RM_5to_SEC_IIIT[1]

7/23/2019 RM_5to_SEC_IIIT[1]

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COLEGIO PRE

UNIVERSITARIO

Quinto Año

COLEGIO ADVENTISTA CRISTO REY Quinto Año

Te cmbistes

Razonamiento Matemático

INDICE

Áreas de Regiones Sombreadas…… 03 Perímetros …...………….……………. 14 Puntos de Corte .........………………. 23 Razonamiento Geométrico ..………… 2 Su!iciencia de "atos …………………. 3# Com$araci%n Cuantitati&a '

Razonamiento (na)ítico ……………...44

*isce)+nea ……………………………. ,0

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b

-

-

b

d

"


TEMA: ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

Para so)ucionar $rob)emas sobre +reas sombreadas es necesario conocer a)gunas!ormu)as de +reas de a)gunas !iguras $ara )o cua) te $resentamos una )ista de !iguras consus res$ecti&as !%rmu)as $ara )uego so)o $onernos a a$)icar dic-as !%rmu)as.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

01. /RÁG 0#. C("R("

2

.hb A =

2l A =

2

2d A =

02. /RÁG R5C/(G 06. R5C/(G

2

.ca A =

hb A .=

03. /. 7R*( /RG*5/RC( 0. P(R(5GR(* 8Romboide9

hb A .=

04. /5R5*( "5 :5R 0;. R*<

))()(( c pb pa p p A −−−= "onde=

$ >2

cba ++

P= semi$erimetro

2

.d D A =


b-

c

a

b

a

b

a C

1

1

d

2

Senb.aA

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-l

<

m

b

?

r

)r

a b

c

(P


0, /RÁG 5@(/5R 10. /R(P5C

hm A .=

"onde=

2

Bbm

+=

11. PG R5G(R 16. G/" "5 CRC75RC(

Ap p A .=

"onde= $= Semi$erimetro ($= ($otema

r C π 2=

DC π =

12. CARC1. . "5 (RC "5

CRC75R5C( 2

r A π =

4

2 D

A π =

r l r .θ =

°

°=180

α π r l

"onde=

°°

=180

α

π

θ r

13. S5C/R CRC(R 1;. /. 5 7C "5 R("

°

°

= 360

2α π r

A

r p A .=

"onde=

P > a B b B c 2

14. S5G*5/ CRC(R20. /. 5 7C "5

CRCR(".


"

r

r

?

r

?

r

)

4

32

l A =

2

.1 r A =

2

!A

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"

<

r R

(

a b

c

r m n

R


∇−∇= A A A

1,. CR( CRC(R 21./RÁG R5C/(G

)( 22r R A −= π

1#. /R(P5C CRC(R 22. /RÁG R5C/(G

360

)( 22 °−= α π r R A )2( Rr r A +=

5n donde &eremos a)gunas a$)icaciones=

E"em#$%= :a))ar e) +rea de )a siguiente !igura si=

R > 6 ' r > 4

S%$&ci'n:

Sabemos Due= ( > π 8R2 E r 29


r

R

α?

r

R

nm A .=

R

cba

A 4

..=

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∴ ( > π 862 E 429

( > π 33

PROBLEMAS PARA LA (LASE

19 Ca)cu)ar e) +rea de) + (* de)a !igura si= (<C" es un rombocon * ' $untos medios 'cu'a +rea es igua) a 1# m2.

(

<

C

"

*

R$ta.=

29 Se tiene un rombo (<C" cu'ocentro es F0. Se traza 7

$er$endicu)ar a <C ta) Due7C > 4 m ' 7" > ; m.:a))ar e) +rea de) cuadri)+tero"7C

R$ta.=

39 SiH (< > <C ' "C > "5.Ca)cu)ar e) +rea de )a !igurasombreada.

(

<

C

"

5

1 0

R$ta.=49 5n )a !igura= Se tiene e)

rect+ngu)o (<C". :a))ar e)+rea sombreada si= (< > 3 m '<7 > 1 m.

(

< C

"

7

R$ta.=

,9 Ca)cu)ar e) +rea sombreada si=*RP es un cuadrado de )ado# cm.


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R$ta.=

#9 Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%nsombreada si (<C"57 es un-eI+gono de # m2 de +rea.

(

<

C "

5

7

R$ta.=

69 5n )a !igura= S (<C B S<C" > 20Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%nsombreada adem+s <* > *"

(

<

C

"

*

R$ta.=

9 Si I es e) +rea de)$ara)e)ogramo (<C" ' <* >* > C entonces e) +rea de)a regi%n sombreada es=

(

< C

"

*

R$ta.=;9 5n )a !igura ca)cu)ar e) +rea de

)a regi%n sombreada.

2 0 u

1 2 u

1 u

R$ta.=

109 5n )a !igura ca)cu)ar e) +rea de)a regi%n sombreada.

a

R$ta.=


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119 JCu+) es )a re)aci%n Due eIiste

entre )a regi%n sombreada ' )ano sombreada= 8en ese orden9.

2 n P

a

b

c

R$ta.=129 Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%n

sombreada.

K

1 2 u 2

# u 2

4 2u

R$ta.=

139 :a))ar e) +rea de )a regi%nsombreada.

,

4

1 0

3

R$ta.=

149 Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%nsombreada. Si (<C" es uncuadrado.

c m .

R$ta.=

1,9 Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%nsombreada=

, 3 L4 , ?#

R$ta.=

1#9 + (<C= eDui)+tero. Ca)cu)ar e)+rea de )a regi%n sombreada.

(

<

C


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R$ta.=

169 :a))ar e) +rea d e) + (<" si sesabe Due= <C > 4H (" > 10 ' e)+rea de) tra$ecio (<C" es 42.

(

< C

"

R$ta.=19 J@ué $arte de) +rea de)

rect+ngu)o (<C" es e) +rea de)a regi%n sombreadaM * ' son $untos medios.

(

< C

"

*

R$ta.=

1;9 Ca)cu)ar e) +rea de )a siguienteregi%n sombreada. 5) radio de)

círcu)o mide cm.

R$ta.=

209 :a))ar e) +rea de un rombo de$erímetro # cm. N diagona)ma'or 30m.

R$ta.=


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c9 31 m2 d9 30m2

e9 32 m2,9 :a))ar e) +rea de )a regi%n

sombreada=

(

< C

"*

,2

,2

a9 1 m2 b9 2 m2

c9 1, m2 d9 2, m2

e9 1 6, m2

#9 :a))ar e) +rea de )a regi%nsombreada=

m .

m .

2

a9 30m2 b9 32 m2

c9 2 m2 d9 2# m2

e9 2, m2


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69 :a))ar e) +rea de )a regi%nsombreada=

(

< C

"

*

2 m .2 m .

2 m .

a9 2 cm2 b9 # m2

c9 4 m2 d9 3 m2

e9 1 m2

9 Si e) +rea de) $ara)e)ogramo es120 m2 -a))ar e) +rea de )aregi%n sombreada=

(

< C

"

a9 11 m2 b9 12 m2

c9 10, m2 d9 13 m2

e9 14 m2

;9 :a))ar e) +rea sombreada de )asiguiente !igura.

(

< C

"

# m . # m .

# m .

# m .

a9 1 m2 b9 ; m2

c9 10 m2 d9 12 m2

e9 4 m2


(

< C

"

32

32

a9 33# ++b9 23# ++

c9 9233812 −

d9 9233128 +−

e9 9433128 −+


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(

< C

"

,

, ,

,

,,

, ,

a9 1 b9 20c9 1, d9 10e9 24

129 Si e) +rea de )a regi%nsombreada es=

2m93#4841 −− :a))ar

FK.

(

< C

"

I

I

a9 23 b9 34

c9 3 d9 32

e9 3

139 :a))ar e) +rea de )a regi%n

sombreada si e) +rea de)$ara)e)ogramo es ( m2.

(

< C

"*

a91

(,b9

31

(6

c924

(,d934

(6

e9 6(Q3#

149 Ca)cu)ar e) +rea de )a siguienteregi%n sombreada (<C" es uncuadrado cu'o )ado mide cm.

(

< C

"

0

a9 14 cm2 b9 12 cm2

c9 1 cm2 d9 1# cm2

e9 10 cm2


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a

c

d

e

b


1,9 Para )as +reas de )as regionessombreadas ca)cu)ar I B ' E z.

I '

z

4

a9 4π b9 2π c9 d9 4e9 2

TEMA: PER)METROS

Para so)ucionar $rob)emas de este ti$o es necesario saber Due e)

$erímetro &iene a ser )a distancia Due -a' a)rededor de cua)Duier !igura.

Por )o tanto tendremos=

1. 5) $rimer $erímetro de un $o)ígono es )a suma de )ongitudes de todos sus

)ados=

P > a B b B c B d B e


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0 r

r

(

r <

0


2. a )ongitud de un circun!erencia de radio Fr es=

> 2 I π I r

3. a )ongitud de un arco (< de +ngu)o centra) con medida Fα en una

circun!erencia de radio Fr es=

4. () semi$erímetro se )e cono con una )etra FP ' re$resenta )a mitad de)

$erímetro.

sea=2

P P =

(-ora &eamos a)gunos eem$)os=

• 5) Perímetro de un cuadrado es 24 cm. Ca)cu)ar )a )ongitud de )a

circun!erencia inscrita.

So)uci%n=

Gra!iDuemos )a !igura=


°

π

*+,- ,2ABL

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Sea e) cuadrado (<C" si P > 24

5ntonces e) )ado es > # 5ntonces e) di+metro > #

a. Si e) )ado > # "onde e) radio > 3

5n consecuencia= > 2 I π I r

> 2 I π I 3

> # π


19 5n )a !igura )a raz%n entre e)$erímetro de) rombo 5C7" es=

(

< C

"

57

3 0 ?

R$ta.=

29 :a))ar e) $erímetro de )a regi%nsombreada.

(

< C

"

P

0 a c m .

R$ta.=

39 Ca)cu)ar e) semi$erímetro de)/RÁG <*: si

°=== ;0 (<CH:C (:H* (*

' e) $erímetro de) /RÁG (C es 4 m.


0 r

( <

C"

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sombreada. 8Si= (< > <C ' (C > 2# m9

R$ta.=;9 5n )a !igura mostrada. :a))ar e)

$erímetro de )a regi%n sombreada.

(

< C

"

R0 0 1

R$ta.=

109 Ca)cu)ar )a suma de )os$erímetros )os cuatro tri+ngu)oseDui)+teros sombreados de )a!igura si= (< > 3# cm.

(

R$ta.=

119 :a))ar e) $erímetro de )a !igurasombreada. ado de) cuadrado

# m. 8as cur&as sonsemicircun!erencias9

R$ta.=129 a !igura muestra a tres

circun!erencias de radiosigua)es a 4 cm. Ca)cu)e e)$erímetro de )a regi%nsombreada si (<C" es unrect+ngu)o.

