círculos o curvas a segmentos de recta hidrostático. Que establece que Todo cuerpo

con la mayor aproximación posible. De esta forma sumergido en un líquido pierde una parte de su peso,

Arquímedes, dibujó un polígono regular inscrito y o sufre un empuje de abajo arriba, igual al del

otro circunscrito a una misma circunferencia, de volumen de agua que desaloja. Si el peso del objeto es

manera que la longitud de la circunferencia y el menor que el del agua que ocupa el mismo volumen, el

área del círculo quedan acotadas por esos mismos cuerpo flota. Si es igual, permanece en equilibrio

valores de las longitudes y las áreas de los dos hundido en el líquido, y si es mayor se hunde este lo

polígonos, A medida que se incrementa el número de descubrió después de notar que al sumergirse en su

lados del polígono la diferencia se acorta, y se bañera el agua se iba saliendo y salió corriendo

obtiene una aproximación más exacta. desnudo gritando Eureka que da entender lo

Adicionalmente Arquímedes realizó la aplicación de encontré. Arquímedes falleció en al año 212 ac

este método para durante la segunda guerra púnica cuando las

fuerzas romanas al mando del general Marco Claudio

p

ARQUÍMEDES Y SUS DESCUBRIMIENTOS

hallar un valor bastante aproximado de , iniciando con un hexágono

y doblando el número de lados hasta llegar a un polígono de noventa y

seis lados, Arquímedes calculó que el valor de debía encontrarse

entre 310/71 (aproximadamente 3,1408) y 31/7 (aproximadamente

3,1429), lo cual concuerda con el valor actual calculado de .

adicionalmente halló que la longitud de una circunferencia es igual a

p multiplicado por el cuadrado del radio del circulo.

Por otra parte otro desarrollo importante por parte de este

matemático, y uno de los mas relevantes incluso para él mismos fue el

cálculo de del área y el volumen de una esfera relacionándolo con el

área y volumen de un cilindro. Determinando que el volumen de una

esfera es 4/3 del volumen de un cilindro circunscrito a ella.

Arquímedes inició este análisis dibujando un cilindro, una

semiesfera y un cono recto de base igual al círculo máximo de la

semiesfera, posteriormente dividió a estos por una recta paralela a

la base del cilindro, luego tras determinar el radio de las figuras

resultantes se tiene como conclusión que volumen del cilindro es igual

a la suma del volumen de la semiesfera

p

p

p

· Volumen del cilindro = p r2· Volumen cono=p r3/3

· Volumen semiesfera= 2p r3/3 Por último Arquímedes desarrollo también la primera

explicación para accionar la palanca concluyendo

con una de sus más importantes citas «Dadme un

punto de apoyo y moveré el mundo». Aunque existen

muchos descubrimientos adicionales realizados por

Arquímedes estos son de los más relevantes y

aplicados a la actualidad y cabe destacar el

concepto de aproximación y limites aplicado por

éste matemático para establecer valores muy

difíciles de hallar en la época.

Laura Carrero, María Paula González, Gabriela Avendaño. Grado 10C

Arquímedes de Siracusafue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del

1agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la

23historia. Usó el método de exhausción para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente

4precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa, cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto

Aquimides

Los comentarios de las obras de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas

5durante el Renacimiento, mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus

6resultados matemáticos.

Otros descubrimientos e invenciones

Si bien Arquímedes no inventó la palanca, sí escribió la primera explicación rigurosa conocida del principio que entra en juego al accionarla. Según Pappus de Alejandría, debido a su trabajo sobre palancas comentó: "Denme un punto de apoyo y moveré el mundo". Plutarco describe cómo Arquímedes diseñó el sistema de polipasto, permitiendo a los marineros usar el principio de palanca para levantar objetos que, de otro modo, hubieran sido demasiado pesados como para

45moverlos.

También se le ha acreditado a Arquímedes haber aumentado el poder y la precisión de la catapulta, así como haber inventado el odómetro durante la Primera Guerra Púnica. El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranaje que tiraba una bola en un

46contenedor después de cada milla recorrida. Además, en el intento de medir la dimensión aparente del sol, utilizando una regla graduada, Arquímedes, para tratar de reducir la imprecisión de la medida, probó a medir el diámetro de la pupila del ojo humano. Utilizando ese dato en sus cálculos logró una estimación mejor del diámetro solar.

Cicerónmenciona a Arquímedes brevemente en su diálogoDe re publica, en el cual describe una conversación ficticia en el año 129 a. C.. Se dice que, después de la captura de Siracusa c. 212 a. C., el General Marco Claudio Marcelo llevó de vuelta a Roma dos mecanismos que se usaban como herramientas para estudios astronómicos, que mostraban los movimientos del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnidos. El diálogo dice que Marcelo guardó uno de los mecanismos como su botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. De acuerdo a Cicerón, Cayo Sulpicio Galo hizo una demostración del mecanismo de Marcelo,Matemáticas

Si bien la faceta de inventor de Arquímedes es quizás la más popular, también realizó importantes contribuciones al campo de las matemáticas. Sobre el particular, Plutarco dijo de él que "tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica y todo arte aplicado a nuestros usos, y ponía únicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil, diversas y separadas de las demás".

Arquímedes utilizó el método de exhausción para conseguir el valor aproximado del número p .

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo, era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número p . Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de p debía encontrarse entre

10 13 / y 3 / ,lo cual es consistente con el valor real de p . También demostró que el área del 71 7

círculo era igual a p multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido

52como la propiedad arquimediana de los números reales.

En su obra sobre la Medición del Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz 265 1351cuadrada de 3 de entre / y / . El valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por 153 780

lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

Johann Carl Friedrich Gauss

Para comenzar, recordemos sancionada en muchos matemático se atrevió a que Carl Friedrich Gauss, estados alemanes, y condujo explorar nuevos campos conocido como el príncipe de a la Guerra de los treinta años científicos como el magnum las matemáticas, nació en (1618-1648), la cual devasto opus, las disquisiciones Alemania alrededor de 1777, el territorio Alemán. La paz aritméticas y la teoría de los la situación en este entonces de Westfalia termino la n ú m e r o s . F í s i c a m e n t e se derivaba en Imperios guerra religiosa, a pesar de estudio la mecánica, la medievales, creados por que el imperio fue dividido acústica, la capilaridad y la Carlomagno en el 800 antes en numerosos principados óptica, en este último publicó de Cristo y conservados en independientes. En 1806 el u n t r a t a d o l l a m a d o diversas formas hasta 1806. imperio fue invadido y Investigaciones dióptricas. Bajo el reinado de la Dinastía disuelto como consecuencia S i n d u d a a p o r t o Sajona, los ducados de de las guerras napoleónicas. s i g n i f i c a t i v a m e n t e e n Lorena, Sajonia, Franconia, campos de la matemática y de Tras los 30 años de Gauss, Suabia, Turingia y Baviera se la ciencia, por esto es viviendo la ruptura del consolidaron, así que un solo considerado el matemático imperio, surgen nuevas Rey alemán, fue coronado más grande de la antigüedad.corrientes filosóficas entre emperador del Sacro Imperio las más significativas está la Gauss fue un matemático muy Romano Germánico de estas ilustración, una de las importante ya que hizo regiones. Más tarde en 1125, posibles razones por la muchos descubrimientos, se este imperio absorbió el c u a l e s m o t i v a r o n a l podría considerar como uno norte de Italia y Borgoña. Por matemático a descubrir y de estos el descubrimiento de otro lado los emperadores d i s e ñ a r t e o r í a s . E n un planeta, gracias a todas Hohenstaufen, aumentaron Alemania, la ilustración se las técnicas y estudios que su influencia hacia el sur y centra en un análisis de la hizo a lo largo de su niñez se territorios habitados por los razón, con la intención de pudo ver la ubicación del eslavos, en el norte alemán encontrar un conjunto de quinto planeta. Es importante c r e c i e r o n c i u d a d e s principios que rijan el ya que con sus obras de prósperas. conocimiento en ámbitos astronomía ayudo a dar En 1517, Martin Lutero, b io lóg ic os , m or a le s y g r a n d e s p a s o s e n l a escribió las 95 tesis donde p o l í t i c o s . L a p o s i c i ó n ubicación de más planetas, cuest ionaba la Ig les ia iluminista es atreverse a incluso no solo planetas si no C a t ó l i c a R o m a n a , saber, a ser racional. también pequeñas partículas provocando con ella la que se encontraban cerca de Con lo anterior podemos Reforma protestante. Esta Ceres, este grupo de cuerpos afirmar que Gauss, un gran nueva religión conocida se llamo el cinturón de a s t r ó n o m o , f í s i c o y c o m o l u t e r a n a e s t a b a asteroides.

Gauss descubrió la forma para crear un heptadecagono tan solo con un compas y una regla, esto ayudo a sacar las diagonales y sacar los vértices de cada una de las figuras geométricas, además de las aportaciones a la geometría, esto sirvió como base para el teorema de construcción de polígonos combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico.

Otra aportación que dio fue el magnetismo, pudo descubrir que el origen de un campo magnético estaba en la tierra, gracias a esto se pueden hoy en día revisar las placas tectónicas y su movimiento, también la creación de un telégrafo el cual funciono ayudo para la comunicación entre las personas

Johann Carl Friedrich Gauss nace el 30 de abril de 1777, en Brunswick, haciendo parte de una familia muy pobre, lo que no le quitaba sus respetuosas, modestas, tímidas y obedientes costumbres, anexando su enorme talento para los números y el lenguaje, ya que aprendió con gran facilidad la aritmética y paralelamente a leer por su propia cuenta

Fue llamado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad" siendo un alemán muy reconocido por sus aportes matemáticos, científicos, astronómicos y físicos donde trataba temas referentes a la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica y tuvo la iniciativa de profundizar conceptos como divisibilidad a otros conjuntos.

Aunque no era común en Gauss dictar clases, algunos de sus pocos alumnos destacados fueron Richard Dedekind y Bernhard Riemann.

A los siete años, en 1784, inicia su proceso educativo, recibiendo clases de su maestro Büttner en una escuela primaria de Brunswick, y se dice que a los dos años siguientes ya contaba con la habilidad de resolver problemas aritméticos de alto nivel de complejidad.

Todo esto fue complementándose, después de conocer a Bartels, quien le ayudo a resolver los manuales sobre algebra y análisis elemental con los que contaban en su época, dando paso a la gestación de nuevas ideas acerca de las matemáticas, después de largas consultas relacionadas con autores como Newton, Euler, Lagrange, que a su forma de ver no tenían gran rigor en sus demostraciones.

Teniendo 10 años logra sumar los 100 primeros números un día en su escuela, tras pocos segundos de haberle sido asignado afirmando que la suma era de 5.050, dándose cuenta de que la suma del primer término con la del último, era constante al igual que la del segundo con el penúltimo y así sucesivamente, y establece la fórmula de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término, dónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión.

Paso así a fijar su mirada un poco más en la geometría contando con tan solo 12 años y a los 16 ya tenía algunas ideas intuitivas referidas a una geometría de otro tipo.

A la corta edad de 14 años, logra conocer al duque Ferdinand y consigue asegurar su educación económicamente, de tal manera que un año después ingresa al Colegio Carolino, aprendiendo nuevos idiomas como el griego y el latín, después de tres años al ya haber planteado la ley de los mínimos cuadrados y sintiendo intriga por la teoría de errores de observación y su distribución, aun contaba con algunas dudas de si quería estudiar matemáticas o filología.

A los 17 años, Gauss inicia complementaciones de ideas acerca de la teoría de los números, y la pasión por la aritmética duro toda su vida, afirmando que “La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas”.

Siendo un poco más maduro, en 1796, demuestra como de dibuja un polígono de 17 lados con polígonos y compás lo cual fue publicado en la sección VII de la famosa obra de Gauss, Disquisitiones Arithmeticae y prueba estrictamente el teorema fundamental del álgebra basándose en ideas de Jean Le Rond d'Alembert.

En 1799, regresa a Brunswick y finalmente se gradúa, posteriormente presenta una tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt con ayuda de su duque, contando como asesor principal el señor Pfaff, sin embargo esta tesis trajo controversias y debates en el teorema fundamental del algebra.

Sin dejar atrás la teoría de los números y sistematizando esta rama, en 1796 complementa su magnum opus y se publica en 1801 como un trabajo titulado Disquisitiones Arithmeticae que contaba con 6 secciones, la última de ellas exponiendo su tesis doctoral, sin conformarse con esto, paralelamente predice la órbita de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.

En junio de este mismo año, Gauss logra vincularse con Zach, un gran astrónomo que ya conocía dos o tres años atrás, aproximadamente, con el que logra tratar temas referentes a las posiciones orbitales de Ceres, conocido como un nuevo “pequeño planeta”, descubierto anteriormente por G.Piazzi, que observo tan solo 9 grados de su órbita antes de desaparecer detrás del sol.

