Riemanniana Geometr´ıa Riemanniana · 2021. 3. 10. · Riemanniana Geometr´ıa Riemanniana ”No creo tener un talento especial. Simplemente soy apasionadamente curioso.” Albert

Riemanniana

Geometrıa Riemanniana

”No creo tener un talento especial. Simplemente soy apasionadamente curioso.” Albert Einstein

Un poco de historia

Historicamente, la geometrıa de Riemann fue un desarrollo natural de la geometrıa diferencial de superficies en R3.Dada una superficie S ⊂ R

3, tenemos una forma natural de medir las longitudes de los vectores de TpS gracias alproducto interno 〈u,w〉 heredado de R

3.

Como

L(α) =

∫

I

‖α ′(t)‖dt,

la definicion de 〈, 〉 nos permite medir longitudes de curvas S y, mas generalmente, areas, angulos, etc. Ademas estopermite definir en S ciertas curvas especiales, llamadas geodesicas ((se comportan como ”lıneas rectas”de S)) y,juegan un papel importante en el desarrollo de la geometrıa.

El punto crucial del desarrollo de la geometria riemanniana es una observacion hecha por Gauss ((principe de lasmatematicas)) en su famoso trabajo publicado en 1827. En este trabajo, Gauss definio una nocion de curvaturapara superficies, que mide que tan lejos se aleja S, en cada punto p ∈ S, desde su plano tangente en p, TpS.

En el lenguaje actual, la definicion de Gauss se expresa de la siguiente manera. Definir una aplicacion N : S →S2 ⊂ R

3, dada por N(p) ∈ S2 normal a TpS, si S es orientable, N esta bien definido en S e es diferenciable. En

la epoca de Gauss, la nocion de orientacion superficial no era muy clara ((de hecho, no fue hasta 1886 Mobiuspresento explıcitamente su famoso ejemplo conocido hoy como la banda de Mobius)) por lo que la definicion deN se dio en ”pedazos”de S. De cualquier manera, se puede hablar del diferencial dNp : TpS → TN(p)S

2. Gaussdefinio su curvatura como K(p) = det(dNp) y mostro que coincidıa con el producto de las principales curvaturasintroducidas en 1760 por Euler.

Cabe mencionar que Euler definio las curvaturas principales κ1 yκ2 de una superficie S considerando las curvaturas κn de curvasobtenidas por intersecciones de S con planos normales a S en p ytomando κ1 = max κn y κ2 = mın κn.

En la epoca de Gauss, no estaba muy claro si la funcion κ1κ2,o cualquier otra combinacion de κ1 y κ2, serıa la definicion masapropiada de curvatura. Gauss considero que los resultados queobtuvo en K justificaron la eleccion de K = κ1κ2.

Los resultados a los que se refirio Gauss fueron los siguientes. Primero, que la curvatura definida anteriormentedependıa solo de la forma de medir las longitudes en S, es decir, de la primera forma fundamental I. Segundo, quela suma de los angulos internos de un triangulo formado por geodesicas diferıa de 180 ◦ por una expresion quedependıa solo de la curvatura K y el area del triangulo.

Todo indica que Gauss percibio claramente la profundidad implicacion de sus descubrimientos: Uno de los problemasfundamentales de la epoca de Gauss fue decidir si el quinto postulado de Euclides era independiente de los demaspostulados de la Geometrıa. Aunque sin aplicaciones inmediatas, el tema tenıa serias implicaciones filosoficas, loque lo convirtio en un problema importante. Ya se ha demostrado que el hecho de que el 5o postulado no seaindependiente de los demas equivale a que la suma de los angulos internos de un triangulo sea igual a 180 ◦.

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Notas de clase Geometrıa Riemanniana.

H. Fabian Ramırez

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia

El descubrimiento de Gauss implicaba, sin embargo, que era posible imaginar una Geometrıa (al menos en ladimension dos) que solo dependiera de una primera forma cuadratica dada (no por el espacio ambiental) de maneraarbitraria. En tal geometrıa, definiendo lıneas como geodesicas, la suma de los angulos internos de un triangulodependerıa de la curvatura y, de hecho, como verifico Gauss, su diferencia a 180 ◦ serıa igual a la integral dela curvatura extendida a la triangulo. Gauss, sin embargo, no tenıa el instrumento matematico necesario para eldesarrollo de sus ideas (lo que esencialmente faltaba era la nocion de variedad diferenciable)) y prefirio noexpresarse explıcitamente sobre el tema.

La aparicion explıcita de la geometrıa no euclidiana se debe, independientemente, a Lobatchevski (1829) y Bolyai(1831). Las ideas de Gauss fueron retomadas por Riemann en 1854. Aun sin una definicion adecuada de variedad,se lanzo audazmente a un esquema para desarrollar las ideas implıcitas en Gauss. En un lenguaje intuitivo sindemostraciones, Riemann introdujo lo que ahora llamamos una variedad diferenciable de dimension n, asocio cadapunto de la misma con una primera forma cuadratica y generalizo la nocion de curvatura gaussiana para estasituacion. Ademas, explico varias relaciones entre la primera forma cuadratica y la curvatura que tardo decadas endemostrarse.

A lo largo de su obra, la preocupacion de Riemann por las cuestiones fundamentales contenidas en el desarrollo degeometrıas no euclidianas es evidente, a saber, las relaciones entre la fısica y la geometrıa.

Es curioso notar que el concepto de variedad diferenciable, necesario para la formalizacion de la obra de Riemann,solo aparecio explıcitamente en 1913 en una obra de H. Weyl que formalizo otra concepcion audaz de Riemann, asaber, las superficies de Riemann. Pero esta es otra historia.

Debido a la falta de instrumentos adecuados, la geometrıa de Riemann se desarrollo muy lentamente. Un importanteestımulo externo fue la aplicacion de sus metodos a la Teorıa de la Relatividad en 1916. Otro hecho fundamental fuela introduccion del paralelismo de Levi-Civita. Nuestro objetivo no es escribir la historia completa de la geometrıade Riemann, sino simplemente localizar sus orıgenes y proporcionar motivacion para lo que sigue.

Nuestro punto de partida sera una variedad diferenciable en la que introducimos en cada punto una forma de medirlas longitudes de los vectores tangentes que varıa de manera diferente con el punto.

Anecdota: Para completar su habilitacion para trabjar como profesor, Riemann tuvo que sustentar una ponencia.Preparo tres ponencias, dos sobre electricidad y una sobre geometrıa. Gauss tuvo que elegir una de las para que laimpartiera Riemann y, contra las expectativas de Riemann, Gauss eligio la de geometrıa. La platica de Riemann((Sobre las hipotesis que subyacen a la geometrıa)), presentada el 10 de junio de 1854, se convirtio en un clasicode las matematicas. Hubo dos partes en la platica de Riemann. En la primera planteo el problema de como definirun espacio n-dimensional y termino dando la definicion de lo que hoy llamamos espacio riemanniano. De hecho,el punto principal de esta parte de la platica de Riemann fue la definicion del tensor de curvatura. En la segundaparte de su conferencia, Riemann planteo profundas preguntas acerca de la relacion entre la geometrıa y el mundoen que vivimos. Pregunto lo que es la dimension del espacio real y que geometrıa lo describe.

La platica fue demasiado avanzada en su epoca para ser apreciada por la mayorıa de los cientıficos de entonces.Monastyrsky escribe: En la audiencia de Riemann, solo Gauss pudo apreciar la profundidad de los pensamientosde Riemann. La platica supero todas sus expectativas y lo sorprendio gratamente. Al regresar a la reunion de lafacultad, le comento a Weber, con grandes elogios y raro entusiasmo, acerca de la profundidad de las ideas quehabıa presentado Riemann. No fue comprendido del todo hasta sesenta anos despues. Freudenthal escribe:

La teorıa de la relatividad general justifico esplendidamente su trabajo. En el aparato matematico desarrolladoa partir de la ponencia de Riemann, encontro Einstein el marco para ajustar sus ideas fısicas, su cosmologıa ycosmogonıa; y el espıritu de la conferencia de Riemann fue justamente lo que la fısica necesitaba: la estructuramedica determinada por datos. Ası, la brillante obra de Riemann le permitio comenzar a ensenar. en su primercurso solo asistieron 8 estudiantes

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H. Fabian Ramırez



Introducion

Comenzamos este curso sobre Geometrıa Riemanniana. Esencialmente vamos a am-pliar/generalizar la geometrıa de curvas y superficies que conoceis en dos sentidos:

1) dimension arbitraria y

2) ausencia de espacio ambiente.

El punto 1) debe estar claro para unos matematicos como vosotros. Lo realizado para su-perficies (n = 2) nos gustarıa abordarlo ahora en general para un natural arbitrario n.En relacion a 2) estamos ante un punto mas sutil. ¿Que significa espacio ambiente? ¿Que im-plica su ausencia? Bien, recordemos que en las superficies viven en el espacio euclıdeo. Estonos confiere muchısimas ventajas para trabajar con ellas, a saber:

1) posibilidad de construir rapidamente el plano tangente a la superficie en un punto,

2) capacidad para medir longitudes de vectores y, por ende, de curvas y areas y, final-mente,

3) construccion de un normal unitario a la superficie a partir del cual surgen todo tipode curvaturas siendo la mas relevante la curvatura de Gauss.

Muy pronto comprobareis que, incluso abordar la tarea 1) en un espacio n-dimensional abstracto, supone undesafıo serio, un trabajo herculeo mas por la ausencia de ambiente que por considerar arbitraria la dimension. Para2) necesitaremos fabricar una alternativa que englobe esa primera forma fundamental (producto interno de R3) quenos permitıa medir longitudes, angulos y areas. Dicha alternativa sera un tensor metrico, algo que definiremos conmucha tranquilidad pues es el concepto central de la asignatura.

Finalmente, para 3) deberemos rebuscar en nuestros apuntes de Geometria Diferencial y recordar el famoso Teo-rema Egregium de Gauss en el cual se afirma que su curvatura es un concepto intrınseco. Utilizaremos esteresultado y nos inspiraremos en el para definir la curvatura en un espacio abstracto de dimension arbitraria. Sinhacer de publicista, os digo que sera especialmente relevante aprender a derivar campos de vectores, algo trivial enel espacio euclıdeo pero no ası en un mundo ausente de referencias al ambiente.

Vamos a ello.

1.1. Variedad Topologica

En este tema estudiamos variedades diferenciables. En primera instancia, nos referimos a espacios que, localmente,son identicos (desde un punto de vista diferenciable) a algun espacio R

n y en los cuales podemos hacer calculo. Losejemplos mas familiares, serıan las curvas diferenciables planas como los cırculos y las parabolas (n = 1). Tambienlas superficies regulares como esferas, toros, elipsoides, paraboloides, hiperboloides y las de revolucion (n = 2).Ejemplos de mayor dimension incluyen las n-esferas ası como los grafos de aplicaciones diferenciables entre espacioseuclıdeos.

Pero antes de abordar estos espacios vamos a centrarnos en las variedades topologicas. En este caso, son espaciosque, localmente, son identicos a algun espacio R

n pero no pedimos diferenciabilidad. Nos conformamos con queexista una equivalencia topologica:

Definicion 1 (Variedad Topologica).Sea M un espacio topologico. Diremos que M es una variedad topologica de dimension n o unan-variedad topologica si:

VT1) M es un espacio Hausdorff: para cada par de puntos p, q distintos de M existen abiertosU,V disjuntos con p ∈ U y q ∈ V,

VT2) M es segundo axioma de numerabilidad: existe una base numerable para la topologıade M, y

VT3) M es localmente euclıdeo con dimension n: cada punto de M esta en un abierto que eshomeomorfo a un abierto de R

n.

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Observaciones: La tercera propiedad significa exactamente que, para todo p ∈M, se cumple:

i) podemos encontrar un abierto U de M con p ∈ U,ii) existe un abierto U de Rn, y

iii) existe un homeomorfismo ϕ : U→ U

En esencia, una variedad topologica es un espacio (topologico) razonablemente bueno que satisface la propiedad(VT3) siendo esta la mas caracterıstica. La cuestion que surge es: ¿por que exigimos entonces (VT1) y(VT2) en la definicion? La respuesta es que existen construcciones extranas de objetos que son localmente comoun R

n pero con propiedades desconcertantes. Ası (VT1) es necesaria para la unicidad de los lımites convergentesmientras que (VT2) es basica para construir las particiones diferenciables de la unidad, una herramienta quepermite extender globalmente objetos definidos en local.

La dimension de una variedad

SiM es una variedad topologica de dimension n, escribiremos entonces dimM = n. Otras veces diremos unicamente:sea Mn una variedad para abreviar. Una vez aclarada la dimension, normalmente no se vuelve a especificar comosuperındice.

El problema de la dimension: A lo largo de estas lecciones nuestras variedades tendran una dimension biendefinida. Excluimos ası, y por convenio, situaciones como la siguiente: la union disjunta de una recta y un planocumplen con la definicion de variedad topologica pero una de las componentes conexas tiene dimension 1 (la recta,evidentemente) mientras que el plano tiene dimension 2.

Por otra parte, si una variedad topologica es conexa, entonces existen argumentos topologicos (fuera del alcancede este curso: invarianza del dominio de Brouwer, cohomologıa de de Rham) para demostrar que su dimension esunıvoca. De hecho se puede demostrar que: una variedad topologica de dimension n no puede ser homomorfa a otrade dimension m a menos que m = n.

Cartas coordenadas

Definicion 2 (Carta Coordenada).Sea M una variedad topologica de dimension n. Una carta coordenada (o simplemente una carta)en M es un par (U,ϕ), donde U es un abierto de M y

ϕ : U→ ϕ(U) = U

es un homeomorfismo de U al abierto U de Rn.

Observemos que la definicion de variedad topologica nos garantiza que, para cada p ∈M, siempre podemos encontraruna carta (U,ϕ) tal que p este en su dominio. Si ϕ(p) = 0 diremos que la carta esta centrada en p. (Observemosque esto es siempre posible simplemente restando el vector constante ϕ(p).)

Dada una carta (U,ϕ), diremos que U es el entorno (o dominio) coordenado de cada uno de sus puntos. La aplicacionϕ puede expresarse en componentes como

ϕ(p) = (x1(p), . . . , xn(p))

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H. Fabian Ramırez



y estas componentes se suelen llamar coordenadas locales en U donde xj : U → R es la j-esima componente dela carta ϕ.

