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Modelo de Evolucion de la curva de tipos: BGM

Riesgo de tipos de interesModelos de evolucion de la curva de tipos: BGM

Gerardo Oleaga

17 de mayo de 2006

Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interes Modelos de evolucion de la curva de tipos: BGM

Modelo de Evolucion de la curva de tipos: BGMGeneralidadesModelo preliminarModelo base

Contenidos




Objetivo

Desarrollar un modelo de evolucion de la curva de tipos que:

I utiliza solo tipos simples.

I se implementa mediante simulacion Montecarlo.I Incorpora:

I ajuste a la curva cero de partidaI volatilidades de tiposI correlaciones entre tiposI variabilidad de volatilidades y correlaciones

I es calibrable a precios de mercado (puede utilizarse paravaloracion).



Notacion

I P(t, s) = factor de descuento de tiempo t para tiempo s.

I Rs(t, s) = tipo anual simple spot de tiempo t con vencimientoen tiempo s.

I Fs(u, t, s) = tipo forward simple en tiempo u para el perıodode tiempo desde t hasta s.

I BGM son las siglas de Brace-Gatarek-Musiela, quienesintrodujeron el modelo en 1997 (Mathematical Finance).Tambien conocido como LMM (Libor Market Model).



Riesgos

Mediante la curva cupon cero de hoy podemos calcular el valor dehoy de los flujos de la cartera. Nos interesa determinar el riesgo dela cartera. Para calcular los posibles valores dentro de un ciertointervalo de tiempo ∆t tenemos que generar las posibles curvascupon cero de ese instante de tiempo.

Un modelo de riesgos es un modelo probabilıstico que generacurvas cupon cero para un tiempo futuro. Cada simulacion nos dauna curva cupon cero del tiempo t + ∆t, y cada una de las curvasnos da un valor de los flujos de la cartera en ese momento. Elresultado de la simulacion es un histograma que recoge lasprobabilidades de los posibles valores actualizados a tiempo t + ∆t.



Tipos forward

Expresaremos la curva cupon cero en funcion de los tipos simplesforward a 3 meses, o a 6 meses.

Fijamos de una vez por todas el intervalo de tiempo ∆t que sera a3 o 6 meses; solo en algunos casos de instrumentos a muy largoplazo se usara ∆t como un ano. Todos los tipos son anuales.



Caracterısticas tecnicas

P(0, t) tiene que cumplir:

I P(0, 0) = 1

I P(0, t) ha de ser decreciente como funcion de t.

I P(0, t) ha de ser positivo.

Traducido en terminos de los tipos simples:

I Rs(0, t)t ha de ser creciente.

I Rs(0, t) ha de ser positivo.

En terminos de los forwards, el unico requisito es:

I F (0, t, s) debe ser positivo.



Recordamos las formulas:

P(0, t) =1

1 + Rs(0, t)t

F (0, t, s) =sRs(0, s)− tRs(0, t)

(s − t)(1 + tRs(0, t))



Especificacion de Forwards

Fijamos el intervalo de tiempo ∆t, por ejemplo 3 meses. Este ∆tdesempena dos papeles:

I es el plazo de todos los forwards que se van a considerar

I es el salto de tiempo en la simulacion y en el modelo

Obtenemos la curva de tipos forward (con plazos ∆t) de tiempo(n + 1)∆t mediante sorteo aleatorio de la curva de tiempo n∆t. Eltiempo solo lo miramos en multiplos de ∆t. Como este numeroesta fijo, diremos tiempo j para referirnos a tiempo j∆t.



Fi (j) es el tipo forward simple

I de tiempo i∆t

I para el perıodo de tiempo que va desde j∆t hasta tiempo(j + 1)∆t

Observese que

I Solo estan definidos cuando j ≥ i

I F0(j)j≥0 es la curva de hoy de tipos forward

I Fi (i)i≥i es el tipo spot a plazo ∆t de tiempo i∆t.

I Los tipos Fi (j) con j ≥ i ≥ 1 son variables aleatorias; no sonconocidos hoy.



Modelo preliminar

Para el primer salto, que va de tiempo 0 a tiempo 1:

F1(j) = F0(j) + σ︸︷︷︸Para todos los tipos

√∆t Z1︸︷︷︸

Unica normal para este salto

Los saltos sucesivos requieren sorteos de normales independientes,una por cada salto:

Fi (j) = Fi−1(j) + σ√

∆t Zi , para j ≥ i , i = 1, 2, . . .



Estadısticos

Medias: Observese que E (F1(j)) = F0(j). De este modo, el tipospot simulado en el modelo para tiempo 1 (es decir F1(1)) coincideen media con el tipo forward que tenemos hoy para ese perıodo detiempo.Desviaciones tıpicas: V (F1(j)) = σ2∆t y por tanto la volatilidadanualizada absoluta (no porcentual) de cada tipo forward en cadatiempo es σ.La simulacion y el modelo son consistentes con que los tiposforward son estimaciones del mercado sobre los tipos spot quetendremos en el futuro.