Vemos como en 1802 es nombrado director de Obsevatorio de Göttingen tras haber visitado a Olbers, y explica como calcular y definir la órbita de un planeta en su obra Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, y decide tratar temas según sus volúmenes, en el primer volumen se discuten las ecuaciones diferenciales, secciones cónicas y órbitas elípticas, y en el segundo volumen, expone cómo estimar y luego afinar la estimación de la órbita de un planeta. Entre sus inventos encontramos el heliotropo, el cual reflejaba los rayos del sol, por medio de un diseño de espejos y un telescopio. Aun así, las líneas de base errónea fueron utilizadas para el estudio y una red insuficiente de los triángulos. En 1823, hablando de la estadística publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, que aunque no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal, más adelante denomina como Campana de Gauss a la curva característica que se presencia en casos donde los datos suelen ser susceptibles de estar alterados por errores sistemáticos y casuales.En 1828, muestra su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva, enfatizando en la geometría diferencial, exponiendo el Teorema Egregium y es aca donde se da a conocer el término Curvatura Gaussiana.Gerling, fue quien acompaña a Gauss en su último intercambio científico más conocido, donde habló de un péndulo de Foucault vez en 1854, asistió a la apertura del nuevo enlace ferroviario entre Hannover y Göttingen, que fue su última salida tras el deterioro lento de su salud.Dejando grandes aportes e incomparables descubrimientos Gauss muere en Göttingen el 23 de febrero de 1855 mientras dormía en la mañana.María Paula Alzate Sierra, Daniela Bello, Camila Bocanegra Salas,Camila Salinas

RESEÑA CRITICA: ISAAC NEWTON

RESEÑA CRITICA: ISAAC NEWTON

Es de esperarse que todos hayamos oído en algún punto de nuestras vidas acerca de Isaac Newton y de las grandes contribuciones que éste hizo a la humanidad y en especial a la ciencia. En caso de no haber sido así, estás leyendo el texto apropiado y que seguramente te dejara mucho de enseñanza. Pues bien, siendo así, es menester entonces adentrarnos un poco más en la vida de semejante personaje tan importante y conocer acerca de sus enormes aportes y de las repercusiones y efectos que estos han tenido hasta hoy en día en la humanidad.Sir Isaac Newton nació el 4 de Enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; y se desempeño como físico, matemático, filósofo, teólogo, inventor y alquimista. Hijo de Isaac Newton y Hannah Ayscough, ambos campesinos puritanos. Su nacimiento fue prematuro por lo que nadie guardaba esperanzas de que fuese a vivir durante mucho tiempo, sin embargo, creció normalmente. Su padre murió poco antes de que naciera, por lo que su madre se volvió a casar, pero su nuevo esposo no estaba dispuesto hacerse cargo del niño, así que Newton fue enviado a vivir con sus abuelos quienes nunca trato de manera cariñosa. Solo hasta cumplir los 10 años, fue llevado de vuelta con su madre, guardando rencor hacia su padrastro que ya había muerto. Allí estuvo durante poco menos de 2 años cuando su madre entonces optó por enviarlo al colegio The King`s School en donde fue instruido en áreas básicas de la época tales como latín, griego, geometría y aritmética.Desde niño, Newton fue solitario y era constantemente aislado de los demás niños, prefería estar estudiando o jugando bromas que compartiendo tiempo con las otras personas. Sin embargo, no todo era voluntad de él, puesto que los demás lo consideraban muy astuto y a menudo se sentía intimidados por su presencia y su capacidad intelectual , lo que era causante de que no pasaran tiempo con él en lo absoluto. Aun así, tenia mejores relaciones con el sexo femenino, y compartió mucho tiempo con su amiga llamada Miss Storer, quien describía a Newton como silencioso, pensativo y con la que sostuvo, aparentemente, su primera relación sentimental.Newton se esforzó por ser el mejor en el colegio a raíz de una pelea con uno de sus compañeros, quien tenía fama de obtener resultados muy buenos. Newton un día, lo reto a una pelea y lo venció, no solo físicamente, sino que también logro sobrepasarlo académicamente. Desde joven ya fabricaba objetos en madera, muebles de muñecas, maquetas, carros de cuatro ruedas, una linterna de papal, relojes de sol e incluso un molino que supero al original en muchos aspectos. A estas actividades dedicaba bastante tiempo por lo que su promedio bajaba de vez en cuando, pero aun así no era un esfuerzo mayor para el volverlo a recuperar y siempre fue destacado.Al cumplir los 18 años, Newton ingreso a la universidad de Cambridge en donde más que asistir a sus clases, se dedico a leer libros de su interés, como lo eran la Geometría de Descartes, la Óptica de Kepler, entre otros, y que fueron base de sus investigaciones siguientes. Newton fue poco a poco adentrándose más en estas áreas y conoció en 1663 a Isaac Barrow, su primer profesor de matemáticas, quien hizo que su fama fuese creciendo hasta llegar a integrar la Royal Society.En 1693 se afirma que sufrió una crisis psicológica acompañada de depresión y ataques paranoicos; todo como consecuencia de sus largos periodos de aislamiento aunque muchos dicen que se debió a su envenenamiento con sus experimentos alquímicos, calificados de ilegales en la época. Después de esto, ocupo cargos muy importantes como magistrado y director de la Casa de la Moneda. A pesar de todo esto, Newton siempre estuvo más interesado en la religión y la alquimia, que eran temas que lo apasionaban en realidad y que le generaron problemas, especialmente la religión, pues defendía el arrianismo e iba en contra de la doctrina trinitaria, lo que era visto como algo extremadamente malo al haber el estudiado en el Trinity College, que por su nombre, es fácil destacar que predicaba aquella doctrina.

Al final se pudo acordar que ambos intercambiaban ideas constantemente y que ambos habían puesto en práctica los métodos usados por el otro. De acuerdo con lo anterior, Newton estudio mucho el teorema del binomio que es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma.Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.En 1685, Newton dio vida a la ley de la gravitación universal, que explicaba infinidad de fenómenos físicos, que no habían podido ser resueltos hasta ese entonces y que posteriormente derivo 3 leyes del movimiento. La ley descubierta por Newton se establece como F=G M1*M2/R2En donde F es la fuerza, G la constante gravitacional, M1 M2 las masas de los cuerpos y la R la distancia que existe entre dichos cuerpos.Ahora bien, las leyes de Newton pretendía explicar el movimiento de los cuerpos y son 3: La primera ley de Newton o la ley de la inercia, postula que un cuerpo

permanece en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza actué sobre el y le haga cambiar su trayectoria. Por tanto, un cuerpo en movimiento según Newton, se encuentra constantemente sometido a fuerzas de roce y de fricción que los hace frenar de manera progresiva. Es decir que, así como salió de su estado de reposo, no ha de volver a este si no se aplica otro tipo de fuerza sobre el cuerpo.La segunda ley de Newton o ley de interacción y la fuerza, dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo siendo la constante de proporcionalidad del cuerpo, su masa. Por tanto F=m*a. Fuerza se ve representada por un Newton, equivalente a kg*m/s2.Ya por último, encontramos la tercera ley de Newton o ley de acción-reacción. Esta ley establece que las fuerzas son el resultado de la acción de un cuerpo sobre otro. Aquí observamos que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este devuelve la misma fuerza, en igual magnitud y dirección pero sentido contrario. En este caso, la primera fuerza es la acción y la segunda, la reacción

Mary Somerville

En este proyecto se va a hacer énfasis en un personaje que ocupó un papel fundamental e importante en el desarrollo de las matemáticas, conocida como Mary Somerville, es indispensable resaltar en ella la importancia que tienen las mujeres, teniendo en cuenta que en el tiempo que se dieron a conocer no eran consideradas aptas intelectualmente para realizar contribuciones significativas a la sociedad, lo cual se convertía en unobstáculo para poder progresar. Es así como este proyecto girará en torno a mostrar cada uno de los aportes que dicho personaje efectuó para el progreso de las matemáticas.