A veces escribiremos cosas como (U,ϕ) es una carta conteniendo a p para indicar que (U,ϕ) es una carta en cuyodominio p esta contenido. Si queremos poner el enfasis en las funciones coordenadas (x1, . . . , xn) en lugar de laaplicacion ϕ, entonces escribiremos la carta como

(U, (x1, . . . , xn)

)o, simplemente, ası:

(U, (xi)

).

¿como se suele pensar en las cartas de coordenadas en una variedad diferenciable.?

Una vez que elegimos una carta diferenciable (U,ϕ) en M; la aplicacion de coordenadas ϕ : U → U ⊆ Rn puede

pensarse como una identificacion temporal entre U y U. Usando este identificacion, mientras trabajamos en estecarta, podemos pensar en U simultaneamente como un subconjunto abierto deM y como subconjunto abierto de Rn.Puede ver esta identificacion pensando en una ((cuadrıcula)) dibujada en U que representa las pre-imageness delas lineas coordenadas debajo ϕ. Bajo esta identificacion, podemos representar un punto p ∈ U por sus coordenadas(x1, . . . , xn) ∈ ϕ(p), y piense en esta n-tupla como la del punto p

Normalmente expresamos esto diciendo (x1, . . . , xn) es la representacion (local) en coordenadas para p o p =

(x1; . . . , xn) en coordenadas locales.

Otra forma de verlo es que mediante nuestra identificacion U ↔ U, podemos piensar de ϕ como la plaicacionidentidad y suprımalo de la notacion. Esto toma un poco de acostumbrarse, pero la recompensa es una enormesimplificacion de la notacion en muchos situaciones. Solo debe recordar que la identificacion es en general solo local,y depende en gran medida de la eleccion del la carta de coordenadas.

Ejemplos: Variedades topologicas

Veamos algunos ejemplos para practicar las definiciones y que nos resulten mas familiares.✄

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✁Ejemplo 1. [Grafos de funciones continuas]

Sea U ⊂ Rn un abierto y sea f : U→ R

k una funcion continua. Se define el grafo de f como

Γ(f) ={(

x, f(x))∈ R

n × Rk : x ∈ U

}

,

donde consideramos la topologıa de subespacio. Es claro que Γ(f) satisface (VT1) y (VT2) pues ambas propiedadesson hereditarias de su espacio ambiente R

n+k. Veamos que tambien se cumple (VT3): para ello tomamos

π1 : Rn × R

k → Rn

la proyeccion en el primer factor y definimos ϕ : Γ(f) → U como la restriccion de π1 al subconjunto Γ(f) de suerteque

ϕ(x, f(x)) = x, donde (x, f(x)) ∈ Γ(f).Como ϕ es la restriccion de una aplicacion continua, es continua. Mas aun, tiene inversa continua dada por

ϕ−1(x) = (x, f(x)).

Pregunta: ¿Por que la inversa es continua?

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De esta forma, el conjunto Γ(f) es una variedad topologica de dimension n. De hecho, Γ(f) es homeomorfo al propioU y tenemos ası que (Γ(f), ϕ) es una carta o sistema de coordenadas global. Mas tarde veremos que este tipo desituaciones son una rareza en el sentido de que, al menos, son necesarias dos cartas para cubrir una variedad.✄

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✁Ejemplo 2. [Esferas]Para cada entero n > 0 se define la n-esfera S

n como el subconjunto

Sn =

{

x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1

}

donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana habitual dada por

‖x‖ =

√(x1)2 + · · ·+ (xn+1)2.

Es claro que se cumplen (VT1) y (VT2) porque es Sn es un subespacio topologico deRn+1. Vamos a por (VT3). Para ello, consideramos i = 1, . . . , n+ 1 y definimos

U+i =

{

(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : xi > 0

}

.

(Analogamente, U−i es el conjunto en el que xi < 0.). Y consideremos la funcion

((altura)) continua

f : Bn → R dada por f(u) =√1− ‖u‖2

donde Bn es la bola (abierta) unidad de Rn. No es difıcil ver que U+i ∩S

n es un grafode la funcion ((altura+)) continua

xi = f(x1, . . . , xi, . . . , xn+1

)

donde el sombrero indica que la i-esima componente es omitida. Similarmente U−i ∩ S

n es un grafo de la funcion((altura-)) continua

xi = −f(x1, . . . , xi, . . . , xn+1

)

ası, cada subconjunto de U±i ∩ Sn es localmente euclidiano de dimension n, y sus cartas

ϕ±i : U±

i ∩ Sn → B

n

dadas por

ϕ±i (x

1, . . . , xn+1) =(x1, . . . , xi, . . . , xn+1

)

son continua ya que se trata de la restriccion de una proyeccion a un abierto de Sn. Mas aun, tiene una inversa(

ϕ±i

)−1: B → S

n continua dada por:

(ϕ±i

)−1(u1, . . . , un) =

(u1, . . . , ui−1,±f(u), ui, . . . , un

).

Pregunta: ¿es realmente la inversa? es continua?.

Hemos demostrado que todos los puntos pertenecientes al hemisferio U+i admiten un entorno abierto (el propio

hemisferio) que es homeomorfo a un abierto de Rn (de hecho, una bola abierta unidad). Como podemos cubrir la

esfera mediante todos los hemisferios positivos y negativos se tiene que es una variedad topologica n-dimensional.

Pregunta: ¿Cuantas cartas se necesitan para cubrir la esfera de dimension n?✄

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✁Ejemplo 3. [Espacios proyectivos]Este es el primer ejemplo que vamos a ver de variedad topologica no-trivial en el sentido de que su estructura localeuclıdea no es tan evidente como en los anteriores. Lo vamos a escribir con mucho detalle.

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[Recordemos: Topologia cociente]Sean (X,TX) un espacio topologico y R una relacion de equivalencia sobre X . El conjunto cociente Y = X/R es el conjuntode clases de equivalencia de los elementos de X :

Y ={[x] : x ∈ X

}.

Los conjuntos abiertos U que conforman la llamada topologıa cociente sobre Y son los conjuntos de las clases de equivalenciacuyas uniones son conjuntos abiertos en X:

TR ={

U ⊆ Y :⋃

[x]∈U

[x] ⊆ TX

}

.

Definicion equivalente: sea la aplicacion proyeccion canonica π : X→ X/R dada por π(x) = [x], se definen los abiertosde TR como los conjuntos U ⊆ Y tales que π−1(U) ⊆ X es abierto.

En primer lugar vamos a tratar el caso 1-dimensional para no complicarnos mucho la vida.

Caso n = 1: En R2 definimos la relacion ∼ dada por

x ∼ y ⇐⇒ ∃λ 6= 0 / y = λx

Definimos entonces el espacio proyectivoP1 = R

2r {0}/ ∼ .

Si x ∈ R2r {0}, [x] =

{

λx : λ 6= 0}

ası que los clases de equivalencia (los puntos) de P1 son las rectas que pasan

por 0 ∈ R2. Vamos a convertir a P

1 en un espacio topologico. Para ello debemos considerar la proyeccion canonica

π : R2 r {0} → R2r {0}/ ∼

x [x]

y recordar que P1 tiene la topologia cociente, es decir,

U ⊂ P1 es abierto ⇐⇒ π−1(U) es abierto en R2r {0} ((top heredada de la usual))

Vamos a vereficar que P1 es una variedad topologica 1-dimensional. Para ello definimos

U1 ={

(x1, x2) ∈ R2r {0} : x1 6= 0

}

U2 ={

(x1, x2) ∈ R2r {0} : x2 6= 0

}

y claramente Ui = π(Ui) con i = 1, 2 son abiertos de P1, en efecto;

π−1(U1) = R2r {eje x1} =

{

(x1, x2) : x1 6= 0}

⊂ R2r{0}

es abierto

Definimos ahora sus cartas

ϕ1 : U1 → R[x1, x2

]x2

x1

ϕ2 : U2 → R[x1, x2

]x1

x2

las ϕi estan bien definidas porque sus valores no cambian si cambiamos de representante de la clase .

las ϕi son continuas

las (ϕi)−1 existe y es continua tambien, ϕ−1

1 : R → U1 dada por ϕ−1(t) = [1, t]

P1 es T2 y 2AN (topologia)

Por tanto P1 es una variedad topologica 1-dimensional. Pregunta: ¿A que 1-variedad sencilla es homeomorfa P1?Res/ En la S

1 dos puntos x, y estan relacionados asi

x ∼ y ⇐⇒ x = −y o x = y

definimos entonces las clases de equivalencia [x] ={x,−x

}y P1 = S

1/ ∼.

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Caso n-dimensional: En Rn+1

r {0} definimos la relacion de equivalencia ∼ dada por

x ∼ y ⇐⇒ ∃λ ∈ R / y = λx (λ 6= 0)

Definimos por Pn al conjunto cociente Pn := R

n+1r {0}/ ∼ es decir,

Pn =

{[x] : x ∈ R

n+1r {0}

}=

{gen{x} : x ∈ R

n+1r {0}

}

conjunto de rectas de Rn+1 que pasan por el origen 0 = (0, . . . , 0); esto es, Pn es el conjunto de las direcciones de

Rn+1. Observe que, si xi 6= 0,

[x1, . . . , xn

]=[x1xi, . . . ,

xi−1

xi, 1,

xi+1

xi, . . . , xn

]

Si consideramos la proyeccion canonicaπ : Rn+1 r {0} → P

n

x [x]

entonces podemos considerar la topologia cociente en Pn, esto es: ((U ⊂ P

n es abierto ⇐⇒ π−1(U) es abierto*))

Vamos a verificar que Pn es una variedad topologica n-dimensional. Para ello definimos para i = 1, 2, . . . , n

Ui ={

x ∈ Rn+1 : xi 6= 0

}

abierto en Rn+1

y sea Ui = π(Ui) que es abierto en Pn, porque cumple Ui = π−1(Ui) es un abierto en R

n+1 y basta aplicar (*).En efecto,

Ui = π(Ui) =⋃

x∈Ui

π(x) =⋃

x∈Ui

[x]

π−1(Ui) = π−1( ⋃

x∈Ui

[x])=⋃

x∈Ui

π−1[x] =⋃

x∈Uiλ∈R

{λx

}= Ui

Definimos ahora ϕi : Ui → Rn como

ϕi[x1, . . . , xn+1] =

(x1xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

)

Observemos que ϕi esta bien definida pues NO depende del representante de [x]que escojamos, (ejercicio). Tenemos el diagrama donde ϕi ◦π es una aplicacioncontinua pues:

(ϕi ◦ π)(x1, . . . , xn+1) =(x1xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

), xi 6= 0

La pregunta es: ¿ϕi es tambien continua?. Sea V ⊂ Rn abierto. Entonces:

abierto en Rn+1

r {0}

(ϕi ◦ π)−1(V) =

(∗) abierto en Pn

π−1(ϕ−1i (V)

)

Entonces ϕi es continua. otra forma de justificarlo ((CHARACTERISTIC PROPERTY: Let π : X→ Y be a quotient map. If B is

a topological space, a map ϕ : Y→ B is continuous if and only if ϕ ◦π : X→ B is continuous.))

Vamos a demostrar que ϕi es un homeomorfismo, para ello definimos la inversa explicitamente

ϕ−1i : Rn → Ui ⊂ P

n

u [u] = [u1, . . . , ui−1, 1, ui, . . . , un]

Comprobamos que es la inversa

ϕi ◦ϕ−1i (u1, . . . , un) = ϕi

[u1, . . . , ui−1, 1, ui, . . . , un

]=(u11, . . . ,

ui−1

1,ui

1, . . . ,

un

1

)= u

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Geometricamente, ϕ([x]) = u .Esto significa que (u, 1) es el punto en Rn+1

donde la linea [x] intersecta el plano afine xi = 1. Adicionalmente

ϕ−1i es continua (topologia)

Pn es Hausdorff y 2AN (EJER)

Conclusion: Pn es variedad topologica n-dimensional. Ademas si ∼ es larelacion de puntos antipodas ((vista en P

1)) entonces podemos considerar,

Pn = S

n/ ∼

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☎

✆Ejercicio 4. Utiliza esta ultima identificacion del proyectivo P

n con el cociente de la esfera bajo puntos

antıpodas para concluir que el espacio proyectivo n-dimensional es compacto.✄

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✁Ejemplo 5. [Variedades producto]Sean M1, . . . ,Mk variedades topologicas con dimensiones n1, . . . , nk respectivamente. Vamos a demostrar que elespacio producto

M1 × · · · ×Mk

es una variedad topologica con dimension n1 + · · · + nk. Usando argumentos de topologıa se puede garantizarque (VT1) y (VT2) se satisfacen (¿que argumentos?) ası que unicamente debemos probar (VT3) es decir, que eslocalmente euclidiana. Tomamos pues (p1, . . . , pk) un punto arbitrario y elegimos una carta (Ui, ϕi) deMi tal quepi ∈Mi para i = 1, . . . , k. La aplicacion carta-producto

ϕ1 × · · · ×ϕk : U1 × · · · ×Uk → Rn1+···+nk

es un homeomorfismo sobre su imagen ya que el producto de homeomorfismos es un homeomorfismo sin consideramoscomo topologıa la producto.✄

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�

✁Ejemplo 6. [Toros] Para cada entero n positivo, se define el n-toro como el espacio producto

T = S1 × · · · × S

1

Por la discusion anterior, sabemos que se trata de una n-variedad topologica. En el caso n=2, lo llamaremossimplemente el toro.✞

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☎

✆Ejercicio 7. Encuentra una carta para el n-toro.

✞

✝

☎

✆Ejercicio 8. Demuestra que este 2-toro es homeomorfo al toro de revolucion de la geometrıa de superficies.

1.2. Variedades Diferenciables

La definicion que hemos proporcionado en la seccion anterior es suficiente para estudiar las propiedades topologicasde las variedades: compacidad, conexion, clasificacion, etc. No obstante, en ningun momento se hace mencion alcalculo y hay una buena razon para ello. Por ejemplo, la funcion ϕ(u, v) = (u1/3, v1/3) es un homeomorfismo delplano en sı mismo, pero es sencillo construir funciones diferenciables f : R2 → R tales que f ◦ϕ no es diferenciableen el origen.

Pregunta: ¿Se te ocurre alguna?

Esta situacion es del todo indeseable ya que, segun el plano en el que consideramos definida la funcion f,tendremos diferenciabilidad o no y esto no lo podemos permitir: ambos planos son identicos desde el punto de vistatopologico pero dan lugar a diferentes nociones de diferenciabilidad. La moraleja de esta situacion es la siguiente:unicamente con la estructura topologica NO podemos definir de modo unico el concepto de funcion diferenciable.