R R

(

< C

"

R$ta.=

139 :a))ar e) $erímetro de )a regi%n

sombreada (<C ' 5<" soncuadrantes ' )os tres círcu)osson igua)es.


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(

< 5

# m .

4 c m .

"

C

R$ta.=

149 5n )a !igura (P7 es un/RÁG eDui)+tero. :a))ar e) $erímetro de )a regi%nsombreada.

(

< C "

R

57

P

r

4 c m .

4 c m .4 c m .

4 c m .

R$ta.=

1,9 :a))ar e) $erímetro de )a regi%nsombreada siendo 1H 2 ' centros e) di+metro de )a

circun!erencia ma'or es 2Q3m.

00 10 2

R$ta.=

1#9 5) +rea de un rect+ngu)o mide,# cm2. Si su base mide cm. su$erímetro mide=

R$ta.=

169 Si e) +rea de un círcu)o es ,π u2.a )ongitud de )a circun!erencia.

R$ta.=

19 5n )a !igura adunta= e)$erímetro mide=

4 c m

2 c m .

R$ta.=

1;9 5) di+metro de uncircun!erencia mide 4 cm.:a))ar )a )ongitud de )asemicircun!erencia.

R$ta.=


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209 5) $erímetro de un cuadradomide 40 cm. JCu+nto mide e)

$erímetro de un rect+ngu)ocu'a base mide e) tri$)e de))ado de) cuadrado ' cu'a a)turamide igua) Due un )adoM

R$ta.=


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PROBLEMAS PARA LA (ASA

19 5) )argo de un rect+ngu)o mide# cm. Si e) anc-o mide 2Q3 de))argo e) semi$erímetro mide=

a9 20 cm. b9 1# cm.c9 10 cm. d9 30 cm.e9 , cm.

29 :a))ar e) $erímetro de )a 7iguraadunta.

m

1 # m

a9 0πB3 b9 32π

c9 πB# d9 40π

e9 8πB49

39 5) +rea de un cuadrado es1#;u2 -a))ar su $erímetro.

a9 ,0 b9 ,1c9 ,2 d9 ,3e9 ,4

49 5) $erímetro de )a !igura es=

a9 2 u b9 3 uc9 2# u. d9 40 ue9 3# u

,9 5n )a !igura -a))ar e) $erímetrode cuadrado.

2 ,

a9 , b9 2,c9 20 d9 10e9 1,

#9 5) )ado de un /RÁGeDui)+tero mide #cm. :a))ar susemi$erímetro.

a9 1 b9 12c9 # d9 3e9 ;


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69 5) $erímetro de un cuadradomide 2 cm. Si se di&ide en 4

cuadrados igua)es -a))ar e)semi$erímetro de un cuadrado$arcia).

a9 # b9 6c9 14 d9 12e9 20

9 os )ados de un /RÁG

son 3 nTmeros enterosconsecuti&os. Si e) $erímetroes 3# cm. e) )ado ma'or mide=

a9 11 cm. b9 13 cm.c9 1, cm. d9 16 cm.e9 12 cm.

;9 Si e) radio de una

circun!erencia mide 3 cm.)a )ongitud de )a circun!erenciaes=

a9 10# cm. b9 ,4cm.c9 , cm. d9 6 cm.e9 .(

109 a base de un rect+ngu)o es e)

tri$)e de su a)tura. Si su +reamide 6, u2 Due mi $erímetroes=

a9 2,u b9 20uc9 30u d9 1,ue9 10u

119 Si e) +rea de un tri+ngu)oeDui)+tero es #;2u2 su

$erímetro mide=

a9 1#u b9 ;,uc9 10u d9 ;ue9 12u

129 Si e) +rea de un círcu)o mide314 u2 )a )ongitud de )a

circun!erencia mide=

a9 #2u. b9 32uc9 #2u d9 22ue9 .(.

139 5n )a !igura adunta e)$erímetro de) rect+ngu)o ma'or

mide.

2 m

4 m

4 m

a9 1u b9 32uc9 24u d9 2ue9 3#u


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149 5n )a !igura e) + (<C ' e) +57G son is%sce)es

eDui&a)entes + C"5 eseDui)+tero e) $erímetro de )a!igura es=

4 m

2 m 2 m(

<

C

"

5

7

G

a9 2# cm. b9 30 cm.c9 2 cm. d9 42 cm.e9 .(.

1,9 5n )a !igura adunta e)semi$erímetro mide=

a

b

a9 a B b b92

ba +

c9 2a B 2b d9 3a B be9 2a B b


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TEMA: PUNTOS DE (ORTE

5stos ti$os de $rob)emas se $resentan en eI+menes admisi%n nuestra )abor es intuir cada una de )as !ormu)as $ara cada caso $articu)ares o $artir deesta=

• *+Iimo numero de $untos de intersecci%n de Fn rectas secantes.

S%$&ci'n:

Para n > 2 Para n > 3 Para n > 4

2

91282 − 3

2

91383=

−

#2

91484=

−

⇒ *aI= ? de $untos de intersecci%nde Fn rectas secantes.

"e esta manera se obtienen )as !ormu)as de )as dem+s !iguras so)onecesitas -acer un $oco de an+)isis.

Sugerencia= siem$re uti)iza n 8n E 19 $ara intuir )as otras !%rmu)as.


2

91n8n −

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19 Si a un conunto de rectas se )eagrega una recta e) m+IimonTmero de $untos de corteaumenta en un Duinto de) tota).:a))ar e) m+Iimo nTmero de$untos de corte.

R$ta.=

29 :a))ar e) m+Iimo nTmero de$untos de intersecci%n de 10cuadri)+teros c%nca&os.

R$ta.=

39 Si a un conunto de Fn rectassecantes se )e Duita 4 rectassu m+Iimo nTmero de $untosde intersecci%n disminuir+ en;0H $ero si agrega 4 rectas a)

conunto e) m+Iimo nTmero de$untos de intersecci%naumentaría en=

R$ta.=

49 "etermine d. 5) ma'or nTmero de intersecciones decuarenta cuadrados.

R$ta.=,9 JCu+) es e) m+Iimo nTmero de

intersecci%n de 1,0 rectas$ara)e)asM

R$ta.=

#9 "etermine d e) nTmero derectas Due se reDuieren comomínimo $ara !ormar 16intersecciones.

R$ta.=

69 Si a un conunto de rectassecantes se )e agrega una

cantidad igua) a rectas sunTmero m+Iimo de $untos decorte aumentaría en 330.Ca)cu)ar cuantas rectas tiene e)conunto.

R$ta.=

9 "etermine d. 5) ma'or numero de intersecciones de

130 tri+ngu)os.R$ta.=

;9 5n e) siguiente $rob)emadeterminar e) nTmero deintersecciones Due se reDuierecomo m+Iimo de 3; círcu)os.

R$ta.=

109 Se tiene 2, circun!erencias #rectas secantes ca)cu)ar e)m+Iimo numero de $untos decorte.

R$ta.=


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119 Si se tiene 13 rectas $ara)e)as' 2, rectas secantes. Ca)cu)ar

e) m+Iimo nTmero de $untosde corte entre dic-as !iguras.

R$ta.=

129 Se tiene 4 tri+ngu)os ' 10cuadri)+teros con estas !igurasca)cu)ar e) nTmero de $untosde corte.

R$ta.=

139 Si a un gru$o de rect+ngu)ossecantes se )e agrega 3 e)m+Iimo nTmero de $untos deintersecci%n se tri$)ica cuantosrect+ngu)os -a' en dic-ogru$o.

R$ta.=

149 :a))ar e) m+Iimo nTmero de$untos de intersecci%n entre 6e)i$ses secantes con 4circun!erencias.R$ta.=

1,9 Se tiene $entadec+gonos ' 6tri+ngu)os con estas !igurasca)cu)ar e) nTmero de $untosde corte.

R$ta.=

1#9 Ca)cu)a e) m+Iimo nTmero decorte entre 12 e)i$ses ' 3

tri+ngu)os.

R$ta.=

169 Ca)cu)ar e) mínimo nTmero deintersecciones entre , e)i$sessecantes ' 1# tri+ngu)os.

R$ta.=

19 Cuantas intersecciones comomínimo se obtienen con ;secantes ' 11 cuadri)+teros.

R$ta.=

1;9 Se tiene e)i$ses 3circun!erencias ca)cu)ar e)numero de $untos de corte.

R$ta.=

209 Si se tiene 1 rectas $ara)e)as

' 3 -eI+gonos ca)cu)ar e)m+Iimo nTmero de $untos decorte entre dic-as !iguras.

R$ta.=


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19 5) m+Iimo nTmero de $untosde intersecci%n de un gru$ode $entadec+gonos secantes8inc)u'endo sus &értices9 esigua) a #000. Cuantos$entadec+gonos -a' en dic-ogru$o.

a9 1, b9 30c9 20 d9 10e9 .(

29 "etermine d. 5) ma'or numero de intersecciones de40 tri+ngu)os.

a9 ,000 b9 4#0c9 340 d9 ##0e9 6000

39 Ca)cu)ara e) m+Iimo nTmerode $untos de intersecci%n de10 rectas secantes con 1,circun!erencias secantes ' con, -eI+gonos secantes.

a9 14, b9 134c9 1#6# d9 11#e9 .(

49 JCu+) es e) m+Iimo nTmerode intersecciones de 200rectas $ara)e)asM

a9 20000 b9 1;;00c9 1;;0 d9 100e9 o se interce$tan

,9 Si a un gru$o de rectassecantes se )e agrega una e)m+Iimo nTmero de $untos deintersecci%n aumenta en 30.JCu+ntas rectas -a' en dic-ogru$oM

a9 20 b9 30c9 10 d9 1,e9 .(

#9 5n e) siguiente $rob)emadetermine d. 5) numero derectas Due se reDuieren comomínimo $ara !ormar 21intersecciones.

a9 6 b9 ;c9 d9 10

e9 1169 Si a un gru$o de tri+ngu)os

secantes se )e agrega 4 e)m+Iimo nTmero de $untos deintersecciones se tri$)icaJCu+ntos tri+ngu)os -a' endic-o gru$oM

a9 10 b9 #

c9 d9 2e9 .(

9 Se tiene , tri+ngu)os ' cuadri)+teros. Con estas!iguras ca)cu)ar e) m+IimonTmero de $untos de corte.


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TEMA: RAONAMIENTO GEOM/TRI(O

5n este tema recordaremos )os conce$tos b+sicos de )a geometría=

• Se0ment%: 5s )a $orci%n de recta determinada entre dos $untos Due se

encuentran en )a misma.