Inicialmente fue Mary (nacida en Escocia el26 de diciembre de 1780 - 28 de noviembre de 1872), quien se destacó por ser un ejemplo de vocación, debido a que en un principio fue dedicada completamente a sus seis hijos realizando labores domésticas, sin embargo su padre no estuvo de acuerdo con que efectuara una educación puesto que en su época (1780-1872), “estaba viviendo el surgimiento de nuevas ideologías políticas tales como el socialismo, un control que se da a través de una organización colectiva y consistente de la vida social y económica y por otra parte el marxismo, un conjunto de doctrinas y regímenes políticos y filosóficas, en donde el contexto de éste momento, (siglo XIX)” las mujeres no se hacían participes de el desarrollo de nuevas investigaciones de ningún tipo, sin embargo ésta se identificó por ser una época de grandes cambios en los ámbitos de la vida y el conocimiento en donde la ciencia y la economía son reconocidas en el término científico. Fue así como a pesar de su padre no estar de acuerdo con que se hiciera presente en aspectos científicos, en el instante en el que queda viuda, decide empezar a fomentar sus conocimiento a través del estudio gracias al doctor Somerville quien le infunde ejemplos de mujeres que han evolucionado y la incentiva a aprender Latín, lo cual se convierte en un primer paso para ella comenzar una vida en el desarrollo de su intelecto haciendo énfasis en el ámbito científico.“Sus intereses hacia la geometría empiezan en el momento en que asiste a un curso de pintura y danza, donde logra relacionar algunos conceptos de la vida cotidiana con ámbitos de la matemática entre lo que se destaca la geometría” y además de esto en la resolución de pasatiempos matemáticos para mujeres de la época, puesto que esta era la única alternativa de aprendizaje para la mujer, y Mary con su inteligencia aprovechaba todos los espacios en los cuales lograra desarrollarse intelectualmente. Es por esto, que en alusión a su habilidad matemáticas, se recalcan los pasatiempos en relación a ecuaciones algebraicas para que así logre ser útil y facilite el apropiado desarrollo cognitivo en relación a dicho tema, así como aclarar conceptos, mejorar las destrezas de algebra y traer todos los criterios matemáticos a situaciones que nos permitan dar su aplicación.

“La experiencia de Mary Somerville sometida a la superación

de pruebas para el desarrollo de su intelecto matemático”

todos los espacios en los cuales lograra matemáticas. Gracias al interés obtenido por desarrollarse intelectualmente. Es por esto, esta materia , se preocupa por la que en alusión a su habilidad matemáticas, se investigación de variedad de aspectos recalcan los pasatiempos en relación a relacionados tanto con la parte científica en ecuaciones algebraicas para que así logre ser general como la matemática, escribiendo útil y facilite el apropiado desarrollo libros de astronomía que llevan al cognitivo en relación a dicho tema, así como descubrimiento de Neptuno y a su vez el aclarar conceptos, mejorar las destrezas de invento de las variables Algebraicas X, Y y Z. algebra y traer todos los criterios Su primer triunfo, se trata del logro de una matemáticos a situaciones que nos permitan medalla de plata con el mérito de la solución dar su aplicación. de un problema sobre ecuaciones

algebraicas. “Su hermano fue un gran apoyo e influencia para su aprendizaje, debido a que cuando él Las expresiones algebraicas han sido la base recibía sus tutoría Mary trataba de poner para el desarrollo de variedad de temas atención a dichas clases resolviendo contenidos en el algebra, es por esto que se rápidamente los problemas planteados por el destaca este tema como primordial en los

5 estudios de Mary Somerville, de esta manera Tutor” , en ese momento su hermano se da una ecuación es una cuenta de su destreza en cuanto a las entre dos , matemáticas y le compra libros científicos denominadas miembros, en las que aparecen como el primer libro de problemas de valores conocidos o , y desconocidos o Euclides, que se caracterizó por ser un gran

, re lac ionados mediante personaje en la historia de las matemáticas y operaciones matemáticas. Los valores con sus aportes ayudó al desarrollo conocidos pueden ser , intelectual de otros personajes que a su vez o ; y también cuya promovieron las problemáticas planteadas magnitud se haya establecido como resultado por él.de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, Tras pasar el tiempo Mary se apasionó constituyen los valores que se pretende bastante por los aspectos relacionados con la hallar. matemática y ciencia, “a sus 24 años de edad

se casa con Samuel Greig con el motivo de En un principio la ecuación planteada por poder continuar con sus estudios a causa de Mary Somerville, es una ecuación que hoy que él carecía de conocimientos científicos y

6 en día la llamamos ecuación de primer matemáticos” , fue tres años después cuando grado la cual es de la forma x+y=z, quedó viuda y se interioriza aún más en las

igualdad matemáticaexpresiones algebraicas

datosincógni tas

números coeficientesconstantes variables

con su signo contrario, es decir si esta sumando creación de su cuarto libro llamado “On Molecular

pasa a restar, si está restando pasa a sumar, si está and Mycroscopic Science”. Pasado un tiempo,

multiplicando para a dividir y si esta dividendo cuando Mary tenía 92 años de edad afirmaba que:

pasa a multiplica. En el caso "Tengo 92 años..., mi memoria para los

acontecimientos ordinarios es débil, pero no para

de tener la variable en una raíz se procede a aplicar las matemáticas o las experiencias científicas.

potencia a ambos lados y en caso de una potencia se Todavía soy capaz de leer libros de álgebra superior

procede a aplicar raíz a ambos lados para durante cuatro o cinco horas por la mañana, e 8

eliminarla. incluso de resolver problemas" .