Para resolver este problema necesitamos ir mas alla y debemos introducir la nocion de variedad diferenciable. Estasera una variedad topologica con una estructura extra que nos va a permitir decidir cuando una funcion real esdiferenciable, o no, sobre la variedad.

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Comenzamos con algunas definiciones basicas para saber donde estamos. Dados U y V abiertos de Rn y R

m

respectivamente, una funcion F : U → V se dice diferenciable si cada una de sus componentes tiene derivadasparciales continuas de todos los ordenes. Si, ademas, F es biyectiva y tiene inversa diferenciable, entonces diremosque es un difeomorfismo. De este modo, un difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo. (Observese quenuestra definicion de diferenciabilidad es super exigente en comparacion con la clasica del analisis.)

Sea ahoraM una variedad topologica n-dimensional y sean (U,ϕ),(V,ψ) dos cartas tales que U ∩ V 6= ∅. La aplicacion

ψ ◦ϕ−1 : ϕ(U ∩ V) → ψ(U ∩ V)se llama la aplicacion cambio de coordenadas (o aplicaciontransicion) de la carta ϕ a la carta ψ. Observemos que se tratade una composicion de homeomorfismos y, por tanto, tambien esun homeomorfismo entre abiertos de Rn.Diremos que dos cartas (U,ϕ) y (V,ψ) son compatibles si, o bienU∩V = ∅, o bien el cambio de coordenadas ψ ◦ϕ−1 es un difeo-morfismo en el sentido que hemos definido previamente (derivadasparciales continuas de todos los ordenes y biyectividad).En la practica, para demostrar que dos cartas son compatibles lomas rapido consiste en probar que:

1) el cambio de coordenadas es diferenciable, y

2) el jacobiano es siempre distinto de cero.

Una vez estudiado el concepto de carta compatible pasamos a la siguiente definicion.

Definicion 3 (Atlas diferenciable).Se define un atlas A sobre M como una coleccion de cartas cuyos dominios cubren por completola variedad topologica M. Diremos que un atlas A es diferenciable si, para cada pareja de cartasen el atlas, ambas son compatibles.

Merece la pena hacer ahora la siguiente observacion.

Atlas maximal: Dada una unica variedad topologica podrıa darse el caso de tener dos atlas diferentes cuyas cartasfueran compatibles entre sı. Ası, podemos tomar como ejemplo M = R

n equipado con los dos siguientes atlas:

A1 = {(Rn, IdRn)},

A2 = {(B1(x), IdB1(x)

): x ∈ R

n}.

Aunque se trata de dos atlas distintos, veremos que definen la misma nocion (*) de diferenciabilidad en el espacioRn de suerte que da lo mismo trabajar con uno o con otro. Sin embargo, serıa deseable tener un atlas unico queenglobara a todos los posibles. ¿Verdad?

(*) Aunque lo veremos en la proxima leccion, no esta de mas adelantarlo aquı. Diremos que una funcion f :M→ R

es diferenciable si f◦ϕ−1 es diferenciable en el sentido usual para toda carta (U,ϕ) del atlas A. Con esta definicionen mente, esta claro que la nocion de funcion diferenciable es la misma para el atlas A1 que para el atlas A2.

A la vista de la anterior observacion se tiene la siguiente definicion:

Definicion 4 (Atlas Maximal).Un atlas A en M se dice que es maximal si no esta contenido, propiamente, en un atlas mayor.

Esto significa que cualquier carta que sea compatible con todas las cartas de A ya esta contenida en el propio A.Un atlas maximal diferenciable enM se dice que es una estructura diferenciable sobreM. Llegamos ası al conceptocentral de esta leccion.

Definicion 5 (Variedad diferenciable).El par formado por una variedad topologicaM y una estructura diferenciable A sobre dicho conjuntose dice que es una variedad diferenciable.

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Queremos insistir en la siguiente idea: una estructura diferenciable es una capa adicional de datos que anadimosa una variedad topologica para convertirla en variedad diferenciable. Dada una misma variedad topologica, estapuede admitir diferentes estructuras diferenciables. (Mas aun: hay variedades topologicas tan extranas que noadmiten estructuras diferenciables. ¡Ninguna!)

A efectos practicos no es conveniente definir una estructura diferenciable describiendo explıcitamente el atlas ma-ximal. Nos morirıamos antes de terminar dicha tarea. Por suerte, podemos quedarnos en el siguiente resultado quedamos sin prueba.

Proposicion 6 (Variedad diferenciable).Sea M una variedad topologica. Entonces:

a) Cada atlas diferenciable A sobre M esta contenido en una unica estructura diferenciablemaximal que llamaremos, la estructura diferenciable determinada por A.

b) Dos atlas diferenciables para M determinan la misma estructura diferenciable si, y solo si,su union es un atlas diferenciable, esto es, si sus cartas son compatibles.

Ejemplos de variedades diferenciables

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✁Ejemplo 9. [Variedades 0-dimensionales]Una variedad topologica M de dimension 0 ((M = {p})). Para cada punto p ∈ M; la unica vecindad de p eshomeomorphica a un abierto de R

0 es el mismo {p}, y tiene exactamente una carta ϕ : {p} → R0. Ası, el conjunto

de todas las catas deM satisface trivialmente la condicion de compactibilidad, y cada variedadM0 tiene una unicaestructura diferenciable.✄

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✁Ejemplo 10. [Espacios euclıdeos]Rn es una n-variedad con una estructura diferenciable determinada por el atlas formado por una unica carta

(Rn; IdRn). Llamaremos esto la estructura diferenciable estandar sobre Rn.✄

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✁Ejemplo 11. [Otra estructura diferenciable sobre R]Consideremos el homeomorfismo ψ : R → R dado por

ψ(x) = x3

El athas formado por una sola carta (R;ψ) define una estructura diferenciable sobre R. Esta carta no es compatiblecon la estructura diferenciable estantard, porque la aplicacion de cambio de coordenadas IdR ◦ ψ−1(y) = y1/3 noes diferenciable en el origen.

Por tanto la estructura definida sobre R por ψ NO es la misma como la estandar. Usando ideas similares, no esdificil construir muchas estrucuturas distintas sobre cualquier variedad topologica n-dimensional, n > 1.✄

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✁Ejemplo 12. Espacios vectoriales de dimension finita Sea Vn espacio vectorial real. Cualquier norma enV determina una topologıa, que es independiente de la eleccion de la norma. Con esta topologıa, V es una variedadn-topologica, y tiene una estructura suave natural definida como sigue. Cada base (ordenado) base {E1, . . . , En}

para V define un isomorfismo de base E : Rn → V por

E(x) =∑

i=1

xiEi ((E−1(v) = (v1, . . . , vn) donde v =∑

i=1

viEi))

Este aplicacion es un homeomorfismo, por lo que (V, E−1) es una carta. Si{E1 . . . , En

}es cualquier otra base

E(x) =∑xiEj es el isomorfismo correspondiente, entonces existe alguna matriz invertible A = (aij := a

ji) tal que

Ei =∑

j=1

ajiEj, para cada i

Observe que la aplicacion de cambio de coordenadas esta dada por

E−1 ◦ E(x) = x, con x =(x1, . . . , xn

)y donde xj =

∑

i=1

xiaji

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H. Fabian Ramırez



La anterior afirmacion s debe a que∑

j=1

xjEj = v =∑

i=1

xiEi =∑

ij=1

xiajiEj

En conclusion, la aplicacion E−1 ◦ E(x) = x = Ax es una aplicacion lineal invertible y por ende un difeomorfismo,asi cualquier par de cartas son compatibles. la coleccion de tales cartas definen una estructura, llamada estructuraestandar sobre V.✄

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✁Ejemplo 13. [Espacios de matrices]Sea (Mmn(R)) el conjunto de matrices con entradas reales. El cual es un espacio vectorial real de dimension mnbajo suma de matrices y multiplicacion escalar, es entonces un variedad diferenciable mn-dimensional. ((De hecho,a menudo es util identificar (Mmn(R) := Rmn))).

De manera similar, el espacio Mmn(C) de matrices complejas es un espacio vectorial real de dimension 2mn, y porlo tanto es una variedad diferenciable 2mn-dimension. En el caso especial en el que m = n ((cuadrado matrices)),abreviamos Mnn(R) = Mn(R) respectivamente.✄

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✁Ejemplo 14. [subvariedades abiertas]Sea U cualquier subconjunto abierto de Rn. Entonces U es una n-variedad topologica y la sola carta (U, IdU) defineuna estructura suave en U.

De manera mas general, sea M un n-variedad diferenciable y sea U ⊆M cualquier abierto subconjunto. Defina unatlas en U por

AU ={

cartas suaves (V,ϕ) para M tal que V ⊆ U}

Cada punto p ∈ U esta contenido en el dominio de alguna carta (W,ϕ) para M; si ponemos V =W ∩U, entonces(V,ϕ|V ) es una carta en AU cuyo dominio contiene p. Por lo tanto, U esta cubierto por los dominios de de las cartasAU, y es facil verificar que esto es un atlas diferenciable para U.

Por lo tanto, cualquier subconjunto abierto deM es en sı mismo una n-variedad diferenciable en su manera natural.Dotado con esta estructura suave, llamamos a cualquier subconjunto abierto subvariedades abiertas de M.✄

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✁Ejemplo 15. [El grupo lineal general GL(n,R)] /

El conjunto de matrices n × n invertibles con entradas reales. Es una n2-variedad diferenciable porque es unsubconjunto abierto del espacio vectorial Mn(R) n

2-dimensional, en realidad este conjunto la funcion determinante(continua) es distinta de cero.✄

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✁Ejemplo 16. [Espacio de aplicaciones lineales]Sea Vn y Wm espacios vectoriales reales de dimension finita, y sea

L(V,W) ={T : Vn →Wm : T es lineal

}

. Dado que L(V,W) es un espacio vectorial de dimension nm, entonces es una mn-variedad diferenciable. Unaforma de ponerle coordenadas globales es elegir bases para V y W, y representan cada T ∈ L(V,W) por su matriz,que produce un isomorfismo de L(V,W) con Mmn.✄

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✁Ejemplo 17. [Grafos de funciones diferenciables]

Si U ⊆ Rn es un subconjunto abierto y f : U→ R

k es una funcion diferenciable, por el Ejemplo 1 sabemos que Γ(f)es una n-variedad topologica en la topologıa de subespacio. Como Γ(f) esta cubierto por una sola carta ϕ : Γ(f) → U

(la restriccion de π), podemos poner una estructura diferenciable canonica sobre Γ(f) declarando el carta (Γ(f), ϕ)

como una carta diferenciable.✄

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✁Ejemplo 18. [Esferas]

En el Ejemplo 2 mostramos que la n-esfera Sn ⊆ R

n+1 es una n-variedad topologica. Ponemos una estructuradiferenciable en S

n de la siguiente manera. Para cada i = 1, . . . , n + 1, (U±i , ϕ

±i ) denota las cartas construidas en

el ejemplo 2. Para cualquier ındice distinto i < j, la aplicacion de cambio de coordenadas

ϕ±i ◦ (ϕ±

j )−1(u1, . . . , un) =

(u1, . . . , ui, . . . ,±

√1− ‖u‖2, . . . , un

)

((con√1− ‖u‖2 en la posicion j-esima)), y una formula similar se cumple cuando i > j. Cuando i = j, un calculo

aun mas simple daϕ+i ◦ (ϕ−

i ) = ϕ−i ◦ (ϕ+

i )−1 = IdB

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Ası, la coleccion de cartas{(U±, ϕ±

i )}es un atlas diferenciable, por lo que define un estructura diferenciable sobre

Sn. A esto lo llamamos su estructura diferenciable estandar.

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✁Ejemplo 19. [Espacios proyectivos]Por el Ejemplo 3 sabemos que RPn es una n-variedad topologica. Comprobemos que los cartas (Ui, ϕi) construidosen ese ejemplo son todos perfectamente compatibles. Asumiendo por conveniencia que i > j, es sencillo calcular que

ϕj ◦ϕ−1i (u1, . . . , un) =

(u1uj, . . . ,

uj−1

uj,uj+1

uj, . . . ,

ui−1

uj,1

uj,ui

uj, . . . ,

un

uj

)

que es un difeomorfismo de ϕi(Ui ∩Uj) → ϕj(Ui ∩Uj).Observaciones: Cabe mencionar que la nocion de estructura diferenciable se puede generalizar de varias formasdiferentes cambiando el requisito de compatibilidad de las cartas.

Variedad Ck: Si reemplazamos el requisito de que las cartas sean compatibles por el requisito ((mas debil))que cada cambio de coordenadas ψ ◦ ϕ−1 (y su inverso) sea de clase Ck, obtenemos la definicion de unaCk-estructura.

Variedad real-analitica: si requerimos que el cambio de coordenadas sea real-analıtico ((es decir, expresablecomo una serie de potencia convergente en una vecindad de cada punto)), obtenemos la definicion de unaanalıtica real-estructura. tambien llamado Cw- estructura.

Variedad compleja: SiM2m, podemos identificar R2m con Cn y requerimos que las cambio de coordenadas

sean analıticos-complejos; esto determina una analıtica compleja-estructura.

Nota: Una variedad C0 es justamente una variedad topologica, no la trabajaremos aquı, pero juegan un papelimportante en el analisis.

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Riemanniana

Aplicaciones diferenciales

2.1. Funciones diferenciables y aplicaciones diferenciales

Aunque los terminos funcion y aplicacion son tecnicamente sinonimos, al estudiar variedades suaves, a menudo esconveniente hacer una ligera distincion entre ellos. A lo largo de estas notas, generalmente reservamos el terminofuncion para un aplicacion cuyo codominio es R (una funcion de valor real) o R

k para algunos k > 1 (una funcion devalor vectorial). Mientras que reservamos las palabras aplicacion o mapeo para cualquier tipo de aplicacion, entrevariedades arbitrarias.

Definicion 7 (Funciones diferenciables sobre variedades abstractas).Suppose M is a smooth n-manifold, k is a nonnegative integer, and f : M → R

k is any function.We say that f is a smooth function if for every p ∈ M; there exists a smooth chart (U,ϕ) forM whose domain contains p and such that the composite function f ◦ ϕ−1 is smooth on the opensubset U = ϕ(U) ⊆ R

n.

Denotaremos por

C∞(M) ={

f :M→ R : f es diferenciable en M}

C∞(p) ={

f :M→ R : f es diferenciable en p}

Definicion 8 (representacion de f en coordenadas).