Recta → AB

∈

↔

L

• Án0&$%s: 5s )a $orci%n de un $)ano situado entre dos semirectos

))amados )ados Due tiene un origen comTn denominada &értice.

Á n g u ) on o c o n & e I o

Á n g u ) oc o n & e I o

($asiicaci'n:

) a n o R e c t o

( g u d o

b t u s o


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• Án0&$%s ent-e Rect%s Pa-a$e$%s: SegTn )a !igura=

Si 1 QQ 2

a b

cd

e !

g -

P

2

1

Ent%nces:

aH bH gH - +ngu)os eIteriores.

cH dH eH ! +ngu)os interiores.

a ' -H b ' g +ngu)os a)ternos eIternos.

"onde= a > - ' b > g

c ' !H d ' e +ngu)os a)ternos internos.

"onde= c > ! ' d > e.

a ' gH b ' - +ngu)os conugados eIternos.

"onde= a B g > 10? ' b B - > 10?

c ' eH d ' ! +ngu)os conugados internos.

"onde= c B e > 10? ' d B ! > 10

a ' eH b ' !H c ' gH d ' - +ngu)os corres$ondientes.

"onde= a > eH b > !H c > gH d > -


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R$ta.=

1,9 (<C" es un rect+ngu)o P ∈<C ' ∈ C" H <P > 4 PC> 1# C > 1 ' " > 3. PVsimétrico de P segTn (< ' Vsimétrico de segTn (" HP ′′ corta a (< en 5 ' a

(" en 7. Ca)cu)ar= P5 BB 57B 7.

R$ta.=

1#9 Sea P 82H 49 un $unto de) $)anocartesiano / ' 7 sontras)aciones de!inidas $or

−

−1

2

'2

1 res$ecti&amente.

Ca)cu)ar )a distancia entre )os$untos / 8P9 ' 7 8P9.

R$ta.=

169 P@R es una regi%n triangu)ar de +rea 3# cm2 ' m U @ > 36?.

G es un giro res$ecto de) $unto@ '=

9R8G<9HP8G ( 033 °°− ==Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%ntriangu)ar (@<.

R$ta.=19 "eterminar )as coordenadas

de) $unto (V imagen de) $unto ( > 8O,0H 2,9 segTn un giro deO1#? res$ecto de) origen.XGra!icaY

R$ta.=

1;9 5) $unto ( 8IH '9 se gira 10?res$ecto de) origenobteniéndose e) $unto (V. "ar )as coordenadas de (V.

R$ta.=

209 5n una circun!erencia decentro esta inscrito e)cuadrado (<C". Si G es ungiro res$ecto de ' : una

simetría res$ecto de ↔

(C

ca)cu)ar e) mínimo &a)or entero$ositi&o n ta) Due

: "9"8G#;0 =° °

R$ta.=


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19 (< ' C" son dossegmentos ' / una tras)aci%n.Werdadero o !a)so=

8a9 Si C" (< ≅ entonces /9C"8/9 (<8 ≅

8b9 Si C" (< > entonces / 9C"8/9 (<8 >

a9 W7 b9 7Wc9 WW d9 77e9 . (

29 (<C es un /RÁG ' (V<VCV su imagen segTn unatras)aci%n / &erdadero o !a)so=

8a9 V<V (QQ (<8b9 m U (<C > m U (V<VCV8c9 + (<C ≅ + (V<VCV

a9 W7W b9 WWWc9 7WW d9 77We9 777

39 5n un rect+ngu)o P@RS P@ >, ' @ R > # / ' : s o ntras)aciones de!inidas $or →

S@

' →

P@ res$ecti&amente.

Ca)cu)ar )a distancia entre )os$untos / 8R9 ' : 8S9.

a9 10 b9 11

c9 12 d9 13e9 14

49 5n un + (<C m U ( > #0? m U< > ;0? ' <: es su a)tura.Sean / ' 7 tras)aciones segTn→

(< ' →

:< res$ecti&amente.

Ca)cu)ar )a distancia entre )os

$untos / 8<9 ' 7 8"9

a9 6 b9 14

c9 2 d9 3

e9 ,

,9 () $unto @ 8O4H ,9 se )e a$)icauna tras)aci%n / de!inida $or e)

&ector

−

=→

1

3C . btener )as

coordenadas de) $unto / 8@9.

a9 81H 49 b9 8O1H 49c9 84H 19 d9 8O4H 19e9 8O1H O49

#9 ( ' < son $untos co)inea)es 'consecuti&os ( > 24 ' < > 1#.


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Si G es un giro res$ecto de 0ca)cu)ar )a distancia entre )os

$untos9<8G9<8'9 (8G ;021 °° = .

a9 32 b9 30c9 26 d9 1#e9 1,

69 (< es un /RÁG rectoen 0 ta) Due m U ( > 60?. Si Ges un giro res$ecto de) $unto ca)cu)ar )a medida de) ma'or +ngu)o Due determinan (< '

< ( ′′ siendo=

9<8G<'9 (8G ( ;0;0 °° =′=′

a9 10? b9 4,?c9 130? d9 13,?e9 ;0?

9 5) $unto ( 86H 19 se gira 36?res$ecto de) origenobteniéndose e) $unto (V.Ca)cu)ar )a )ongitud ((V.

a9 32 b9 3

c9 2 d9 23

e9 22

;9 (< es di+metro de unacircun!erencia de centro 'radio 1 cm. G es un girores$ecto de ' : un giro decentro <. Ca)cu)ar )a distancia

entre )os $untos9 (8:'9<8G #0;0 °°

a9 .cm9338 + b9

.cm9318 +

c9 .cm9,38 + d9

.cm9338 −

e9 .cm9,38 −

109 5n un + (<C m U < > 40? ' e)+rea 32 cm2 G es un girores$ecto de) $unto <. Ca)cu)ar e) +rea de )a regi%n triangu)ar (V<CV donde=

9C8GVC'9 (8GV ( 3060 °°− ==a9 33 cm2 b9 30cm2

c9 1, cm2 d9 32 cm2

e9 40 cm

2

119 (< es un segmento ' un$unto eIterior a é). Si V<V (es e) simétrico (< res$ectode indicar &erdadero o !a)so=

8a9 (<V<V ( ≅ 8b9

(<QQV<V (

8c9 (<V<V ( ⊥a9 WW7 b9 77Wc9 W7W d9 W77e9 777

129 "emostrar Due en genera) siPV es e) simétrico de) $unto P


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res$ecto de) $unto @entonces )as coordenadas de

PV se obtienen de= PV > 2@ E P.

a9 31 b9 ,c9 32 d9 .(.e9 .P

139 P 8IH '9 es un $unto de) $)anocartesiano ' PV su simétrico de)a recta N > I. "ar )ascoordenadas de PV.

a9 8IH '9 b9 8IVH 'V9c9 8IH 'V9 d9 8IVH '9e9 .(

149 (<C es un /RÁGis%sce)es recto en < ta) Due

(C > 210 ' ↔r

es una

recta Due $asa $or < sin cortar a (C ' !ormando un +ngu)ode 36L con (< . Si (V<VCV es

e) simétrico de (<C segTn ↔r

ca)cu)ar )a distancia entre )os$untos medios deC (' (C ′′ .

a9 14 b9 12c9 # d9 6e9 24

1,9 (< es un +ngu)o Due mide

#0? ' →

@ su bisectriz P ∈

@ P > 3 ' P @ > 2 . (dem+s PV es simétrico de PsegTn ( ' @V simétrico de @

res$ecto de < H @P ′′ corta

a ( ' < en 5 ' 7 res$ecti&amente. Ca)cu)ar=P5 B 57 B 7@.

a9 , b9 13

c9 # d9 e9 6


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TEMA: SUFI(IEN(IA DE DATOS

Son $rob)emas en )os cua)es )a in!ormaci%n 8datos9 no es com$)eta ' de )oDue se trata es de encontrar dentro de )as o$ciones cua)es nos $ermitir+nreso)&er dic-o eercicio=

• Por e))o es im$ortante conocer )as )e'es ' $ro$iedades de )os di!erentese)ementos de )a matem+tica ' decidir si con )a a$)icaci%n de uno o m+sde estos e) eercicio $uede reso)&erse.

• P%- e"em#$%= Si 'o Duiero ca)cu)ar )os medios de dos +ngu)os de un

tri+ngu)o is%sce)es ser+ necesario conocer=

a.O a medida de) +ngu)o no congruente. 8β9b.O a re)aci%n entre )os medios de) +ngu)o congruente ' de) no

congruente 8αβ9.

(

<

C

α

β

α

• Ot-% e"em#$%= $ara ca)cu)ar e) +rea de un círcu)o se necesitara=

9 5) radio de) círcu)o

r


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9 a medida de) )ado de) /RÁG eDui)+tero inscrito.

r l

9 a medida de) )ado de) cuadrado inscrito.

r

l

• 5n otras ocasiones son dos o m+s )os reDuisitos $ara reso)&er unasituaci%n de este ti$o.


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• Para reso)&er )os $rob)emassiguientes es necesario=

19 a suma de )as edades de dos-ermanos es 42. "eterminar )as edades si=

9 Son )os Tnicos -ios de

sus $adres.9 5) menor naci% 4 aZos

des$ués Due e) -ermanoma'or.

29 "eterminar una !racci%n si sesabe Due=

9 5s eDui&a)ente a 1#Q24

9 5s $ro$ia

39 ( una obra teatra) asistieron1#1 $ersonas entre niZos 'adu)tos recaud+ndose un tota)de SQ. 110. Cuantos adu)tos 'cuantos niZos asistieron si=

9 5) costo de )as entradases= adu)to SQ. 10 ' niZos=SQ. ,

9 (sistieron m+s niZos Dueadu)tos.

49 "i&idir una &ari))a en dos$artes si=

9 a di!erencia de)ongitudes de )as $artes es1,.

9 a mitad de )a $arte ma'or eIcede en 3 a )a $artemenor.

,9 Considerando )a !igura=

(

< C

"

5

"onde (<C" es unrect+ngu)oH -a))ar e) +rea (<C" si=

9 (5 > ; ' 5C > 49 (C > 13u ' $erímetro >

34u

#9 5n un corra) -a' $a&os 'coneos. JCu+ntos $a'os-a'M

9 Se cuentan 20 cabezas

9 :a' ,# $atas.