El cambio radical de su pensamiento en cuanto al

Existen ejercicios aplicados a razonamientos de impulso por adquirir conocimiento, puede tener su

lógica matemática, entre los que la solución a explicación por la revolución de 1848, fue en ésta en

ecuaciones algebraicas son los más destacados. donde el movimiento republicano en Italia, Austria

y Alemania impactó la vida cotidiana en la sociedad Retomando su biografía, pasado un tiempo, Mary se

por la aparición de la maquina, posteriormente casa con William Somerville quien es su primo, un

conocida como la base de la industria, lo que llevó a medico interesado por la ciencia, a diferencia de

abrir puertas para el desarrollo mental de quienes Mary y a pesar de sus arduos conocimientos en la

hacían parte y la conformaban en éste momento, es ciencia, William no era un hombre con ambición

de esta manera como en el caso especifico de las personal. “ A partir de sus aprendizajes escribió

mujeres trataron de hacerse más participes en varios libros de astronomía, su primer trabajo fue

luchas sociales gracias a que eran explotadas “disertación preliminar” y su segunda publicación

laboralmente realizando trabajos en fábricas. se trato de la “conexión de las ciencias físicas”. En

el año de 1838 Mary se muda a Italia, donde recibe

honores por sus obras y entre ellas se distingue la

medalla de oro Victoria de la Real Sociedad

Geográfica; es así como con base en sus experiencias

obtenidas a lo largo de su vida es reconocida por su

empeño en la educación de las mujeres y la elección

femenina”. Continuamente publicó una obra

denominada “Physical Geography” Que la realizó,

sin abandonar sus estudios, estando su esposo en un

estado crítico de salud que lo llevó a la muerte, y a

su vez en éste mismo momento de crisis se da la

muerte de uno de sus hijos, por lo que se va a vivir a

Nápoles, donde a la edad de 85 años empieza la

Pitagoras

Pitaras de Samos (580 a.C- 520 a.C) fue mediados del siglo V acaba con ellos. Muchos filosofo griego nacido en la isla de Samos, y deciden marcharse a Grecia. Para el año 390 muere en Metaponto. Pitágoras es a.C ya no hay escuelas Pitagóricas.considerado el primer matemático puro y Si bien dicen que Pitágoras no dejo escritos, creador de una secta religiosa regida por sin embargo algunos historiadores le códigos secretos. atribuyeron 3 obras:Hijo de Mnesarchus, quien fue un mercader · De la educación.proveniente de Tiro, pero dice la historia · Del hombre de estado.que llevo maíz a Samos y como gratitud fue · De la naturaleza.declarado ciudadano de Samos, mientras que Pithais era nativa de Samos.En la vida de Pitágoras se puede distinguir Los descubrimientos de la escuela tres etapas: Pitagórica, se atribuían a Pitagoras

· En el mundo griego por lo que es difícil determinar con · En los viajes de Babilonia y Egipto. exactitud cuales resultados son obra · En la Magna Grecia. del maestro y cuales de los discípulos.

De pequeño Pitágoras viajaba mucho con su Entre los acontecimientos que se le padre. Hay registros de Pitágoras en Tiro, atribuyeron a la escuela pitagórica donde aprendió con los hombres ilustrados están: en Siria. Así mismo visito Italia con su padre.

Números irracionales:En el 520 Pitágoras retorna a Samos desde babilona cuando llego el poseía un sistema de

En matemáticas, un número pensamiento más o menos perfilado después irracional es cualquier número real de su larga experiencia por oriente y Egipto. que no es racional, es decir, es un La ciudad le pidió a Pitágoras que expusiera número que no puede ser expresado sus ideas a la sociedad y según la tradición como una fracciónPitágoras dirigió por separado cuatro

grandes discursos a los jóvenes, al senado, a las mujeres y a los niños. Pitágoras fundo una sociedad religiosa y filosófica, en la casa de mitón y aunque el estaba interesado en la filosofía y la matemática, Mirón le cedió parte de su casa.La sociedad que fundó Pitágoras tenía un credo muy estricto y un rígido código de conducta, esta sociedad era igualitaria e incluía varias mujeres. La hermandad Pitagórica era una comunidad religiosa y uno de los ídolos que veneraban era el número. Los pitagóricos creían que a través de las matemáticas, el alma podría ascender de las esferas hasta unirse finalmente de Dios. Después de 20 años los pitagóricos pierden el poder frente a una revuelta que posiblemente está descontenta de la concentración del poder en manos de los pitagóricos, tanto demócratas como aristócratas y otros descontentos.Al morir Pitágoras se mantiene durante otros cuarenta años, pero una nueva revuelta a

Notación: No existe una notación universal para indicarlos, como pi que no es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales, los Enteros, los Racionales, los Reales y los Complejos, por un lado, y que la pi es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.Terna Pitagórica:Una terna pitagórica consiste en una de tres

positivos a, b, c que cumplen que a2+b2 igual a c2Daniela Pérez. Grado 10 C.

tuplaenteros

PRINCIPIO DE EULER.

Este importante tema que desarrollaremos a continuación como es la vida y los importantes aportes de Euler tiene una especial incidencia en nuestros días ya que este gran personaje trabajo en todas las áreas de las matemáticas como lo son la geometría, el cálculo, la trigonometría, el álgebra, la teoría de números, además de física continua, la teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, y uno de sus grandes aportes fue el numero e.

El número e lo definió como aquel número real que es exactamente 1, también define el número e en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión el cual contiene algunas propiedades básicas como lo son: la factorización y la sucesiones de términos generales que nos sirven para hallar y conocer términos desconocidos.

BIOGRAFÍA

Leonard Euler fue un matemático suizo, que se centro en el campo de las matemáticas puras. Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea.

En 1727 fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande.

A sus 30 años se vio afectado por la pérdida parcial de la visión hasta llegar a la ceguera, a pesar de esto produjo numerosas obras matemáticas importantes.

En 1748 realizo la introducción al análisis de los infinitos , realizó el primer tratamiento del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría, la geometría analítica, las superficies tridimensionales y de segundo grado en dos dimensiones, la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Adicionalmente realizó aportes a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica.

Actualmente encontramos a Euler en muchos ámbitos de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler,

polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler.

Muere el 7 de septiembre de 1783.

El numero e

En las matemáticas hay otro número irracional cuyo papel es igual de importante al de ð, sin embargo

es mucho menso conocido a nivel popular.

El número e es un número irracional, con una expresión decimal que empieza: e =

271828182845904523536...

El número fue introducido por la matemática John Naapier, que lo utilizó en el desarrollo de la teoría de

logaritmos sobre 1600. Su versión de los logaritmos "naturales" fue abandonada por la mayoría

rápidamente, sin embargo, a favor de los logaritmos "comunes" de base diez, y fue Leonard Euler (1707-

1783) quien descubrió muchas de las propiedades del número. Euler fue el primero en usar el símbolo e.