Dada un funcion f :M→ Rk y una carta (U,ϕ) para M, la funcion f : ϕ(U) → Rk definida por

f(x) = f ◦ϕ−1(x)

es llamada las representacion de f en coordenadas ((OJO: si no hay confusion muchos libros

escriben f ≡ f))

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✁Ejemplo 20. Sea M = R2 y consideremos la funcion real f(x, y) = 3(x2 + y2) entonces tomando la carta

ϕ(x, y) = (√x2 + y2, arctan(y

x)) de manera que ϕ−1(r, θ) = (x, y)

f(r, θ) = (f ◦ϕ−1)(r, θ) = f(x, y) = 3(x2 + y2) = 3r2

Por tanto, f es diferenciable porque f es diferenciable.

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Aplicaciones diferencibles entre variedades

Definicion 9 (Aplicaciones diferenciables sobre variedades).Let M,N be smooth manifolds, and let F : M → N be any map. We say that F is a smooth mapif for every p ∈M; there exist smooth charts (U,ϕ) containing p and (V,ψ) containing F(p) suchthat F(U) ⊆ V and the composite map

ψ ◦ F ◦ϕ−1 : ϕ(U) → ψ(V)

is smooth

El requisito F(U) ⊆ V se puede suavizar tomando U como U ∩ F−1(V)Es una aplicacion local y puede hacerse para un unico punto p ∈M. Si F es difirenciable para todo p ∈M,entonces F es diferenciable en M.

Si U,U ′ ⊂M son abiertos de M, F|U es dif y F|U′ es dif entonces F|U∩U′ es dif.

La aplicacion ψ ◦ F ◦ϕ−1 es la representacion en coordenadas de F.

La primera observacion importante sobre nuestra definicion de aplicacion deiferenciable es que, como uno podrıaesperar, la diferenciabilidad implica continuidad.

Proposicion 10 (Diferenciabilidad implica continuidad).Cada aplicacion diferenciable es continuo.

Dem: Suponga que M y N son variedades diferenciables, y F : M → N es diferenciable. Dado p ∈ M; la dife-renciabilidad de F significa que existen cartas diferenciables (U,ϕ) que contienen p y (V,ψ) que contiene F(p), talque F(U) ⊆ V y ψ ◦ F ◦ ϕ−1 : ϕ(U) → ψ(V) es diferenciable, por lo tanto continuo. Dado que ϕ : U → ϕ(U) yψ : V → ψ(V) son homeomorfismos, esto implica a su vez que

F∣∣U= ψ−1 ◦ (ψ ◦ F ◦ϕ−1) ◦ϕ : U→ V

la cual es composicion de aplicaciones continuas. Como F es continua en una vecindad de cada punto, esto escontinua en M.

Proposicion 11 (Diferenciabilidad implica continuidad).Sea M, N y P variedades diferenciables. Si F : M → N y G : N → P son diferenciables, entoncesG ◦ F :M→ P es diferenciable

Dem: Sea p ∈ M por diferenciabilidad de G, existe una carta diferenciable (V, θ) conteniendo a F(p) y (W,ψ)

contiendo a G(F(p)) tal que G(V) ⊆W y

ψ ◦G ◦ θ−1 : θ(V) → ψ(W)

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es diferenciable. Como F es continua F−1(V) es una vecindad de p en M, asi existe una carta (U,ϕ) para Mtal que p ∈ U ⊆ F−1(V). No es difıcil ver que θ ◦ F ◦ ϕ−1 es diferenciable de ϕ(U) a θ(V). Entonces tenemosG ◦ F(U) ⊆ G(V) ⊆W y

ψ ◦ (G ◦ F) ◦ϕ−1 = (ψ ◦G ◦ θ−1) ◦ (θ ◦ F ◦ϕ−1) : ϕ(U) → ψ(W)

es diferenciable porque es composicion de aplicaciones diferenciables entre subsespacios de espacios euclidianos.

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✁Ejemplo 21. [Aplicaciones diferenciables]

1. Si S1 es dada con su estructura stantard ((grafo)), la aplicacion ε : R → S1 definida por ε(t) = e2πit es

diferenciable porque conε(t) = 2πt+ k

2. Consideremos Sn y la aplicacion inclusion ı : Sn → Rn+1 la cual es continua porque es la aplicacion inclusionde un subespacio topologico. Por otra parte ı es diferenciable pues su representacion en coordenadas ,

ı(u1, . . . , un) = ı ◦ (ϕ±i )

−1(u1, . . . , un) =(u1, . . . , ui−1,±

√1− ‖u‖2, ui, . . . , un

)

es diferenciable en su dominio ((el conjunto donde ‖u‖2 < 1))

3. La aplicacion cociente π : Rn+1 r {0} → Pn es diferenciable porque su representacion en coordenadas en

termnos de cualquier de los coordenadas para Pn es diferenciable en el sentido usual,

π(x1, . . . , xn+1) = ϕi ◦ π(x1, . . . , xn+1) = ϕi[x1, . . . , xn+1](x1xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

), xi 6= 0

4. Defina la aplicacion q : Sn → Pn como q := π

∣∣Sn

es decir, la restriccion de π : Rn+1 r {0} → Pn a la n-esfera

Sn ⊆ R

n+1r {0}. Claramente la aplicacion q es diferenciable porque es composicion q = π ◦ ı de aplicaciones

diferenciables item 2 y 3.

Difeomorfismos

Definicion 12 (Diffeomorphisms).If M and N are smooth manifolds, a diffeomorphism from M to N is a smooth bijective mapF : M → N that has a smooth inverse. We say that M and N are diffeomorphic if there exists adiffeomorphism between them. Sometimes this is symbolized by M ≈ N.

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✁Ejemplo 22.

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1. Consideremos la aplicacion F : Bn → Rn y G : Rn → Bn dadas por

F(x) =x√

1− ‖x‖2G(y) =

y√1− ‖y‖2

Estas aplicaciones son diferenciables, un simple calculo muestra que ellas son inversas de la otra. Ası queambas son difeomorfismos, y por tanto Bn es difeomorfica a R

n.

2. SiM es cualquier variedad diferenciable y (U,ϕ) es una carta diferenciable sobreM, entonces ϕ : U→ ϕ(U) ⊆Rn es un difeomorfismo. En efecto, tienen la aplicacion identidad como sus coordenadas de representacion.

3. Toda composicion de difeomosfismos es difeomorfismo

4. Todo difeomorfismo es un homeomorfismo y es una aplicacion abierta

5. Variedades topologicas que admiten estructuras diferencables que NO son difeomorficas. SeaM = (R, id) y N = (R, ψ) ≡ R donde ψ(y) = y3 ((R no es mas que R dotada con la estructura diferenciable

de Ejemplo 1.2)). Resulta que R es difeomorfico de R con su estructura diferenciable estandar.

En efecto, consideremos la aplicacion F :M→ N dada por

F(x) = 3√x

la representacion en coordenadas de F esta dada por F(t) = ψ ◦ F ◦ iR(t) = t. Tomando G(y) = y3 entoncesG = F−1 y ademas G : (N,ψ) → (M, id) es diferenciable pues la representacion en coordenadas de G,

G(y) = id ◦G ◦ψ−1(y) = y

es diferenciable en el sentido usual, Luego F es un diferomorfismo. En pocas palabra R ≈ R ((Este es un casoen el cual es importante mantener la distincion entre una aplicacion y sus representacion en coordenadas))

Curiosidades de estructuras diferenciables:Solo hay una estructura suave en R salvo difeomorfismo.

Mas precisamente, si A1 y A2 son dos estructuras diferenciables en R, existe un difeomorfismo F : (R,A1) → (R,A2).

De hecho, se desprende del trabajo de James Munkres [Mun60] y Edwin Moise [Moi77] que cada variedad topologica de dimension menoro igual a 3 tiene una estructura diferenciable que es unico salvo difeomorfismo.

La pregunta analoga en dimensiones superiores resulta ser bastante profunda, y todavıa sin respuesta. Incluso para los espacios euclidianos,La cuestion de unicidad de las estructuras diferenciables no se resolvio por completo hasta a finales del siglo XX.

La respuesta es sorprendente: Si n 6= 4, Rn tiene una estructura diferenciable unica (salvo difeomorfismo); pero R

4 tiene incontablesestructuras diferenciables distintas, ¡ninguna de las cuales es difeomorfica entre sı!

La existencia de estructuras suaves no estandar en R4 (llamadas R

4-falsas) se probo por primera vez por Simon Donaldson y MichaelFreedman en 1984 como consecuencia de su trabajo sobre la geometrıa y topologıa de 4-variedades compactos; los resultados se describenen [DK90] y [FQ90].

Para variedades compactas, la situacion es aun mas fascinante. En 1956, John Milnor [Mil56] demostro que hay estructuras suaves enS7 que no son difeomorficas al estandar. Mas tarde, el y Michel Kervaire [KM63] mostraron (usando un teorema profundo de Steve

Smale [Sma62]) de que hay exactamente 15 clases de difeomorfismos de tales estructuras (o 28 clases si se restringe a difeomorfismos quepreservan una propiedad llamada orientacion).

Por otro lado, en todas las dimensiones superiores a 3 hay variedades compactas topologicas que no tienen estructuras suaves en absoluto.

El problema de identificar el numero de estructuras suaves (si las hay) en 4-variedades topologicas es un tema activo de la investigacionactual.

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Riemanniana

Vectores tangentes

Para darle sentido al calculo en variedades, necesitamos introducir el espacio tangente a una variedad en unpunto, que podemos considerar como una especie de ((modelo lineal)) para una variedad cerca del punto.

Recordemos un poco como se interpreta los vectores tangentes en superfices S ⊂ R3

v ∈ TpS se puede “ver” de dos modos

1. v = α ′(0) con α curva

2. v ∈ dXq(R2) ≡ TpS

En una variedad M abstracta, p ∈ M, TpM?? de entrada vemos que ni 1) ni 2) tiene sentido. Esto es debido que2) el problemas es diferencial?? y en 1) vemos que

α ′(0) = lımt→0

α(t) − α(0)

tAquı α(t) − α(0) no tiene sentido en M abstracta

Nuestro objetivo: Definir TpM donde M es una variedad abstracta. Para ello

tomaremos Rn como espacio afin. ((los puntos como actores principales)). Dado a ∈ Rn se

define el espacio tangente a Rn en a como el conjunto

Rna =

{

(a, v) : v ∈ Rn}

={a}× R

n

Notacion: (a, v) = va = v|a. Aunque Rna = R

nb como espacio vectorial real bajo las opera-

ciones naturales

va +wa = (v+w)a λ(va) = (cv)a

Observe que (ei)a, con i = 1, . . . , n son una base para Rna . En efecto el espacio vectorial,

Rna es esencialmente el mismo que R

n. Mas aun, se tiene que Rna 6= R

nb cuando a 6= b. Es

decir Rna ,Rnb son copias de R

n fijados en puntos distintos.

Con esta definicion podrıamos pensar TaSn−1 con a ∈ S

n−1 como un cierto subespacio deRna , es decir, el espacio de vectores que son ortogonales al vector unitario radial a traves dea. El problema con esta definicion, sin embargo, es que no nos da ninguna pista sobre comopodemos definir los vectores tangentes en una variedad arbitraria y diferenciable, donde nohay espacio euclidiano ambiental.

Ası que tendremos que buscar otra caracterizacion de vectores tangentes que pueda tener sentido en variedadesabstractas.

Las unicas cosas con las que tenemos que trabajar en variedades suaves hasta ahora son funciones suaves, aplicaciones

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H. Fabian Ramırez



suaves y cartas de de coordenadas suaves. Una cosa que un vector tangente proporciona es un medio de tomarderivadas direccionales de funciones. Por eso si va ∈ R

na definimos la aplicacion

Dv∣∣a: C∞(Rn) → R

f → Dv∣∣a(f) := (Dvf)(a) =

d

dt

∣∣∣t=0f(a+ tv) Derivada direccional usual

Observe que

Dv∣∣a(λf+ µg) = λDv

∣∣a(f) + µDv

∣∣a(g) R-lineal

Dv∣∣a(fg) = f(a)Dv

∣∣a(g) + g(a)Dv

∣∣a(f) regla Leibniz (3.1)

Si{e1, . . . , en

}es la base canonica de R

n es decir, x =

n∑

i=1

xiei := xiei ((convenio Einstein)) entonces

Dei

∣∣a(f) =

d

dt

∣∣∣t=0f(a+ tei) = df(a+tei)

∣∣∣t=0

( ddt

∣∣∣t=0

(a+ tei))= dfa(ei) =

∂f

∂xi(a) (3.2)

y ası para v = viei:

Dv∣∣a(f) =

d

dt

∣∣∣t=0f(a+ tv) = dfa(v) = dfa(v

iei) = vidfa(ei) = v

i ∂f

∂xi(a) = viDei

∣∣a(f)

Por tanto,Dv∣∣a= viDei

∣∣a

Es decir, Dv se escribe como combinacion lineal de Deiy ademas usa los mismos coeficientees que v respecto a la

base {ei} Con esta construccion en mente, tomamos la sigueinte definicion:

Definicion 13 (Derivacion en a y TaRn).

Sea a ∈ Rn, a la aplicacion w : C∞(a) → R es llamada derivacion en a si

1. w es R-lineal

2. w satisface Leibniz w(fg) = f(a)w(g) + g(a)w(f)

DefinimosTaR

n ={w : w es un derivacion en a

}

✞

✝

☎

✆Ejercicio 23. Demuestre que TaR

n es una espacio vectorial real bajo las operacioes

(w1 +w2)f = w(f) +w2(f) (cw)(f) = cw(f)

Teorema 14 (Propiedades de derivaciones).Dados a ∈ R

na , w ∈ TaRn, f, g ∈ C∞(a) entonces

a) Si f es constante, w(f) = 0

b) Si f(a) = g(a) = 0 entonces w(fg) = 0

Dem: a) Tomemos las funciones constantes f1 ≡ 1, y f ≡ c luego

w(f) = w(c) = w(1c) = w(cf1)(lineal)

= cw(f1)

Por otra parte,

w(f1) = w(f1f1) = f1(a)w(f1) + f1(a)w(f1) = 2f(a)w(f1) = 2w(f1) =⇒ w(f1) = 0

usando esto conluimos que w(f) = 0.

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H. Fabian Ramırez



b) Usando la regla del producto w(fg) = f(a)w(g) + g(a)w(f)(hip)

= 0

La siguiente proposicion demuestra que derivaciones en a se corresponde uno-a-uno con los vectorestangentes

Proposicion 15 (Correspondencia entre derivacion en a y TaRn).