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69 :a))ar e) conunto (=

9 ( ∪ < > [1H 2H 3H 4H ,H #H 6HH ;\

9 ( E < > [1H 2H 3H #\

9 JCu+nto $esa un )ibroM

9 /iene e) dob)e de )asdimensiones de otro )ibrode) mismo materia) Due

$esa 2,0g.

9 /iene )a mitad de )asdimensiones de otro )ibrode) mismo materia) Due$esa 1# ]g.

;9 J@uién obtu&o menos nota decuatro amigos= ûan (ntonio

*arco ' PedroM9 Pedro obtu&o 14H ûan 10

' (ntonio 11

9 *arco obtu&o menos notaDue Pedro.

109 Ca)cu)ar )a &e)ocidad media deuna moto si=

9 Recorre una distancia de2,00 m. en 1 min. 40 seg.

9 Pasa $or un -ito Duemarca ]m. N a) cabo de4 - 30 min. Pasa $or otroDue marca 413 ]m.

119 :a' un gru$o de 20 %&enesDue estudian $or )o menos

uno de dos idiomas. JCu+ntasestudian !rancés e ita)ianoM

9 so)o estudian !rancés.9 estudian ita)iano

129 "ada )a !igura= "eterminar e)+rea de) /RÁG si=

C(

<

9 5) radio es #

9 5) )ado (C mide

139 J@ué tiem$o em$)ean 2obreros en -acer una obraM

9 no de e))os )o -aría en 3días.

9 5) otro )o -aría en # días.

149 J@ué -oras sonM Si se sabe

Due=9 as -oras transcurridas

son e) dob)e de )as Due!a)tan transcurrir.

9 7a)tan -oras $ara Duetermine e) día.


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1,9 Ca)cu)ar e) +rea de un círcu)osi=

9 5) di+metro es #m.9 a )ongitud de )a

circun!erencia es 12π m.

1#9 Se desea determinar cuantogana un &endedor a )asemana si=

9 Cada día gano SQ. 3 m+sDue e) día anterior.9 5) seIto día gano SQ. 1,

m+s Due e) $rimer día.

169 Se desea ca)cu)ar e) +rea deun /RÁG is%sce)es si=

9 5) )ado di!erente es

-i$otenusa ' mide 24cm.

9 no de )os +ngu)os mide4,.

19 ûan es m+s inte)igente Due (rmando. Podemos saber Due

ôsé es mas inte)igente Dueambos si=

9 (rmando es menosinte)igente Due ôsé.

9 ôsé es mu' inte)igente.

1;9 Si 8n E 19 es im$ar entoncesJCu+)es son im$aresM

9 n8n E 19 9 2n8n E 199 n28n E 19 W9 n2 E 1

209 Se desea saber )a edad de 2$ersonas=

9 Cuando una naci% )a otratenia , aZos.

9 "entro de , aZos )adi!erencia de sus edadesser+ , aZosO


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e9 . (.

#9 JCu+) es )a edad actua) de unestudiante de $rimariaM Se sabeDue=

9 "entro de 2 aZos su edadser+ un cuadrado $er!ecto.

9 Su -ermano ma'or tiene 1,aZos.

a9 S%)o b9 S%)o c9 ' d9 % e9 7.".

69 JCu+ntos días demoran 3obreros en -acer una obraM Sesabe Due=

9 /rabaan 10 -oras diarias.

9 2 de e))os son m+s r+$idos.

a9 S%)o b9 S%)o c9 % d9 ' e9 7.".

9 :a))ar 3 nTmeros si se sabeDue=

9 a suma es 20

9 5) $roducto es 260

a9 S%)o b9 S%)o c9 ' d9 % e9 7.".

;9 5n un corra) -a' $atos '

coneos. Se sabe Due=

9 :a' 16 anima)es en tota).

9 Se cuentan ,4 $atas.

a9 S%)o b9 S%)o c9 ' d9 % e9 7.".

109 :a))ar e) &a)or de Fa si=

9 a2 B a > 129 a _ 0

a9 S%)o b9 S%)o c9 % d9 '

e9 7.".

119 5ntre Car)os ' Pedro tienen SQ.,00. Cu+nto tiene Pedro si sesabe Due=

9 Car)os tiene SQ. ,0 m+s DueSo!ía.

9 Pedro tiene SQ. 100 menosDue Ricardo.

a9 S%)o b9 S%)o c9 ' d9 % e9 7.".


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129 5n una reuni%n -a' 120$ersona. Se sabe Due=\

9 5) ,0` de )as muereseDui&a)e a) 2,` de )os-ombres.

9 :a' 40 -ombres m+s Duemueres.

a9 S%)o b9 S%)o c9 ' d9 % e9 7.".

139 Se Duiere determinar e) +rea deun rect+ngu)o. Se conoce Due=

9 5) $erímetro es 3# m.

9 n )ado mide m+s de 3 m.

a9 S%)o b9 ' c9 S%)o d9 % e9 7.".

149 Si <(9#C8CC<< (< −=++H -a))ar ( I < I C si se sabeDue=

9 < B C > 109 ( > 2

a9 b9 c9 ' d9 7. "e9 . (.

1,9 as edades de ûan ' Car)osson dos nTmeros consecuti&osim$ares. :a))ar )as edades si=

9 a suma de ambas es 329 na es dos aZos ma'or Due

)a otra.

a9 S%)o b9 S%)o

c9 ' d9 % e9 7.".


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TEMA: (OMPARA(IN (UANTITATI3A 4 RAONAMIENTOANAL)TI(O

5n este ca$ítu)o se $resentan situaciones en )as Due &amos a uti)izar )osdatos aduntos $ara $oder so)ucionar )os $rob)emas $ero de )os datos Duenos dan &amos a ana)izar si con uno de e))os % )os dosH % con ninguno de )osdos se so)ucionan )os $rob)emas.

Para eso &eamos un eem$)o=

• Se $ro$one )a $regunta con dos eI$resiones o enunciados matem+ticos' se $ide determinar )a re)aci%n entre ambos considerando )as siguientesa)ternati&as=

a9 a cantidad en ( es ma'or Due en <.b9 a cantidad en < es ma'or Due en (.c9 a cantidad en ( es igua) a <.d9 o se $uede determinar.e9 Xo debe usar esta o$ci%nY

INFORMA(IN (OLUMNA A (OLUMNA B

,

'I =

''I +

''I −

S%$&ci'n:"e) dato= I > ,

' >

∴ en F(

13

,=

+

en F<

3

,−=

−

5n consecuencia= ( es ma'or Due < ' )a res$uesta ser+ )a a)ternati&a (.

SuerteYY


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19 J"e cuantas maneras $uedenocu$ar )os dos $rimeros$uestos de su $romoci%n 32a)umnosM

R$ta.=

29 J"e cu+ntas maneras ,$ersonas $ueden ocu$ar 2asientos de un %mnibusM

R$ta.=

39 na directi&a debe estar com$uesta $or un $residenteun secretario ' un tesorero.J"e cuantos modos $odría!ormarse dic-a directi&a si se

dis$one de 6 $ersonas a$tas$ara cua)Duier cargoM

R$ta.=

49 os tres de)anteros de uneDui$o de !Ttbo) $uedenocu$ar )as tres $osiciones.JCu+ntas $osibi)idades de!ormar su ataDue tiene e)

entrenadorM

R$ta.=

,9 na !ami)ia com$uesta $or 4miembros asiste a) cine. Si da)a casua)idad Due -a'

dis$onib)e 4 asientos untosJ"e cuantas !ormas $uedenocu$ar)osM

R$ta.=

#9 JCu+ntas &ariaciones $ueden!ormarse con # obetostomados tres a tresM

R$ta.=

69 J"e cuantas !ormas $uedenco)ocarse 12 so)dados en unaco)umnaM

R$ta.=

9 :a))ar e) nTmero de$ermutaciones entre 6 obetosdis$onib)es.

R$ta.=

;9 n nTmero de tres ci!rasim$ares distintas entre si=JCu+ntos nTmeros se $ueden!ormar en !orma decrecienteM

R$ta.=

109 J"e cuantas maneras $ueden!ormarse # niZos en una !i)aM

R$ta.=


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• ( continuaci%n se $ro$one en cada $regunta dos eI$resiones o

enunciados matem+ticos ' Due $ide determinar )a re)aci%n entre ambosconsiderando )as siguientes a)ternati&as=

A. a cantidad en ( es ma'or Due en <.B. a cantidad en < es ma'or Due en (.(. a cantidad en ( es igua) a <.D. o se $uede determinar.E. Xo debe usar esta o$ci%nY

In%-maci'n (%$&mna A (%$&mna B

11.4

3

'

I =I

'I −'

I' −

12. Com$arar )as +reassombreadas. r

r r 2

13. Com$ara e) di+metro de )a ⊗ '

)a diagona) de) siendo )a)ongitud de )a ⊗ ' F e)$erímetro de).

14. 1a1 ≤≤ a2 E a3 a3 E a2

1,.

; (C(

<C;CC( 8( B <94 C2

1#. D1 ' D2 son cocientes r 1 U;H r 2 U 1

1D

Si= 413 > ;D1 Br 1

D2

Si= ,3; > 1D2 B r 2


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16. Si H * ' son im$ares.

(dem+s U * U * B B1 * B O1

1. 4 U I U 3 (dem+s= I ≠ 0H I > 3

4I K E

1;.,0 ` de 2 1###...

#,Q24 disminuidoen su #0`

20.

(

P

0 θ

P( "(


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19 n nTmero de tres ci!rasim$ares entre si= JCu+ntos se$ueden !ormarM

a9 ,0 b9 #0c9 100 d9 120e9 1,0

29 J"e cuantas !ormas $ersonas $ueden &iaar en unautom%&i) en e) cua) -a'dis$onib)es 4 asientosinc)uido e) de) c-o!er si todossaben manearM

a9 b9c9 d9e9

39 JCuantos nTmeros de 2 ci!rasdi!erentes $ueden !ormarsecon )os dígitos de) 1 a) ;M

a9 b9c9 d9e9

49 n nTmero de tres ci!rasim$ares distintas entre si=JCu+ntos nTmeros se $ueden!ormar en !orma crecienteM

a9 1 b9 2c9 3 d9 #e9 ;

,9 os tres !ina)istas de uncam$eonato de !Ttbo) J"ecuantas !ormas $uedenocu$ar )os tres $rimeros$uestosM

a9 b9c9 d9e9

#9 n nTmero de 3 ci!rasdistintas im$ares entre si=JCu+ntos nTmeros se $ueden!ormar con e) cinco a) centroM

a9 , b9 #c9 12 d9 14e9 1#

• ( continuaci%n se $ro$one en cada $regunta dos eI$resiones o

enunciados matem+ticos ' se $ide determinar )a re)aci%n entre ambosconsiderando )as siguientes a)ternati&as=

A. a cantidad en ( es ma'or Due en <.B. a cantidad en < es ma'or Due en (.(. o se $uede determinar.D. Xo debe usar esta o$ci%nY


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In%-maci'n (%$&mna A (%$&mna B

5.I '

z

I B ' 2

6.I'z

cba

abc −K B '

7. 938091a8a + 1a 91a8a +

1+.