Los saltos son independientes.

I El modelo se ajusta a la hipotesis de camino aleatorio. Suponeque en cada tiempo (en multiplos de ∆t) llega al mercado unshock que altera la expectativa forward de mercado. El shockafecta por igual a todos los tipos.

I Ademas, supone un modelo de Markov. Es decir, supone quela evolucion futura de la curva de tipos solo depende de lasituacion actual, que recoge toda la informacion pertinente.

Ilustracion: realizar la evolucion en dos saltos. Los datos son lacurva spot de tipos simples y el dato unico de volatilidad σ. ∆t esde 6 meses, y la curva inicial es a 5 anos. Obtener un numeroamplio de simulaciones y graficos.Datos para las ilustraciones:

F0(0) F0(1) F0(2) F0(3) F0(4) F0(5) F0(6) F0(7) F0(8) F0(9)3 % 3, 05 % 3, 08 % 3, 12 % 3, 10 % 3, 08 % 3, 05 % 3, 05 % 3, 05 % 3, 05 %

σ = 20%



Defectos del modelo

I Permite tipos negativos, puesto que los tipos forward que sesimulan son variables normales.

I La volatilidad que se cotiza en el mercado es una volatilidadporcentual, es decir, mide desviacion tıpica de variacionesporcentuales (rendimientos) de los tipos y no volatilidadabsoluta.

Estos dos defectos se resuelven con una sola observacion: noqueremos tipos normales, sino lognormales. De esta manera cotizael mercado. Estos tipos son siempre positivos.



Modelo base

Es un modelo basico porque la estructura de volatilidades queimputamos a los tipos forward es plana y la estructura decorrelaciones entre las variaciones de los tipos forward es plena.La diferencia con el modelo que hemos llamado preliminar es quemodelizamos los rendimientos de los tipos forward, es decir, susvariaciones porcentuales, y no las variaciones absolutas. De maneraque los tipos seran lognormales y no normales.



Postulamos, para los saltos sucesivos

Fi (j) = Fi−1(j) exp(−σ2/2 ∆t + σ

√∆tZi

), j ≥ i , i = 1, 2 . . .

Las variables normales Zi son independientes. Una simulacioncompleta requiere la generacion de N normales, una por cada salto.

tiempo 0 F0(0) F0(1) F0(2) F0(3) . . . F0(j) . . .σ σ σ σ . . . σ . . .

tiempo 1 F1(1) F1(2) F1(3) . . . F1(j) . . .σ σ . . . σ . . .

tiempo 2 F2(2) F2(3) . . . F2(j) . . .σ . . . σ . . .

tiempo 3 F3(3) . . . F3(j) . . .



Termino de correccion

El termino de correccion hace que, condicionado sobre el tiempoanterior (i −1)∆t, el valor esperado de Fi (j) es justamente Fi−1(j).Recuerdese que si X es variable normal de media µ y desviaciontıpica σ, entonces la media de la variable lognormal eX es:

E(eX

)= eµ+σ2

2



Estadısticos

medias E (Fi (j)) = F0(j). Por lo tanto, en media, en cada tiemposimulado los tipos se situan en la referencia del forward de partida.

varianzas V(ln

(Fi (j)F0(j)

))= V (lnFi (j)) = σ2[i∆t]. Es decir la

varianza anualizada del rendimiento del tipo F•(j) es σ2, o, enotros terminos la volatilidad (porcentual) del tipo F•(j) es σ.correlaciones La correlacion entre las variaciones de los tiposforward es plena. La razon es la siguiente: si conocemos el valorsimulado de F1(3), a partir de F0(3) podemos deducir que normalZ1 se ha empleado, y de ahı podemos averiguar el valor de F1(j)para cualquier j . En otras palabras, cada tipo de la curva 1determina todos los demas, a partir de la curva 0.



Ilustracion: realizar la evolucion en dos saltos. Los datos son lacurva spot de tipos simples y la volatilidad unica σ. ∆t es 6 meses,y la curva inicial es la de la ilustracion anterior. Obtenersimulaciones, graficos.



Cuenta bancaria

La cuenta bantaria es la cantidad que se acumula en un depositoque en cada perıodo sucesivo ∆t se capitaliza con el tipo spot aese plazo ∆t. El monto acumulado hasta tiempo j∆t lodenotamos por β(j).

β(0) = 1

β(1) = (1 + F0(0)∆t) (hasta aquı no hay incertidumbre)β(2) = (1 + F0(0)∆t)(1 + F1(1)∆t) = β(1)(1 + F1(1)∆t)

...

β(j) =

j−1∏i=1

(1 + Fi (i)∆t) = β(j − 1)(1 + Fj−1(j − 1)∆t)

Ilustracion: Obtener simulacion de β(3).



EjercicioCalcular el histograma de valores de una cartera dentro de un anocon un bono sin riesgo de credito que paga semestralmentecupones anuales del 4 % y vence en 5 anos. Nominal 10 mil euros.Los cupones son reinvertidos en cuenta bancaria.


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