RM_4to_sec_IT[1]

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año

TEMA: LÓGICA PROPOSICIONAL

PROPOSICIONESSon enunciados que deben ser verdaderas o falsos.

Ejemplos:- Todas las aves vuelan- es un número irracional

Las proposiciones pueden ser:

Simples o AtómicasNo tienen conjunciones gramaticales o el adverbio “no”.

Compuestas o MolecularesContienen conjunciones gramaticales como “y”, “o”, . . . “si”,

“entonces”, “sí y solo sí”, “no”, etc.

CONECTIVOS LÓGICOS:Son símbolos que se usan para relacionar proposiciones; para

formar proposiciones compuestas partiendo de las proposiciones simples.

SON LOS SABIOS QUIENES LLEGAN A LA VERDAD A TRAVÉS DEL ERROR; LOS QUE INSISTEN EN EL ERROR SON LOS NECIOS

RÜCKERT

Símbolo Nombre Lenguaje común

~ Negación “no”, “no es cierto que” “no es el caso que”

Conjunción “y”, pero, sin embargo, además, aunque.

Ѵ Disyunción inclusiva

“o”

Disyunción exclusiva

“o”, “o... o...”

Condicional“si... entonces...”“si... dado que...”“... siempre que...”

Bicondicional “sí y solo sí”

1. ConjunciónUne dos proposiciones mediante e l término “y”Ejemplo:Juan es estudiante y juega fútbolp: Juan es estudianteq: Juan juega fútbol

En símbolos p q

La Conjunción es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas

2. Disyunción Inclusiva (ѵ)Une dos proposiciones mediante el término “o”Ejemplo:Juan irá al cine o al estadio

p: Juan irá al cineq: Juan irá al estadio

En símbolos p ѵ q

La Disyunción Inclusiva es falsa únicamente cuando ambos componentes son falsos siendo verdadera cuando al menos uno de las componentes es verdadera.

3. Disyunción Exclusiva ()Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.Ejemplo:

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático


Einstein era Peruano o JudíoP: Einstein era Peruanoq: Einstein era Judío

En símbolos p q

La Disyunción Exclusiva es verdadera cuando sus componentes tienen diferentes valores de verdad y es falsa cuando tienen iguales valores de verdad o falsedad.

4. Condicional ()Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”Ejemplo:Si trabajas tendrás dineroP: Trabajasq: Tendrás dinero

En símbolos p q

El condicional es falso cuando antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos es verdadero.

5. Bicondicional ()Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”Ejemplo:Serás profesional si y solo si estudiasP: Serás profesionalq: Estudias

En símbolos p q

La bicondicional es verdadera cuando ambos componentes tienen igual valor de verdad y es falso cuando sus componentes son de diferentes valores.

6. Negación (~)Cambia el valor de verdad de la proposiciónEjemplo:No es cierto que Juan sea ingeniero y médicoP: Juan es Ingenieroq: Juan es médico

En símbolos ~(p q)

Observaciones:1. ~(~ p) = p2. p q ~(p q)3. Cuando las proposiciones compuestas tienen más de 2 conectivos,

se usan de agrupación.Ejemplo:a) (p ѵ q) rb) p [p ѵ (q r)]LEYES LÓGICAS1. De Morgan

~(p q) ~p ~q~(p q) ~p ~q

2. De Condicional

p q ~p ѵ qp q ~(p ~q)

3. Transposición

p p ~q


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~p

CONTRADICCIÓNCuando los valores de su operador principal son todos falsos.

p q [(p q) ѵ q] ~qV V V V V F FV F F F F F VF V F F V F FF F F F F F V

TAUTOLOGÍACuando todos los valores del operador principal son verdaderos.

p q [(~p q) ~q] ~qV V V F F V FV F F F V V FF V F F F V VF F F V V V V

CONTINGENCIA Cuando los valores de su operador tiene por lo menos una verdad

y una falsedad.

p q (p q) (p q)V V V F FV F F F VF V V V VF F V F F

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas son tautológicas?I. (p ~q) ѵ (~p ѵ q)II. (q ~p) (p ~q)III. (~q p) (q ~ p)

Rpta.

2. De las siguientes proposicionesI. (p q) (p ~q)II. (p q) (~p ѵ q)III. [(p ~q) ѵ q] ~pIV. [(p ѵ q) q)] [(q p)

q]Son contingencias:

Rpta.

3. Si “r s” es falso y “rs” es falso. Hallar el valor de

4. Si “w t” es verdadero y“v t” es falso, hallar el valor de verdad de t, v y w, respectivamente.

Rpta.

5. Si la proposición compuesta:

(p ~q) (r ~s)Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.

Rpta.

6. Si la proposición compuesta:~[(q r) ~(r ѵ t)] es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones: q, r, t, respectivamente.

Rpta.



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verdad r y s, respectivamente

Rpta.

~{(q t) ѵ [q (p t)]}Es verdadera, hallar el valor de verdad de las proposiciones, q, t, p respectivamente.

Rpta.8. Si la proposición compuesta:

(~p r) (r ~q)Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones r, q y p, respectivamente.

Rpta.

9. Si se sabe que:[(p r) q] [(p ѵ ~q) ѵ (p

q)]Es verdadera, hallar los valores de p, q y r, respectivamente.

Rpta.

10.Si la proposición compuesta:~(p ~q) (q r)

Es verdadera y las proposiciones s y t tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. (p ѵ s) qII. (t q) rIII. (s t) q

11.Sabiendo que:~(p q) [(p q) ѵ r]

es falsa, podemos concluir que:I. (p ѵ q) es verdaderaII. (p q) es verdaderaIII. (p r) es falsaIV. (p r) es falsaV. Más de una es correcta

Rpta.

12.Si (p q) y (q r) son falsas ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. (~p ѵ t) ѵ qII. ~(p (~q ѵ q))III. [~p ѵ (q ~t)] [(p

q) ~(p t)]

Rpta.

Rpta.

13.Sabiendo que: [(p q) ѵ ~r] es falsa, y que [(s p) r] es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?I. [~(p ѵ s)] es verdaderaII. (s t) es falsaIII. (q s) es verdadera

Rpta.

14.Si la proposición:(p q) ~(q r)

Es verdadera. ¿Cuáles son verdaderas?I. (s r) (p ѵ s)II. (s q) (p ѵ r)III. (q r) ѵ (p r)

Rpta.

15.Si la proposición compuesta(r ~q) ѵ (r ~s)

Es falsa y además t es una proposición cuyo valor de verdad se desconoce. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. ~r (t ~s)II. (t ~q) ѵ (r q)III. ~(r s) (r ѵ t)

Rpta.