(

< C

"

*

'

I

2

I'*

11. ]b

a=

ab

a2

2b

ab

12. 8, U I U , (dem+s= I ∈ H I > término Centra). I6 ,0 E I

1. ,'I

'I 22

=−−

(dem+s=

I E ' > 4

6 B I B 2' 3I E ' E

19. 83H I B #9 > 8' E 2H 109 I2 2'

1.

( <

C

-α

ll

# 0 ?2

- ⋅-++

MIS(ELÁNEA


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19 "os m%&i)es $artensimu)t+neamente de un $untode di!erentes sentidos ' atra&és de una circun!erencia. Siuno $uede dar )a &ue)ta en10min. N e) otro en 1, min.JCada Due tiem$o seencontraran dic-os m%&i)esM

a9 , min. b9 #min.

c9 min. d9 ; min.e9 6 min.

29 Su$ongamos Due un re)o seade)anta 2 minutos cada 12-orasH si este momento son )as6 $.m. JCu+nto tiem$o debe$asar $ara Due ta) re)o marDue)a -ora correcta nue&amenteM

a9 110 días b9 10diasc9 100 días. d9 140 díase9 m$osib)e ca)cu)ar

39 a o$eraci%n mu)ti$)icaci%n sede!ine segTn e) cuadro Fdedob)e entrada adunto

edcbae

dcbaed

cbaedc

baedcb

aedcba

edcba•

5ntonces= a3 &a)e=

a9 a b9 bc9 c d9 de9 e

49 Si= cnbnaabc 2n ++⋅+⋅=

Ca)cu)ar= 342, B 1234

a9 114. b9 134c9 124 d9 104e9 144

,9 J@ué !igura no corres$onde a)as dem+sM

a 9 b 9 c 9

d 9 e 9

a9 126 b9 #min.c9 min. d9 ; min.e9 6 min.

#9 JCu+) es e) tercer término de )asiguiente sucesi%n= 3H #H 11H 1H26H …. @ue termine en ci!rasieteM

a9 126 b9 226c9 426 d9 #26e9 36

69 na c%moda tiene , caonesHJ"e cuantas maneras se$ueden guardar en estos


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5ntonces e) &a)or de=

92298128

92489328

es=

14324

43213

32142

21431

1432

a9 2 b9 1c9 3 d9 4e9 ,

209 Si=

,# (I (W5

214WI (W5

425I (W5

=

=

=

:a))ar 5W( I (W5

a9 43;62 b9 4,6;#c9 236# d9 426#e9 1234,

219 ndicar )a !igura Due com$)eteen !orma con&eniente )a serie$ro$uesta=

a b c d e

a9 a b9 b

c9 c d9 de9 e

229 ndicar e) siguiente e)ementoen )a siguiente secuencia= (<H57H ^]H PH…….

a9 b9 /c9 W d9 Ke9 K

239 "e cuantas maneras di!erentesse $ueden ubicar # niZos en!i)a a condici%n de Due 3 dee))os en $articu)ar esténsiem$re untos.

a9 ,040 b9 40,0c9 6000 d9 62e9 144

249 :ace 'a 1 -oras Due seade)anta un re)o seZa)ando )as,- 2, min. Cuando en rea)idadson )as ,- 1,# min. Cinco-oras des$ués de )a indicadaJ@ué -ora marcara este re)oM

a9 ,- 2# min. 40 seg.

b9 , - 26 min. 30 seg.c9 ,- 2 min. 30 seg.d9 ,- 2; min. 3, seg.e9 ,- 26 min. ,0seg.

2,9 Para Due dos trenes de 200m.de )argo se crucen reDuierende 10 seg. $ero $ara Due


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$artiendo untos e) mas &e)ozsu$ere a) otro deben transcurrir

20 seg. ndiDue )a &e)ocidadma'or.

a9 10mQs b9 20mQsc9 30 mQs d9 40mQse9 ,0 mQs

2#9 Si= 13 >….6#; ' >….604JCu+)es son )as 3 u)timasci!ras en Due termina 3,M

a9 64, b9 4,,c9 4#, d9 6,,e9 .(.

269 @ue termino continua en )asucesi%n=

.H.........2H#H22H10

a9 1 b9 2

c9 2Q2 d9 3

e9 13 −

29 5n cierta tem$orada de) aZo 'durante ;0 días consecuti&osse obser&% Due en 26 días )atem$eratura era menor Due 24gradosH JCu+) ser+ )a

$robabi)idad Due a) díasiguiente )a tem$eraturaresu)te no menor de 24gradosM

a9 1Q2 b9 6Q10c9 ,Q3 d9 4Q;e9 3Q4

2;9 ndicar )a medida de) +ngu)oDue determinan )as maneci))asde) re)o cuando e) re)o marcaeIactamente )as =30

a9 #0? b9 #,?c9 60? d9 6,?e9 0?

309 :a))ar e) termino genera) de )a

sucesi%n=

H......1;

1#H

12

;H

6

4H

4

1

a93n

n

2

2

+b9

3n

n

+

c9

1n

n2

2

+

d9

1n

n

+e9 .(.

319 Si a) cu+dru$)e de )a edad Duetendré dentro de aZos )erestamos e) dob)e de )a edadDue tenia -ace , aZosresu)taría 1; aZos mas e) tri$)ede mi edad. J@ué edad tengoM

a9 1 aZos b9 31 aZosc9 23 aZos. d9 41 aZose9 1# aZos

329 @ue e)emento sigue en )asecuencia Due se muestra encontinuaci%n=<C"H G:^H H WH….


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a9 (<G b9 G:(

c9 57P d9 (5Ge9 (<C

339 n su$er&isor res$onsab)e de6 $romotores de &enta &eri!icane) trabao de su eDui$o. Con e)!in de no des$ertar sus$icacias&aria $ermanentemente e)orden de )a &eri!icaci%n. J"ecuantas !ormas di!erentes

$uede e!ectuar su trabaoM

a9 ;20 b9 20c9 620 d9 ,040e9 #20

349 os resu)tados de unaencuesta son )os siguientes= e)42` $re!iere e) $roducto ( e),4` e) $roducto < e) 1àmbos $roductos. JCu+) es )a$robabi)idad de e)egir a) azar entre )os encuestados una$ersona Due no $re!iere ni e)$roducto ( ni e) $roducto <M

a9 22` b9 20`c9 1` d9 1#è9 12`

3,9 Sean )as o$eraciones de!inidas$or=

bdad

dcac

cbab

aaaa

cba

abcdd

bdacc

cadbb

dcbaa

dcba •

Si= K > b c determinar e)&a)or de=8c I9 • 8b a9

a9 c b9 d

c9 a d9 be9 7."

3#9 5) octa&o término de )asucesi%n es=

H........20

31H

12

16H

#

6H

2

1

a9 126Q62 b9 12;Q,#c9 12Q62 d9 12;Q62e9 126Q,#

369 Si= 6#;;;IP( = :a))ar=P B ( B P B .

a9 b9 3c9 2 d9 6e9 13

39 ()berto en e) aZo 1;#; cum$)i%tantos aZos como )o indicaba )amitad de) nTmero !ormado $or )as dos T)timas ci!ras de) aZode su nacimiento. :a))ar suedad en ese entonces.

a9 4; b9 ,1


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a b c d e

4#9

a b c d e

469

a b c d e

49

a b c d e

4;9

a b c d e

BB

,09 5n e) rect+ngu)o (<C" de )a!igura )a )ongitud de )os

segmentos (< ' 7C sonres$ecti&amente 2m ' 4m. Si)os segmentos (5 ' 5*

son igua)es. JCu+) es e)$erímetro de) rect+ngu)oM

C

"(

<

*

5

7θ

θ

a9 4 b9 30c9 3# d9 24e9 2

,19 "eterminar e) m+Iimo &a)or Due a)canza )a eI$resi%n=


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13I#I

32

2 +−a9 b9 1#c9 4 d9 3e9 #

,29 "e) tota) de con!erencias e) #0`son mueres. "e e))as e) 30`disertan $or $rimera &ezHmientras Due de )os &arones e)

,0` )o -ace $or $rimera &ez. 5)$orcentae de )os con!erencistas$or $rimera &ez es=

a9 3` b9 42`c9 30` d9 4,è9 3,`

,39 n cubito descansa en e) !ondode un $risma recto ))eno deagua 8&er !igura9. () eItraer e)cubito )a a)tura de) aguadisminu'e en 1Q. :a))ar e) +reade) tri+ngu)o (<C en cm3.

1 # c m

4 2 c m

4 2 c m(

<

C

a9 2cm34 b92cm31#

c9 2cm3 d9

2cm312

e9 2cm31,

,49 5) $romedio de # nTmeros es

I si se retira e) ma'or e)

$romedio se reduce en 4unidades. :a))e )a di!erenciaentre I ' e) nTmero ma'or retirado.

a9 O24 b9 24c9 20 d9 O20e9 30

,,9 "ada )a siguiente sucesi%n denTmeros= 4 ; 2, 4; … I'… 3#1 z' 41… "etermine 8IB z9 si 11 U I U 1#.

a9 40 b9 4#c9 3# d9 34e9 42

,#9 "ada )a $rogresi%n aritméticaa c d e ' )a $rogresi%ngeométrica= I d 32.n &a)or de 8I B e9 es=

a9 22 b9 1#c9 1 d9 20


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a9 1;;Q201 b9 2Q3

c9 1 d9 200Q201e9 202Q201

#39 :a' un so)o ani))o ' tres caascerradas de di!erente co)orrotu)adas con )os siguientesenunciados=

O Caa $)oma= F5) ani))o no estaaDuí

O Caa negra= F5) ani))o no estaen )a caa marr%n

O Caa marr%n= F5) ani))o estaaDuí

a9 5n ninguna de )as caasesta e) ani))o.

b9 5) ani))o no esta en )a caa$)oma.

c9 5) ani))o esta en )a caamarr%n.

d9 5) ani))o esta en )a caa$)oma.

e9 5) ani))o esta en )a caanegra.

