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ejemplos
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Ing. Ivn A. Calle Flores
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA MECNICA
Tema: Cinemtica directaExpositor: Ing. Ivn A. Calle Flores
Curso: Robtica
Ing. Ivn A. Calle Flores
Manipuladores robticos
Cadena de cuerpos rgidos links conectados por medios de juntas joints prismticas o de revolucin.
Representacin simblica de las juntas
Ing. Ivn A. Calle Flores
El problema de la cinemtica El problema de la cinemtica consiste en la descripcin
del movimiento del manipulador sin considerar las fuerzas y torques que causan el movimiento.
x
yz
x
yz
x
yz
x
z
y
1
2
3
Cinemtica directa - Orientacin- Posicin ?
Ing. Ivn A. Calle Flores
Pose de un cuerpo rgido
x
y
z' ( , , )x y zO p p p
n
sa
O
O( , , )
( , , )
( , , )
x y z
x y z
x y z
n n n n
s s s s
a a a a
Matriz de Rotacin
Orientacin:
x x x
y y y
z z z
n s a
R n s a
n s a
n s a 3TR R I
1TR R
Posicin:
Donde:
Es ortogonal
Ing. Ivn A. Calle Flores
Transformacin homognea
3 3 3 1
0 1
A
B
R PT
Representacin homognea:
x
y
z
n
sa
O
O P
0p
1p
0r
0 0 0 1
1p r R p
Para el punto P:
1
pp
0 0
10
1
0 1T
R rT
1 0 0 0 01 1T T
p R r R p
0 0 1
1p T p
1
1 0 0
1p T p
La transformacin de coordenadas:
Matriz de rotacin Vector de translacin
Matriz de transformacin
homognea
Ing. Ivn A. Calle Flores
Ejemplo: Rotacin simple
,
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
zRot
x
y
z
n
sa
O
O
0 0 0 1
0 0 0 1
x x x x
y y y y
z z z z
n s a p
n s a pR
n s a p
n s a p p
Ejemplo: Caso general
Ing. Ivn A. Calle Flores
Cinemtica directa
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 1
b b b b
b e e e e
e
n q s q a q p qT q
Calcular la pose del efector final como funcin de las variables de las juntas
Matriz de transformacin homognea:
Orientacin Posicin
1nxq R : Vector de variables de las juntas
12 12 1 1 2 12
12 12 1 1 2 12
- 0 a a
c 0 a a( )
0 0 1 0
0 0 0 1
b
e
c s c c
s s sT q
Veamos un
ejemplo:
Ing. Ivn A. Calle Flores
El procedimiento de Denavit-Hartenberg
Cada matriz de transformacin homognea A esta dada por:
Donde los parmetros: , , ,i i i ia d estn asociados al link y junta i
Forma recursiva de obtener la cinemtica de una manera recursiva
0 0 1 1
1 1 2 2( ) ( ) ( )... ( )n
n n nT q A q A q A q
1( )ii iA q
Ing. Ivn A. Calle Flores
Procedimiento:1. Enumerar los links desde 0
(la base) hasta n (efector).
2. Establecer los sistemas coordenados
Escoger el eje a lo largo del eje de la junta i+1.
iz
Localizar el origen en la interseccin del eje con la recta normal a los ejes y
iO
iziz 1iz
Escoger el eje a lo largo de la recta normal a los ejes
y con la direccin de la junta i a la junta i+1.
ixiz
1iz
Escoger el eje usando la regla de la mano derecha.
iy
Ing. Ivn A. Calle Flores
3. Encontrar los parmetros
ia
id
: Mnima distancia entre los
ejes y iz1iz
i : Angulo entre los ejes y alrededor deiz
1iz ix
i
: Distancia desde el punto
al punto de interseccin del
eje con ix1iz
1iO
: Angulo entre los ejes y
alrededor de1ix
ix 1iz
4. Hallar las matrices
para i = 1,,n.