COMO UN IR Y VENIR DE OLA DE MAR, ASÍ QUISIERA SER EN EL QUERER, DEJAR A UNA MUJER PARA VOLVER, VOLVER A OTRA MUJER PARA EMPEZAR

LEONIDAS YEROVI

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Si la proposición(~p ~r) (r q)

Es falsa y las proposiciones

3. La proposición compuesta:

(p q) (q ѵ r)


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s y t tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. (p s) ѵ qII. (s ѵ t) rIII. (t q) p

A) B)C) D)E)


(q s) (s ѵ t)Es verdadera. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?I. “q t” es verdadera.II. “s t” puede ser

verdadera o falsa.III. “q” es falsa

A) Solo I B) I y IIC) II y III D) I y IIE) Ningu

na

Es falsa, luego:I. “p q” no es falsaII. “q r” no es verdaderaIII. “q q” es falsaSon ciertas:

A) Solo I B) Solo II

C) I y II D) I y IIIE) Toda

s

4. Sabiendo que la proposición r es verdadera. ¿En cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones?I. ~r (p q)II. (p r) qIII. r (~q ~p)

A) Solo I B) Solo III

C) I y II D) I y IIIE) Toda

s


~(s r) ѵ ~(r t)Es falsa ¿Cuáles de las

7. Si “p” es verdadera ¿En

cuál de los siguientes casos

es suficiente dicha

información para

siguientes proposiciones son falsas?I. (s p) ѵ (r q)II. (q ѵ s) (p ѵ t)III. (r s) [(r p) (s

t)]

A) Solo I B) Solo IIC) II y III D) TodasE) Ningu

na

6. Sabiendo que la proposición “r” es verdadera ¿En cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones?I. ~r (p q)II. (p r) ѵ qIII. (p r) (r q)

A) Solo I B) Solo IIC) Solo III D) I y IIE) II y III

determinar el valor de

verdad de las

proposiciones?

I. (~p r) ѵ [(r ѵ s) t]

II. (p r) [p ѵ (q s)]

III. [~p (q ѵ r)] [s (r

t)]

A) Solo I B) Solo

III

C) II y III D) I y III

E) Ning

una

8. Para determinar el valor

de verdad de la

proposición:

(p q) (r s)

Es suficiente para saber

que:

A) “r” es falsa

B) “s” es verdadera

C) “r ѵ s” es falsa

D) “q r” es verdadera

E) “p q” es verdadera

9. Sabiendo que la proposición “p” es falsa ¿En cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las

10. Si{~[(p ~s) ~(r * s)] ѵ (p

r)}Es falsa, entonces r * s puede ser:I. r s


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proposiciones?I. [(p q) r] [(q r) p]II. (p ~p) (p p)III. (p ѵ q) (r p)

A) Solo I B) Solo IIC) Solo III D) I y IIE) II y III

II. r ѵ sIII. r sIV. r s

A) I y II B) III y IVC) II y IV D) I, I, y

IVE) I, III y

IV

CLAVES

1. E

2. E

3. B

4. A

5. E

6. D

7. D

8. E

9.

10. E

SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEODONTOLOGÍA

El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco–dentales y conexas. Desarrolla acciones de carácter integral, de diagnóstico, prevención, promoción, tratamiento, recuperación, rehabilitación y administración de salud del sistema estomatognático, tanto a nivel individual como de la comunidad.

Ámbito de Trabajo:Sector salud, servicios de sanidad, hospitales militares

– policiales, clínicas, policlínicos, servicios odontológicos, centros educativos, seguros, empresas industriales, consultorios particulares e instituciones odontológicas.

TEMA: ECUACIONES ELEMENTALES

ECUACIÓNEs la igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica

para ciertos valores de la incógnita. La ecuación recibe el nombre de igualdad relativa.

SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓNEs el conjunto de valores que satisfacen una ecuación.


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21


RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓNConsiste en averiguar por métodos algebraicos para qué valor de

la incógnita la igualdad es verdadera.

ECUACIONES DE PRIMER GRADOForma. ax b = 0

despejando la incógnita se obtiene su raíz:

. .

Para resolver una Ec. de primer grado se recomienda que las incógnitas estén en un mismo miembros y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se podrá despejar más fácil.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOForma. ax2 + bx + c = 0

FORMULA GENERAL: 2 raíces x1 y x2

. .

MÉTODO DEL ASPA SIMPLE:x2 + (a + b)x + ab = 0x + a x + a = 0 x = –ax + b x + b = 0 x = –bCumple que el producto en aspa da el término central

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE 2DO

GRADODada la ecuación: ax2 + bx + c = 0

1ro Suma de raíces:

2do Producto de raíces

3ro Diferencia de raíces:

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE (b2 – 4ac)

1) Si. b2 – 4ac = 0 x1 = x2; R

2) Si. b2 – 4ac > 0 x1 = x2; R

3) Si. b2 – 4ac < 0 x1 = x2; CFORMACIÓN DE UNA EC. 2DO GRADOx2 – (S)x + P = 0

Donde: S = x1 + x2 y P = x1 . x2

SISTEMA DE ECUACIONESSe denomina sistema de ecuaciones, al conjunto de ecuaciones

cuyas soluciones comunes se quieren obtener. Resolver un sistema es encontrar su solución.

GENERALMENTE, HOMBRE RISUEÑOS SON SANOS DE CORAZÓN. LA RISA ES LA SAL DE


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23


LA VIDA; LA RISA DE UN NIÑO ES COMO LA LOCA MÚSICA DE LA INFANCIA. LA ALEGRÍA INOCENTE SE DESBORDA EN UNA CATARATA CRISTALINA QUE BROTA A PLENA GARGANTA. ¡TRISTE HOGAR ES AQUEL DONDE NO RESUENA LA AMABLE SONRISA INFANTIL!

RUBÉN DARÍO


1. Resolver:(x + 3)2 = (x – 1)2 + 28

Rpta.

2. Hallar “x”

Rpta.

3. Resolver:

Rpta.

4. Resolver:

Rpta.

6. Resolver:

Rpta.

7. Resolver:

Rpta.

8. Hallar “x”a2 (x – a) + b2 (x – b) = abx

Rpta.

9. Resolver:

5. Resolver:

Rpta.

Rpta.

10.Hallar “x”(x + 10)2 – 2 (x – 1) = 2502 – 2x

Rpta.

11.Hallar “x”

Rpta.

12.Si una raíz es 4, hallar “n” en la ecuación:x2 + 2nx + 16 = 0

Rpta.

13.Si “r” y “s” son raíces de la ecuación

entonces r2 + s2 es igual a:

Rpta.

14.Hallar “n”, si la suma de raíces en la ecuación:3x2 + nx- 7 = 0Es 2.

Rpta.

15.Las dos raíces de la ecuación:b(c–a)x2 + a(b–c)x + c(a–b) = 0Son 1 y:

Rpta.

HAY QUE MOSTRAR MAYOR RAPIDEZ EN CALMAR UN RESENTIMIENTO QUE EN APAGAR UN INCENDIO, PORQUE LAS CONSECUENCIAS DEL PRIMERO SON INFINITAMENTE MÁS PELIGROSAS QUE LOS RESULTADOS DEL ÚLTIMO; EL INCENDIO FINALIZA ABRAZANDO ALGUNAS CASAS A LO MÁS, MIENTRAS QUE EL RESENTIMIENTO PUEDE CAUSAR GUERRAS CRUELES, CON LA RUINA Y DESTRUCCIÓN TOTAL DE LOS PUEBLOS.