Sea a ∈ Rn,

a) Para cada va ∈ Rna , la aplicacion Dv|a : C∞(a) → R es una derivacion en a.

b) la aplicacion va −→ Dv|a es un isomorfismo de Rna en TaR

n

Dem: a) claramente Dv|a es una derivacion ver (3.1).

b) Observe que es lineal, Dλv+µw|a = λDv|a + µDw|a. En efecto para toda f ∈ C

Dλv+µw|a(f) =d

dt

∣∣∣t=0f(a+ t[λv+ µw]) = dfa(λv+ µw) = λdfa(v) + µdf(w) = λDv|a(f) + µDw|a(f)

Dv|a es inyectiva: dado que Dv|a es lineal sera suficiente demostrar que el nucleo es cero. Supongamos entoncesque va ∈ R

na es un vector tal que Dv|a ≡ 0a ((derivacion cero, es decir, 0|a(f) = 0 para toda funcion f ∈ C∞(a)

Dado que v|a = viei|a in terminos de la base estandar y tomando la funcion coordenada xj : Rn → R, ((xj(v) = vj))la cual claramente es diferenciable y para cada j = 1, . . . , n

0 = Dv|a(xj) =

∑

i

vi∂

∂xi(xj)

∣∣∣a=

∑

i

viδji

∣∣∣a= vj

Por tanto, v|a = 0.

Dv|a es sobreyectiva: tomemos w ∈ TaRn una derivacion arbitaria; buscamos un vector v ∈ Rna de suerte que

w = Dv|a si lo encontramos deberıa cumplirse w(xi) = Dv|a(xi) = vi

y por ende v|a =∑

i

viei|a =∑

i

w(xi)ei|a. Sea f una funcion diferenciable, basta demostrar que:

Dv|a(xi)(f) = w(f)

para verlo aplicamos Taylor

f(x) = f(a) + (x− a)T∇f(a) + 1

2(x− a)T∇2f(x− a) + · · ·+

= f(a) +∂f

∂xi(a)(xi − ai) +

1

2

∂2f

∂xi∂xj(a)(xi − ai)(xj − aj) + · · ·+

Haciendo actuar w en ambos miembros y teniendo en mente la proposicion 14

w(f) = w(f(a)) +∂f

∂xi(a)w(xi − ai) +

∂2f

∂xi∂xj(a)

=0, Prop14︷︸︸︷

w[(xi − ai)(xj − aj)] + · · ·+

=∂f

∂xi(a)(w(xi) −w(ai)) =

∂f

∂xi(a)vi

= Dv|a(f)

Corolario 16 (Base para TaRn).

Para cada a ∈ Rn las n derivaciones canonicas estan dadas por

{

Dei |a, . . . ,Den |a

}

:={ ∂

∂x1

∣∣∣a, . . . ,

∂

∂xn

∣∣∣a

}

forman una forman una base del espacio vectorial TaRn. Observe que para f ∈ C∞(a) tenemos que

ei|a(f) :=∂

∂xi

∣∣∣a(f) := Dei |a(f)

(vv)

= dfa(ei) =∂f

∂xi(a), i = 1, . . . n

20


H. Fabian Ramırez



3.0.1. Vectores tangentes sobre variedades

Ahora ya estamos en posicion de definir vectores tangentes sobre variedades .

Definicion 17 (Vector tangentes en M).Sea M una variedad diferenciable y p ∈ M. Una aplicacion v : C∞(M) → R es llamada unaderivacion en p si satisface

v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f) ∀f, g ∈ C∞(M) (3.3)

Definimos por

TpM ={

v : v es una derivacion de C∞(M) en p}

al espacio tangente de M en p el cual es un espacio vectorial real y un elemento de TpM esllamado vector tangente en p.

✞

✝

☎

✆Ejercicio 24. Suponga que M es diferenciable, p ∈M, v ∈ TpM y f, g ∈ C∞(M) entonces

a) Si f es constante, entonces v(f) = 0

b) Si f(p) = g(p) = 0 entonces v(fg) = 0

Sol:

3.1. La diferencial de una aplicacion

Para relacionar los espacios tangentes abstractos que hemos definido en las variedades con los espacios tangente((geometricos)) en R

n, tenemos que explorar la forma en que las cartas diferenciables afectan a los vectores tangentes.

En el caso de una funcion diferenciable f entre espacios euclidianos, la derivada total de la funcion en un punto a((representado por su matriz jacobiana Df(a))) es una aplicacion lineal que representa la “mejor aproximacionlineal” cerca del punto a. En el caso de una aplicacion F entre variedades, existe una aplicacion lineal similar dF,pero no tiene sentido hablar de una aplicacion lineal entre variedades. En cambio, dF sera una aplicacion linealentre espacios tangentes.

Definicion 18 (Diferencial de una aplicacion).Si M y N son variedades diferenciables y F : M → N es una aplicacion diferenciable, para cadap ∈M definimos una aplicacion

dFp : TpM → TF(p)N

v → dFp(v) : C∞(F(p)) → R (derivacion en TF(p)M)

f → dFp(v)(f) := v(f ◦ F)

Llamada la diferencial de F en p.

21


H. Fabian Ramırez



Note que si f ∈ C∞(N), entonces f ◦ F ∈ C∞(M), asi v(f ◦ F) tiene sentido. El operador dFp(v) : C∞(N) → R es linealporque v es una derivacion. En efecto, para cualquier f, g ∈ C∞(N) tenemos que

dFp(v)(λf+ µg) = v((λf+ µg) ◦ F) = v(λf ◦ F+ µg ◦ F) = λv(f ◦ F) + µv(g ◦ F)= λdFp(v)(f) + µdFp(v)(g) R-lineal

Adicionalmente dFp(v) es una derivacion en F(p):

dFp(v)(fg) = v((fg) ◦ F) = v(fg(F(p))

)= v(f(F(p)) g(F(p))

)

= f(F(p)) v(g(F(p))

)+ g(F(p)) v

(f(F(p))

)

= f(F(p))v(g ◦ F) + g(F(p))v(f ◦ F)

= f(F(p))dFp(v)(f) + g(F(p))dFp(v)(f)

Proposicion 19 (Propiedades de la diferencial dFp).Sea M,N y P variedades diferenciables, sean F :M→ N y G : N→ P aplicaciones diferenciables,y sea p ∈M.

(a) dFp : TpM→ TF(p)N es lineal.

(b) d(G ◦ F)p = dGF(p) ◦ dFp : TpM→ TG◦F(p)P.

(c) d(iM)p = iTpM : TpM→ TpM.

(d) Si F es un difeomorfismo, entonces dFp : TpM → TF(p)N es un isomorfismo, y (dFp)−1 =

d(F−1)F(p)

Dem: a) Claramente dFp es lineal pues

dFp(λv+ µw)(f) = (λv+ µw)(f ◦ F) = λv(f ◦ F) + µw(f ◦ F) = λdFp(v)(f) + µdFp(v)(f)

(b-d) (ejercicio)

22


H. Fabian Ramırez



Nuestra primera aplicacion importante del diferencial sera usar las cartas coordenadas para relacionar el espaciotangente a un punto en una variedad con el espacio tangente euclidiano. Pero hay un problema tecnico importanteque debemos abordar primero: mientras que la tangente el espacio se define en terminos de funciones diferenciablesen toda la variedad, las cartas coordenadas son en general, definidas solo en subconjuntos abiertos. El punto clave,es que los vectores tangentes actuan localmente.

Proposicion 20 (Propiedades).SeaM una variedad diferenciable, p ∈M, y v ∈ TpM. Si f, g ∈ C∞(M) coiciden en alguna vecindadde p, entonces v(f) = v(g).

Dem: Sea h = f − g, de modo que h es una funcion diferenciable que se desvanece en una vecindad de p. Seaψ ∈ C∞(M) una funcion meseta diferenciable que sea identicamente igual a 1 en el soporte de h y es soportado enM r {p}. Dado que ψ ≡ 1 donde h 6= 0, el producto ψh es identicamente igual a h. Dado que h(p) = ψ(p) = 0,entonces

v(f− g) = v(h) = v(ψh) = ψ(p)v(h) + h(p)v(ψ) = 0

esto implica Por linealidad, esto implica v(f) = v(g).

Usando esta proposicion, podemos identificar el espacio tangente a una subvariedad abierta con el espacio tangentea toda la variedad.

Proposicion 21 (Propiedades).Sea M una variedad diferenciable, sea U ⊆ M un subconjunto abierto, y sea i : U → M laaplicacion inclusion. Para cada p ∈ U, el diferencial dip : TpU→ TpM es un isomorfismo.

Dem: dip es inyectividad, veamos que si v ∈ TpU y dip(v) = 0 ∈ TpM entonces v = 0.

Para ello supongamos B una vecindad de p tal que B ⊆ U. Si f ∈ C∞(U) es arbitraria, la extension lema para

funciones diferenciables garantiza que existe f ∈ C∞(M) tal que f ≡ f en B. Entonces, dado que f y f|U sonfunciones diferenciables en U que concuerdan en un vecindad de p, la Proposicion 20 implica

vf = v(f|U) = v(f ◦ i) = dip(v)f = 0Dado que esto es valido para todo f ∈ C∞(U), se deduce que v = 0, por lo que dip es inyectiva.

dip es sobrejetividad: Suponga que w ∈ TpM es arbitrario. Define un operador v : C∞(U) → R dado por

vf = wf, donde f es cualquier funcion diferenciable en todo M que coinciden con f en B. Por la Proposicion 20, vfes independiente de la eleccion de hf, por lo que v esta bien definido, y es facil comprobar que es una derivacion deC∞(U) en p. Para cualquier g ∈ C∞(M),

dip(v)g = v(g ◦ i) = w(g ◦ i) = wg

donde las dos ultimas iguladades se siguen de los hechos g ◦ i, g ◦ i y g coinciden en todo B. Por lo tanto, dip estambien sobreyectivo.

Proposicion 22 (Dimension del espacio tangente).Si M es un n-variedad diferenciable, luego para cada p ∈ M, el espacio tangente TpM es unn-espacio vectorial.

Dem: Dado p ∈M; sea (U,ϕ) un carta de coordenadas diferenciable que contenga p. Dado que ϕ es un difeomor-

fismo de U en un subconjunto abierto U ⊆ Rn, sigue de la Proposicion 19(d) que dϕp es un isomorfismo de TpU a

Tϕ(p)U. La Proposicion 21, garantiza que

TpM ∼= TpU y Tϕ(p)U ∼= Tϕ(p)Rn,

sigue que entonces que dim TpM = dim Tϕ(p)Rn = n.

Calculos en Coordenadas

Nuestro tratamiento del espacio tangente a una variedad hasta ahora puede parecer desesperadamente abstracto.Para traerlo a la tierra, mostraremos como hacer calculos con vectores tangente diferenciales en coordenadas

23


H. Fabian Ramırez



locales.

Primero, suponga que M es una variedad diferenciable, y sea (U,ϕ) una carta coordenada diferenciable en M. En-

tonces ϕ es, en particular, un difeomorfismo de U a un subconjunto abierto U ⊆ Rn. Combinando las Proposiciones

21 y 19(d), vemos que dϕp : TpM→ Tϕ(p)Rn es un isomorfismo.

Segun el Corolario 16, las derivaciones ∂∂x1

|ϕ(p), . . . ,∂∂x1

|ϕ(p) forman una base para Tϕ(p)Rn. Por tanto, las

preimagenes de estos vectores bajo el isomorfismo dϕp forman una base para TpM.

Usamos la notacion ∂∂xi

∣∣ppara estos vectores, caracterizados por cualquiera de las siguientes expresiones

∂

∂xi

∣∣∣p= (dϕ)−1

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)= d(ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)

Desarrollando las definiciones, vemos que ∂∂xi

∣∣pactua sobre una funcion f ∈ C∞(U) por

∂

∂xi

∣∣∣p(f) = d(ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)(f) := d(f ◦ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)

=( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)(f ◦ϕ−1)ϕ(p)

=( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)(f)

donde f = f ◦ ϕ−1 es la representacion en coordenadas de f. Con el objetivo de mejorar la comprension de loscalculos, consideramos en adelante la siguiente notacion

∂f

∂xi

∣∣∣p

(not)

=∂

∂xi

∣∣∣p(f)

(def)

=( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)(f)

(not)

=∂f

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

donde p = (p1, . . . , pn) = ϕ(p). Los vectores, ∂∂xi

∣∣pson llamados vectores coordenados en p asociado con el

sistema de coordenadas dado. En el caso especial de estandar coordenadas en Rn, los vectores ∂

∂xi

∣∣pson literalmente

los operadores de derivada parcial.

La siguiente proposicion resume la discusion hasta ahora.

Proposicion 23 (Base de TpM).Sea M una n-variedad diferenciable, y sea p ∈M. Entonces TpM es un n-espacio vectorial, y paracualquier carta diferenciable (U,ϕ ≡ (xi)) que contiene p, los vectores de coordenadas

{ ∂

∂xi

∣∣p, . . . ,

∂

∂xi

∣∣p

}

forman una base para TpM.

✞

✝

☎

✆Ejercicio 25. El operador

∂

∂xi

∣∣∣pes una derivacion en p y por tanto, es un vector de TpM.

24


H. Fabian Ramırez



Pero aun hay mas{ ∂

∂x1

∣∣∣p, . . . ,

∂

∂xn

∣∣∣p

}

es una base de TpM, lo vamos a demostrar:

Son l.i consideremos la combinacion lineal 0 =∑i λi ∂

∂xi

∣∣py demostremos que λi = 0. Para ello tomemos la

funcion xj : U→ R entonces

0 = 0(xj) =∑

i

λi

????︷︸︸︷∂

∂xi

∣∣p(xj)

(def)

=∑

i

λi∂

∂ui(xj ◦ϕ−1)(ϕ(p)) =

∑

i

λi∂

∂ui(πj ◦ϕ ◦ϕ−1)(ϕ(p))

=∑

i

λi∂πj

∂ui(ϕ(p)) =

∑

i

λi∂πj

∂ui(ϕ(p)) =

∑

i

λid

dt

∣∣∣t=0πj(ϕ(p) + tei)

=∑

i

λid

dt

∣∣∣t=0πj(x1(p), . . . , xi(p) + t, . . . , xn(p)

)

=∑

i

λid

dt

∣∣∣t=0

{xj(p) si j 6= ixi + t si j = i

=∑

i

λi{0 si j 6= i1 si j = i

=∑

i

λiδji = λj

Por tanto, λj = 0 para todo j = 1, . . . , n es decir, son l.i

Es un sistema generado v ∈ TpM arbitrario. Veamos a demostrar que

v = v(xi)∂

∂xi

∣∣∣p

como operadores

En definitiva debemos ver si, ∀f ∈ C∞(p) entonces

v(f) = v(xi)∂f

∂xi

∣∣∣p?