Sus propiedades:

1. e es la suma de los inversos de los factoriales.

¿Cómo se calcula un factorial?

n n!

1 1 1 1

2 2 × 1 = 2 × 1! = 2

3 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6

4 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24

5 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 120

*El factorial de 0! =1 ya que ayuda a simplificar. Calculando el factorial: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! +...1/n! Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,718055556 2) e es el límite de la sucesión de término general El valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n: n (1 + 1/n)n 1 2,00000 2 2,25000 5 2,48832 10 2,59374 100 2,70481 1.000 2,71692 10.000 2,71815 100.000 2,71827 � El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna.2,7182818284590452353602874713527 En conclusión podemos decir que el numero e fue un gran avance al describir el crecimiento de las poblaciones, la disolución de alguna sustancia, tasas de crecimiento de una población especialmente de bacterias, brindando así un gran aporte a la microbiología. Por último el nombre de e proviene más probablemente de su uso como exponencial.

Aportes infinitos de Isaac Newton.

Es necesario saber que Isaac Newton nació en Lincolnshire,

Inglaterra, del año 1642. Su padre falleció tiempo antes de su

nacimiento, por lo que su madre contrajo por segunda ves

matrimonio cuando él tenia tan solo 3 años de edad, y tomo la

decisión de dejarlo al cuidado de sus abuelos; en su infancia de

colegio Newton no mantuvo una buena relación con sus compañeros

ya que lo creían un poco extraño por sus ingeniosos inventos a tan

corta edad. Poco tiempo después tuvo que dejar sus estudios y

retornar junto a su madre ya que ella enviudo nuevamente, por lo

que el debió hacerse cargo de la granja familiar, pero 9 meses

después pudo continuar con sus estudios. En 1661 logro entrar a la

universidad de Cambridge con una beca, durante sus años de estudios universitarios, estudió diversos temas,

entre ellos los referidos a la Matemática y a la Física.

Newton se abocó a los problemas científicos y matemáticos, e investigo arduamente sobre estos, como fruto

de su investigación: desarrollo la Teoría de la Gravitación en 1666 cuando vio caer una manzana de un árbol;

en la Óptica, que también llamó su interés, llegó a la conclusión de que la luz del Sol es una mezcla de rayos de

distintos colores, y lo demostró haciendo pasar la luz solar a través de un prisma que la descomponía, Otro de

sus descubrimientos en esta época es el telescopio de reflexión axial; en 1675 descubrió el calculo diferencial e

integral y estableció las leyes de la mecánica cuántica además de la enunciación de las tres leyes de la

dinámica y el teorema del binomio.Newton en 1687 publicó sus Principios Matemáticos De La Filosofía Natural,

con pruebas basadas en la exactitud en la geometría clásica, también expuso allí los resultados de sus

estudios sobre mecánica terrestre y celeste. Postuló en sus Principios las 3 leyes que dieron origen a la Ciencia

Moderna de la dinámica, estas son: • Primera Ley o Ley de la Inercia:

Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo con velocidad constante si no está

sometido a una fuerza exterior. • Segunda ley o ley de la fuerza:

El cambio de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza exterior, inversamente proporcional a la masa del cuerpo, y tiene lugar en la dirección de la fuerza. • Tercera ley o ley de acción y reacción: A toda acción se opone una reacción igual y de sentido contrario. Con la combinación de estas leyes Newton Logró formular la ley de la Gravitación que consiste en que:

• Dos cuerpos se atraen con una fuerza proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Newton dio paso al descubrimiento del cálculo y se pueden distinguir algunos temas centrales estos son (en especial con desarrollos de potencias): • Desarrollo del binomio: Newton generalizo el teorema del binomio para cualquier exponente, considerando una serie infinita donde r es cualquier número complejo, y ademas

• Algoritmos para encontrar raíces de ecuaciones y de inversión de series: El método de Newton permite encontrar las raíces de una función, utilizando la recta tangente, esto lo logra a través de un proceso logarítmico:

• Relación inversa entre diferenciación e integración: Newton es una de las primeras personas que se da cuenta que derivar e integral básicamente son operaciones inversas esto es junto a su gestor Isaac Barrow contribuye con la formulación del llamado teorema fundamental del cálculo, herramienta indispensable dentro del análisis matemático, la cual establece que Para finalizar Newton aportó suficientes ideas a varias ramas del conocimiento como son las matemáticas, la física y la filosofía dejando grandes ilustraciones y bases para el aprendizaje de estas tres áreas. Lo que Newton descubrió hace mucho tiempo ha cambiado a través de los años, pero gracias a sus hipótesis ahora tenemos unas matemáticas tremendamente sólidas.

ELLAS TAMBIÉN PUEDEN El 1 de abril de 1776 en Paris, Francia, nació Sophie Germain, entre la burguesía. Desde los 13 años empezó a estudiar matemática con emoción... emoción que vería trucada por sus padres rápidamente ya que “las matemáticas eran carrera para hombres”. Esto no hizo que Sophie desistiera y pensara en estudiar otra cosa, por lo cual siguió insistiendo hasta que sus padres tuvieron que decir que si, aunque lo que le esperaba no sería algo fácil. Si nos remitimos de nuevo a la época, podíamos ver que en las escuelas no eran aceptadas mujeres, pero definitivamente Germain era astuta y hacía lo posible para conseguir apuntes de diversos profesores; los cuales estudiaba y leía para incrementar sus conocimientos. En uno de esos días llegaron a sus manos algunos estudios de Lagrange, los cuales le interesaron mucho y decidió escribirle bajo el nombre de «Sr. Le Blanc», un viejo alumno de aquel profesor. Así, le mando algunos artículos.

Lagrange vio por encima de todo la brillantez de los artículos y pidió una entrevista, lo cual hizo que ella tuviera que revelar su identidad. A la final, el hombre reconoció su evidente talento por encima del hecho de que fuera mujer, esto le dio más fuerza a Sophie para seguir su camino. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germain también decidió escribirle usando el mismo pseudónimo que con Lagrange. Gauss se interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieroncorrespondencia por varios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ella temía que a Gauss le sucediera algo en la invasión napoleonica que se estaba dando en esa época y envió unas tropas a la casa de él para asegurarse de que estuviera bien. Cuando los soldados le hablaron de Germain, él les dijo que no la conocía. Luego, por cartas se esclareció la situación y Gauss sostuvo la admiración que sentía por ella. En la Academia Francesa de la Ciencia también participo, y luego de que sus propuestas fueran rechazadas dos veces, en 1816 por fin obtuvo crédito con su trabajo sobre las vibraciones de las superficies elásticas, situándola en el primer puesto del concurso y siendo la primera mujer en asistir a la academia sin ser esposa de alguno de los miembros.