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2526


HERÁCLITO


1. Resolver:

A) B) C)D) E)

2. Resolver:

A) B) C)D) E)

3. Hallar: a + b + c + d + eSi:

A) B) C)D) E)

4. Hallar x

A) B) C)D) E)

5. Rsolver:24x + 35 (120 – x) = 3650

A) B) C)D) E)

6. Resolver:

A) B) C)D) E)

7. Hallar el valor positivo al resolver:

A) B) C)D) E)

8. Resolver: 10. Hallar el valor negativo de x:

A) a – b + 1

B) a – b – 1

C) a + b + 1

D) a – b

E) a + b

9. Hallar “x”

A) B) C)D) E)

x2 + (3 – x)2 = 29

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. B

2. A

3. E

4. B

5. B

6. E

7. E

8. C

9. C

10. E

PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS

1. Resolver: 4. Resolver en “x”


27

27

28


A) B) C)

D) E)

2. Resolver:

A) 1/2 B) 1/3 C) –1D) –11E) 5

3. Resolver:

A) x = 2

B) x = –3

C) x = –1

D) x = 4

E) x = 0

si: a y b R+

A) a B) bC) a – b D) a + bE) a +

2b

5. Resolver:

; n 0

A) m + n

B) mn

C) m – n D) m2 + n2

E) n

6. Resolver:

A) 333 B) 1

C)D) (333)

2

E) (333)–2

7. Resolver para “x” en:

A) n2 + n + 1

B) n2 + 1

C) 0,5 (n2 + 1)

D) n2 + 2n

E) n2 + 2 F)

8. Resolver para “x” en:

n –1; 0; 1

A) n2 + 1 B) n2 + n + 1

C) n2 – n + 1

D) n2 + 2n

E) n2 + 2

9. Luego de resolver para que “x” en:

se obtiene:

A) B) C)

D) E) –a – b

10. Resolver en “x”

A) –1

B) 0 C) 1

D) 2 E) 3 F)

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


29 30


¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEPSICOLOGÍA

El psicólogo es el científico del comportamiento humano y el profesional de la sicología aplicada. Como científico, elabora y ejecuta proyectos de investigación exploratorios, naturalistas, correlaciónales y experimentales, con el propósito de describir y explicar los procesos psicológicos relacionados con las modalidades de adquisición, mantenimiento y recuperación de la información, los mecanismos de motivación y afectividad, también los procesos de encodificación y decodificación estudiados desde su origen y su evolución, todo ello a partir de las observaciones, mediciones e intervenciones en el comportamiento adquirido de los seres humanos.

Como profesional, utiliza las leyes que explican el psiquismo y sus interacciones con otras disciplinas científicas, con el objeto de elaborar técnicas y estrategias, válidas y confiables, para la evaluación y diagnóstico psicológico, que a su vez le permitan la intervención, según el caso, correctiva y/o fortalecedora de las variables psicológicas afectadas, quedando abierto el campo para su incursión en la planificación de la prevención de los desajustes del psiquismo.

TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES

DEFINICIONES PREVIASEcuación

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica para algunos valores de las letras, llamadas INCÓGNITAS.

Ejemplo:3x + 4 = 7 + 2x

Tiene la incógnita “x”, se comprueba que x = 3

Ejemplo:x2 + x – 6 = 0

Factorizando, obtenemos que:x2 + x – 6 = 0: es igual a:(x + 3) (x – 2) = 0

De donde:I.

II.

. .

Los valores numéricos x = – 3 y x = 2 , que hacen que los miembros de la ecuación tomen el mismo valor numérico, se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

IdentidadEs una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica

para todos los valores de las letrasEjemplos:

. .

. Identidades .Problema

Es toda cuestión en la que se pide calcular una o varias cantidades llamadas incógnitas, que junto con otras cantidades conocidas llamadas datos, deben satisfacer a las condiciones que específica el enunciado. Cuando estas condiciones pueden expresarse mediante símbolos algebraicos se trata de Problemas Algebraicos.


31

32


MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMAEl procedimiento para resolver un problema mediante el uso de

una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere el siguiente esquema:a. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta

que queda perfectamente clara la situación que se plantea.b. Identificar las cantidades comprendidas en el problema,

tanto las conocidas como las desconocidas.c. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una

letra “x” por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

d. Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron

IMPORTANTE:PARA EL PLANTEO DE UNA ECUACIÓN ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA “LA COMA”, VEAMOSEJEMPLO:

Ejemplos:Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/. 7 500 cada una ahorra anualmente S/. 500 ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

A) 6 años

B) 8 años

C) 10 años

D) 20 años

E) N.A.

Resolución:Sea “x” el número de años que ahorran cada persona.- Ahorro total de cada persona 500x.- Capital con ahorro de la primera persona = 20 000 + 500x.

- Capital con ahorro de la segunda persona = 7 500 + 500x.

Según el enunciado del problema.El capital con ahorro de la primera es el doble del capital con ahorro de la segunda.20 000 + 500x = 2(7 500 + 500x)20 000 + 500x = 2 . 7 500 + 2 500x20 000 + 500x = 15 000 + 1 000x 5 000 = 500x . x = 10 años . Rpta. C

Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a este cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es 600.

A) 450 B) 3 500

C) 40 000

D) 4 500

E) N.A.

Resolución:Sea el número = x, del enunciado del problema:- Número dividido por 10.

- Al cociente lo dividimos por 3.

(Nuevo cociente)

- Suma de los dos cocientes es 600

;

Damos común denominador en el primer miembro.

4x = 600 x 30


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34


. x = 4 500 . Rpta. D

Juan dice Pedro: Dame S/. 18 000 y así, tendré el doble de dinero que tú y Pedro le contesta: más justo sería que tú me des S/. 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad ¿Cuánto tenía Pedro?

A) S/. 48 000 B) S/. 114 000 C) S/. 84 000D) S/. 96 000 E) N.A.Resolución:Sea: x = dinero que tenía Juan y = dinero que tenía Juan

- Cuando Juan dice a Pedro dame S/. 18 000 y así tendré el doble de dinero que tú.

x + 18 000 = 2(y – 18 000)

De donde:. x = 2y – 54 000 . .... (I)

- Cuando Pedro le Contesta más justo es que tú me des S/. 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad.

y + 15 000 = x – 15 000De donde:

. x = y + 30 000 . .... (II)

- Igualamos (I) y (II)2y – 54 000 = y + 30 000 . y = 84 000 . Rpta. C

El producto de los números naturales consecutivos es “P”, unidades más que el siguiente consecutivo. Encontrar el menor.

A) B) C) D) P/3 E) N.A.

Resolución:Sean los 2 números consecutivos:

a = # menor

(a + 1) = # mayorDel enunciado del problema:El producto de los dos números naturales consecutivos es “P” unidades más que el siguiente consecutivo. Veamos:

a(a + 1) – P = (a + 2) a2 + a – P = a + 2 a2 = P + 2 . a = . Rpta. B

Se ha comprado por S/. 6 000 cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30Resolución:Sea x = # de cuadernos que se han comprado por S/. 6 000

Siendo:

...... ()

Si hubiera comprado 30 cuadernos más con la misma cantidad de dinero. O Sea por S/. 6 000, el precio del cuaderno sería:

....... ()

Si al comprar 30 cuadernos más, el precio de c/cuaderno costaría 180 soles más barato.