Notemos que p este fijo. Vamos a hacer Taylor para f en ϕ(p) = p = (x1(p), . . . , x(p)):

T(u) = f(a) + (u− a)T∇f(a) + 1

2(u− a)T∇2f(a)(u− a) + · · · ((recuerdo))

en nuestro caso tendrıamos,

f(u1, . . . , un) = f(p) +∂f

∂ui(p)(ui − xi(p)

)+1

2

∂2f

∂ui∂uj(p)(ui − xi(p)

)(uj − xj(p)

)+ . . .+

Aquı (u1, . . . , un) es un punto de Rn arbitrario y proximo a p. Como ϕ es carta, dicho punto se corresponde

con un unico q ∈ M proximo a p en M de modo que ϕ(q) = q = (x1(q), . . . , xn(q)) ≡ (u1, . . . , un).Escribimos ahora,

f(q) = f(p) +∂f

∂ui(p)(xi(q) − xi(p)

)+1

2

∂2f

∂ui∂uj(p)(xi(q) − xi(p)

)(xj(q) − xj(p)

)+ . . .+

como q es arbitrario (argumento) y f ◦ϕ = f

f( · ) = f(p) + ∂f

∂xi

∣∣∣p(xi(·) − xi(p)) + 1

2

∂2f

∂ui∂uj(p)

︸︷︷︸const

(xi(·) − xi(p))(xj(·) − xj(p)) + . . .+

Hacemos actuar v en ambos miembros:

v(f) = v(p) +∂f

∂xi

∣∣∣p(v(xi) −

=0︷︸︸︷

v(xi(p))) +1

2

∂2f

∂ui∂uj(p)

︸︷︷︸const

(v(xi − xi(p)))

=0︷︸︸︷

(xj(p) − xj(p))+ . . .+

= v(xi)∂f

∂xi

∣∣∣p

y se tiene el resultado deseado.

25


H. Fabian Ramırez



✄

✂

�

✁Ejemplo 26. [Vectores tangentes para una superficie regular]

Sea S ⊂ R3 superficie regular de (CyS) Hecho: S es una 2-variedad diferenciable, sus

cartas son de la forma ϕ = X−1 siendo X una parametrizacion de CyS ((aquı vamosa tomar como cartas ϕ ≡ (x, y))) la pregunta es para p ∈ S:

¿Que es∂

∂x

∣∣p?

De antemano sabemos que

∂

∂x

∣∣∣p: C∞(p) → R

f → ∂

∂x

∣∣∣p(f) :=

∂

∂u

∣∣∣ϕ(p)

(f) =∂

∂u(f ◦ϕ−1)

∣∣∣ϕ(p)

(∗)

= Xu(ϕ(p))(f)

donde (*)

∂

∂u(f ◦ϕ−1)

∣∣∣ϕ(p)

:= d(

ap:R2→R︷︸︸︷

f ◦ϕ−1 )ϕ(p)(e1) = d(f ◦ X)ϕ(p)(e1)

= dfX(ϕ(p))

(dXϕ(p)(e1)

)= dfp

(∗

︷︸︸︷Xu(ϕ(p))

)((*vector R3 usual))

(∗∗)

= Xu(ϕ(p))(f) ((** notacion derivacion en R3p))

Por tanto,∂

∂x

∣∣∣p≡ Xu(ϕ(p)) viendo Xu como operador. Analogamente,

∂

∂y

∣∣∣p≡ Xv(ϕ(p)) y el

TpS = gen{ ∂

∂x

∣∣p,∂

∂y

∣∣p

}

= gen{

∂x(p), ∂y(p)︸︷︷︸notacion comoda

}

✄

✂

�

✁Ejemplo 27. [Coordenadas polares]

Sea M = R2 y tomemos coordenadas polares ϕ(x, y) = (x1(x, y), x2(x, y)) = (

√x2 + y2, tan−1 y

x) y ϕ−1(r, θ) =

X(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). De nuevo: ¿Que es∂

∂x1

∣∣∣p?, donde p ∈M = R2

Observemos que si f ∈ C∞(p):

∂

∂x1

∣∣∣p(f) :=

∂

∂r

∣∣∣p(f) =

∂

∂r(f ◦ϕ−1)ϕ(p)(e1) = dfp

(dX(r,θ)(e1)

)= dfp(Xr(r, θ)) = Xr(f)

Es decir que∂

∂x1

∣∣∣p= Xr(r, θ) = (cos θ, sin θ). Analogamente

∂

∂x2

∣∣∣p= Xθ(r, θ) = (−r sin θ, r cos θ)

La diferencial en Coordenadas

Veamos como se ven los diferenciales en coordenadas. Empezamos considerando el caso especial de una funcionvectorial diferenciable F : U ⊆ Rn → V ⊆ Rm donde U,V son abiertos. Para cualquier p ∈ U, determinaremos lamatriz de dFp : TpR

n → TF(p)Rm en terminos de las bases de coordenadas estandar.

Usando (x1, . . . , xn) para denotar las coordenadas en el dominio e (y1, . . . , ym) para denotar aquellos en el codo-minio, usamos la regla de la cadena para calcular la accion de dFp en un vector base tıpico de la siguiente manera,aqui ((F(p) = (F1(p), . . . , Fm(p)) y (f ◦ F)(p)) = f(F1(p), . . . , Fm(p))))

dFp

( ∂

∂xi

∣∣p

)f :=

∂

∂xi

∣∣∣p(f ◦ F) =

m∑

j

∂f

∂yj(F(p))

∂Fj

∂xi(p) =

( m∑

j

∂Fj

∂xi(p)

∂

∂yj

∣∣∣F(p)

)(f)

Ası que,

dFp

( ∂

∂xi

∣∣p

)=∂Fj

∂xi(p)

∂

∂yj

∣∣∣F(p)

(3.4)

26


H. Fabian Ramırez



En otras palabras, la matriz asociada a dFp en terminos de la base coordenada es

∂F1

∂x1(p) · · · ∂F1

∂xn(p)

.... . .

...∂Fn

∂x1(p) · · · ∂Fn

∂xn(p)

[dFp

( ∂

∂xi

∣∣p

)]B′

=[∑

j

∂Fj

∂xi(p)

∂

∂yj

∣∣∣F(p)

]B′

=

∂F1

∂xi(p)

∂F2

∂xi(p)

...∂Fn

∂xi(p)

((Recuerde que las columnas de la matriz son los componentes de las imagenes del vectores base.)) Esta matriz noes otra que la matriz jacobiana de F en p, que es la representacion matricial de la derivada total DF(p) : Rn → R

m.Por lo tanto, en este caso, dFp : TpR

n → TF(p)Rm corresponde a la derivada total DF(p) : Rn → R

m, bajo nuestraidentificacion habitual de los espacios euclidianos con sus espacios tangentes Rn ≡ TpRn y R

m ≡ TF(p)Rm.

Considere ahora el caso mas general de una carta diferenciable F : M → N entre variedades diferenciables. Selec-cionamos cartas coordenadas diferenciables (U,ϕ) para M que contiene a p y (V,ψ) para N que contiene F(p),obtenemos la representacion coordenada

F = ψ ◦ F ◦ϕ−1 : ϕ(U ∩ F−1(V)) → ψ(V)

Sea p = ϕ(p) denota la representacion de coordenadas de p. Por el calculo anterior, dFp es representado con respecto

a las bases de coordenadas estandar por el jacobiano matriz de F en p. Usando el hecho de que F ◦ϕ−1 = ψ−1 ◦ F,calculamos

dF( ∂

∂xi

∣∣p

)= dF

(d(ϕ−1)p

( ∂

∂xi

∣∣p

))= d(ψ−1)

F(p)

(dFp

( ∂

∂xi

∣∣p

))= d(ψ−1)

F(p)

(∂Fj

∂xi(p)

∂

∂yj

∣∣∣F(p)

)

=∂Fj

∂xi(p)

(d(ψ−1)

F(p)

( ∂

∂yj

∣∣∣F(p)

))

=∂Fj

∂xi(p)( ∂

∂yj

∣∣∣F(p)

)

En otras palabras, la matriz asociada a dFp en terminos de la base coordenada es

∂F1

∂x1(p) · · · ∂F1

∂xn(p)

.... . .

...

∂Fn

∂x1(p) · · · ∂Fn

∂xn(p)

[dFp

( ∂

∂xi

∣∣p

)]B′

=[∑

j

∂Fj

∂xi(p)

∂

∂yj

∣∣∣F(p)

]B′

=

∂F1

∂xi(p)

∂F2

∂xi(p)

...∂Fn

∂xi(p)

Es decir, es la matriz jacobiana de F, ((representacion en coordenadas de F)). En la literatura de geometrıa diferencial,el diferencial a veces se llama la aplicacion tangente, la derivada total o simplemente la derivada de F. Porque

27


H. Fabian Ramırez



“empuja” vectores tangentes hacia adelante desde la variedad dominio al codominio, tambien se llama el empuje(puntual) hacia adelante. Diferentes autores lo denotan con sımbolos como

F ′(p) DF DF(p) F∗ TF TpF

Nos quedaremos con la notacion dFp para el diferencial de una aplicacion diferenciable entre variedades y reservaDF(p) para la derivada total de una aplicacion entre espacios vectoriales, que en el caso de los espacios euclidianosidentificamos con la matriz jacobiana de F.

Cambio de coordenadas

Suponga (U,ϕ ≡ (xi)) y (V,ψ ≡ (xi)) dos cartas diferenciables enM, y p ∈ U∩V. Cualquier vector tangente en p se

puede representar con respecto a la base{ ∂

∂xi

∣∣p

}o{ ∂

∂xi

∣∣p

}. ¿Como se relacionan las dos representaciones?

En esta situacion, se acostumbra escribir el cambio de coordenada

ψ ◦ϕ−1 : ϕ(U ∩ V) → ψ(U ∩ V) ψ ◦ϕ−1(x) =(x1(x), . . . , xn(x)

)

Aquı nos permitimos un abuso tıpico de la notacion: en la expresion xi(x), piense en xi como una funcion decoordenadas ((cuyo dominio es un subconjunto abierto de M; identificado con un subconjunto abierto de Rn)); peropensamos que x representa un punto, en este caso, en ϕ(U ∩ V). Por (3.4), el diferencial

d(ψ ◦ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣ϕ(p)

)=∂xj

∂xi(ϕ(p))

∂

∂xj

∣∣∣ψ(p)

Usando la definicion de vectores coordenados, obtenemos

∂

∂xi

∣∣∣p= d(ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)

= d(ψ−1)ψ(p) ◦ d(ψ ◦ϕ−1)ϕ(p)

( ∂

∂xi

∣∣∣ϕ(p)

)

= d(ψ−1)ψ(p)

(∂xj

∂xi(ϕ(p))

∂

∂xj

∣∣∣ψ(p)

)=∂xj

∂xi(p)

∂

∂xj

∣∣∣p

(3.5)

donde de nuevo hemos escrito p = ϕ(p). ((Esta formula es facil de recordar, porque se ve exactamente igual que laregla de la cadena para derivadas parciales en R

n)). Teniendo en mente esto,

28


H. Fabian Ramırez



∑

j=1

vj∂

∂xj

∣∣∣p= v =

∑

i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣p=

∑

i=1

vi∑

j=1

∂xj

∂xi(p)

∂

∂xj

∣∣∣p=

∑

j=1

(∑

i=1

vi∂xj

∂xi(p)) ∂

∂xj

∣∣∣p

es decir, las componentes de v se transforman por la regla

vj =∑

i=1

vi∂xj

∂xi(p) := vi

∂xj

∂xi(p) (3.6)

✄

✂

�

✁Ejemplo 28. La aplicacion cambio de coordenadas entre coordenadas polares y coordenadas estandar (Rrθ →Rxy) en subconjuntos abiertos adecuados del plano viene dado por (r, θ) → (x(r, θ), y(r, θ)) = (r cos θ, r sin θ). Seap ∈ R2 cuya representacion de coordenadas polares es (r, θ) = (2, π/2), y sea v ∈ TpR2 el vector tangente cuyarepresentacion de coordenadas polares es

v = 3∂

∂r

∣∣∣p−∂

∂θ

∣∣∣p

Aplicando (3.5) a los vectores de coordenadas, encontramos

∂

∂r

∣∣∣p=∂x

∂r(2, π/2)

∂

∂x

∣∣∣p+∂y

∂r(2, π/2)

∂

∂y

∣∣∣p= cos(

π

2)∂

∂x

∣∣∣p+ sin(

π

2)∂

∂y

∣∣∣p=∂

∂y

∣∣∣p

∂

∂θ

∣∣∣p=∂x

∂θ(2, π/2)

∂

∂x

∣∣∣p+∂y

∂θ(2, π/2)

∂

∂y

∣∣∣p= − sin(

π

2)∂

∂x

∣∣∣p+ 2 cos(

π

2)∂

∂y

∣∣∣p= −2

∂

∂x

∣∣∣p

y por lo tanto v tiene la siguiente representacion de coordenadas en coordenadas estandar:

v = 3∂

∂y

∣∣∣p+ 2

∂

∂x

∣∣∣p

Un hecho importante a tener en cuenta es que cada vector de coordenadas ∂∂xi

∣∣pdepende en todo el sistema de

coordenadas, no solo en la funcion de coordenada unica xi. Geometricamente, esto refleja el hecho de que ∂∂xi

∣∣p

es la derivacion obtenida al diferenciar con respecto a xi mientras que todas las demas coordenadas se mantienenconstantes.✄

✂

�

✁Ejemplo 29. Sea (x, y) las coordenadas estandar en R2. Verifique que (x, y) son coordenadas globales diferen-

ciablbes en R2, donde

x(x, y) = x, y(x, y) = y+ x3

Sea p el punto (1, 0) ∈ R2 (en coordenadas estandar), y veamos que ∂

∂x

∣∣p6= ∂∂x

∣∣paunque las funciones de coorde-

nadas x y x son identicamente iguales. En efecto,

Aquı, las cartas a trabajar son: ϕ(x, y) = (x, y) y ψ(x, y) = (x(x, y), y(x, y)) = (x, y + x3). Claramente ψ es unacarta diferenciable de R

2 ((igualmente la inversa)) observe que el cambio de coordenada,

(ψ ◦ϕ−1)(x, y) = ψ(x, y) = (x(x, y), y(x, y)) = (x, y+ x3)

Teniendo en mente la expresion (3.5) y que p = (1, 0) encontramos que

∂

∂x

∣∣∣p=∂

∂x

∣∣∣p+ 3x2

∂

∂y

∣∣∣p=∂

∂x

∣∣∣p+ 3

∂

∂y

∣∣∣p

y∂

∂y

∣∣∣p=∂

∂y

∣∣∣p

3.2. El haz tangente

A menudo es util considerar el conjunto de todos los vectores tangentes en todos los puntos de una variedad. Dadauna variedad diferenciable M, definimos el haz tangente de M, denotado por TM, como la union disjunta detodos los espacios tangentes en todos los puntos de M:

TM =∐

p∈M

TpM

29


H. Fabian Ramırez



Normalmente escribimos un elemento de esta union disjunta como un par ordenado (p, v), con p ∈M y v ∈ TpM.El haz tangente viene equipado con una aplicacion proyeccion natural π : TM → M, que envıa cada vector enTpM hasta el punto p en el que es tangente: π(p, v) = p. Lo haremos a menudo cometer el habitual pecado levede identificar TpM con su imagen bajo la inyeccion canonica v → (p, v) y utilizara cualquiera de las notaciones(p, v), vp y v para un vector tangente en TpM, dependiendo de cuanto enfasis queramos darle al punto p.