Germain se volcó en tratar de resolver el Último Teorema de Fermat: “no existen números enteros que cumplan que xn+yn=zn si n es mayor que dos”. Para n=2 sí que los hay, todos los lados de los triángulos rectángulos lo cumplen (teorema de Pitágoras). Pero no hay, por más que busquemos, números enteros que lo cumplan para n = 3, 4, 5, … Un número es primo si sólo puede dividirse de forma exacta entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo. El mayor número primo de Sophie Germain conocido hasta la fecha (octubre de 2008) es el número que tiene 51910 dígitos y fue hallado el 25 de enero de 2007 La vida de esta matemática estuvo llena de tropiezos y dificultades, aún así, tuvo la astucia para afrontarlas y darles una solución, aunque la misma fuera arriesgada. Demostrando que Sophie pudo en su época en un campo tan fuerte como las matemáticas, podemos ver hoy en día que la mujer es cada vez más aceptada por sus méritos, y ya no hay de que esconderse como antes, cuando tocaba fingir ser hombre para poder mostrar la inteligencia, ya que la mujer “no pensaba”. Si detallamos bien la situación, son pocas las mujeres que han incursionado en la historia de la matemática y más en esa época, y estamos seguras de que ella no era única en su especie;tal vez, en otras casas, no solo de Paris, sino de todo el mundo, en ese siglo, habían otras mujeres que pensaban que la teoría matemática no era difícil, que cuando pequeñas entendían más una multiplicación que el hecho de jugar

con muñecas... mujeres que pudieron ser como Sophie, pero al fin y al cabo mujeres, y por su condición tal vez no dijeron nada y callaron sus sueños. Los aportes de Germain vienen desde sus números primos hasta largos trabajos en solitario, y su carrera pudo ser aún más brillante, pero su trabajo requería colaboración, y en una sociedad jerárquica masculina era lo que ella menos podía pedir. En conclusión, Sophie German fue una gran matemática sin explotar totalmente su potencia, pero que lucho siempre por lo que quería, así fuera una lucha solitaria, una persona que merecía más crédito, más aplausos en su época y no solo hoy, una mujer que tuvo que mentir hasta su muerte para seguir haciendo lo que amaba... si, hasta su muerte, ya que en su acta de defunción inclusive decía que su profesión era rentista, no matemática.

TRIÁNGULO DE PASCAL

Pues bien, a lo largo de éste texto se

identificará principalmente la vida y el

escenario en el cual BLAISE PASCAL se

desarrolló, adicionalmente, también se

encontrará una pequeña muestra de sus

aportes científicos desde todos los campos

sin embargo se hará un énfasis en

aquellos relacionados con el campo de la

matemática, es por ello que se considera

preciso determinar los objetos de estudio

que han de ser visibles en éste ensayo.

Según lo anterior, lo que encontraremos a

continuación es básicamente: El triangulo

de Pascal y para finalizar, la razón para

exponer los conceptos anteriormente

mencionados es dar a conocer, entender y

resolver dudas sobre los grandes

planteamientos y teorías con los cuáles

éste científico francés se involucró en el

mundo de las matemáticas y la geometría.

Con base a lo anterior a lo largo de la

historia se han venido presentando

distintos aportes, teorías, teoremas y en

general planteamientos que contribuyen a

que las ciencias modernas se estructuren

cada día más y den cómo resultado lo que

son actualmente; el fundamento de un

mundo globalizado que día a día busca ser

aún más preciso, exacto, eficiente y

competente. Así que, pequeños aportes

tales como las bases de la probabilidad, el

triángulo de pascal entre otros,

constituyen herramientas de ayuda para

dar solución a situaciones problema de la

vida cotidiana que adicionalmente hacen

que las ciencias exactas sean más fáciles

de comprender y puedan ser aplicadas con

más frecuencia a toda clase de

situaciones que puedan llegar a

presentarse en algún momento de la vida.

Dentro de este marco ha de considerarse el

contexto histórico sobre el creador

del triángulo de Pascal el cual se remonta

a mediados del siglo XV –XVI.

El renacimiento se inicia al final del siglo

XV y se extiende durante el desarrollo del

siglo XVI. En este periodo se dan

importantes cambios políticos, económicos

y sociales. Estas transformaciones ponen

las bases para adoptar las nuevas visiones

acerca del mundo. Algunas de ellas son:

- La autonomía de la razón. Siendo la autonomía de la razón lo que impulsó a matemáticos como Pascal a transformar y superar la cultura y los ideales de la época medieval, por medio de las verdades matemáticas, pero antes de entrar en materia, a continuación su biografía. Blaise Pascal fue filósofo, físico y matemático francés, vivió la mayor parte de su vida en Paris tras la muerte de su madre por lo que su padre decidió trasladarse con su familia a allí. Su padre lo introdujo desde temprana edad en el tema de la geometría en la academia Mersenne. En donde redactó su ensayo sobre las cónicas en donde está contenido el teorema del hexágono de Pascal. Después de que a su padre se le nombrara comisario del impuesto real se trasladaron a Ruan, en donde diseño y construyo una máquina de sumar y cuyos principios se utilizaron en las calculadoras modernas mecánicas. Tras enfermarse Pascal regresa a Paris en donde los médicos le aconsejaron distraerse e inicio un periodo mundano en donde estaba convencido que en el cristianismo estaba Dios y no en la filosofía por lo que decidió suspender sus trabajos científicos casi por completo ,ya que meses antes de morir se había ocupado de las propiedades del triangulo aritmético lo que conocemos como el triangulo de pascal que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas potencias de un binomio el cual lo convirtió en uno de los fundadores del calculo matemático de probabilidades , pero el deterioro de su salud a partir de 1658 frustró sus proyectos falleciendo en 1662.

Ahora si entrando en materia del triángulo de pascal, tal es un conjunto infinito de números impares que están ordenados en forma de triángulo y totalmente simétrico, puesto que en la primera fila se pone un 1(uno) y en las siguientes se van colocando números que sean resultado de la suma de dos números de la fila anterior; el triángulo también expresa coeficientes binomiales, Pascal, se encargó de darle al triángulo una utilidad en el álgebra, por medio de polinomios, los cuales cumplen estrictamente el principio de este triángulo, junto con sus coeficientes. El triángulo tiene otras propiedades y además de ser el principio de los polinomios también incide en las sucesiones, suma de elementos, potencias, números primos..etc. La relación con el triángulo y la propiedades anteriores son las siguientes: � aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos: (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3. Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1) del triángulo y ver que � los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