Luego, se plantea la siguiente ecuación


35

36


Damos el común denominador en el corchete:

x(x + 30) = 1 000x(x +30) = 20(50)

Por comparación de términos obtenemos . x = 20 cuadernos . Rpta. C

LA CARRERA PROFESIONAL DEMEDICINA HUMANA

La medicina humana es una disciplina científica de carácter social, con métodos y tecnología adecuados, que estudia al ser humano en forma individual y a la comunidad en forma integral, dentro del proceso vital y del entorno que lo rodea, descubriendo las alteraciones de salud que derivan en enfermedad al perderse el estado de bienestar físico, psíquico o social.


1. Varios amigos alquilaron un ómnibus por $ 400 para una excursión, a pagar por partes iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de ellos tuvieron que pagar $ 10 más. ¿Cuántos fueron a la excursión?

Rpta.

2. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.

Rpta.

3. Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió: “Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de

4. Se compra cierto número de relojes por S/. 5 625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles ¿Cuántos relojes se han comprado?

Rpta.

5. Los ahorros de un niño constan de: (p + 1). (3p – 5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuanto asciende sus ahorro, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble que el número de monedas de 5 soles?

Rpta.


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38

39


lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gastó?

Rpta.

6. Si al numerador de la fracción 3/5 se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción dada. Calcular el número.

Rpta.

7. Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser ésta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo?

Rpta.

8. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3. (Dar como respuesta el quíntuplo del mayor, aumentado en 8)

Rpta.

9. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, y en sus 3/10 y en 40; suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?

Rpta.

10. Dividir el número 1 000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera se resta ¼ de la segunda, se obtiene 10. calcular la segunda parte.

Rpta.

11. Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número de soles, si Pablo le da 12 soles a Pedro; Tendrán ambos la misma cantidad, si por el contrario, Pedro le da 3/5 de su dinero a Pablo, el número de soles de este queda aumentado en los 3/8 ¿Cuántos soles tiene cada uno?

Rpta.

12. Un número entero consta de tres dígitos. El dígito de las centenas es la suma de los otros dos, y el quíntuplo del de unidades es igual a la suma de las decenas y las del de centenas. ¿Hállese este número sabiendo que si se invierten los dígitos resulta disminuido en 594?

Rpta.

13. La suma de los dos dígitos de un número entero es 15. si se invierte el orden de los dígitos se obtiene otro número igual al primero multiplicado por 23/32. ¿Hállese el número?

Rpta.

14. Un tren va de la ciudad “M” a la ciudad “N” en 3 horas, viajando a una velocidad uniforme, en el viaje de regreso el tren va a 10 km/h más despacio y la jornada toma media hora más. ¿Cuál es la distancia de la ciudad “M” a la ciudad “N”?

Rpta.

15. ¿Cuál es la edad actual de un Padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces la edad de su hijo?

Rpta.

LA VIDA, LO MISMO QUE UN VINO DE ALTO PRECIO, DEBE SER SABOREADA CON OPORTUNAS INTERRUPCIONES, SORBO A SORBO. INCLUSO EL MEJOR VINO PIERDE SU ENCANTO Y NO ACERTAMOS YA A APRECIARLO CUANDO LO ENGULLIMOS COMO SU FUERA AGUA

FEUEERBACH.


1. En un negocio de aves, se venden pavos, gallinas y

4. “A” tiene un año menos


40


codornices. Son todos gallina menos 5; son todos pavos menos 7, y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las codornices entonces:

A) Compro 8 aves.B) Solo quedó 1

pavo.C) Dejó 3 pavos.D) Habían 7 pavos.E) Llevó 16 aves.

2. La suma de un tercio de un número más un cuarto del mismo, es “x”. ¿Cuál es el resto del número?

A) B) C)

D) E)

3. Si al comprar una docena de lapiceros me regalan 1 lapicero ¿Cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros?

A) B) C)D) E)

que “B” y “B” un año menos que “C”. Si el cuadrado de la edad de “C” se resta el cuadrado de la edad de “B”, la diferencia es 10 años menos que los 17/5 de la edad de “A”. Hallar la edad de “C”

A) B) C)D) E)

5. En una tienda hay la siguiente oferta: un cuadro grande con marco vale 6 cuadro pequeños sin marco, 2 cuadros grandes si marco valen uno pequeño con marco, tres pequeños sin marco valen uno pequeño con marco. ¿Cuántos cuadros pequeños sin marco se pueden cambiar por los marcos de dos cuadros grandes?

A) 6 B) 7 C) 9D)10 E) 12

6. Si tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemáticas, suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se dé el doble de tiempo que a cada pregunta no relaciona

8. El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. si de este cuadro se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras; se obtiene

con esta materia. ¿Cuánto demorará en resolver matemáticas si el examen dura tres horas?

A) 45min B) 52min C) 62minD)60min E) N.A.

7. Para ensamblar 50 vehículos entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 48 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?

A) B) C)D) E)

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”V.L.E.B.

81. ¿Cuál es el número?

A) B) C)D) E)

9. Ho gané S/. 1 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles mas que los 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gané ayer?

A) B) C)D) E)

10.“A” y “B” comienzan a jugar con igual suma de dinero; cuando “B” ha perdido los 3/4 de dinero con que empezó a jugar; lo que ha ganado “A” es 24 soles más que la tercer parte de los que le queda a “B”. ¿Con cuanto empezaron a jugar?

A) S/.20 B) S/.21 C) S/.22D)S/.23 E) S/.36

CLAVES

1. B

2. C

6. A

7. C


41 42

43


3. C

4. C

5. C

8. E

9. A

10. E

PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS

1. Si 273 excede a un número tanto como el número excede a la raíz cuadrada de 4225, indicar la raíz cuadrada de dicho número.

A) 196

B) 15

C) 14

D) 13

E) 169

2. Dividir 60 en dos

4. Hoy gané 100 soles más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es 200 soles más que la mitad de lo que gané hoy. ¿Cuánto gané hoy?

A) 300

B) 250

C) 200

D) 150

E) 100

5. Entre 12 personas tienen que pagar

partes, tales que el triple de la mayor excede a 100 tanto como 8 veces la menor es excedida por 180. responder la parte mayor.

A) 20

B) 40

C) 15

D) 30

E) 25

3. Una tortuga avanza en línea recta. ¿Si en una hora avanza 4 km y retrocede uno, ¿En cuantas horas se distanciará 76 km del punto de partida?

A) 23

B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

600 soles. Como algunas no pueden hacerlo, cada uno de los restantes tienen que aportar 25 soles más indicar el número de personas que no pagaron.

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

6. A un labrador se le contrata por un año y se te ofrece 380 dólares y un caballo. Se retiró a los 8 meses recibiendo 220 dólares y el caballo. Determinar el valor del caballo.

A) 60

B) 80

C) 100

D) 120

E) 140

7. En una reunión había exactamente 8 personas en cada mesa. Cuando trajeron 4 mesas más, ahora habían 6 en cada una. Determinar cuántos faltaron a la reunión, si los invitados fueron 100.

A) 96

B) 48

C) 52

D) 4 E) 6

10. Un papá decidió repartir 320 soles entre sus dos hijos, dándoles alternadamente 2 soles al mayor y 2 al menor. Pero mientras le daba 2 al menor, el mayor cogía 4 sin que su padre lo advirtiera. Si se repartió todo, ¿Cuánto tiene el mayor ahora?