Por ejemplo, en el caso especial M = Rn, usando la Proposicion 15, vemos que el haz tangente de R

n se puedeidentificar canonicamente con la union de sus espacios tangentes ((geometricos)), que a su vez es solo el productocartesiano de R

n consigo mismo:

TRn =∐

a∈Rn

TaRn ∼=

∐

a∈Rn

Rna =

∐

a∈Rn

{a}× Rn = R

n × Rn

Un elemento (a, v) de este producto cartesiano se puede considerar que representa el vector tangente geometricova o la derivacion Dv

∣∣a

definida por la expresion (3.1). Ser advertido sin embargo, que en general no se puedeidentificar el haz tangente de una variedad diferenciable de forma natural con un producto cartesiano, porque noexiste una forma canonica para identificar espacios tangentes en diferentes puntos entre sı. Tendremos mas paradecir sobre esto a continuacion.

Si M es una variedad diferenciable, el haz tangente TM se puede considerar simplemente como un union disjuntade espacios vectoriales; pero es mucho mas que eso. La siguiente proposicion muestra que TM puede considerarsecomo una variedad diferenciable por derecho propio.

Proposicion 24.Para cualquier n-manifoldM diferenciable, el haz tangente TM tiene un topologıa natural y estruc-tura diferenciable que lo convierten en un 2n-variedad diferenciable. Con respecto a esta estructura,la proyeccion π : TM→M es diferenciable.

Dem: Comenzamos por definir las aplicaciones que se convertiran en nuestros cartas diferenciables. Dada cualquiercarta diferenciable (U,ϕ = (xi)) para M, note que π−1(U) ⊆ TM es el conjunto de todos los vectores tangentes aM en todos los puntos de U. Definamosla aplicacion ϕ : π−1(U) → R

2n por

ϕ(vi∂

∂xi

∣∣∣p

)=(x1(p), . . . , xn(p), v1, . . . , vn

)(3.7)

Su conjunto de imagenes es ϕ(U)×Rn, que es un subconjunto abierto de R2n. Esto es una biyeccion en su imagen,

porque su inversa se puede escribir explıcitamente como

ϕ−1(x1(p), . . . , xn(p), v1, . . . , vn) = vi

∂

∂xi

∣∣∣ϕ−1(x)

Ahora suponga que se nos dan dos cartas diferenciables (U,ϕ) y (V,ψ) paraM, y sea (π−1(U), ϕ), (π−1(V), ψ) lascorrespondientes cartas sobre TM. Los conjuntos

ϕ(π−1(U) ∩ π−1(V)) = ϕ(U ∩ V)× Rn

ψ(π−1(U) ∩ π−1(V)) = ψ(U ∩ V)× Rn

30


H. Fabian Ramırez



son abiertos en R2n, y la aplicacion cambio de coordenadas ψ ◦ ϕ : ϕ(U ∩ V) × R

n → ψ(U ∩ V) × Rn se puede

escribir explıcitamente usando (3.6) como

ψ ◦ ϕ(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn

)=(x1(x), . . . , xn(x),

∂x1

∂xjvj, . . . ,

∂xn

∂xjvj)

Esto es claramente diferenciable.

Al elegir una cubrimiento contable Ui deM por dominios de coordenadas diferenciables, obtenemos un cobrimientocontable de TM por dominios de coordenadas

{π−1(Ui)

}satisfaciendo condiciones (i) - (iv) del lema de la carta

(Lema 1.35). Para comprobar el Hausdorff condicion (v), solo tenga en cuenta que dos puntos cualesquiera de lamisma fibra se encuentran en una carta, mientras que si (p, v) y (q,w) se encuentran en diferentes fibras, existendisjuntos dominios coordenados U, V paraM tales que p ∈ U y q ∈ V, y entonces π−1(U) y π−1(V) son vecindadesde coordenadas disjuntas que contienen (p, v) y (q,w), respectivamente.

Para ver que π es diferenciable, tenga en cuenta que con respecto a las cartas (U,ϕ) para M y (π−1(U), ϕ) paraTM, su representacion de coordenadas es π(x, v) = x.

Las coordenadas (xi, vi) dadas en (3.7) son llamdas Coordenadas naturales sobre TM.

Proposicion 25.Si M es una n-variedad diferenciable, y M puede cubrirse con una sola carta, entonces TM esdifeomorfico a M× R

n.

Dem: Si (U,ϕ) es una carta global diferenciable paraM, entonces ϕ es, en particular, un difeomorfismo de U =M

a un subconjunto abierto y U ⊆ Rn. La prueba de la proposicion 24 mostro que la carta coordenadas naturales ϕ

es una biyeccion de TM a U×Rn, y la estructura diferenciable en TM se define esencialmente declarando ϕ ser un

difeomorfismo.

Aunque la imagen de un producto U × Rn es una forma util de visualizar la estrucutura diferenciable sobre unhaz tangente localmente (ver figura), no se engane imaginando que cada haz tangente es globalmente difeomorfico(o incluso homeomorfico) a un producto de la variedad con R

n. Este no es el caso de la mayorıa de variedadesdiferenciables.

Juntando los diferenciales de F en todos los puntos de M; obtenemos una aplicacion globalmente definida entrehaces tangentes, llamado diferencial global o aplicacion tangente global y denotado por dF : TM→ TN. Estees sola la aplicacion cuya restriccion a cada espacio tangente TpM ⊆ TM es dFp. Cuando aplicamos la diferencialde F a un vector especıfico v ∈ TpM podemos escribir dFp(v) o dF(v), dependiendo de cuanto enfasis deseamos daral punto p. La primera notacion es mas informativo, mientras que el segundo es mas conciso.

Una caracterıstica importante de la estructura diferenciable que tenemos definido en TM es que convierte el dife-rencial de una aplicaion diferenciable en una aplicacion diferenciable entre haces tangentes.

Proposicion 26.Si F :M→ N es una aplicacion diferenciable, entonces su diferencial global dF : TM→ TN es unaaplicacion diferenciable

Dem: De la expresion local (3.4) para dFp en coordenadas, se sigue que dF tiene la siguiente representacion decoordenadas en terminos de coordenadas naturales para TM y TN:

dF(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) =(F1(x), . . . , Fn(x),

∂F1

∂xivi, . . . ,

∂F1

∂xivi

Esto es suave porque F lo es.

Corolario 27 (Propiedades del diferencial global).Supongamos que F :M→ N y G : N→ P son aplicaciones diferenciables.

(a) d(G ◦ F) = dG ◦ dF.(b) d(IdM) = IdTM.

(c) Si F es un difeomorfismo, entonces dF : TM→ TN tambien es un difeomorfismo, y (dF)−1 =

d(F−1).

31


H. Fabian Ramırez



Debido a la parte (c) de este corolario, cuando F es un difeomorfismo podemos usar el notacion dF−1 inequıvocamentepara significar (dF)−1 o d(F−1).

3.2.1. Velocidad de una curva

La velocidad de una curva parametrizada diferenciable en Rn es familiar desde el calculo elemental. se define

sencillamente

α ′(t) = lımh→0

α(t+ h) − α(t)

h

y resulta ser un vector tangente a dicha curva. Si la curva esta contenida en una superficie regular S ⊂ R3 entonces

α ′(t) ∈ Tα(t)S ¿Podemos extender esto a una variedad arbitraria M?

Definicion 28 (Curva en M).Si M es una variedad, definimos una curva en M como una aplicaion continuo γ : J→M, dondeJ ⊆ R es un intervalo.

El termino curva siempre se refiere a una aplicacion de un intervalo I a M (una curva parametrizada), no soloun conjunto de puntos en M. Ahora sea M una variedad diferenciable. Nuestra definicion de espacios tangentesconduce a una interpretacion natural de los vectores de velocidad: dada una curva γ : J→M y t0 ∈ J, definimos lavelocidad de γ en t0, denotada por γ ′(t0), como el vector

γ ′(t0) = dγ( ddt

∣∣∣t0

)∈ Tγ(t0)M,

donde ddt

∣∣t0

es el vector base de coordenadas estandar en Tt0R. ((Como bien sabemos, se acostumbra usar ddt

en

lugar de ∂∂t

cuando la variedad es 1-dimensional.)) Otras notaciones comunes para la velocidad son

γ(t0)dγ

dt(t0)

dγ

dt

∣∣∣t=t0

Este vector tangente actua sobre funciones por

γ ′(t0)(f) = dγ( ddt

∣∣∣t0

)(f) =

d

dt

∣∣∣t0(f ◦ γ) = (f ◦ γ) ′(t0)

Ahora sea (U,ϕ ≡ (xi)) una carta diferenciable. Si γ(t0) ∈ U, puede escribir la representacion de coordenadas deγ como γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)), al menos para t suficientemente cerca de t0, y luego la formula de coordenadaspara los rendimientos diferenciales

γ ′(t0) =dγi

dt(t0)

∂

∂xi

∣∣∣γ(t0)

Esto significa que γ ′(t0) viene dado esencialmente por la misma formula que estarıa en Espacio euclidiano: es elvector tangente cuyas componentes en una base de coordenadas son las derivadas de las funciones componentes deγ.

La siguiente proposicion muestra que todo vector tangente en una variedad es la velocidad vector de alguna curva.Esto da una forma diferente y algo mas geometrica de pensar sobre el haz tangente: es solo el conjunto de todos losvectores de velocidad de curvas suaves en M.

32


H. Fabian Ramırez



Proposicion 29.Suponga que M es una variedad diferenciable y p ∈ M. Cada v ∈ TpM es la velocidad de algunacurva diferenciable en M.

Dem: Sea (U,ϕ) un carta coordenada diferenciable centrado en p, y escribir v = vi ∂∂xi

∣∣p. Para ǫ > 0 lo suficiente-

mente pequeno, sea γ : (−ǫ, ǫ) → U la curva cuya representacion de coordenadas es

γ(t) = (tv1, . . . , tvn) (3.8)

(Recuerde, esto realmente significa γ(t) = ϕ−1(tv1, . . . , tvn)). Esta es una curva diferenciable con γ(0) = p, y elcalculo anterior muestra que γ ′(0) = vi ∂

∂xi

∣∣γ(0)

= v.

La siguiente proposicion muestra que los vectores de velocidad se comportan bien bajo composicion con aplicacionesdiferenciables.

Proposicion 30 (La velocidad de una curva compuesta).Sea F : M → N una aplicacion diferenciable y sea γ : J → M una curva diferenciable. Paracualquier t0 ∈ J, la velocidad en t = t0 de la curva compuesta F ◦ γ : J→ N viene dado por

(F ◦ γ) ′(t0) = dF(γ ′(t0))

Dem: Simplemente regrese a la definicion de la velocidad de una curva:

(F ◦ γ) ′(t0) = d(F ◦ γ)( ddt

∣∣∣t0

)= dF ◦ dγ

( ddt

∣∣∣t0

)= dF(γ ′(t0))

A primera vista, la proposicion anterior nos dice como calcular la velocidad de una curva compuesta en terminos deldiferencial. Sin embargo, a menudo es mucho mas util para darle la vuelta y utilizarlo como una forma simplificadade calcular diferenciales. Suponga que F :M→ N es una aplicacion diferenciable y necesitamos calcular el diferencialdFp en algun punto p ∈M. Podemos calcular dFp(v) para cualquier v ∈ TpM eligiendo una curva suave cuyo vectortangente inicial es v, y luego aplicando Proposicion 29 a la curva compuesta F ◦ γ. El siguiente corolario resume elresultado.

Corolario 31 (Calcular el diferencial usando un vector de velocidad). .Suponga F :M→ N es una aplicaion diferenciable, p ∈M, y v ∈ TpM. Entonces

dFp(v) = (F ◦ γ) ′(0)

para cualquier curva diferenciable γ : J→M tal que 0 ∈ J, γ(0) = p y γ ′(0) = v.

33

Cuatro

Campos Vectoriales

Los campos vectoriales son objetos familiares de estudio en calculo multivariable. En ese escenario, un campovectorial en un subconjunto abierto U ⊆ R

n es simplemente una aplicacion continua de U a Rn, que se puede

visualizar como adjuntando una “flecha” a cada punto de U. En este capıtulo mostramos como extender esta ideapara variedades diferenciables. Pensamos en un campo vectorial en una variedad diferenciable abstractaM como untipo particular de aplicacion continua X desde M a su haz tangente, uno que asigna a cada punto p ∈M un vectortangente Xp ∈ TpM. Despues de introducir las definiciones, exploramos las formas en que los campos vectoriales secomportan bajo diferenciales de aplicaciones diferenciables.

En la siguiente seccion presentamos la operacion del corchete de Lie, que es una forma de combinando dos camposvectoriales diferenciables para obtener otro.

Campos vectoriales en Variedades

Definicion 32 (Campo vectorial).Si M es una variedad diferenciable, un campo vectorial en M es un seccion de la aplicacionπ : TM → M. Mas concretamente, un campo vectorial es un aplicacion continua X : M → TM,usualmente escrito p→ Xp, con la propiedad de que

π ◦ X = IdM (4.1)

o equivalentemente, Xp ∈ TpM para cada p ∈M.

Escribimos el valor de X en p como Xp en lugar de X(p) para ser coherente con nuestra notacion para loselementos de la haz tangente, ası como para evitar conflictos con la notacion v(f) para la accion de un vectoren una funcion.

Podriamos visualizar un campo vectorial en M de la misma manera que visualiza los campos vectoriales enel espacio euclidiano: como una flecha unida a cada punto de M, elegido para ser tangente a M y variarcontinuamente de un punto a otro.