� Números primos: Si el primer elemento

de una fila es un número primo, todos

los números de esa fila serán

divisibles por él (menos el 1, claro). Así,

en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los

números 7,21 y 35 son divisibles por 7. � Potencias de 11: cuando se toman los

números de cada fila del triángulo

como números enteros, es decir se unen

todos los coeficientes , este tendrá que

ser el resultado de 11 elevado por el

número de la fila de la que se tomaron

los coeficientes

1-2-1............................ 121 = 112 (fila

dos)

Cuando en la fila se encuentran

números de mas de un dígito, se

reparten para formar un número

final, luego de esto se eleva el 11 por el

número de la fila

1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-

0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 =

115

siendo los números en azul la fila

original, los morados la repartición y

sumatoria de los mismos y los

naranjas el número final que será el

resultado de 11 elevado por 5, que es el

número de la fila. � El stick de Hockey: Consiste en trazar

una diagonal cualquiera sin importar

la longitud de esta, y sumar todos sus

números y el resultado siempre estará

debajo del último número de la

diagonal. � Números poligonales: La tercera

diagonal del triángulo, siendo la

primera fila la primera diagonal,

corresponde a los números

triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...), los

números cuadrados corresponden a la

misma diagonal, pero se suman entre

si y dan los cuadrados y así

sucesivamente. � El triángulo es perfectamente

simétrico, si es que dividiésemos al

triángulo en dos, verticalmente desde

la primera fila, se puede observar que

los elementos del lado izquierdo

coinciden con los del lado derecho.

En la actualidad este triángulo sigue siendo

parte de la educación básica de un estudiante

de bachillerato, y como vemos tiene varios usos

no solo en el álgebra sino que también en la

geometría y es necesario darle la importancia

que este merece.

JOHN VENN: SU BIOGRAFÍA E HISTORIA MATEMÁTICA

Fueron grandes los hombres que han entrado a desempeñar un rol importante en las matemáticas, hombres que han aportado sus conocimientos a esta ciencia que estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos, por lo que es importante conocer sobre estas figuras que le han dejado un legado a la sociedad y han facilitado de una u otra manera el entendimiento de las matemáticas, esta reseña tiene como fin conocer sobre un gran lógico y matemático llamado John Venn, y ampliar nuestros conocimientos sobre su gran aporte: los Diagramas de Venn.

John Venn fue un matemático y lógico británico nacido el 4 de agosto de 1834 en Hull, Yorkshirey y muere a sus 89 años en Cambridge el 4 de abril de 1923, Henry Venn provenía de una familia muy distinguida, su madre era Martha Sykes y murió cuando John tenía muy corta edad y su padre era el reverendo Henry Venn, quien cuando nació John era el rector de la parroquia de Drypool, cerca de Hull, Henry Venn murió en 1873. Su abuelo el Reverendo John Venn, había sido rector de Clapham en el sur de Londres. Fue el líder de la Secta Clapham, un grupo de cristianos evangélicos que se reunían en su iglesia, éstos promovían la reforma de la prisión y la abolición de la esclavitud y de los deportes crueles. El padre de John Venn (Henry) desempeño también un importante papel en el movimiento evangélico. La Sociedad de las Misiones en África y Oriente fue fundada por la

clerecía evangélica de la Iglesia de Inglaterra en 1799, y en 1812 fue rebautizada como la Sociedad de la Iglesia Misionaria de África y Oriente. Henry Venn fue secretario de la Sociedad desde 1841. Se mudó a Highgate, cerca de Londres, con el fin de llevar a cabo sus deberes. Allí mantuvo su posición hasta su muerte en 1873.

John Venn siempre fue criado de manera estricta, y eran tantas sus influencias religiosas por parte de su padre y su abuelo que se esperaba siguiera la tradición familiar como ministro cristiano. Comenzó sus estudios en la Escuela de Highgate donde se mantuvo poco tiempo, posteriormente entró en el Colegio de Gonville y Caius, en Cambridge, en 1853. Se graduó en 1857 y pronto fue elegido profesor adjunto de la escuela. Fue ordenado diácono de Ely en 1858 y se volvió sacerdote en 1859. En 1862 regresó a Cambridge como profesor de ciencias morales. Desde siempre el área de mayor interés para Venn fue la lógica, tema del cual publicó tres textos que fueron: escrito en 1866 La Lógica del Azar, texto en cual introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad, Lógica Simbólica publicado en 1881, que mostro los tan conocidos hoy en día Diagramas de Venn, y por último publica Los Principios de la Lógica Empírica, en 1889.

John Venn siempre fue criado de manera estricta, y eran tantas sus influencias religiosas por parte de su padre y su abuelo que se esperaba siguiera la tradición familiar como ministro cristiano. Comenzó sus estudios en la Escuela de Highgate donde se mantuvo poco tiempo, posteriormente entró en el Colegio de Gonville y Caius, en Cambridge, en 1853. Se graduó en 1857 y pronto fue elegido profesor adjunto de la escuela. Fue ordenado diácono de Ely en 1858 y se volvió sacerdote en 1859. En 1862 regresó a Cambridge como profesor de ciencias morales. Desde siempre el área de mayor interés para Venn fue la lógica, tema del cual publicó tres textos que fueron: escrito en 1866 La Lógica del Azar, texto en cual introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad, Lógica Simbólica publicado en 1881, que mostro los tan conocidos hoy en día Diagramas de Venn, y por último publica Los Principios de la Lógica Empírica, en 1889.

Su gran aporte a las matemáticas han sido los Diagramas de Venn, los cuales son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos, estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática entre diferentes grupos de cosas, representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo, la forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan, Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos con su nombre en julio de 1880 con la publicación de su trabajo titulado “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings) en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las intersecciones, las comunes con los otros.

A continuación se citan los ejemplos más importantes de Venn, explicados teórico y gráficamente.

1 “Diagrama de la intersección de dos conjuntos En teoría la intersección de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe (Ejemplo de inexistencia: la intersección de Los números pares con los impares).Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.

Diagrama de la unión de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el

Diagrama del complementario de un conjunto. En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama. El conjunto U es el universal (parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de un conjunto se representa Ac. Diagrama de la diferencia de conjuntos. La diferencia B - A es la parte de B que no está en A. La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso. Diagrama de la inclusión de conjuntos. En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa B�A.” Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás. Los Diagramas de Venn representan los conjuntos matemáticos por medio de unas circunferencias, con éstas se pueden realizar de operaciones como la unión, la intersección, de conjuntos entre otros. El uso de los Diagramas de Venn es una ayuda tanto para estudiantes a la hora de entender el manejo de los conjuntos como a los profesores al momento de enseñar usando estos diagramas como una herramienta metodológica que facilitará su labor.

Agradecemos a:Alexander Cordoba - Dirección Laura Aguirre - Dise oLaura Bare o - Dise oAlejandra Medina- Dise oPaola Reyes - Dise oAngela Ayala- Medios tecnológicos

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