A) 180

B) 80

C) 240

D) 250

E) 200


44

45


8. Al comprar una docena de mangos, me regalan uno. Si en total recibí 520 mangos ¿Cuántos me dieron de regalo?

A) 480

B) 50

C) 20

D) 80

E) 40

9. Fresita subió las escaleras saltando los escalones de 4 en 4 y los bajó de 5 en 5. Si en total dio 54 saltos, determinar el número de escalones de la escalera.

A) 60

B) 120

C) 240

D) 90

E) 54

11. Al dar 2 caramelos equitativamente entre algunos niños, sobran 15 caramelos; pero si se dan 3 caramelos más a cada uno, faltarían 18. Indicar el número de niños.

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11

E) 12

12. Al repartir 400 dólares entre algunas personas, cada una recibe igual cantidad. Pero si hubiesen faltado 4 de ellos, cada uno de los restantes hubiese recibido cinco dólares más. Indicar el total de personas

A) 25

B) 16

C) 24

D) 20

E) 30

13. En una reunión

hay 5 varones más que

damas. Luego llegó un

grupo de invitados que eran

igual al número de varones

que habían al inicio, con lo

cual todos están formando

pareja. Si ahora hay 50

varones en total, indicar el

15. De las primeras 20 preguntas, un alumno contestó 15 correctamente. De las restantes contestó en forma correcta la tercera parte. Si todas las preguntas tienen el mismo valor y el rendimiento del alumno fue de 50%. ¿Cuántas

número de damas al

comienzo.

A) 3

5

B) 5

0

C) 2

5

D) 4

0

E) 3

0

14. A 20 parejas de

enamorados se les ofrece

regalar 2 pavos por pareja.

En el momento del reparto

se observa que algunos

pavos han desaparecido, por

lo que se ordena traer

tantos pavos como la

tercera parte de los que

quedaron, más 4. ¿Cuántos

se ordenaron traer?

A) 1

5

B) 2

7

C) 1

3

D) 2

5

E) 1

8

preguntas tenía el examen?

A) 50

B) 100

C) 25

D) 30

E) 40

16. Seis personas juegan al Póquer alrededor de una mesa redonda: Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana, Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pedro está junto a Elena a su derecha. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo?

A) Félix B) LitoC) Elen

aD) Juan

aE) N.A.

CLAVES

1. 6. 11.


46

47


2.

3.

4.

5.

7.

8.

9.

10.

12.

13.

14.

15.

AMPLIANDO CONOCIMIENTOS

1. Dos números suman 20 y se igualan al sumar 4 unidades al mayor y duplicar el menor. Indicar el valor del número menor.

A) B) C)D) E)

4. Al repartir 140 soles

entre A; B y C, resulta que

la parte de B es la mitad de

A y un cuarto de C. Indicar

la parte de C.

A) B) C)D) E)

2. Tres hermanos han reunido 210 dólares. El mayor tiene 30 dólares más que el segundo y éste 30 más que el menor. Indicar el aporte del menor

A) B) C)D) E)

3. Se compran 17 kilos de fruta entre manzanas y peras de 2 y 3 soles el kilo, respectivamente, gastando en total 45 soles. ¿Cuántos kilos de manzana se compró?

A) B) C)D) E)

5. Entre Lucho y Juan han

hecho 24 problemas. Si

Lucho ha hecho 9

problemas menos que el

doble de lo que hizo Juan.

¿Cuántos hizo Lucho?

A) B) C)D) E)

6. ¿Cuál es el número que

excede a 24 en la misma

medida que es excedido

por 56?

A) B) C)D) E)

7. Tú tienes dos veces lo que yo tengo, y él tiene dos veces más de lo tu tienes. Si tuviera lo que tú, él y yo tenemos, tendría el doble de lo que tú tienes, más 35. ¿Cuánto tienes?

A) B) C)D) E)

8. Se tiene tres números enteros y consecutivos, tales que la suma de los tres

10. Se tiene que el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuántas vacas menos que cabras hay?

A) B) C)D) E)

11. Si al doble de lo que tuvieras después de recibir 50 soles, le quitaras 280, le quedaría la tercera parte de


48

49


quintos del menor y un tercio del mayor exceda en 11 a la mitad del número intermedio. Indicar el valor de la suma de los números.

A) B) C)D) E)

9. Tres cestos contienen 575 mangos en total. El primero tiene 10 más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántos mangos hay en el primer cesto?

A) B) C)D) E)

60. si me das la cuarta parte de lo que tienes. ¿Cuánto recibirí?

A) B) C)D) E)

12. Al vender un artículo pensé ganar la mitad de lo que me costó. Pero al momento de vender tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané 6 soles menos de lo que me costó. ¿Cuánto me costó?

A) B) C)D) E)

13. El número de alumnos de un salón puede ubicarse en filas de a 9. pero si se ponen os alumnos menos en cada fila hay que poner 2 filas más. ¿Cuántos alumnos hay?

A) B) C)D) E)

14. En una fiesta había 68 personas. Un primer caballero, bailó con 7 damas; el segundo con 9 y el tercero bailó con 11 y así sucesivamente, hasta que el

16. El costo del envío de un

paquete de “p” kilos

exactos es de 10 soles por

el primer kilo y 3 por cada

kilo adicional. Entonces, el

costo está dado por:

A) B)

C) D)

E)

17. Una vendedora de

huevos decía: Si vendo

cada uno a “m” soles,

podré comprar una camisa

último bailó con todas. ¿Cuántas damas habían?

A) B) C)D) E)

15. Si por 200 dólares dieran 6 artículos más de los que dan, cada uno costaría 7,5 dólares menos. Hallar el precio original de cada uno.

A) B) C)D) E)

y me quedaría “3a” soles, y

si los vendo cada uno en

soles comprando la camisa

sólo me quedaría “b” soles

¿Cuántos eran los huevos?

A) (3a – b) / (m – n)

B) (3a + b) / (m – n)

C) (3a – b) / (m + n)

D) (3a + b) / (m +

n)

E) (3a – b) / mn

18. Se divide “n” en dos partes tales que, la primera dividida por x menos la segunda dividida por y, resulta E. Hallar “n”

A) y(a/x – E) – aB) y(a/x + E) + aC) y(a/x – E) + aD) y(a/x + E) – aE) y(a/x – E) + a

19. En dos factores, uno de ellos posee dos cifras. Si a este factor se le disminuye la suma de sus cifras, el producto se reduce a la mitad. Indicar la suma de las dos cifras.

A) B) C)D) E)

20. Se divide un número de 2 cifras entre la suma de sus cifras y al invertir el orden de las cifras del número y dividir entre la suma de sus cifras se descubre que la diferencia de los cocientes es igual a la diferencia de las cifras del número original; además, el producto de tales cocientes es el número original. Indicar el producto d las cifras.