#49 <rasi) Corea (rgentina*éIico :o)anda ' *arruecosinician )os $artidos de)cam$eonato mascu)ino de&o)eibo). os $eriodistas$reguntaron a tres a!icionados

cua)es serian )os ganadores.as res$uestas !ueron=

O <rasi) :o)anda CoreaO :o)anda *éIico CoreaO Corea (rgentina *arruecos

J@ué eDui$o uega con *éIicoM

a9 *arroDuíb9 (rgentinoc9 :o)andés

d9 <rasi)eZoe9 Coreano

#,9 n día )e $reguntaron a Cesar=JCu+ntos -ermanos '-ermanas tienesM Cesar res$ondi%= F/engo tantos-ermanos como -ermanasRut- )a -ermanita de Cesar

inter!iri% en )a con&ersaci%n 'dio= FSin embargo 'o tengo e)dob)e de -ermanos Due de-ermanas. ndicar cuantas-ermanas tiene Cesar.

a9 3 b9 4c9 , d9 2e9 #

##9 Si en )os recuadros de)siguiente esDuema se escribecuatro nTmeros enteros$ositi&os di!erentes todos deuna ci!ra. JCu+) ser+ e) mínimo&a)or de SM


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( )[ ] −×+=S

a9 O4 b9 1c9 O# d9 O3e9 O1

#69 ûan Pedro ' uis tiene dineroen cantidades $ro$orciona)es a , ' 3 res$ecti&amente ûanda )a mitad de )o Due tiene a

uisH uis da SQ. 100 a Pedroresu)tando Pedro ' uis conigua) cantidad de so)es.JCu+nto tenia ûaninicia)menteM

a9 SQ. ,00 b9 SQ. 00c9 SQ. 300 d9 SQ. 400e9 SQ. 600

#9 Rosa ' ûan comienzan a )eer un )ibro de 600 $aginas e)$rimero de abri) Rosa )ee 40$aginas diarias ' ûan )ee ,$aginas e) $rimer día 10 a)segundoH 1, a) tercero ' asísucesi&amente. J5n Due !ec-a))egan a )eer )a misma $aginaM

a9 1# de (bri)b9 1, de abri)c9 12 de abri)d9 10 de abri)e9 11 de abri)

#;9 :a))ar )a di!erencia de dosnTmeros sabiendo Due )a suma

de 32, ' e) *.C.*. es 100.

a9 16, b9 26,c9 6, d9 12,e9 22,

609 Si e) )argo de un rect+ngu)oaumenta en 2,` ' e) anc-o en1,` J5n Due $orcentae

aumenta e) +reaM

a9 32,` b9 402,`c9 40` d9 3,6,è9 436,`

619 ( una com$etencia en )a Due$artici$an )os eDui$os I e 'asisten 300 a$ostadores. ()inicio )a raz%n de )as a$uestasde I a ' es 3Q2H a) termino de )acom$etencia )a raz%n sein&ierte. Si )os a$ostadores $or N no cambiaron a K JCu+) ese) nTmero de a$ostadores Duecambiaron su a$uestaM

a9 100 b9 120

c9 #0 d9 0e9 40

629 5n un gru$o de n a)umnos )aedad $romedio es c entre e))os)as edades $romedios de )os&arones ' damas en e) gru$o


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son a ' b res$ecti&amente. Sie) nTmero de &arones es &

-a))ar n.

a9 &cb

ba

−−

b9 &cb

ab

−−

c9 cbc

&a

−−

d9 b&c

ba

−−

e9 &&b

ab

−

−

639 Se tiene dos ci)indros ' cadauno recibe 2 )itros de aceite $or minuto. Si -ace 3 minutos e)tri$)e de) &o)umen de) $rimeroera e) dob)e de) segundomenos 11 )itrosH JCu+) es )a

di!erencia entre )os &o)Tmenessi )a suma de e))os en eseinstante es de 100 )itrosM

a9 23 )itros b9 21 )itrosc9 22 )itros d9 24 )itrose9 24 )itros

649

Si 2,I

B ;I

> 281,I

9 determinar e) &a)or de=

9,86

3,5

1I6

2I61I6

−−

+−+− +=

a9 10 b9 2Q,

c9 , d9 e9 1,


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6,9 "ada )a !unci%n= !8I9 > fafI E bfB b fI E aff en donde a _ b _ 0

ca)cu)ar e) &a)or de

+

2

ba!

a9 22ba2 − b9

2

ba 22 +

c9 2

ab 22 −d9 2

ba 22 −

e9 2b2 E a2

6#9 "ado=

2

9I8! 4I9I8! 3 ++= .

Ca)cu)ar !8!8O499

a9 O4 b9 Q,c9 4 d9 0e9 OQ,

669 Sea=b2a

b

1

a

2

+=+ con a '

b nTmeros no nu)os. Ca)cu)ar=

##

##

b,2a

b16a5

−

+=

a93

32b9 33 c9

2

32

d9 32 e9 3

69 5n e) sistema de ecuaciones=

=−++

=−

11'9ba8I9ba8

4b'aI

:a))ar )a suma de )os &a)ores

de a ' b $ara Due )a so)uci%nsea I > 3 e ' > 2

a9 10 b9 6c9 O2 d9 ,e9 3

6;9 Sabiendo Due 3I

1I =+

determinar e) &a)or de=

23

23

I

1

I

1II5 +++=

a9 4; b9 3#c9 2, d9 1e9 23

09

Si se &eri!ica Due=

91n8n

1...

43

1

32

1

21

1)og

10

11

+++

⋅+

⋅+

⋅

−

a9 3)og2 b9 2)og2c9 3 B )og2 d9 2 B )og2e9 2 B )og3


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19 5n )a !igura= )os tri+ngu)os (<C

' "57 son eDui)+teros (*> *< -a))ar I.

7

<

C

"

(

5

4 0 ?

I

*

a9 ,,? b9 40?c9 30? d9 #0?e9 ,0?

29 5n )a !igura 3µ2 4µ2 #µ2 ' Sson )as +reas de )as regionesmostradas. :a))ar S

(

< C

"

S

4

3

#

a9 µ2 b9 10µ2

c9 ;µ2 d9 #µ2

e9 6µ2

39 5n )a !igura (< > #µH (C > <C > ,µ. :a))ar )a

)ongitud de )a circun!erenciacircunscrita a) tri+ngu)o (<C.

( C

<

a9 πµ1#

1b9 πµ

3

16

c9 πµ4

2,d9 πµ

2

;

e9 πµ4

16

49 Sabiendo Due (CQQ57 -a))ar I.

(

<C

7

5

4 , ?

# m

2 m3 m

I


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a9 m2 b9

m21

c9 m22

;d9 m2;

e9 1m

,9 5n )a !igura (CQQ*

(*3

2< = ' son

centros de )a res$ecti&as

semicircun!erencias. :a))ar e)$erímetro de )a regi%nsombreada.

# m

2 , m(

*

<

C

a9 m92,,128 +π

b9 m91,2,8 +π

c9 m9282, +π

d9 m921,108 +π

e9 m92,1,8 +π

#9 5n )a !igura 1 ' 2 son rectas$ara)e)as

=

∧∧ C (<m3C< (m

( > < ' C* es bisectriz

de C<∧ . :a))ar e) &a)or de

I.

2

1

I *(

C

<

2 , ?

a9 #,? b9 ;,?c9 6,? d9 ;0?e9 0?

69

5n )a !igura F es centro de )asemicircun!erencia de radio R '

P3

4*

2

1P == . :a))ar

e) +rea de )a regi%nsombreada.

*

PR

a9 2R;

1#b9 2R

1#

;


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c9 2R

2,

1d9 2

R2,

;

e9 2R

;

,

9 5n una ca)cu)adora ninguna de

)as tec)as + − × ' Q

indica )a o$eraci%ncorres$ondiente $ero a)gunasde e))as indica a)guna de estas

cuatro o$eraciones. Si se sabeDue a) $resionar 2 − e)

resu)tado es 4 ' a) $resionar 1, + e) resu)tado también es

4. JCu+) es e) resu)tado a)

$resionar 1Q3; × M

a9 # b9 4

c9 11 d9 12e9 26

;9 Se Duiere cambiar un bi))ete deSQ. 20 en monedas de 10 20 ',0 céntimos. Si en e) cambionos dieran )os tres ti$os demonedas JCu+) seria e) menor nTmero de monedas Due

recibiríamosM

a9 40 b9 42c9 41 d9 43e9 3;

;09 Cinco amigos rindieron uneIamen ' )a nota mas a)ta !ue

1. Si se sabe Due=

O (ndré obtu&o )a mitad denota Due *+Iimo.

O Piero obtu&o e) $romediode )a notas de "a&id '*+Iimo '

O mar obtu&o tanto como"a&id $ero e) tri$)e de notaDue (ndre.

JCu+) es )a di!erencia entre )asnotas Due obtu&ieron Piero ' (ndréM

a9 12 b9 3

c9 ; d9 #e9 4

;19 J"e cu+ntas manerasdi!erentes se $uede $agar eIactamente un deuda deSQ. 33 con monedas de SQ. 2 'SQ. ,M

a9 6136 b9 1024c9 212 d9 410e9 .(.

;29 :a))ar )a suma de todos )ostérminos de )a sucesi%n !inita

4 6 12 1; 2 … 2;2


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a9 1 3# b9 1 6,

c9 1 #3 d9 1 ;#e9 1 6,2

;39 5n )a di&isi%n=

DD3

16n

a9 160 b9 1#0c9 120 d9 140

e9 100

;49 Si en )os círcu)os de )a !iguraescribimos )os nTmerosnatura)es de) 3 a) 11 demanera Due )os nTmeros encada )ado de) tri+ngu)o sumen2, JCu+) es )a suma de )osnTmeros Due se escriben en)os círcu)os etiDuetados con I' zM

I

'z

a9 21 b9 13c9 1, d9 1e9 12

;,9 Se reDuiere re&estir un $isorectangu)ar con )ozas circu)ares

de igua) radio co)ocadastangentes una con otras. Si sesabe Due tanto a )o )argo comoa )o anc-o entran )ozascom$)etas JCu+) es e) m+Iimo$orcentae de) $iso Duecubrir+n )as )ozasM

a9 26,π` b9 20π`

c9 2,π` d9 30π`

e9 22,π`

;#9 Sean n un nTmero entero$ositi&o di!erente de 1 sisumando a )os numeradores 'restando a )os denominadoresuna misma cantidad I en )as

!raccionesn

1n − '

1n

1

− se

obtiene sus in&ersosmu)ti$)icati&os -a))ar e) &a)or de n.

a9 2 b9 #c9 4 d9 3

e9 ,

;69 a $ro!esora orena in&irti% SQ.,000 en dic-as cuentas dea-orro Due )e rinde 12` ' 1,ànua)mente. JCu+nto in&irti%res$ecti&amente en cada


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cuenta si e) tota) de interesesrecibidos a) cabo de un aZo !ue

de SQ. 3;6,0M

a9 SQ. 3,00 ' SQ. 1,00b9 SQ. 16,0 ' SQ. 32,0c9 SQ. 3#6, ' SQ. 132,d9 SQ. 32, ' SQ. 4#6,e9 SQ. 22,0 ' SQ. 26,0

;9 Si= 32I B 32' > 26 3IB' > 11

ca)cu)ar e) &a)or de] > 83I B 3'93.

a9 ,12 b9 21#c9 62; d9 12,e9 343

;;9 Si=

,6I1I

1II...