Nos interesan principalmente los campos vectoriales diferenciables, los que son diferenciables como apli-cacion de M a TM, cuando TM se le da la estructura de variedad diferenciables descrita en Proposicion24.

Ademas, para algunos propositos es util considerar aplicaciones de M a TM que serıan campos vectorialesexcepto que podrıan no ser continuos.

Un campo vectorial aproximado en M es una aplicacion (no necesariamente continuo) X : M → TM

satisfaciendo (4.1).

34


H. Fabian Ramırez



Al igual que para las funciones, si X es un campo vectorial enM; el soporte de X se define como el clausuradel conjunto

{p ∈M : Xp 6= 0

}.

Se dice que un campo vectorial es soporte compacto si su soporte es un conjunto compacto.

Supongamos que M es una n-variedad diferenciable. Si X :M→ TM es un campo vectorial aproximado y (U,ϕ ≡(xi)) es cualquier carta de coordenadas diferenciable para M, podemos escriba el valor de X en cualquier puntop ∈ U en terminos de los vectores de base de coordenadas:

Xp = Xi(p)∂

∂xi

∣∣∣p

(4.2)

Esto define n funciones Xi : U→ R, llamadas funciones componentes de X en el carta dada.

Proposicion 33 (Criterio de suavidad para campos vectoriales).Sea M una variedad diferenaciable, y sea X :M→ TM un campo vectorial aproximado. Si (U,ϕ ≡(xi)) es cualquier carta de coordenadas diferenciables enM, entonces X

∣∣U

es diferenciable si y solosi sus funciones componentes con respecto a esta carta son diferenciables.

Dem: Sea (xi, vi) las coordenadas naturales sobre π−1(U) ⊆ TM asociadas con la carta (U, xi). Por definicion decoordenadas naturales, la representacion de coordenadas de X :M→ TM en U es

X(x) =(x1, . . . , xn, X1(x), . . . , Xn(x)

)

donde Xi es la funcion componente i-esima de X en xi-coordenadas. Sigue inmediatamente que la diferenciabilidadde X en U es equivalente a la diferenciabilidad de sus funciones componentes.✄

✂

�

✁Ejemplo 30. [Campos de vectores de coordenadas o de las parciales]

Si (U,ϕ ≡ (xi)) es cualquier carta diferenciable en M, la asignacion

♥(p) → ∂

∂xi

∣∣∣p

determina un campo vectorial en U, llamado i-esimo campo vectorial de coordenadas y denotado por ♥ := ∂∂xi

.

Es diferenciable porque sus funciones componentes son constantes, es decir, ♥ = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 1, . . . , 0)✄

✂

�

✁Ejemplo 31. [El campo vectorial de Euler]El campo vectorial V en R

n cuyo valor en x ∈ Rn es

Xx = x1∂

∂x1

∣∣∣x+ · · ·+ xn ∂

∂xn

∣∣∣x

es diferenciable porque sus funciones de coordenadas son lineales ((X(x) =(x1, . . . , xn, x1, . . . , xn

))))). Desaparece

en el origen y apunta radialmente hacia afuera en cualquier otro lugar. Se llama campo vectorial de Euler porqueeste aparece en el teorema de la funcion homogenea de Euler.✄

✂

�

✁Ejemplo 32. [El campo vectorial de angulo en S1]Sea

U ={

z := (cos θ, sen θ) : 0 < θ < 2π}

y V ={

z := (cos θ, sen θ) : π < θ < 3π}

U ∩ V = S1

consideremos las cartas ϕ : U→ R, ϕ(z) = θ y ψ : U→ R, ψ(z) = θ claramente el cambio de carta esta dado por

θ(θ) := ψ ◦ϕ−1(θ) = ψ(cos(θ), sin(θ)) = θ = θ+ 2π

Teniendo en mente (3.5) encontramos que

d

dθ

∣∣∣p=dθ

dθ

d

dθ

∣∣∣p=d

dθ

∣∣∣p

Por esta razon, existe un campo vectorial definido globalmente en S1 cuya representacion de coordenadas es ddθ

con respecto a cualquier coordenada de angulo. Es un campo vectorial diferenciable porque su funcion componente

35


H. Fabian Ramırez



es constante en cualquier carta dada, (( ddθ

= (z, 1) )) Denotamos este campo vectorial global por ddθ

, aunque,estrictamente hablando, no puede ser considerado como un campo de vector de coordenadas en todo el cırculo a lavez.✄

✂

�

✁Ejemplo 33. [Campos de vectores de angulos en n-Toro]

En el n-toro Tn = S

1 × . . . × S1, eligiendo una funcion de angulo θi para cada el i-esimo factor S

1, i = 1, . . . , n,logramos coordenadas locales (θ1, . . . , θn) para T

n. Un analisis similar al ejemplo anterior, muestra que los cam-

pos vectoriales coordenados ∂∂θi , . . . ,

∂∂θn son diferenciables ((pues, ∂

∂θi = (z1, . . . , zn, 0, . . . , 1, . . . , 0) )) y definidoglobalmente en T

n.

Observaciones:

Si U ⊆M esta abierto, el hecho de que TpU se identifica naturalmente con TpM para cada p ∈ U (Proposicion21) nos permite identificar TU con el subconjunto abierto π−1(U) ⊆ TM. Por lo tanto, un campo vectorialX∣∣U

se puede considerar como una aplicacion de X∣∣U: U→ TU o como una aplicacion X

∣∣U: U→ TM, lo que

sea mas conveniente. Si X es un campo vectorial en M, su restriccion X∣∣U

es un campo vectorial en U, que esdiferenciable si X lo es.

Si M es una variedad diferenciable y A ⊆M es un subconjunto arbitrario, un campo vectorial a lo largode A es un a aplicacion continuo X : A→ TM que satisface π ◦X = IdA (o en otras palabras, Xp ∈ TpM paracada p ∈ A).

Llamaremos a X, campo vectorial diferenciable a lo largo de A si para cada p ∈ A, hay una vecindadV de p en M y un campo vectorial diferenciable X en V que concuerda con X en V ∩A.

Lema 34 (Extension para campos vectoriales).Sea M una variedad diferenciable, y sea A ⊆ M un subconjunto cerrado. Suponga que X es uncampo vectorial diferenciable a lo largo de A. Dado cualquier subconjunto abierto U que contengaA, existe un campo vectorial global X en M tal que X

∣∣A= X y sop(X) ⊆ U.

Si M es una variedad diferenciable, denotaremos por

X(M) ={

X : X es un campo vectorial diferenciable en M}

el espacio vectorial dotado de la suma y la multiplicacion escalar puntual:

(aX+ bY)p = aXp + bYp

El elemento cero de este espacio vectorial es el campo vectorial cero, cuyo valor en cada p ∈ M es 0 ∈ TpM.Ademas, los campos vectoriales diferenciables se pueden multiplicar por funciones diferenciables de valor real: sif ∈ C∞(M) y X ∈ XM, definimos

fX :M→ TM por (fX)p = f(p)Xp

La siguiente proposicion muestra que estas operaciones producen campos vectoriales diferenciables

Proposicion 35.Sea M una variedad diferenciable.

(a) Si X, Y ∈ XM y f, g ∈ C∞(M) entonces fX+ gY es un campo vectorial diferenciable.

(b) X(M) es un modulo sobre el anillo C∞(M).

Campos vectoriales como derivaciones de C∞(M)

Una propiedad esencial de los campos vectoriales es que ellos definen operadores en C∞(M). Si X ∈ X(M) yf : U ⊆M→ R una funcion diferenciabl definido en un subconjunto abierto U ⊆M, obtenemos una nueva funcionXf : U→ R, definido por

(Xf)(p) = Xpf

36


H. Fabian Ramırez



((Tenga cuidado de no confundir las notaciones fX y Xf la primera es un campo vectorial diferenciable en U obtenidoal multiplicar X por f, mientras que este ultimo es una funcion de valor real en U obtenida aplicando el campovectorial X a la funcion diferenciable f.))

Debido a que X(f) esta determinada por los valores de la funcion en una vecindad arbitrariamente pequena, se sigueque Xf es localmente determinada. En particular, para cualquier subconjunto abierto V ⊆ U,

(Xf)∣∣V= X(f

∣∣V) (4.3)

Esta construccion produce otro criterio de diferenciabilidad util para campos vectoriales.

Proposicion 36.Sea M una variedad diferenciable, y sea X : M → TM sea un campo vectorial aproximado. Lossiguientes son equivalentes:

a) X es diferenciable.

b) Para cada f ∈ C∞(M), la funcion Xf es diferenciable en M.

c) Para cada subconjunto abierto U ⊆M y cada f ∈ C∞(U), la funcion Xf es diferenciable en U.

Dem: Demostraremos que (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a).

(a) ⇒ (b), suponga que X es suave y sea f ∈ C∞(M). Para cualquier p ∈ M, podemos elegir coordenadasdiferenciables ϕ ≡ (xi) en una vecindad U de p. Entonces para x ∈ U, podemos escribir

Xf(x) =(Xi(x)

∂

∂xi

∣∣∣x

)f = Xi(x)

∂f

∂xi(x)

Dado que las funciones componentes Xi son diferenciables en U segun la Proposicion 33, sigue que Xf esdiferenciable en U. Dado que lo mismo es cierto en una vecindad de cada punto, Xf es diferenciable en M.

(b) ⇒ (c), suponga que U ⊆ M es abierto y f ∈ C∞(U). Para cualquier p ∈ U, sea ψ una funcion chichon

diferencaible que sea igual a 1 en una vecindad de p y con sop(ψ) en U, y define f = ψf, extendido a cero en

Mr sop(ψ). Entonces Xf es diferenciable en M por hipotesis y es igual a Xf en una vecindad de p por (4.3).Esta muestra que Xf es diferenciable en una vecindad de cada punto de U.

(c) ⇒ (a), suponga que Xf es diferenciable siempre que f es diferenciable en un subconjunto abierto de M.Si ϕ = (xi) son coordenadas locales diferenciables en U ⊆M, podemos Pensar en cada coordenada xi comouna funcion diferenciable en U. Aplicando X a uno de estos funciones, obtenemos

Xxi = Xj∂

∂xj(xi) = Xi

Dado que Xxi es diferenciable por hipotesis, se deduce que las funciones componentes Xi de X, son diferen-ciables, por lo que X es diferenciables.

Una consecuencia de la proposicion anterior es que un campo vectorial diferenciable X ∈ X(M) define una aplicacionde X : C∞(M) → C∞(M), mediante f → Xf. Esta aplicaion es claramente lineal sobre R. Ademas, la regla delproducto (3.3) para vectores tangentes se traduce en siguiente regla de producto para campos vectoriales:

X(fg) = f Xg+ g Xf, (4.4)

como se puede comprobar facilmente evaluando ambos lados en un punto arbitrario p ∈ M. En general, unaaplicacion X : C∞(M) → C∞(M) se denomina derivacion (a diferencia de un derivacion en p) si es lineal sobre R

y satisface (4.4) para todos f, g ∈ C∞(M).

La siguiente proposicion muestra que las derivaciones de C∞(M) pueden identificarse con campos vectoriales dife-renciables.

Proposicion 37.Sea M una variedad diferenciable. Una aplicacion D : C∞(M) → C∞(M) es una derivacion si y solosi tiene la forma Df = Xf para algun campo vectorial diferenciable X ∈ X(M).

37


H. Fabian Ramırez



Dem: (⇐) Acabamos de demostrar que cada campo vectorial diferencial induce una derivacion.

(⇒) supongamos que D : C∞(M) → C∞(M) es una derivacion. Necesitamos inventar un campo vectorial X tal queDf = Xf para todo f. De la discusion anterior, esta claro que si existe tal campo vectorial, su valor en p ∈M debeser la derivacion en p cuya accion sobre cualquier funcion diferenciable de valor real f esta dada por

Xpf = (Df)(p)

La linealidad de D garantiza que esta expresion depende linealmente de f, y el hecho de que D sea una derivacion dacomo resultado la regla del producto (3.3) para los vectores tangentes. Por lo tanto, la aplicacion Xp : C∞(M) → R

ası definido es de hecho un vector tangente, es decir, una derivacion de C∞(M) en p. Esto define X como uncampo vectorial aproximado. Dado que Xf = Df es diferenciable siempre que f ∈ C∞(M), este campo vectorial esdiferenciable por la Proposicion 36.

Debido a este resultado, a veces identificamos campos vectoriales diferenciables en M con derivaciones de C∞(M),utilizando la misma letra para el campo vectorial y la derivacion. Esto es,

X :M→ TM X : C∞(M) → C∞(M)

Campos vectoriales y aplicaciones diferenciables

Si F : M → N es una aplicacion diferenciable y X es un campo vectorial en M; luego para cada punto p ∈ M,obtenemos un vector dFp(Xp) ∈ TF(p)N aplicando el diferencial de F a Xp. Sin embargo, esto no define en generalun campo vectorial en N. Por ejemplo, si F no es sobreyectiva, no hay forma de decidir que vector asignar a unpunto q ∈ Nr F(M). Si F no es inyectiva, entonces para algunos puntos de N hay

Si F no es inyectivo, entonces para algunos puntos de N puede haber varios vectores diferentes obtenidos aplicandodF a X en diferentes puntos de M.

Supongamos que F :M→ N es diferenciable y X es un campo vectorial enM y supongo que hay un campo vectorialY en N con la propiedad de que para cada p ∈M, dFp(Xp) = YF(p). En este caso, decimos que los campos vectorialesX e Y estan F-relacionados. La siguiente proposicion muestra como los campos vectoriales relacionados con F actuansobre funciones.

Proposicion 38.Suponga que F : M → N es una aplicacion diferenciable entre variedades, X ∈ X(M) y Y ∈ X(N).Entonces X e Y estan F-relacionados si y solo si para cada funcion diferenciable de valor real fdefinida en un subconjunto abierto de N,

X(f ◦ F) = (Yf) ◦ F

Dem: Para cualquier p ∈M y cualquier f diferenciable de valor real definido en una vecindad de F(p),

X(f ◦ F)(p) = Xp(f ◦ F) = dFp(Xp)f

mientras(Yf) ◦ F(p) = (Yf)(F(p)) = YF(p)f

Por tanto, (??) es verdadera para todo f si y solo si dFp(Xp) = YF(p) para todo p, es decir, si y solo si X e Y estanF-relacionado.

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Riemanniana Geometr´ıa Riemanniana · 2021. 3. 10. · Riemanniana Geometr´ıa Riemanniana ”No creo tener un talento especial. Simplemente soy apasionadamente curioso.” Albert