A) B) C)D) E)


50

51


SER PADRE, ALGO ES; SER MAESTRO AFORTUNADO, ES MÁS AÚN; PERO DESENVOLVER UN BUEN ENTENDIMIENTO, COLABORAR EN SUS TRIUNFOS ES ALCANZAR LA PATERNIDAD MÁS ALTA Y MÁS NOBLE, ES COMO CORREGIR Y PERFECCIONAR LA OBRA DE LA NATURALEZA, LANZANDO AL MUNDO POBLADO DE FLORES AMARILLAS, VULGARES Y REPETIDAS, UNA FLOR NUEVA Y QUE ACREDITE LA MARCA DE FÁBRICA DEL JARDINERO DE LAS ALMAS, Y QUE SE DISTINGA DE LA MUCHEDUMBRE DE LAS FLORES HUMANAS POR UN MATIZ ROJO, PRECIOSO Y EXQUISITO.

RAMÓN Y CAJAL

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEFARMACIA Y BIOQUÍMICA

El químico farmacéutico, como miembro de las profesiones médicas del equipo de salud, es el especialista del medicamento, alimento y tóxico, con sólida formación científica, tecnológica y humanística, con capacidad ejecutiva y de liderazgo.


52

53


Ámbito de Trabajo:Industria farmacéutica, centros hospitalarios, clínicas,

farmacias, laboratorios bromatológicos, microbiológicos y farmacológicos. Industrias químicas. Fármaco químicas, alimentarias y cosméticos. Centro de investigación y docencia.

TEMA: EDADES

PROBLEMAS SOBRE EDADESProblemas sobre edades es un caso particular de Planteo de

Ecuaciones, pero debido a la diversidad de problemas y a la existencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema a aparte.

En estos problemas intervienen personas, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según el problema.

En el proceso de solución se asigna una variable a la edad que se desea hallar, luego, si hubieran otras edades desconocidas se tratará de representarlas en función de la variable ya asignada, en caso contrario con nuevas variables.

La información que contiene el problema se debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten el planteo de ecuaciones.

DIAGRAMAS LINEALESSe emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad a

través del tiempo debe marcase sobre una línea que representará el transcurso del tiempo.

DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNASSe emplean cuando se trata de dos o más persona con edades

relacionadas en diferentes tiempos.En las filas (horizontales) se anota la información de cada

personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado, presente o futuro.

PROPIEDADES1. Para avanzar en el tiempo, se suman los años por transcurrir a

ladead que se toma como punto de partida.

Ejemplo: Si Roberto tiene actualmente 30 años, dentro d 10 años,

Roberto tendrá:30 + 10 = 40 años

2. Si se intenta retroceder en el tiempo se restarán los años deseados a la edad de referencia


54

55

56


Ejemplo: Si Juana tiene actualmente 20 años, hace 8 años, Juana tenía:

20 – 8 = 12 años

3. La diferencia de edades entre dos persona es una constante, en cualquier tiempo

Ejemplo:

Pas. Pte. Fur.

A 10 12 16

B 6 8 12

Dif. 4 4 4

Ejemplos:

4. Cuando a un alumno le preguntan por su edad, respondió: “Si al triple de la edad que tendré dentro de tres años le restan el triple de la edad que tenía hace 3 años, resultará mi edad actual”¿Cuántos años tiene?

A) 27 B) 36 C) 18 D) 12 E) N.A.

Resolución:

Según los datos:3(x + 3) – 3(x - 3) = x 3x + 9 – 3x + 9 = x 18 = x

. Rpta. Tiene 18 años .

5. ¿Cuántos años tiene Jessica, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años mas la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11?

A) 30 B) 24 C) 20 D) 14 E) N.A.

Resolución:

Según los datos se plantea: = 11

= 11 -

Elevando al cuadrado m.a.m.x- 5 = 121 – 22 + x + 6 = 6 x = 30

. Rpta. Tiene 30 años .

6. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) N.A.

Resolución:

Según los datos:


57

58


x – 10 = (x + 8)

2 (x – 10) = x + 8 2x – 20 = x + 8 x = 28 (edad actual)

Hace 8 años tuvo: 28 – 8 = 20 años.El doble de esta edad: 40 añosEsta edad la tendrá dentro de: 40 – 28 = 12 años

. Rpta. Dentro de 12 años .


1. Susana al ser interrogada por su edad responde: “La suma de mi

4. En 1995 decía un padre a su hijo: “Mi edad es

edad actual y la edad que tendré dentro de 4 años es igual a l triple de mi edad hace 3 años ¿Qué edad tiene Susana?”

Rpta.

2. Juan tiene el triple de la edad de Pedro. Cuando Pedro tenga la edad de Juan, éste tendrá 60 años. ¿Cuál es la edad de Juan?

Rpta.

3. ¿Dentro de cuantos años la relación entre las edades de dos personas será igual a 7/6 si sus edades actualmente son de 40 y 30 años?

Rpta.

el quíntuplo de tu edad. Pero en el 2001 no será más que el triple” ¿En qué año nació el hijo?

Rpta.

5. La edad de Luis es la tercera parte de la edad de Miguel, pero hace 12 años la edad de Miguel era nueve veces la edad de Luis. ¿Qué edad tendrá Luis dentro de 4 años?

Rpta.

6. Dentro de 20 años, Vanessa tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

Rpta.

7. Hace dos años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tenía hace 4 años?

Rpta.

11. Katia tiene 64 años, su edad es el cuádruplo de la edad que tenía Daniel, cuando Katia tenía la tercera parte de la edad que tiene Daniel.


59

60


8. Cuando A nació, B tenía 4 años y cuando C nació. A tenía 7 años. ahora las tres edades suman 48 años. ¿Cuántos años tiene el mayor?

Rpta.

9. Las edades de 3 personas, están en progresión aritmética creciente cuya suma es 63; si la suma de sus cuadrados es 1935, la edad del mayor es:

Rpta.

10. La edad de una persona será dentro de 3 años un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tiene?

Rpta.

Hallar la edad de Daniel.

Rpta.

12. Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más que él tiene ¿Cuántos años tiene él?

Rpta.

13. Carlos le dice a Juan: “Dentro de 10 años yo tendré el doble de tu edad”. Juan responde: “Hace 5 años tu edad era el quíntuplo de la mía” ¿Qué edad tiene Carlos?

Rpta.

14. “Juanito” le dice a Víctor: Actualmente tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía tu edad, y cuando tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años ¿Cuántos años tengo?

Rpta.

15. Hallar la edad de un padre y la de su hijo, sabiendo que hace 6 años la edad del primero fue el cuádruple de la edad del segundo y que dentro de 12 años, solamente será el doble de la de su hijo.

Rpta.

LA CARRERA PROFESIONAL DENUTRICIÓN

El nutricionista es un especialista en el área de la alimentación y nutrición, es un agente de cambio ligado al sector productivo para el desarrollo, con participación activa en la vida económica y política, presentando propuestas de solución. Su objetivo es contribuir a resolver la problemática alimentaria nutricional del país y mejorar la calidad de vida del poblador.


1. Si al doble de mi edad se le quita 13 años se obtendrá lo que me falta para cumplir los 50 años ¿Cuál es mi edad?

A) 17 B) 18 C) 20D) 21 E) N.A.

4. La edad actual de Víctor es el doble de la edad de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?

A) B) C)D) E)


61

62


2. La edad de Lucas dentro de 30 años será el quíntuple de la edad que tuvo hace 10 años ¿Cuál es su edad actual?

A) 18 B) 20 C) 22D) 24 E) N.A.

3. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más dos años. hace 3 años la relación de sus edades era como 3 a 1. dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será:

A) 30 B) 32 C) 34D) 36 E) N.A.

5. Actualmente la edad de María es 4 veces la edad de Rosa, y cuando Rosa nació, María ya tenía 12 años ¿Cuál es la edad actual de María?

A) B) C)D) E)

6. Luz tiene 24 años, su edad es el doble de la edad que tenía Ana, cuando Luz tenía la edad que ahora tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana?

A) B) C)D) E)

7. Tu tienes 16 años. cuando tengas el triple de los te yo tengo, entonces mi edad será el doble de la que actualmente tienes. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 40 años?

A) 28 B) 30 C) 32D) 34 E) N.A.

8. Elvira tiene 24 años, su edad es el séxtuple de la edad que tenía Ana, cuando Elvira tenía la tercera parte

9. En 1963 la edad de Rafael era 9 veces la edad de su hijo. En 1968 era solamente el quíntuplo de la edad de éste. En el año 2000, el número de años que cumplió el padre fue:

A) B) C)D) E)

10.La edad de un niño, será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz

de la edad que tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana?

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) N.A.

cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años?

A) B) C)D) E)

EL PROCURARSE COSAS ÚTILES, CÓMODAS Y AGRADABLE NO ES CORROMPERSE, PORQUE LA CORRUPCIÓN CONSISTE EN TENER GUSTOS DEPRAVADOS, MÁS DAÑOSOS QUE ÚTILES; ES, POR EL CONTRARIO, LLEVAR A UN GRADO MAYOR DE CIVILIZACIÓN Y ES VIVIR MÁS, SER HOMBRE MÁS COMPLETAMENTE.

FRANKLIN

CLAVES

1. A

2. B

3. D

4. B

5. B

6. C

7. A

8. B

9. A

10. A


63

64


¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

La globalización y la modernidad han permitido a la naciones desarrollar redes de relaciones multilaterales que facilitan la integración económica internacional.

Es importante que la administración de negocios internacionales esté dirigida por expertos con visión estratégica que responda a criterios de productividad, competitividad y calidad, que permita ver el mundo como una verdadera aldea global y propicie un fuerte intercambio de mercaderías, de personas y de tecnología.

TEMA: MÓVILES

En este tema estudiaremos los principales tipos de problemas que se presentan en el Movimiento Rectilíneo Uniforme con velocidad constante, en el cual intervienen las siguientes magnitudes.

e = Espaciov = Velocidadt = Tiempo

Estas 3 magnitudes están relacionadas por la fórmula:

. e = v . t .

. . . .

Observación:Para poder simplificar estas fórmulas usaremos el triángulo siguiente:


65 66

67


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Es aquel en el cual el móvil describe trayectoria una línea recta se

desplaza recorriendo espacios iguales en tiempos iguales. Vale decir, permanece constante la velocidad.

Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme1º Ley El valor de la velocidad permanece siempre constante.

2º Ley El espacio recorrido por el móvil es directamente proporcional al tiempo empleado

. E = V . T . ... (V = constante)

Tiempo de Encuentro (TE)Es el tiempo que emplean dos móviles en encontrarse.

Cuando dos móviles parten a la misma hora separados por una distancia d en sentidos contrarios, el tiempo empleado en encontrarse es el mismo, o sea tA = tB = tE; pues esto no quiere decir que las velocidades sean necesariamente iguales.

De la figura:. d = eA + eB . ... (1)

Sabemos que:

. E = V x T . ... (fórmula)

Donde

. . ... (2)

Reemplazamos (2) en (1):. d = VA x TA – VB x TB . ... (3)

Pero: TA = TB = TE

Siendo TE = tiempo de encuentro

. . ... (4)

Remplazamos (4) en (3):d = VA x TE + VB x TE

d = TE(VA + VB)

Donde:

. .Fórmula para hallar el tiempo de encuentro

Tiempo de Alcance (TAL)Es el tiempo que emplea u móvil en alcanzar a otro móvil de

menor velocidad.

Cuando dos móviles parten a la misma hora, separados por una distancia d, en el mismo sentido, el tiempo empleado en alcanzar el uno al otro es el mismo, o sea TA = TB = TAL pues en este caso necesariamente las velocidades deben ser diferentes:


68

69


De la figura:. d = eA + eB . ... (1)

Sabemos que:. E = V x T . ... (fórmula)

Donde

. . ... (2)

Reemplazamos (2) en (1):. d = VA x TA – VB x TB . ... (3)

Pero:tA = tB = TAL

Siendo TAL = tiempo de alcance

. . ... (4)

Remplazamos (4) en (3):d = VA x TAL – VB x TAL

d = TAL(VA – VB)

Donde:

. .Fórmula para hallar el tiempo de alcance, siendo: VA > VB

CRITERIOS DE TRENESPara cualquier problema de trenes se utiliza como fórmula básica

la ecuación fundamental del Movimiento Rectilíneo Uniforme, o sea:

. e = v . t .

Ejemplos:

1. Un tren viaja a 20 m/s, demora 4 segundos en pasar delante de un observador. ¿Cuál es la longitud de tren?

Resolución:- Para su mejor comprensión, construimos el siguiente gráfico.

L = longitud

- Aplicando la ecuación fundamental:e = v . t L = 20 m/s . 4 s = 80 m

. L = 80m .

2. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y 10 en pasar totalmente por un túnel de 400 metros de longitud. ¿Cuál es la longitud del tren?

Resolución:Caso I: El tren pasa delante de una persona.

Aplicando: . e = v . t .

L = v . 8 . . ... (1)


70

71


Caso II: El tren pasa por un túnel.

Aplicando: . e = v . t .

(L + 400) = v . 10 ... (2)

Remplazamos (1) en (2):

8L = 3200 = 10L

. L = 1600m .

Velocidad Promedio (Vp)Cuando un móvil cambia la velocidad con el tiempo se desea conocer una velocidad que reemplace a todas las anteriores y que desarrolle el mismo espacio en el mismo tiempo, esta velocidad es llamada “Velocidad Promedio” y se calcula como la razón entre el espacio total y el tiempo total empleado.Así tenemos:

Luego la velocidad promedio se calcula con la siguiente fórmula:

. .

Donde:e: espaciot: tiempov: velocidad

Ejemplo:Un automóvil partió con una velocidad de 30 km/h y luego de dos horas, aumentó su velocidad en 10 km/h, recorriendo con esta tres horas más. ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido hecho?

Resolución:

- Aplicando la fórmula obtenemos:

Reemplazando valores, se tiene:

. 36 km/h .

CRITERIOS DE CORRIENTES:- Para problemas de corrientes, solo hay que considerar que cuando

se navega A favor de la corriente las velocidades del barco y la corriente se suman y cuando se navega en Contra de la corriente, de la velocidades se Restan.

Ejemplo:Cuando un barco navega a favor de la corriente demora 2 horas en recorre 12 km. pero cuando se navega en contra de la corriente demora 4 horas más en recorrer 12 km ¿Cuál es la velocidad del barco?