4,34

3423

2312

=+

−+

+++

:a))ar e) &a)or de 2I E ;;

a9 16 b9 1,c9 1; d9 13e9 11

1009 5n )a ecuaci%n= I2 B $I B D > 0H)as raíces son $ ≠ 0 ' D ≠ 0.:a)ar $ B D

a9 0 b9 1

c9 O2 d9 O1e9 2

1019 :a))ar )a suma de )os 200$rimeros términos de )asucesi%n=

3 I 4 H # I 6 H ; I 10 H 12 I 13

a9 2# 4#0 b9 2 ,20c9 2# 400 d9 2 400

e9 2# ,20

1029 :a))ar )a suma de )as raíces de)a ecuaci%n=

I2 E f3I B 2f B 4 > 0

a9 O3 b9 3c9 1 d9 O1

e9 0

1039 "os autos * ' est+nestacionados ' entre e))os-a' una distancia de 300m.)os dos autos $artensimu)t+neamente en )a mismadirecci%n ' des$ués de 1min4seg * a)canza a . si )asuma de )as distanciasrecorridas $or )os dos autos-asta e) $unto de a)cance dede 2600m entonces )a&e)ocidad de * !ue de=

a9 4,mQ- b9 40mQ-


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c9 #0mQ- d9 30mQ-e9 ,0mQ-

1049 5n )a !igura ' R son centrosde )a circun!erencias cu'osradios son igua)es si e) +reade )a regi%n sombreada es4πcm2 JCu+) es )a )ongitudde )a diagona) de) cuadradoP@RSM

P

@ R

S

a9 cm220 b9 1#cm

c9 20cm d9

cm21#

e9 cm2

10,9 5n )a !igura (< > 20m (P >3m ' <@ > 12m una$ersona ubicada en e) $untoP debe ))egar a un $unto

(< ' )uego dirigirse a)

$unto @. JCu+) es )a )ongitudde) mínimo recorridoM

P(

<

a9 21m b9 24mc9 2,m d9 2me9 2#m

10#9 5n )a !igura P@RS es uncuadrado. Si @* > *R '8PR E P*9 > 4cm2 entoncese) +rea de )a regi%nsombreada es=

P

@ R

S

*

a9 1#cm2 b9 12cm2


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c9 20cm2 d9 24cm2

e9 1cm2

1069 5n )a !igura (<C" es uncuadrado ' α > 20?. :a))ar e)

&a)or de θ

C

(

<

"

θθ

a9 120? b9 10,?c9 11,? d9 100?e9 110?

109 "e )a !igura -a))ar 8/gα E 292

nm2 ⋅

m

a9 1 b9 4c9 2 d9 3

e9 0

10;9 5n )a !igura )as medidas de )os+ngu)os interiores de)tri+ngu)o (<C est+n dadas engrados seIagesima)es. :a))ar e) &a)or entero mas $eDueZo8en grados seIagesima)es9Due $uede tomar b.

a B b

2 b O a

a O b

(

<

C

a9 4,? b9 4#?c9 40? d9 3,?e9 3#?

1109 5n )a !igura se muestra un$ara)e)e$í$edo rectangu)ar 'G< es su diagona). Si

2

1<C = :C

3

1 (< =

JCu+) es e) &a)or de<C

:M


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(

"

<

C

57

G :

a9,

3,2b9

,

3,

c9 3,6

2d9

10

3,

e96

3,

1119 ôsé se encuentra en #to. Pisode un edi!icioH )uego baa a)3er. Piso &ue)&e a subir a),to. Piso ' !ina)mente baa a)2do. Piso si entre $iso )asesca)eras tiene 12 $e)daZos

JCu+ntos $e)daZos -a baadoôséM

a9 62 b9 ;#c9 4 d9 120e9 4

1129 n cic)ista ca)cu)o Due si &iaa a10 ]m. Q - ))egara a su

destino una -ora des$ués demediodía $ero si )a &e)ocidad!uera de 1, ]m. Q- ))egaríauna -ora antes de mediodía.J( Due &e)ocidad debe &iaar $ara ))egar eIactamente amediodíaM

a9 12.,]m. Q- b9 12]m.Q -

c9 11 ]m. Q - d9 14.0]m Q-e9 1# ]m. Q -

1139 5n )a !igura (<C" es uncuadrado ' C"5 un triangu)oeDui)+tero. JCu+) es )amedida en grados de) +ngu)o (5"M

(

< C

"

5

a9 , b9 10c9 12., d9 20e9 2,

1149 Si 1mm 3#−= ' hi n]n = e)

resu)tado de 3α 2 O 2

α 3 es= ]β.

a9 0 b9 #0Q3#c9 24Q63 d9 1


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e9 ,,Q24

11,9 Si ] m ' n son nTmerosenteros di&isib)es $or 3JCu+)es de )os siguientesenteros son siem$redi&isib)es $or ;M

. ] B mn . ]m. . B m B n

a9 b9 c9 d9 ' e9 '

11#9 5) &a)or numérico de !8I9 > I3O3I2B 3IB1 en 1.001 es=

a9 3.002002001b9 ,.00#004001c9 2.002002001

d9 2.000000001e9 2.001001001

1169 () di&idir un nTmero entre 1,e) residuo es. JCu+) ser+ e)residuo si se )e di&ide entre,M

a9 3 b9 1c9 4 d9 2

e9 0

119 Si un s%)ido en !orma cTbica deun metro de )ado se di&ide encubitos de un mi)ímetro de)ado entonces J@ué a)turaa)canzara una co)umna

!ormada $or todos )os cubitosunos encima de otrosM

a9 100 ]m. b9 10]m.c9 1]m. d9 3]m.e9 1000]m.

11;9 n caba))o atado con una sogade 3 metros de )argo demorar , días en comer e) $asto Dueesta a su a)cance. Si )a soga

!uera de # metros Jencuantos días comer+ todo e)$asto a su a)canceM

a9 20 b9 30c9 2, d9 10e9 ;

1209 Si a &aria entre 4 ' 40 ' b &aria

entre , ' 12 entonces aQb&aria entre=

a9 1Q ' 3 b9 24 ' 10c9 0. ' 10Q3 d9 3 ' e9 1Q3 6 '

1219 /res $ersonas !orman unasociedad con 400 d%)ares

de ca$ita). 5) $rimero a$orta)os 3QH e) segundoH )os Q1,de) resto. 5ntonces e) terceroa$orto=

a9 1400 b9 1 #20c9 1#00 d9 600e9 2H 00.


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1229

uis ' ()berto $arten de unaciudad a otra situada a 24]m. "e )a $rimeraH uis )o-ace a una &e)ocidad de 2]m. $or -ora menos Due ()berto ))egando a su destinocon una -ora de retrasoJCu+) ser+ )a &e)ocidad deuisM

a9 , ]mQ- b9 4 ]mQ-c9 # ]mQ- d9 ]mQ-e9 ; ]mQ-

1239 Si a m > √m B a e )decimoseIto termino de )asucesi%n= 1 1 24 3;41# ,2, … es=

a9 32 b9 #4

c9 30 d9 4e9 34

1249 < es un $unto medio de (C ' des e) $unto medio de <5= Si (5 mide 4, cm. ' contiene ;&eces a <C Ja Due distanciade ( esta "M

a9 20 cm. b9 2, cm.c9 1 cm. d9 24 cm.e9 30 cm.

12,9 n banco usa e) sistema denumeraci%n de base 6 $aranumerar )as )ibretas de susa-orristas. Si en este

momento e) nTmero de )aante$enT)tima )ibreta es

,3#, JCu+) es e) nTmero de)a T)tima )ibretaM

a9 ,3#6 b9 ,400c9 ,30 d9 ,402e9 #000

12#9 () sim$)i!icar )a eI$resi%n=3.02.01.0

42 94;...,3185 ++++++=

Se obtiene=a9 , b9 √,c9 2, d9 0.2,e9 3,

1269 Si gaste )os 2Q3 de )o Duegaste entonces )o Due nogaste re$resenta=

a9 3Q, de mi dinerob9 3Q2 de mi dineroc9 1Q3 de mi dinerod9 2Q, de )o Due ganoe9 4Q, de mi dinero.

129 5n una $rueba de eIamen un

a)umno gana 2 $untos $or res$uesta correcta $ero$ierde un $unto $or cadaeDui&ocaci%n. Si des$ués de-aber contestado ,0$reguntas obtiene #4 $untos.JCu+ntas $reguntasres$ondi% correctamenteM


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a9 42 b9 3#

c9 3 d9 24e9 32

12;9 Sea=

ab c

41 4

22 1

13 3

> a2

O b c . C a ) c u ) a r

a9 12 b9 100c9 O1#0 d9 120

e9 1#0

1309 Si a ' b son ma'ores Due cero)a eI$resi%n=

9ba98ba8 11 −− ++ es=

a9 ma'or o igua) Due 4b9 igua) a 2

c9 igua) a 4d9 menor Due 4e9 igua) a 1

1319 5n una urna -a' 1#0 bo)as$or cada 3 bo)as b)ancas -a'20 negras ' 16 roas. 5)numero de bo)as negras es=

a9 12 b9 0c9 # d9 4e9 #4

1329 "os nTmeros consecuti&os sonta)es Due )a tercera $arte de)ma'or eIcede en 1, a )aDuinta $arte de) menor. 5)numero ma'or es=

a9 110 b9 10;c9 ,, d9 111e9 ,4

1339 Se -a enro))ado un cab)e en uncarrete de 1 m de di+metrod+ndo)e 100 &ue)tas. Si a)mismo cab)e es enro))ado en


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otra carrete d+ndo)e ,0&ue)tas su di+metro es=

a9 2m b9 1.,mc9 1.6,m d9 2.2,me9 1.2,m

1349 Si mba 33 =− ' nba =−

entonces Jcua) es e) &a)or deabM

a9n3

nm3 − b93

nm 2−

c9n3

nm 3−d9

n

nm 32−

e9n3

nm 3+

13,9 Si (C > # m )a suma de )as)ongitudes de )assemicircun!erenciasH (< <C' (C es igua) a=

