UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO DIVISIÓN DE INGENIERÍAS

CAMPUS IRAPUATO SALAMANCA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

DR. JOSÉ COLÍN VENEGAS

LABORATORIO DE DINÁMICA Y VIBRACIONES

VIBRACIONES MECÁNICAS PRÁCTICA 1

DETERMINACIÓN DE LA RIGIDEZ DE UN RESORTE

SAÚL GARCÍA HERNÁNDEZ JOSÉ LUIS VARGAS ZAMARRIPA

OBJETIVO Comprender las mediciones de manera teórica-experimental, para encontrar las propiedades mecánicas de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

INTRODUCCIÓN Se realiza el cálculo de la propiedad mecánica de rigidez de un resorte, mediante mediciones prácticas-experimentales, y mediante cálculos teóricos. Se hace la comparación de los resultados y se presentas las gráficas de su comportamiento.

MARCO TEÓRICO La elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. La ley de Hooke establece que dentro de los límites elásticos la fuerza deformadora F y la magnitud de la deformación x son directamente proporcionales:

� = �� Donde � → Constante elástica del resorte. La deformación llamada también elongación es el desplazamiento x respecto a la posición de equilibrio

(posición sin deformar). De la ecuación anterior encontramos que:

� =�

�

La reacción a la fuerza deformadora es la fuerza interna denominada fuerza restauradora, cuyo valor es:

� = −�� Cuando un resorte se estira por efecto de una fuerza de tracción, aumenta la separación entre sus espiras sucesivas, de modo que el esfuerzo que soporta es en realidad un esfuerzo cortante o de cizalladura. La teoría respectiva permite relacionar al módulo elástico de rigidez G del material con la constante elástica del resorte k del siguiente modo:

� =��

8��

Donde: � → Rigidez del resorte � → Módulo de elasticidad del material. � → Diámetro del alambre � → Diámetro de espira medio � → Cantidad de vueltas activas

Usos y Funciones de un Resorte: • Para almacenar y retornar energía,

como el mecanismo de retroceso de las armas de fuego.

• Para mantener una fuerza determinada, como en los actuadores y en las válvulas.

• Como aislador de vibraciones, en vehículos.

• Para retornar o desplazar piezas, como los resortes de puertas, de pedales, de actuadores mecánicos o de embragues.

• Como actuadores de cierre o de empuje, como los resortes neumáticos.

DESARROLLO Para el desarrollo de la práctica se escogió un resorte de los existentes en el laboratorio de vibraciones de la facultad. Una vez seleccionados, se procedió a realizar los cálculos y las mediciones necesarias para llevar a cabo la práctica. 1.- Cálculo de la rigidez teórica de un resorte Para el cálculo de la rigidez, se empleó una ecuación:

� =��

8��

Usando un vernier, se midieron las dimensiones requeridas del resorte, obteniendo los siguientes resultados: � = 2.8 �� � = 38.3 ��

� = 21

3 �������

De acuerdo al resorte seleccionado, se observó que su composición es un acero con considerable contenido de carbono por lo que se tiene lo siguiente:

� = 30 � 10� ��� ≈ 207 ���

� = 0.292 Donde � → Razón de Poisson

Para calcular el módulo elástico de rigidez se tiene la siguiente relación:

� =�

2#1 $ �%

� =207 � 10&

2#1 $ 0.292%

� = 8.01 � 10'( )�

Entonces Se prosigue con el cálculo de la rigidez:

� =8.01 � 10'( �� #2.15 � 10+ �%

4#4%#0.03605 �%

. = /. /01 .2

3

2.- Cálculo experimental de la rigidez de un resorte Para encontrar la rigidez del resorte seleccionado, se utilizó la ley de Hooke, previamente explicada, donde su expresión es:

� = −�� Para poder encontrar la rigidez, es necesario someter al resorte a una fuerza, y medir su deformación, de esta manera, se puede encontrar la rigidez simplemente despejando de la ecuación, quedando:

� = −�

�

Para tener un resultado más exacto, se seleccionaron 6 objetos con diferentes masas, y se fueron colocando de una por una sobre el resorte; así, se varía la fuerza aplicada y la deflexión del resorte, como se muestra en la figura siguiente:

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos: Masa total [kg]

Peso Total [N]

Deflexión [m]

Rigidez [kN]

0.412 4.04 1.40 4 10+ 2.887 0.752 7.37 3.00 4 10+ 2.459 1.202 11.79 5.00 4 10+ 2.358 1.712 16.79 8.00 4 10+ 2.099 2.286 22.42 1.03 4 10+5 2.171 3.836 37.63 1.53 4 10+5 2.455 Para mostrar el comportamiento encontrado del resorte, se utilizaron los datos obtenidos, que se muestran en la tabla anterior, para realizar una gráfica de deflexión contra fuerza aplicada, usando la ayuda de Matlab.

Como se puede apreciar, la rigidez del resorte tiene un comportamiento lineal, por lo que se puede tomar un valor medio de obtenido en las mediciones, quedando entonces:

. = /. 67.2

3

Utilizando el método de mínimos cuadrados, se realizó un programa en matlab para obtener la ecuación de la recta encontrada. Los resultados obtenidos son:

RESULTADOS

Como se puede observar, tanto para el método teórico, como para el método experimental, las cantidades encontradas para la rigidez son muy cercanas. Con esto, se puede concluir que los procedimientos se realizaron de manera correcta.

CONCLUSIONES Para el cálculo de las características mecánicas de los resortes helicoidales, es una buena aproximación realizar métodos prácticos o teóricos. Personalmente se recomienda utilizar el método experimental, pues los datos obtenidos se basarán en lo que se observa en la práctica. Sin embargo, para el método teórico, se deben conocer propiedades más específicas del material con el que está hecho el resorte, si se conoce, resulta ser mucho más sencillo de calcular y si no, esto puede representar un problema; afortunadamente para la práctica, se sabía el material del resorte y se pudo realizar el cálculo sin ningún problema.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

Def

lexi

ón,

[m]

Fuerza aplicada, [N]

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Fuerza aplicada, [N]

Deformación-Fuerza

Def

lexi

ón,

[m]

Datos discretos

0.0004187x + 0.000184

ANEXO Programa 1.- Gráfica de dats experimentales, y ecuación por mínimos cuadrados.

clear all clc syms t Y=[1.4e-3, 3e-3, 5e-3, 8e-3,1.03e-2,1.53e-2]; X=[4.04172,7.37712,11.79162,16.79472,22.42566,37.63116]; N=6; Sxx = 0; Syy = 0; Sxy = 0; Sx = 0; Sy = 0;

for j=1:6 Sxy = Y(j)*X(j)+Sxy; Sx = X(j)+Sx; Sy = Y(j)+Sy; Sxx = X(j)^2+Sxx; Syy = Y(j)^2+Syy; end m=(N*Sxy-Sx*Sy)/(N*Sxx-Sx^2); n=(Sxx*Sy-Sx*Sxy)/(N*Sxx-Sx^2); y=m*t+n; plot(X,Y,'b--o') grid on hold on set(ezplot(y,[0 40]),'Color','r'); axis([0 40 0 20e-3]); ylabel('Deflexión, [m]'); xlabel('Fuerza aplicada, [N]'); title('Deformación-Fuerza'); Salida=[num2str(m),'x + ',num2str(n)]; legend('Datos discretos',Salida); hold off