72

73


Resolución: Razonamos en cada caso:

Caso I: Navegando a favor de la corrienteDonde:VB : Velocidad del barcoVC : Velocidad de la corriente

Aplicando: . e = v . t .12 = (VB + VC) . 26 = VB + VC .... (1)

Caso II: Navegando en contra de la corrienteDonde:VB : Velocidad del barcoVC : Velocidad de la corriente

Aplicando: . e = v . t .12 = (VB – VC) . 62 = VB – VC .... (1)

De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:

. ve = 4 km/h . y . vC = 2 km/h .

NADA HAY TAN CONTAGIOSO COMO EL OPTIMISMO. VIVIR CON UN AMIGO OPTIMISTA ES ENCONTRAR LA CLAVE DE LA FELICIDAD. EL LLANTO DE LOS OTROS SUELE HACERNOS LLORAR; PERO LA RISA DE LOS OTROS, INVARIABLEMENTE, IRREMISIBLEMENTE, NOS HARÁ REÍR.

AMADO NERVO


1. Dos móviles están separados por 1200m y se dirigen en sentidos contrarios con velocidades de 40 m/s y 20 m/s. dentro de cuánto tiempo estarán separados 300 m.

Rpta.

2. Lolo sale de su casa todos los días a la misma hora con velocidad constante, llegando al Colegio “Manuel Scorza” a la 4 p.m.; pero si duplica su velocidad llega 1 hora antes. ¿A que hora parte de su casa?

Rpta.

3. Un automóvil cubre la distancia entre las ciudades A y B a 70 km/h. Luego retorna a 30 km/h. ¿Cuál es la velocidad

4. Un ciclista calculó que si viaja a 10 km/h llegará a su destino una hora después del mediodía, pero si la velocidad fuera de 15 km/h llagaría una hora antes del medio día ¿A qué velocidad debe viajar para legar exactamente al mediodía?

Rpta.

5. En cuanto tiempo, un tren que marcha a 36 km/h atravesará un túnel de 100m, si el largo del tren es de 90m.

Rpta.

6. Un bus cuya longitud es de 20m tiene una velocidad de72 km/h ¿En cuanto tiempo pasará por delante de un semáforo?


74

75

76


media de su recorrido?

Rpta.Rpta.

7. Un tren de “e” m de longitud se demora en pasa 8s en pasar frente a un observador y 24s en pasar por un puente de 800m. de largo. ¿Cuál es la longitud del tren?

Rpta.

8. Cuando un trailer, cuya velocidad es 36 km/h, cruza un túnel, emplea 5 s, pero si encontrara un túnel de doble tamaño emplearía 9s. ¿En cuánto tiempo, este trailer pasará por una estación de 30m de longitud? y ¿Cuál es la longitud del trailer?

Rpta.

9. Laura ubicada 170 m de una montaña emite un fuerte grito, al cabo de cuánto tiempo escuchará su eco. (considere que la velocidad del sonido es de 340 m/s)

10. Si un camión, cuando va de una ciudad a otra, saliendo a las 9 a.m. llega a las 2 p.m. y un auto saliendo a las 10:30 a.m. llega a las 12:30 p.m. ¿A que hora el auto alcanzó al camión, si la distancia entre las ciudades es 100 km?

Rpta.

11. Para recorrer un río de 280 km de longitud, un bote demora 7 h en el sentido de la corriente, pero cuando va en contra de la corriente demora 28h. Hallar la velocidad del bote y de la corriente.

Rpta.

12. Carlos con velocidad de 6m/s y Martha con 4m/s parten simultáneamente de sus casas distantes 500m, Carlos lleva una paloma que va de él a ella sucesivamente con una velocidad de 35 m/s. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la paloma hasta que se produce el encuentro?

Rpta.Rpta.

13. Un auto debe hacer cierto trayecto en 4h una hora después de la partida, el piloto acelera la velocidad a fin de llegar media hora antes y hace entonces 16 km más por hora ¿Cuál es la distancia recorrida?

Rpta.

14. Una

liebre que da saltos por

secundo, tiene ya dados

saltos, cuando se

suelta un galgo tras ella, el

galgo da saltos por

segundo. ¿Cuánto tardará éste en alcanzarla si los saltos son de igual longitud?

Rpta.

15. Un atleta recorre 23 km en 7h; los 8 primeros con una velocidad superior en 1 km a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer tramo.

Rpta.

AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO

DEMETRIO I


77



1. Calcular el tiempo que un ómnibus que corre a 108 km/h necesita para pasar un túnel cuya longitud es 420 m, sabiendo que la longitud total del ómnibus es 30m.

A) B) C)D) E)

2. Un auto marcha durante 12h. Si hubiera marchado 1h menos con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km menos ¿Cuál es su velocidad?

A) 65 B) 75 C) 56D) 64 E) 68

3. Los de un

camino se recorrieron en bicicleta a 32 k/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h

tardando en total h ¿Cuál

fue la longitud recorrida?

A) 120km B) 310,8kmC) 334,2km D) 96kmE) 320km

4. Un tren tarda 7s en pasar por delante de un observador y 27s en pasar completamente por una estación de 300m de largo. ¿Cuál es la velocidad del tren?

A) 15m/s B) 12m/sC) 8m/s D) 16m/sE) 13m/s

5. En una pista circular de 3000m, 2 atletas parten juntos en sentidos contrarios y se cruzan al cabo de 20 min. Después de 5 min. Llega el más veloz al punto de partida ¿Cuál es su velocidad en m/min?

A) 20

B) 30

C) 18

D) 24

E) 32

6. Lolo dispara su rifle sobre un blanco, 2 segundos después de disparar escucha el sonido si la velocidad del sonido es 340 m/s y de la bala 510 m/s ¿A qué distancia está del blanco?

A) 460m

B) 480m

C) 520m

D) 4 E) 4

08m 50m

7. Dos hombres están separados por 300 m y avanzan en sentidos contrarios con una velocidad de 10 y 15,m/s separándose cada vez más ¿En qué tiempo estarán separados por 10500 m?

A) 410s

B) 420s

C) 350s

D) 415s

E) 405s

8. Un camino se puede recorrer en 5h con cierta velocidad en km/h. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en 1 km/h la velocidad. ¿cuál es la longitud del camino?

A) 20km

B) 18km

C) 22km

D) 24km

E) 16km

9. Un auto parte del km con una velocidad de km/h, al cabo de cierto tiempo llega al km

. ¿Cuánto tiempo estuvo recorriendo el auto?

A) h B) h

C) hD) 1,5 h

E) 1h

10. Dos trenes de una longitud igual a 120 m pasan en sentido contrario, uno a la velocidad de 72 km/h y el otro a 36 km/h ¿Cuántos segundos tardarán en cruzarse?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

EL AMOR ES LA MÁS FUERTE DE TODAS LAS PASIONES, PORQUE ATACA AL MISMO TIEMPO A LA CABEZA, AL CORAZÓN Y AL CUERPO.

VOLTAIRE


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79

80


CLAVES

1. A

2. A

3. C

4. A

5. B

6. D

7. E

8. A

9. B

10. D

ÍNDICE

PÁG.

LÓGICA PROPOSICIONAL.......................................................................... 7

ECUACIONES ELEMENTALES...................................................................... 20

PLANTEO DE ECUACIONES........................................................................ 30

EDADES............................................................................................... 53

MÓVILES.............................................................................................. 65


Documents

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