( < C

a9 #πm b9 ;πm

c9 3πm d9 ,πm

e9 4πm

13#9 5) menor numero natura) Duemu)ti$)icado $or #0 da un

cubo $er!ecto es=

a9 ;0 b9 2,0c9 4,0 d9 1,0e9 420

1369 Si $ E D E r > 2 ' $D B $r >Dr entonces $2 B D2 B r 2 esigua) a=

a9 4 b9 O4c9 2 d9 O2e9 0

139 Si ( ' < re$resentan )as )unasres$ecti&amente de )os $ares$ositi&os e im$ares $ositi&osno ma'ores Due 1000ca)cu)ar ( E <.

a9 ,01 b9 ,00c9 4;; d9 ;;;e9 1.000

13;9 :a))ar e) &a)or de n si=

n

1

IIIII =÷÷÷

a9 O3 1Q, b9 , 1Q3


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c9 3 1Q, d9 ,Q1#e9 O,Q1#

1409 ( una g)esia asisten 3;;$ersonas entre -ombresmueres ' niZos. Si e) nTmerode -ombres es e) Duíntu$)ode) de mueres ' e) demueres es e) tri$)e Due de )osniZos. JCu+ntos -ombres-a'M

a9 3#6 b9 ;c9 234 d9 2;e9 31,

1419 5n una grana de a&es e) 40ès de ga))inas. Si se -a&endido e) 20` de ga))inas.Jen Due ` -a disminuido e)numero de a&esM

a9 10` b9 #`c9 ` d9 12è9 6`

1429 5n e) conunto ( > [a b c d\se de!ine )as o$eracionesbinarias siguientes=

cbdad

bdcac

dcbab

aaaaa

dcba

abcdd

bdacc

cabbb

dcbaa

dcba ⊗

Si I > b ∗ c determinar e)&a)or de 8c I9 ⊗ 8b a9

a9 no es $osib)e ca)cu)ar)ob9 d c9 ad9 b e9 c

1439 os $asaes en microbTs &a)enSQ. 0.2, ' SQ. 0.13 $araadu)tos ' uni&ersitarios

res$ecti&amente. uego deuna &ue)ta en Due &iaaron2,, $ersonas se recaudo SQ.,2.3, Jcuantos uni&ersitarios&iaaronM

a9 ;, b9 0c9 ;0 d9 100e9 ;

1449 () $reguntar)e a un $ostu)anteDue $arte de) eIamen -aresu)tado este res$onde= -econtestado 4Q, de )o Dueconteste. J@ué $arte de)eIamen -a contestadoM

a9 ,Q; b9 1Q,

c9 1Q; d9 4Q;e9 2Q,

14,9 5n )os siguientes tri+ngu)os -a'una serie numéricaH e) &a)or de ' E I es=


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1 1;

2

1

1 2

6

,

4 ;

1 3#

'

I

a9 3# b9 30c9 2 d9 32e9 2;

14#9 5) $romedio de 20 nTmeros es40. Si agregamos , nTmeros

cu'o $romedio es 20 JCu+)es e) $romedio !ina)M

a9 42 b9 20c9 40 d9 30e9 3#

1469 Cuanto nTmeros mT)ti$)o de ,eIisten de modo Due sus

cu+dru$)os sean ma'oresDue 0 ' menores Due 10M

a9 /res b9 cuatroc9 dos d9 cincoe9 seis

149 as dimensiones en metros deun rect+ngu)o de +ream+Iima cu'o $erímetro es4 metros son=

a9 12 ' 12 b9 23 ' 1c9 1# ' d9 1, ' ;e9 7a)tan datos

14;9 Si en cierto nTmero sedes$)aza e) $unto decima)

dos )ugares -acia )aizDuierda este disminu'e en2.32#, unidades. :a))ar e)nTmero origina).

a9 1.46, b9 0.23,c9 23.#,0 d9 2.3,0e9 0.0023

1,09 ( cierto nTmero $ar se )e suma)os dos nTmeros $ares Due )e$receden ' )os dos nTmerosim$ares Due )e siguenobteniéndose en tota) ;#unidades. 5) $roducto de )osdígitos de) numero $ar dere!erencia es=

a9 1#2 b9 #3c9 120 d9 1,0e9 3#

1,19 os gastos de 1,eIcursionistas ascienden aSQ. 36, 00 )os cua)es deben$agar)os $or $artes igua)es.Pero en e) momento de

cance)ar )a cuenta !a)tarona)gunos de )os &iaeros $or )oDue cada uno de )os$resentes tu&o Due abonar SQ. 12.,0 m+s. Jcuantosestu&ieron $resentes a)momento de cance)ar )acuentaM


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a9 # b9 ,c9 4 d9 3

e9

1,29 Si I ' z son nTmeros rea)es '' I' > # 'z > 12 Iz > e)&a)or de 0., I ' z es=

a9 1, b9 11c9 12 d9 10e9 ;

1,39 Cada día una em$)eado $ara ir de su casa a su o!icina gastaSQ. 2.00 ' de regreso SQ. 4.00si gasto SQ. ;2.00 J"%nde seencuentra e) em$)eadoM

a9 5n )a o!icinab9 5n )a casac9 a mitad de camino a )a

casad9 ( mitad de camino a )a

o!icinae9 no se $uede determinar.

1,49 Por error en &ez de mu)ti$)icar un nTmero $or 100 )o di&ide

$or 100 ' encontré comoresu)tado 23 1. adi!erencia entre e) numero dedígitos Due corres$onde a )a$arte entera de) resu)tado&erdadero ' de) eDui&ocadoes=a9 4 b9 2

c9 3 d9 0e9 #

1,,9 Sea Fa es un numero raciona)ta) Due e) numerador eIcedea) denominador en unaunidad. Si dic-o nTmero esaumentado en 2 unidades e)numerador Duedaaumentado en . 5) &a)or deFa es=

a9 #Q, b9 3Q2c9 4Q, d9 ,Q4e9 6Q#

1,#9 K es un numero rea) distintode cero ta) Due

24I,91I84 =+ entonces e)

&a)or de 29IQ1I8 + es=

a9 3Q4 b9 13Q4c9 ;Q4 d9 6Q4e9 2

1,69 as )ongitudes de , a)ambresson 32 ,# ;# 144 ' 40 cm.os 4 $rimeros a)ambres soncortados de manera Due )os

$edazos obtenidos tienen )amisma )ongitud 8)a ma'or $arte $osib)e9 ' e) de 40 cm.Se di&ide en $artes igua)escon )ongitudes Due so 1Q3 de)as de )os $rimeros $edazos.JCu+ntos cortes se -icieronen tota)M


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a9 #0 b9 ,#

c9 #1 d9 ,2e9 ,1

1,9 Sea 3I2I9I87 2−+= . Si

9I87291I287 =− e) &a)or

de 1II2 +− es=

a9 O1 b9 0

c9 1 d9 1Q2e9 2

1,;9 a di!erencia de dos nTmerosdistintos es e) 10` de )adi!erencia de sus cuadrados.5ntonces )a suma de )osnTmeros es=

a9 12 b9 c9 11 d9 10e9 13

1#09 Se tienen monedas de )asmismas dimensiones. 5)numero m+Iimo de monedastangentes dos a dos Due$ueden co)ocarsetangencia)mente a)rededor de

una de e))as es=

a9 # b9 4c9 6 d9 ,e9

1#19 Si a ' b son nTmeros rea)es

ta)es Due 1ba 22 =+ .

5ntonces e) &a)or de ##ba +

es=

a9 33 ba + b9 1

c9 3 d9 33 ba −

e9 22ba31−

1#29 5n e) conunto de )os nTmerosrea)es $ositi&os se de!ine )asiguiente o$eraci%n=

mnnm = .:a))ar )as raíces

de )a ecuaci%n m22m =

a9 0 b9 2Q3c9 2 d9 3e9 3Q2

1#39

:a))ar e) &a)or de I si=2433.........333

1I2,,,3,, =⋅⋅ +

a9 # b9 ,c9 3 d9 4e9 2

1#49 5n )a !igura (<C" es unrect+ngu)o di&idido en cuatrorect+ngu)os de igua) +rea. Si (" mide 24 cm. N trazamos"^ JCu+nto mide *7M


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( <

C"

^

7

*

a9 6 cm. b9 # cm.c9 cm. d9 #., cm.e9 6.2, cm.

1#,9 5n )a siguiente ecuaci%nII

49#082,#1# =− e)

&a)or de I es=

a9 3 b9 4c9 O4 d9 ;e9 1

1##9 "ado e) cuadrado de )a !igurasabiendo Due 57 QQ <C ' C7 >1Q4 (" determine )a raz%nentre e) +rea de )a regi%nsombreada ' e) +rea de )aregi%n no sombreada.

(

< C

"

5 7

a9 11Q, b9 ,Q11c9 11Q1# d9 1#Q11

e9 4Q3

1#69 Se tiene )os nTmeros enterosm ' n. JCu+)es de )aseI$resiones siguientere$resentan un numero $arM

9 m2 B m B3 9 m2 B m B 2n9 82m B19 8m2 E m B 19

a9 ' b9 S%)o c9 S%)o d9 ' e9 S%)o

1#9 5n )a siguiente ecuaci%n

,)og229I3)og82Q19;I8og

−= −−+

n &a)or de I es=

a9 1, b9 10c9 12 d9 ;e9 11

1#;9 na $ersona $idi% a) &endedor de una tienda 4 $aZue)os deseda ' n $aZue)os corrientes.5) $recio de )os $aZue)os deseda es e) dob)e de )os$aZue)os corrientes. 5)&endedor con!undi% e) $edido


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' des$ac-o n $aZue)os deseda ' 4 $aZue)os corrientes.

5sta con!usi%n dio )ugar aDue e) &a)or de com$raaumentara en ,0`. 5)numero de $aZue)oscorrientes de) $edido origina)!ue=

a9 12 b9 14

c9 1# d9 1e9 1,

1609 Se tiene un nTmero Due

))amaremos β ' Due tiene ]

ci!ras ta) Due )a $rimera es n8di!erente de cero9 ' e) restoson ceros. JCu+) es e)residuo Due s e obtiene a)

di&idir β entre ;M

a9 n % 0 b9 ]c9 n E ] d9 1

e9 n B1

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