1( )ii iA q
5. Computar la matriz de
transformacin del efector.0 0 1
1( ) ...n
n nT q A A
Ing. Ivn A. Calle Flores
Ejemplo: Cinemtica del manipulador articulado
0Z
1. Enumerar las juntas
2. Establecer los
sistemas coordenados
- Establecer eje Zs
- Localizar origen Os
- Establecer eje Xs
- Establecer eje Ys
1Z2Z
3Z
0O 0Y
1O2O
3O
1X
2X
3X1Y 2Y
2Y
3. Hallar los parmetros
Link
1
2
3
iiaidi
/ 2
2a
2a
3a
3a
0
01d1 2
2
3 0
0
0
0X
1d
Ing. Ivn A. Calle Flores
Continuacin
4. Hallando las matrices1( )ii iA q
1 1
1 10
1 1
1
0 0
0 - 0( )
0 1 0
0 0 0 1
c s
s cA q
d
1
- 0
0 ( )
0 0 1 0
0 0 0 1
i i i i
i i i ii
i i
c s a c
s c a sA q
1 23 1 23 1 1 2 2 3 23
1 23 1 23 1 1 2 2 3 230 0 1 2
3 1 2 3
23 23 1 2 2 3 23
- ( )
- - ( )( )
0 d +
0 0 0 1
c c c s s c a c a c
s c s s c s a c a cT q A A A
s c a s a s
2,3.i
5. Computo de la matriz de transformacin del efector
Ing. Ivn A. Calle Flores
Ejemplo: Cinemtica del manipulador articulado
0Z
1. Enumerar las juntas
2. Establecer los
sistemas coordenados
- Establecer eje Zs
- Localizar origen Os
- Establecer eje Xs
- Establecer eje Ys
1Z2Z
3Z
0O0Y1
O2O
3O
1X
2X
3X1Y 2Y
2Y
3. Hallar los parmetros
Link
1
2
3
iiaidi
/ 2
2a
2a
3a
3a
0
0 01 2
2
3 0
0
0
0X
Ing. Ivn A. Calle Flores
Continuacin
4. Hallando las matrices1( )ii iA q
1 1
1 10
1 1
0 0
0 - 0( )
0 1 0 0
0 0 0 1
c s
s cA q
1
- 0
0 ( )
0 0 1 0
0 0 0 1
i i i i
i i i ii
i i
c s a c
s c a sA q
1 23 1 23 1 1 2 2 3 23
1 23 1 23 1 1 2 2 3 230 0 1 2
3 1 2 3
23 23 2 2 3 23
- ( )
- - ( )( )
0
0 0 0 1
c c c s s c a c a c
s c s s c s a c a cT q A A A
s c a s a s
2,3.i
5. Computo de la matriz de transformacin del efector
Ing. Ivn A. Calle Flores
Conclusiones
Las ecuaciones cinemticas directas de un robot nos permiten describir la posicin y orientacin del efector final en funcin de las variables de las articulaciones.
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
Eje "y"
Espacio de trabajo
Eje "x"
Eje
"z"
Las ecuaciones cinemticas nos permiten hallar el espacio de trabajo del robot
El procedimiento de Denavit-Hartenberg provee un mtodo sistemtico para la asignacin de sistemas coordenados del sistema
Ing. Ivn A. Calle Flores
Ejercicios1. Manipulador antropomrfico (RRR) - PUMA 260
Ing. Ivn A. Calle Flores
2. Manipulador esfrico (RRP) - The Stanford Arm
Ing. Ivn A. Calle Flores
3. Manipulador cilindrico (RPP)
Ing. Ivn A. Calle Flores
Ejemplo: Computacin de la cinemtica del robot PUMA
12
3
56
1Z
4Z
5Z
1O
1Y
4X
0Z
0O
0Y
0X
1X
1Y
2Z2O
2X3O
3Z
3X
3Y
4O
4Z
4X
5O
5Z
6Z