Embed Size (px)
Citation preview
Trabajo Práctico: Método de Rigidez – Emparrillados planos Dado el emparrillado de la figura, se pide:
- Determinar los desplazamientos y giros del extremo del voladizo - Determinar los diagramas de esfuerzos
L1 = 3.0 m L2 = 3.5 m q = 1.2 t/m E = 3x106 t/m2 ν = 0.17 b = 0.15 m h = 0.40 m
1. Modelo de cálculo Se enumeran nodos, tal como se indica en la figura, y se determinan los grados de libertad del problema.
1.1 Matrices de rigidez Barra 2-1 K
G J⋅L1
:=
K1 12E I⋅
L13
⋅:= K2 6E I⋅
L12
⋅:= K3 4E I⋅L1⋅:=
K21
K1
0
K2−
K1−
0
K2−
0
K
0
0
K−
0
K2−
0
K3
K2
0
K32
K1−
0
K2
K1
0
K2
0
K−
0
0
K
0
K2−
0
K32
K2
0
K3
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= K21
1.067 103×
0
1.6− 103×
1.067− 103×
0
1.6− 103×
0
192.308
0
0
192.308−
0
1.6− 103×
0
3.2 103×
1.6 103×
0
1.6 103×
1.067− 103×
0
1.6 103×
1.067 103×
0
1.6 103×
0
192.308−
0
0
192.308
0
1.6− 103×
0
1.6 103×
1.6 103×
0
3.2 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
(2) (1)
(2)
(1)
1 2
3
u2z
x y
θ2x θ2
y
L1
L2
q
Barra 3-2 K
G J⋅L2
:=
K1 12E I⋅
L23
⋅:= K2 6E I⋅
L22
⋅:= K3 4E I⋅L2⋅:=
K32
K1
K2
0
K1−
K2
0
K2
K3
0
K2−
K32
0
0
0
K
0
0
K−
K1−
K2−
0
K1
K2−
0
K2
K32
0
K2−
K3
0
0
0
K−
0
0
K
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= K32
671.72
1.176 103×
0
671.72−
1.176 103×
0
1.176 103×
2.743 103×
0
1.176− 103×
1.371 103×
0
0
0
164.835
0
0
164.835−
671.72−
1.176− 103×
0
671.72
1.176− 103×
0
1.176 103×
1.371 103×
0
1.176− 103×
2.743 103×
0
0
0
164.835−
0
0
164.835
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
(3) (2)
(3)
(2)
Matriz global
K
1.067 103× 671.72+
1.176− 103×
1.6− 103×
1.176− 103×
192.308 2.743 103×+
0
1.6− 103×
0
3.2 103× 164.835+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= K
1.739 103×
1.176− 103×
1.6− 103×
1.176− 103×
2.935 103×
0
1.6− 103×
0
3.365 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
1.2. Estado I Se introducen fuerzas de empotramiento a fines de bloquear los desplazamientos nodales:
En este estado no se producen desplazamientos, pero sí hay esfuerzos. 1.3 Estado II El vector de cargas nodales es igual y opuesto a las fuerzas de empotramiento perfecto
1 2
3
x y y
x 2
2qL1−
12qL2
1
2qL1−
12qL2
1−
2qL1−
2qL2− 12
qL22−z
z
12qL2
2
P
qL12
⋅ qL22
⋅+
q−L2
2
12⋅
q−L1
2
12⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= P
3.9
1.225−
0.9−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
2. Cálculo de desplazamientos Los desplazamientos en este estado se calculan mediante la matriz de rigidez y el vector de cargas:
U K 1− P⋅:= U
5.883 10 3−×
1.94 10 3−×
2.53 10 3−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
De esta manera,
rad0025.0
rad0019.0
mm9.5m0059.0u
2y
2x
2z
=θ
=θ
==
3. Cálculo de esfuerzos en barras A fines de determinar los diagramas, se determinan las fuerzas de borde, superponiendo Estados I y II.
1 2
3
x y y
x 2
2qL1
12qL2
1−
2qL1
12qL2
1
2qL 2
12
qL22
z z
12qL2
2−
2qL 2
3.1 Barra 2-1
1.067 103×
0
1.6− 103×
1.067− 103×
0
1.6− 103×
0
192.308
0
0
192.308−
0
1.6− 103×
0
3.2 103×
1.6 103×
0
1.6 103×
1.067− 103×
0
1.6 103×
1.067 103×
0
1.6 103×
0
192.308−
0
0
192.308
0
1.6− 103×
0
1.6 103×
1.6 103×
0
3.2 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
5.883 10 3−×
1.94 10 3−×
2.53 10 3−×
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅
q−L 12
⋅
0
qL 1
2
12⋅
q−L 12
⋅
0
q−L 1
2
12⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+
0.429
0.373
0.417−
4.029−
0.373−
6.265−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
(2) (1)
(2)
(1)
(2)
(1)
Estado II Estado I
3.2 Barra 3-2
671.72
1.176 103×
0
671.72−
1.176 103×
0
1.176 103×
2.743 103×
0
1.176− 103×
1.371 103×
0
0
0
164.835
0
0
164.835−
671.72−
1.176− 103×
0
671.72
1.176− 103×
0
1.176 103×
1.371 103×
0
1.176− 103×
2.743 103×
0
0
0
164.835−
0
0
164.835
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
0
0
0
5.883 10 3−×
1.94 10 3−×
2.53 10 3−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅
q−L 22
⋅
q−L 2
2
12⋅
0
q−L 22
⋅
qL 2
2
12⋅
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+
3.77−
5.484−
0.417−
0.43−
0.372−
0.417
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Estado II Estado I
(3) (2)
(3)
(2)
(3)
(2)
3.3 Diagramas finales
1
y
x 2
z
4.029 t
0.429 t 0.373 tm 6.265 tm
0.373 tm0.417 tm
2
3
x y
z
3.770 t
0.430 t
5.484 tm
0.417 tm
0.372 tm0.417 tm
Esfuerzos de corte
Momento flector
Momento torsor
1 2
0.373 tm
2
3
0.417 tm
1 2
6.265 tm
0.417 tm2
3
5.484 tm0.372 tm
1 2
4.029 t
0.429 t 2
3
3.770 t0.430 t
